高三數(shù)學(xué)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用試卷

PAGE9PAGE平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用1．已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥bB．a(chǎn)⊥bC．|a|＝|b|D．a(chǎn)＋b＝a－b2．對于向量a，b，c和實數(shù)λ，下列命題中為真命題的是()A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，則b＝c3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－16B．－8C．8D．164．如圖K27－1，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\a\vs4\al(\r(3))eq\a\vs4\al(\o(BD,\s\up6(→)))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝()圖K27－1A．2eq\r(3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)5．如圖K27－2，設(shè)E，F(xiàn)分別是Rt△ABC的斜邊BC上的兩個三等分點，已知AB＝3，AC＝6，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝()圖K27－2A．8B．10C．11D．126．已知點A，B，C在圓x2＋y2＝1上，滿足2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0(其中O為坐標原點)，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|，則向量eq\o(BA,\s\up6(→))在向量eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影為()A．1B．－1C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)7．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，設(shè)向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，則角A的大小為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)8．設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4，則點A的坐標是()A．(2，±2)B．(1，±2)C．(1，2)D．(2，2eq\r(2))9．已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________．10．若平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為eq\f(1,2)，則α與β的夾角θ的取值范圍是________．11．已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值為________，eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值為________．12．(13分)在?ABCD中，A(1，1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，0)，點M是線段AB的中點，線段CM與BD交于點P.(1)若eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，5)，求點C的坐標；(2)當(dāng)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|時，求點P的軌跡．13．(12分)已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx，2cosx)．(1)求證：向量a與向量b不可能平行；(2)若a·b＝1，且x∈[－π，0]，求x的值．1．B[解析]本小題主要考查向量的數(shù)量積以及性質(zhì)．解題的突破口為對于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．因為|a＋b|＝|a－b|?(a＋b)2＝(a－b)2?a·b＝0，所以a⊥b，答案選B.2．B[解析]a·b＝0?a⊥b，故A錯；a2＝b2?|a|＝|b|，得不出a＝±b，不要與實數(shù)x，y滿足|x|＝|y|?x＝±y混淆，故C錯；a·b＝a·c?a·(b－c)＝0，同A知D錯，故選B.3．D[解析]因為∠C＝90°，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2＝16.4．D[解析]∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)).又∵AB⊥AD，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\r(3)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|cos∠ADB＝eq\r(3)|eq\o(BD,\s\up6(→))|cos∠ADB＝eq\r(3)|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(3).【能力提升】5．B[解析]eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,9)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,9)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\f(2,9)(62＋32)＝10.6．C[解析]由2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0得，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))，即O，B，C三點共線．又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，故向量eq\o(BA,\s\up6(→))在向量eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影為|eq\o(BA,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).7．B[解析]m·n＝b(b－c)＋c2－a2＝c2＋b2－a2－bc＝0，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).8．B[解析]由題意F(1，0)，設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),4)，y0))，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),4)，y0))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(yeq\o\al(2,0),4)，－y0)).∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4，∴eq\f(yeq\o\al(2,0),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(yeq\o\al(2,0),4)))－yeq\o\al(2,0)＝－4，解得y0＝2或y0＝－2.∴當(dāng)y0＝2時，x0＝eq\f(yeq\o\al(2,0),4)＝1；當(dāng)y0＝－2時，x0＝eq\f(yeq\o\al(2,0),4)＝1.故A(1，±2)，故選B.9．1[解析]由a＋b與ka－b垂直知(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2－a·b＋ka·b－b2＝0，又由|a|＝|b|＝1知(k－1)(a·b＋1)＝0.若a·b＝－1，則a與b夾角180°，與a，b不共線矛盾，∴k－1＝0，∴k＝1.10.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))[解析]平行四邊形面積S＝|α||β|sinθ＝eq\f(1,2)，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sinθ≥eq\f(1,2).又θ∈(0，π)，∴θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))).11．11[解析]本題考查平面向量的數(shù)量積，平面向量的投影等基礎(chǔ)知識．方法一：投影法：設(shè)向量eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))的夾角為θ，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝|eq\o(DE,\s\up6(→))|·|eq\o(DA,\s\up6(→))|cosθ，由圖可知，|eq\o(DE,\s\up6(→))|cosθ＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|，所以原式等于|eq\o(DA,\s\up6(→))|2＝1，要使eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))最大只要使向量eq\o(DE,\s\up6(→))在向量eq\o(DC,\s\up6(→))上的投影達到最大即可，因為eq\o(DE,\s\up6(→))在向量eq\o(DC,\s\up6(→))上的投影達到最大為|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝1，所以(eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→)))max＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＝1.方法二：因為eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))且eq\o(DA,\s\up6(→))⊥eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|2＝1，eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|，所以要使eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))最大，只要|eq\o(AE,\s\up6(→))|最大即可，明顯隨著E點在AB邊上移動|eq\o(AE,\s\up6(→))|max＝1，故(eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→)))max＝1.方法三：以D為坐標原點，eq\o(DC,\s\up6(→))與eq\o(DA,\s\up6(→))所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，可知E(x，1)，0≤x≤1，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝(x，1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0，1)，可得eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝x×0＋1×1＝1.因為eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝x，因為1≥x≥0，所以(eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→)))max＝1.12．解：(1)設(shè)點C的坐標為(x0，y0)，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，5)＋(6，0)＝(9，5)，即(x0－1，y0－1)＝(9，5)，∴x0＝10，y0＝6，即點C(10，6)．(2)設(shè)P(x，y)，則eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－1，y－1)－(6，0)＝(x－7，y－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋3(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝3eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3(x－1)，3(y－1))－(6，0)＝(3x－9，3y－3)．∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，∴平行四邊形ABCD為菱形，∴eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴(x－7，y－1)·(3x－9，3y－3)＝0，即(x－7)(3x－9)＋(y－1)(3y－3)＝0.∴x2＋y2－10x－2y＋22＝0(y≠1)．故點P的軌跡是以(5，1)為圓心，2為半徑的圓且去掉與直線y＝1