學(xué)習(xí)微積分的入門

序中國戰(zhàn)國時(shí)代〔公元前7世紀(jì)〕，我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇〞中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭〞，即老莊哲學(xué)中所有的無限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)《墨經(jīng)》中有了有窮、無窮、無限小〔最小無內(nèi)〕、無窮大〔最大無外〕的定義和極限、瞬時(shí)等概念。這是樸素的、也是很典型的極限概念。而極限理論便是微分學(xué)的根底。古希臘時(shí)期〔公元前3世紀(jì)〕，阿基米德用內(nèi)接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率愈來愈好的近似值，也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形，以求得其面積。這是窮盡法的古典例子之一，可以說是積分思想的起源。17世紀(jì)，許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了奉獻(xiàn)。17世紀(jì)下半葉，在前人工作的根底上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里單獨(dú)研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。19世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)決根底。才使微積分進(jìn)一步的開展開來。1874年，德國數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯構(gòu)造了一個(gè)沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)，即構(gòu)造了一條沒有切線的連續(xù)曲線，這與直觀概念是矛盾的。它使人們認(rèn)識(shí)到極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對(duì)實(shí)數(shù)系的依賴比人們想象的要深?yuàn)W得多。外爾斯特拉斯最終完成了對(duì)實(shí)數(shù)系更深刻的性質(zhì)的理解，使得數(shù)學(xué)分析完全由實(shí)數(shù)系導(dǎo)出，脫離了知覺理解和幾何直觀。人類對(duì)自然的認(rèn)識(shí)永遠(yuǎn)不會(huì)止步，微積分這門學(xué)科在現(xiàn)代也一直在開展著，人類認(rèn)識(shí)微積分的水平在不斷深化?！⒎e分學(xué)(Calculus,拉丁語意為用來計(jì)數(shù)的小石頭)是研究極限、微分學(xué)、積分學(xué)和無窮級(jí)數(shù)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，并成為了現(xiàn)代大學(xué)教育的重要組成局部。歷史上，微積分曾經(jīng)指無窮小的計(jì)算。更本質(zhì)的講，微積分學(xué)是一門研究變化的科學(xué)，正如幾何學(xué)是研究空間的科學(xué)一樣。客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)開展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)開展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。微積分學(xué)在科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程學(xué)領(lǐng)域被廣泛的應(yīng)用，來解決那些僅依靠代數(shù)學(xué)不能有效解決的問題。微積分學(xué)在代數(shù)學(xué)、三角學(xué)和解析幾何學(xué)的根底上建立起來，并包括微分學(xué)、積分學(xué)兩大分支。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學(xué)根本定理指出，微分和積分互為逆運(yùn)算，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點(diǎn)來討論微積分學(xué)，但是在教學(xué)中，微分學(xué)一般會(huì)先被引入。在更深的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，微積分學(xué)通常被稱為分析學(xué)，并被定義為研究函數(shù)的科學(xué)?！诟叨蠈W(xué)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們認(rèn)識(shí)了導(dǎo)數(shù)和定積分，并開始了對(duì)其應(yīng)用的理解和練習(xí)。其實(shí)，早在高中物理開始不久后的學(xué)習(xí)中，我們就接觸到了微積分的原型——微元法。同當(dāng)年的科學(xué)家一樣，我們也因物理上的應(yīng)用需要，開始了對(duì)微積分學(xué)的認(rèn)識(shí)之旅。借著這次研究性學(xué)習(xí)的契機(jī)，我們就了解一下微積分學(xué)的開展歷史，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)研究對(duì)社會(huì)開展的重要意義，本著“以史為鏡〞的態(tài)度了解其中曲折而有趣的開展歷程；并由此拓展自己的知識(shí)面，增添自己對(duì)微積分學(xué)習(xí)的興趣。作為理科生，探究過程中的我們也能結(jié)合所學(xué)歷史知識(shí)、辯證分析的方法，培養(yǎng)自身人文素養(yǎng)，增強(qiáng)自身的綜合素質(zhì)，為高中階段的歷史學(xué)習(xí)畫上圓滿的句號(hào)。我們也對(duì)微積分在生活中就一些簡(jiǎn)單實(shí)際應(yīng)用的一些研究來提高自己在以微積分的思想方法解決問題的能力；了解在哪些情況，哪些領(lǐng)域會(huì)用到微積分；進(jìn)一步加深對(duì)微積分的認(rèn)識(shí)。另一方面，在進(jìn)行小組討論、共同研究的時(shí)候，通過組員的積極參與和組員間的合作，我們可以通過共同探索增強(qiáng)自己的責(zé)任感，增進(jìn)相互之間的友誼，提高自身的實(shí)踐探究能力，學(xué)會(huì)將理論知識(shí)和動(dòng)手實(shí)踐能力結(jié)合來解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，以此提高自身的綜合素質(zhì)。微積分的主要內(nèi)容及其他研究函數(shù)，從量的方面研究事物運(yùn)動(dòng)變化是微積分的根本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。本來從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的根本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。微積分是與科學(xué)應(yīng)用聯(lián)系著開展起來的。最初，牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程對(duì)第谷浩瀚的天文觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析運(yùn)算，得到了萬有引力定律，并進(jìn)一步導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后，微積分學(xué)成了推動(dòng)近代數(shù)學(xué)開展強(qiáng)大的引擎，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的開展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷開展。微積分主要有三大類分支：極限、微分學(xué)、積分學(xué)。微積分的根本理論說明了微分和積分是互逆運(yùn)算。牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理以后才引起了其他學(xué)者對(duì)于微積分學(xué)的狂熱的研究。這個(gè)發(fā)現(xiàn)使我們?cè)谖⒎趾头e分之間互相轉(zhuǎn)換。這個(gè)根本理論也提供了一個(gè)用代數(shù)計(jì)算許多積分問題的方法，該方法并不真正進(jìn)行極限運(yùn)算而是通過發(fā)現(xiàn)不定積分。該理論也可以解決一些微分方程的問題，解決未知數(shù)的積分。微分問題在科學(xué)領(lǐng)域無處不在。微積分的根本概念還包括函數(shù)、無窮序列、無窮級(jí)數(shù)和連續(xù)等，運(yùn)算方法主要有符號(hào)運(yùn)算技巧，該技巧與初等代數(shù)和數(shù)學(xué)歸納法緊密相連。微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、復(fù)分析、時(shí)域微分和微分拓?fù)涞阮I(lǐng)域。微積分的現(xiàn)代版本是實(shí)分析。極限微積分中最重要的概念是“極限〞。微商〔即導(dǎo)數(shù)〕是一種極限。定積分也是一種極限。從牛頓實(shí)際使用它到制定出周密的定義，數(shù)學(xué)家們奮斗了200多年?，F(xiàn)在使用的定義是維斯特拉斯于19世紀(jì)中葉給出的。數(shù)列極限就是當(dāng)一個(gè)有順序的數(shù)列往前延伸時(shí)，如果存在一個(gè)有限數(shù)〔非無限大的數(shù)〕，使這個(gè)數(shù)列可以無限地接近這個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是這個(gè)數(shù)列的極限。數(shù)列極限的表示方法是：其中L就是極限的值。例如當(dāng)時(shí)，它的極限為L=0。就是說n越大(越往前延伸)，這個(gè)值越趨近于0。導(dǎo)數(shù)我們知道在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，平均速度等于通過的距離除以所花費(fèi)的時(shí)間，同樣在一小段間隔的時(shí)間內(nèi)，除上其走過的一小段距離，等于這一小段時(shí)間內(nèi)的速度，但當(dāng)這一小段間隔的時(shí)間趨于零時(shí)，這時(shí)的速度為瞬時(shí)速度，無法按照通常的除法計(jì)算，這時(shí)的速度為時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。得用求導(dǎo)的方法計(jì)算。也就是說，一個(gè)函數(shù)的自變量趨近某一極限時(shí)，其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導(dǎo)數(shù)。在速度問題上，距離是時(shí)間的因變量，隨時(shí)間變化而變化，當(dāng)時(shí)間趨于某一極限時(shí)，距離增量除以時(shí)間增量的極限即為距離對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。微分學(xué)微分學(xué)主要研究的是在函數(shù)自變量變化時(shí)如何確定函數(shù)值的瞬時(shí)變化率(或微分)。換言之，計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法就叫微分學(xué)。微分學(xué)的另一個(gè)計(jì)算方法是牛頓法，該算法又叫應(yīng)用幾何法，主要通過函數(shù)曲線的切線來尋找點(diǎn)斜率。費(fèi)馬常被稱作“微分學(xué)的鼻祖〞。積分學(xué)積分學(xué)是微分學(xué)的逆運(yùn)算，即從導(dǎo)數(shù)推算出原函數(shù)。又分為定積分與不定積分。一個(gè)一元函數(shù)的定積分可以定義為無窮多小矩形的面積和，約等于函數(shù)曲線下包含的實(shí)際面積。根據(jù)以上認(rèn)識(shí)，我們可以用積分來計(jì)算平面上一條曲線所包含的面積、球體或圓錐體的外表積或體積等。而不定積分，用途較少，主要用于微分方程的解。微積分的符號(hào)微分學(xué)中的符號(hào)“dx〞、“dy〞等，系由萊布尼茨首先使用。其中的d源自拉丁語中“差〞〔Differentia〕的第一個(gè)字母。積分符號(hào)“∫〞亦由萊布尼茨所創(chuàng)，它是拉丁語“總和〞〔Summa〕的第一個(gè)字母s的伸長(和Σ有相同的意義)。微積分學(xué)的應(yīng)用微積分學(xué)的開展與應(yīng)用幾乎影響了現(xiàn)代生活的所有領(lǐng)域。它與大局部科學(xué)分支，特別是物理學(xué)，關(guān)系密切，而經(jīng)濟(jì)學(xué)亦經(jīng)常會(huì)用到微積分學(xué)。幾乎所有現(xiàn)代技術(shù)，如建筑、航空等都以微積分學(xué)作為根本數(shù)學(xué)工具。微積分學(xué)課程在高校理、工科教學(xué)中，微積分是“高等數(shù)學(xué)〞的主要內(nèi)容之一。其教學(xué)法由學(xué)科創(chuàng)立一開始就受到人們重視。微積分的根本介紹微積分學(xué)根本定理指出，求不定積分與求導(dǎo)函數(shù)互為逆運(yùn)算，把上下限代入不定積分即得到積分值，而微分那么是導(dǎo)數(shù)值與自變量增量的乘積，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點(diǎn)來討論微積分學(xué)，但是在教學(xué)中，微分學(xué)一般會(huì)先被引入。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，“無限細(xì)分〞就是微分，“無限求和〞就是積分。十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，但是理論根底是不牢固的。因?yàn)椤盁o限〞的概念是無法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進(jìn)行演算，所以，直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的一步就是要理解到，“極限〞引入的必要性：因?yàn)椋鷶?shù)是人們已經(jīng)熟悉的概念，但是，代數(shù)無法處理“無限〞的概念。所以，必須要利用代數(shù)處理代表無限的量，這時(shí)就精心構(gòu)造了“極限〞的概念。在“極限〞的定義中，我們可以知道，這個(gè)概念繞過了用一個(gè)數(shù)除以0的麻煩，相反引入了一個(gè)過程任意小量。就是說，除的數(shù)不是零，所以有意義，同時(shí)，這個(gè)小量可以取任意小，只要滿足在德爾塔區(qū)間，都小于該任意小量，我們就說他的極限為該數(shù)——你可以認(rèn)為這是投機(jī)取巧，但是，他的實(shí)用性證明，這樣的定義還算比較完善，給出了正確推論的可能性。這個(gè)概念是成功的。微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系著開展起來的，它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個(gè)分支中，有越來越廣泛的應(yīng)用。特別是計(jì)算機(jī)的創(chuàng)造更有助于這些應(yīng)用的不斷開展。客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)開展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)開展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。DifferentialandIntegralCalculus數(shù)學(xué)中的根底分支。內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。函數(shù)是微積分研究的根本對(duì)象，極限是微積分的根本概念，微分和積分是特定過程特定形式的極限。17世紀(jì)后半葉，英國數(shù)學(xué)家I.牛頓和德國數(shù)學(xué)家G.W.萊布尼茲，總結(jié)和開展了幾百年間前人的工作，建立了微積分，但他們的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此尚缺乏嚴(yán)密的理論根底。19世紀(jì)A.L.柯西和K.魏爾斯特拉斯把微積分建立在極限理論的根底上；加之19世紀(jì)后半葉實(shí)數(shù)理論的建立，又使極限理論有了嚴(yán)格的理論根底，從而使微積分的根底和思想方法日臻完善。極限的思想方法可追溯到古代，3世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)用圓內(nèi)接正九十六邊形的面積近似代替圓面積，求出圓周率π的近似值3.141024，并指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，那么與圓合體而無所失矣〞。劉徽對(duì)面積的深刻認(rèn)識(shí)和他的割圓術(shù)方法，正是極限思想的具體表達(dá)。數(shù)列極限是函數(shù)極限的根底，一個(gè)數(shù)列an如果當(dāng)n無限增大時(shí)，an與某一實(shí)數(shù)無限接近，就稱之為收斂數(shù)列，a為數(shù)列的極限，記作例如，數(shù)列的極限為0。微分學(xué)的根本概念是導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)是從速度問題和切線問題抽象出來的數(shù)學(xué)概念。牛頓從蘋果下落時(shí)越落越快的現(xiàn)象受到啟發(fā)，希望用數(shù)學(xué)工具來刻畫這一事實(shí)。導(dǎo)數(shù)作為一個(gè)數(shù)學(xué)工具無論在理論上還是實(shí)際應(yīng)用中，都起著根底而重要的作用。例如在求極大、極小值問題中的應(yīng)用。積分學(xué)的根本概念是一元函數(shù)的不定積分和定積分。主要內(nèi)容包括積分的性質(zhì)、計(jì)算，以及在理論和實(shí)際中的應(yīng)用。不定積分概念是為解決求導(dǎo)和微分的逆運(yùn)算而提出來的。如果對(duì)每一x∈I，有f(x)＝F′〔x〕，那么稱F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，f(x)的全體原函數(shù)叫做不定積分，記為，因此，如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那么＝F(x)＋C，其中C為任意常數(shù)。定積分概念的產(chǎn)生來源于計(jì)算平面上曲邊形的面積和物理學(xué)中諸如求變力所作的功等物理量的問題。解決這些問題的根本思想是用有限代替無限；根本方法是在對(duì)定義域[a，b]進(jìn)行劃分后，構(gòu)造一個(gè)特殊形式的和式，它的極限就是所要求的量。具體地說，設(shè)f(x)為定義在[a，b]上的函數(shù)，任意分劃區(qū)間[a，b]:a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，記，｜｜Δ｜｜＝，任取xi∈Δxi，如果有一實(shí)數(shù)I，有下式成立：，那么稱I為f(x)在[a，b]上的定積分，記為I＝f(x)dx。當(dāng)f(x)≥0時(shí)，定積分的幾何意義是表示由x＝a，x＝b，y＝0和y＝f(x)所圍曲邊形的面積。定積分除了可求平面圖形的面積外，在物理方面的應(yīng)用主要有解微分方程的初值問題和“微元求和〞。聯(lián)系微分學(xué)和積分學(xué)的根本公式是：假設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)。通常稱之為牛頓-萊布尼茲公式。因此，計(jì)算定積分實(shí)際上就是求原函數(shù)，也即求不定積分。但即使f(x)為初等函數(shù)，計(jì)算不定積分的問題也不能完全得到解決，所以要考慮定積分的近似計(jì)算，常用的方法有梯形法和拋物線法。微積分學(xué)的建立從微積分成為一門學(xué)科來說，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)根底的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比方我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇〞中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭〞。三國時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，那么與圓周和體而無所失矣。〞這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了奉獻(xiàn)。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的根底上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里單獨(dú)研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問題〔微分學(xué)的中心問題〕，一個(gè)是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否認(rèn)了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度〔微分法〕；運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。德國的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長而且很乖僻的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》。就是這樣一篇說理也頗模糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。它已含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和根本微分法那么。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的開展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的開展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。前面已經(jīng)提到，一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的根底上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。不幸的是，由于人們?cè)谛蕾p微積分的宏偉成效之余，在提出誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場(chǎng)悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對(duì)立。英國數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)〞中停步不前，因而數(shù)學(xué)開展整整落后了一百年。其實(shí)，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，在大體上相近的時(shí)間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是正式公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時(shí)候，由于民族偏見，關(guān)于創(chuàng)造優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們?cè)跓o窮和無窮小量這個(gè)問題上，其說不一，十分模糊。牛頓的無窮小量，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些根底方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。直到19世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)決根底。才使微積分進(jìn)一步的開展開來。任何新興的、具有無量前途的科學(xué)成就都吸引著廣闊的科學(xué)工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、柯西……歐氏幾何也好，上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好，都是一種常量數(shù)學(xué)，微積分才是真正的變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)中的大革命。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支，不只是局限在解決力學(xué)中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績。微積分歷史積分的起源很早，古希臘時(shí)期就有求特殊圖形面積的研究；用的是窮盡的方法。阿基米德〔Archimedes〕用內(nèi)接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率愈來愈好的近似值，也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形，以求得其面積；這些都是窮盡法的古典例子。文藝復(fù)興之后，基于實(shí)際的需要及理論的探討，積分技巧有了進(jìn)一步的開展。譬如為了航海的方便，杰拉杜斯·麥卡托〔GerardusMercator〕創(chuàng)造了所謂的麥?zhǔn)贤队胺ǎ沟玫貓D上的直線就是航海時(shí)保持定向的斜駛線。17世紀(jì)的前半，是微積分學(xué)的醞釀時(shí)期。確實(shí)劃分微積分學(xué)這門學(xué)科是在17世紀(jì)由戈特弗里德·威廉·萊布尼茨和艾薩克·牛頓幾乎同時(shí)創(chuàng)立的，對(duì)此學(xué)界曾有極大的爭(zhēng)論，兩人曾為爭(zhēng)奪微積分的創(chuàng)造權(quán)訴諸皇家學(xué)會(huì)仲裁。在他們創(chuàng)立微積分以前，人們把微分和積分視為獨(dú)立的學(xué)科。而微積分之名與其符號(hào)之使用那么是萊布尼茨所創(chuàng)。雖說微積分是萊布尼茨和牛頓創(chuàng)造的，但是指的是他們兩人使微積分觀念成熟，澄清微、積分之間的關(guān)系，使計(jì)算系統(tǒng)化，并且把微積分大規(guī)模使用到幾何與物理上。在他們之前，微積分是萌芽時(shí)期，觀念在摸索中，計(jì)算是個(gè)別的，應(yīng)用也是個(gè)別的。在牛頓、萊布尼茨以前，對(duì)微分、積分最有奉獻(xiàn)的大概要算皮埃爾·德·費(fèi)馬了，可惜他未能體會(huì)兩者之間的密切關(guān)系。而牛頓的老師伊薩克·巴羅〔I.Barrow,1630～1677〕雖然知道兩者之間有互逆的關(guān)系，但他不能體會(huì)此種關(guān)系的意義，其原因之一就是求導(dǎo)數(shù)還沒有一套有系統(tǒng)的計(jì)算方法。古希臘平面幾何的成功，予西方數(shù)學(xué)非常深遠(yuǎn)的影響，一般認(rèn)為，唯有幾何的論證方法才是嚴(yán)格的，才是真正的數(shù)學(xué)，代數(shù)也不過是輔助的工具而已。直到笛卡兒及費(fèi)馬倡導(dǎo)以代數(shù)的方法研究幾何的問題。這種態(tài)度才漸有轉(zhuǎn)變?？墒且环矫鎺缀嗡季S方式深植人心，而另一方面代數(shù)方法仍然未臻成熟，實(shí)數(shù)系統(tǒng)遲遲未能建立，所以許多數(shù)學(xué)家仍然固守幾何陣營而不能有有效的計(jì)算方法，如巴婁就是。牛頓雖然背叛了他老師的純幾何觀點(diǎn)，開展了有效的微分方法，可是他的方法遲遲未敢開展。雖然他用了微積分的技巧，由萬有引力及運(yùn)動(dòng)定律出發(fā)說明了他的宇宙體系，但因害怕當(dāng)時(shí)人的批評(píng)，在他1687年的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中，卻把微積分的痕跡抹去，而仍以古典的幾何論證方式論述。微積分實(shí)際被許多人不斷地完善，也離不開巴羅、笛卡爾、費(fèi)馬、惠更斯和沃利斯的奉獻(xiàn)。牛頓、萊布尼茨雖然把微積分系統(tǒng)化，但它還是不嚴(yán)格的?？墒俏⒎e分被成功地用來解決許多問題，卻使十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家偏向其應(yīng)用性，而少致力于其嚴(yán)格性。當(dāng)時(shí)，微積分學(xué)的開展幸而掌握在幾個(gè)非常優(yōu)越的數(shù)學(xué)家，如歐拉〔L.Euler,1707～1783〕、拉格朗日〔J.U.Lagrange,1736~1813〕、拉普拉斯〔P.S.deLaplace,1749~1827〕、達(dá)朗貝爾〔J.deR.d'Alembert,1717~1783〕及白努利〔D.Bernoulli,1700~1782〕世家等人的手里。研究的問題由自然現(xiàn)象而來，所以能以自然現(xiàn)象的數(shù)據(jù)來驗(yàn)合微積分的許多推論。使微積分學(xué)不因根底不穩(wěn)而將之錯(cuò)誤。在這些眾數(shù)學(xué)家的手中，微積分學(xué)的范圍很快地超過現(xiàn)在大學(xué)初階段所授的微積分課程，而邁向更高深的解析學(xué)。開展現(xiàn)代微積分理論的一個(gè)動(dòng)力是為了解決“切線問題〞，另一個(gè)是“面積問題〞。18世紀(jì)的分析學(xué)驅(qū)動(dòng)18世紀(jì)的微積分學(xué)不斷向前開展的動(dòng)力是物理學(xué)的需要，物理問題的表達(dá)一般都是用微分方程的形式。18世紀(jì)被稱為數(shù)學(xué)史上的英雄世紀(jì)。他們把微積分應(yīng)用于天文學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，并獲得了豐碩的成果。在數(shù)學(xué)本身又開展出了多元微分學(xué)、多重積分學(xué)、微分方程、無窮級(jí)數(shù)的理論、變分法，大大地?cái)U(kuò)展了數(shù)學(xué)研究的范圍。其中最著名的要數(shù)最速降線問題：即最快下降的曲線的問題。這個(gè)曾經(jīng)的難題用變分法的理論可以輕而易舉的解決。微積分創(chuàng)造優(yōu)先權(quán)大爭(zhēng)論歷史上，微積分是由兩位科學(xué)家，牛頓和萊布尼茨幾乎同時(shí)發(fā)現(xiàn)的。在創(chuàng)立微積分方面，萊布尼茨與牛頓功績相當(dāng)。這兩位數(shù)學(xué)家在微積分學(xué)領(lǐng)域中的卓越奉獻(xiàn)概括起來就是：他們總結(jié)出處理各種有關(guān)問題的一般方法，認(rèn)識(shí)到求積問題與切線問題互逆的特征，并揭示出微分學(xué)與積分學(xué)之間的本質(zhì)聯(lián)系；他們都各自建立了微積分學(xué)根本定理，他們給出微積分的概念、法那么、公式和符號(hào)理論為以后的微積分學(xué)的進(jìn)一步開展奠定了堅(jiān)實(shí)而重要的根底?？傊麄儎?chuàng)立了作為一門獨(dú)立學(xué)科的微積分學(xué)。微積分這種數(shù)學(xué)分析方法正式誕生以后，由于解決了許多以往靠初等數(shù)學(xué)無法作答的實(shí)際問題，所以逐漸引起科學(xué)家和社會(huì)人士的重視。同時(shí)，也帶來了關(guān)于“誰先建立微積分〞問題的爭(zhēng)論。從牛頓和萊布尼茨還在世時(shí)就開始出現(xiàn)這種爭(zhēng)論，英國和歐洲大陸各國不少科學(xué)家都卷入這場(chǎng)曠日持久的、鋒利而復(fù)雜的論戰(zhàn)。這場(chǎng)論戰(zhàn)持續(xù)了100多年的時(shí)間。就創(chuàng)造與發(fā)表的年代比較，牛頓創(chuàng)造微積分根本定理比萊布尼茨更早。前者奠基于1665—1667年，后者那么是1672—1676年，但萊布尼茨比牛頓更早發(fā)表微積分的成果。故創(chuàng)造微積分的榮譽(yù)應(yīng)屬于他們兩人。中國古代數(shù)學(xué)中微積分的萌芽微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家一直追溯到古希臘的阿基米德都作出了各自的奉獻(xiàn)。對(duì)于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學(xué)不能比較的。公元前7世紀(jì)老莊哲學(xué)中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)《墨經(jīng)》中有了有窮、無窮、無限小〔最小無內(nèi)〕、無窮大〔最大無外〕的定義和極限、瞬時(shí)等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于3.1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻表達(dá)。微積分思想雖然可追溯古希臘，但它的概念和法那么卻是16世紀(jì)下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法根底上產(chǎn)生和開展起來的。而這些思想和方法從劉徽對(duì)圓錐、圓臺(tái)、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀(jì)祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學(xué)家沈括的《夢(mèng)溪筆談》獨(dú)創(chuàng)了“隙積術(shù)〞、“會(huì)圓術(shù)〞和“棋局都數(shù)術(shù)〞開創(chuàng)了對(duì)高階等差級(jí)數(shù)求和的研究。南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶于1274年撰寫了劃時(shí)代巨著《數(shù)書九章》十八卷，創(chuàng)舉世聞名的“大衍求一術(shù)〞——增乘開方法解任意次數(shù)字〔高次〕方程近似解，比西方早500多年。特別是13世紀(jì)40年代到14世紀(jì)初，在主要領(lǐng)域都到達(dá)了中國古代數(shù)學(xué)的頂峰，出現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法根源圖〞和增乘開方法、“正負(fù)開方術(shù)〞、“大衍求一術(shù)〞、“大衍總數(shù)術(shù)〞〔一次同余式組解法〕、“垛積術(shù)〞〔高階等差級(jí)數(shù)求和〕、“招差術(shù)〞〔高次差內(nèi)差法〕、“天元術(shù)〞〔數(shù)字高次方程一般解法〕、“四元術(shù)〞〔四元高次方程組解法〕、勾股數(shù)學(xué)、弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算技術(shù)改革和珠算等都是在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位的杰出成果，中國古代數(shù)學(xué)有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵。中國已具備了17世紀(jì)創(chuàng)造微積分前夕的全部內(nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門?？上е袊院?，八股取士制造成了學(xué)術(shù)上的大倒退，封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的科學(xué)日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)及微積分邏輯上的嚴(yán)格化微積分誕生之后，數(shù)學(xué)迎來了一次空前繁榮的時(shí)期。對(duì)18世紀(jì)的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了重要而深遠(yuǎn)的影響。但是牛頓和萊布尼茨的微積分都缺乏清晰的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫺?，這在初創(chuàng)時(shí)期是不可防止的?？茖W(xué)上的巨大需要戰(zhàn)勝了邏輯上的顧忌。他們需要做的事情太多了，他們急于去攫取新的成果。根本問題只好先放一放。正如達(dá)朗貝爾所說的：“向前進(jìn)，你就會(huì)產(chǎn)生信心！〞數(shù)學(xué)史的開展一再證明自由創(chuàng)造總是領(lǐng)先于形式化和邏輯根底。于是在微積分的開展過程中，出現(xiàn)了這樣的局面：一方面是微積分創(chuàng)立之后立即在科學(xué)技術(shù)上獲得應(yīng)用，從而迅速地開展；另一方面是微積分學(xué)的理論在當(dāng)時(shí)是不嚴(yán)密的，出現(xiàn)了越來越多的悖論和謬論。數(shù)學(xué)的開展又遇到了深刻的令人不安的危機(jī)。例如，有時(shí)把無窮小量看作不為零的有限量而從等式兩端消去，而有時(shí)卻又令無窮小量為零而忽略不計(jì)。由于這些矛盾，引起了數(shù)學(xué)界的極大爭(zhēng)論。如當(dāng)時(shí)愛爾蘭主教、唯心主義哲學(xué)家貝克萊嘲笑“無窮小量〞是“已死的幽靈〞。貝克萊對(duì)牛頓導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行了批判。當(dāng)時(shí)牛頓對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義為：當(dāng)x增長為x+o時(shí)，x的立方〔記為x^3〕成為〔x+o〕的立方〔記為(x+o〕^3)。即x^3+3x^2o+3xo^2+o^3。x與x^3的增量分別為o和3x^2o+3xo^2+o^3。這兩個(gè)增量與x的增量的比分別為1和3x^2+3xo+o^2，然后讓增量消失，那么它們的最后比為1與3x^2。我們知道這個(gè)結(jié)果是正確的，但是推導(dǎo)過程確實(shí)存在著明顯的偷換假設(shè)的錯(cuò)誤：在論證的前一局部假設(shè)o是不為0的，而在論證的后一局部又被取為0。那么o到底是不是0呢？這就是著名的貝克萊悖論。這種微積分的根底所引發(fā)的危機(jī)在數(shù)學(xué)史上稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，而這次危機(jī)的引發(fā)與牛頓有直接關(guān)系。歷史要求給微積分以嚴(yán)格的根底。第一個(gè)為補(bǔ)救第二次數(shù)學(xué)危機(jī)提出真正有見地的意見的是達(dá)朗貝爾。他在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。但是他本人未能提供這樣的理論。最早使微積分嚴(yán)格化的是拉格朗日。為了防止使用無窮小推理和當(dāng)時(shí)還不明確的極限概念，拉格朗日曾試圖把整個(gè)微積分建立在泰勒展開式的根底上。但是，這樣一來，考慮的函數(shù)范圍太窄了，而且不用極限概念也無法討論無窮級(jí)數(shù)的收斂問題，所以，拉格朗日的以冪級(jí)數(shù)為工具的代數(shù)方法也未能解決微積分的奠基問題。到了19世紀(jì)，出現(xiàn)了一批杰出的數(shù)學(xué)家，他們積極為微積分的奠基工作而努力，其中包括了捷克的哲學(xué)家B.Bolzano.曾著有《無窮的悖論》，明確地提出了級(jí)數(shù)收斂的概念，并對(duì)極限、連續(xù)和變量有了較深入的了解。分析學(xué)的奠基人，法國數(shù)學(xué)家柯西在1821—1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計(jì)算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。在那里他給出了數(shù)學(xué)分析一系列的根本概念和精確定義。對(duì)分析根底做更深一步的理解的要求發(fā)生在1874年。那時(shí)的德國數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯構(gòu)造了一個(gè)沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)，即構(gòu)造了一條沒有切線的連續(xù)曲線，這與直觀概念是矛盾的。它使人們認(rèn)識(shí)到極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對(duì)實(shí)數(shù)系的依賴比人們想象的要深?yuàn)W得多。黎曼發(fā)現(xiàn)，柯西沒有必要把他的定積分限制于連續(xù)函數(shù)。黎曼證明了，被積函數(shù)不連續(xù)，其定積分也可能存在。也就是將柯西積分改良為Riemann積分。這些事實(shí)使我們明白，在為分析建立一個(gè)完善的根底方面，還需要再深挖一步：理解實(shí)數(shù)系更深刻的性質(zhì)。這項(xiàng)工作最終由外爾斯特拉斯完成，使得數(shù)學(xué)分析完全由實(shí)數(shù)系導(dǎo)出，脫離了知覺理解和幾何直觀。這樣一來，數(shù)學(xué)分析所有的根本概念都可以通過實(shí)數(shù)和它們的根本運(yùn)算表述出來。微積分嚴(yán)格化的工作終于接近封頂，只有關(guān)于無限的概念沒有完全弄清楚，在這個(gè)領(lǐng)域，德國數(shù)學(xué)家Cantor做出了杰出的奉獻(xiàn)?？傊?，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)和核心是微積分的根底不穩(wěn)固?？挛鞯姆瞰I(xiàn)在于，將微積分建立在極限論的根底上。外爾斯特拉斯的奉獻(xiàn)在于邏輯地構(gòu)造了實(shí)數(shù)論。為此，建立分析根底的邏輯順序是實(shí)數(shù)系——極限論——微積分微積分的現(xiàn)代開展人類對(duì)自然的認(rèn)識(shí)永遠(yuǎn)不會(huì)止步，微積分這門學(xué)科在現(xiàn)代也一直在開展著。以以下舉了幾個(gè)例子，足以說明人類認(rèn)識(shí)微積分的水平在不斷深化。在Riemann將Cauchy的積分含義擴(kuò)展之后，Lebesgue又引進(jìn)了測(cè)度的概念，進(jìn)一步將Riemann積分的含義擴(kuò)展。例如著名的Dirichilet函數(shù)在Riemann積分下不可積，而在Lebesgue積分下便可積。前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)大師所伯列夫?yàn)榱舜_定偏微分方程解的存在性和唯一性，建立了廣義函數(shù)和廣義導(dǎo)數(shù)的概念。這一概念的引入不僅賦予微分方程的解以新的含義，更重要的是，它使得泛函分析等現(xiàn)在數(shù)學(xué)工具得以應(yīng)用到微分方程理論中，從而開辟了微分方程理論的新天地。我國的數(shù)學(xué)泰斗陳省身先生所研究的微分幾何領(lǐng)域，便是利用微積分的理論來研究幾何，這門學(xué)科對(duì)人類認(rèn)識(shí)時(shí)間和空間的性質(zhì)發(fā)揮的巨大的作用。并且這門學(xué)科至今仍然很活潑。由我國數(shù)學(xué)家朱熹平、曹懷東完成最后封頂?shù)凝嫾尤R猜測(cè)便屬于這一領(lǐng)域。在多元微積分學(xué)中，Newton—Leibniz公式的對(duì)照物是Green公式、Ostrogradsky—Gauss公式、以及經(jīng)典的Stokes公式。無論在觀念上或者在技術(shù)層次上，他們都是Newton—Leibniz公式的推廣。隨著數(shù)學(xué)本身開展的需要和解決問題的需要，僅僅考慮歐式空間中的微積分是不夠的。有必要把微積分的演出舞臺(tái)從歐式空間進(jìn)一步拓展到一般的微分流形。在微分流形上，外微分式扮演著重要的角色。于是，外微分式的積分和微分流形上的Stokes公式產(chǎn)生了。而經(jīng)典的Green公式、Ostrogradsky—Gauss公式、以及Stokes公式也得到了統(tǒng)一。微積分的開展歷史說明了人的認(rèn)識(shí)是從生動(dòng)的直觀開始，進(jìn)而到達(dá)抽象思維，也就是從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過程。人類對(duì)客觀世界的規(guī)律性的認(rèn)識(shí)具有相對(duì)性，受到時(shí)代的局限。隨著人類認(rèn)識(shí)的深入，認(rèn)識(shí)將一步一步地由低級(jí)到高級(jí)、由不全面到比較全面地開展。人類對(duì)自然的探索永遠(yuǎn)不會(huì)有終點(diǎn)。微積分的誕生及其重要意義微積分的誕生是繼Euclid幾何建立之后，數(shù)學(xué)開展的又一個(gè)里程碑式的事件。微積分誕生之前，人類根本上還處在農(nóng)耕文明時(shí)期。解析幾何的誕生是新時(shí)代到來的序曲，但還不是新時(shí)代的開端。它對(duì)舊數(shù)學(xué)作了總結(jié)，使代數(shù)與幾何融為一體，并引發(fā)出變量的概念。變量，這是一個(gè)全新的概念，它為研究運(yùn)動(dòng)提供了根底推導(dǎo)出大量的宇宙定律必須等待這樣的時(shí)代的到來，準(zhǔn)備好這方面的思想，產(chǎn)生像牛頓、萊布尼茨、拉普拉斯這樣一批能夠開創(chuàng)未來，為科學(xué)活動(dòng)提供方法，指出方向的領(lǐng)袖，但也必須等待創(chuàng)立一個(gè)必不可少的工具——微積分，沒有微積分，推導(dǎo)宇宙定律是不可能的。在17世紀(jì)的天才們開發(fā)的所有知識(shí)寶庫中，這一領(lǐng)域是最豐富的，微積分為創(chuàng)立許多新的學(xué)科提供了源泉。微積分的建立是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，一部微積分開展史，是人類一步一步頑強(qiáng)地認(rèn)識(shí)客觀事物的歷史，是人類理性思維的結(jié)晶。它給出一整套的科學(xué)方法，開創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)元，并因此加強(qiáng)與加深了數(shù)學(xué)的作用。恩格斯說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和惟一的功績，那就正是在這里。〞有了微積分，人類才有能力把握運(yùn)動(dòng)和過程。有了微積分，就有了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會(huì)。航天飛機(jī)。宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是微積分的直接后果。在微積分的幫助下，萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了，牛頓用同一個(gè)公式來描述太陽對(duì)行星的作用，以及地球?qū)λ浇矬w的作用。從最小的塵埃到最遙遠(yuǎn)的天體的運(yùn)動(dòng)行為。宇宙中沒有哪一個(gè)角落不在這些定律的所包含范圍內(nèi)。這是人類認(rèn)識(shí)史上的一次空前的飛躍，不僅具有偉大的科學(xué)意義，而且具有深遠(yuǎn)的社會(huì)影響。它強(qiáng)有力地證明了宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學(xué)。一場(chǎng)空前巨大的、席卷近代世界的科學(xué)運(yùn)動(dòng)開始了。毫無疑問，微積分的發(fā)現(xiàn)是世界近代科學(xué)的開端。旋轉(zhuǎn)液體的液面以等角速度ω旋轉(zhuǎn)的液體，液面的形狀如何求得？解答：假設(shè)它的剖面是一條曲線，Y軸是轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)面以Y軸為對(duì)稱軸，此時(shí)在液面會(huì)得到一正壓力R，R可以同時(shí)提供向心力，，和重力因此其中、都是常數(shù)，因此該剖面的曲線是拋物線，液面形狀是該拋物線繞Y軸的旋轉(zhuǎn)面。直接求sin(x)的導(dǎo)函數(shù)從幾何上如何找到sin(x)的微分呢？解答：直接求把θ變動(dòng)△θ，sinθ從變到，我們要了解與△θ之比，△θ是一小段弦長，是斜線區(qū)域這個(gè)近似直角三角形的斜邊，此與△θ之比之比可以想成是cosθ四只蒼蠅飛行問題有四只蒼蠅A,B,C,D分別位于平面上的﹙1,1﹚，﹙-1,1﹚，﹙-1,-1﹚，﹙1,-1﹚，之后它們一起以每秒1單位的速度行動(dòng)，行動(dòng)的方式為：A蒼蠅一直向著B蒼蠅靠近，B蒼蠅一直向著C蒼蠅靠近，C蒼蠅一直向著D蒼蠅靠近，D蒼蠅一直向著A蒼蠅靠近，試問：﹙1﹚四只蒼蠅會(huì)在何處相遇？﹙2﹚它們多久會(huì)相遇？﹙3﹚找出A蒼蠅的行動(dòng)軌跡，并大致畫出。﹙4﹚計(jì)算A蒼蠅從開始到相遇的路徑長。﹙5﹚蒼蠅A會(huì)有什么樣的生理反響？解答：﹙1﹚、﹙2﹚：從物理相對(duì)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)來看A的行進(jìn)方向始終和B的行進(jìn)方向保持垂直，你可以想象蒼蠅移動(dòng)了瞬間之后，方向就立即修正﹙參照?qǐng)D一、二、三﹚，由于四只蒼蠅是做等速運(yùn)動(dòng)，所以每一時(shí)刻以四只蒼蠅圍出來的四邊形會(huì)是正方形，﹙行進(jìn)方向垂直加上等速﹚于是當(dāng)時(shí)間愈久的時(shí)候，蒼蠅愈來愈靠近，正方形愈來愈小，最后會(huì)內(nèi)縮成一點(diǎn)，這一點(diǎn)會(huì)是原點(diǎn)，這就是他們相遇的地方。此外，A靠近B是垂直方向靠近，所以從B蒼蠅看來，A還是以1單位/秒的等速向B靠近，原來A、B的距離是2單位，因此需要秒的時(shí)間四只蒼蠅會(huì)相遇﹙，，的推論都一樣，∴四只會(huì)一起相遇﹚圖一圖二圖三﹙3﹚：我們將蒼蠅A的坐標(biāo)位置用極坐標(biāo)的方式表達(dá)，，而B的位置就是要注意的是：和都是的函數(shù)而A的速度是此向量要與平行，于是﹙如果﹚，初始值，，。()其軌跡如以下圖所示事實(shí)上我們必須注意到，在的情形下會(huì)有的推論，我們不妨用積分式算出時(shí)刻走了多少路：﹙等式右邊是速度乘上時(shí)間﹚，在的時(shí)候，，""。所以其實(shí)蒼蠅A的軌跡應(yīng)為上述討論要表達(dá)的是說，加上這一點(diǎn)是需要的，并且加上那一點(diǎn)后，軌跡還是連續(xù)的﹙可以想一下如何定義在端點(diǎn)的連續(xù)性﹚﹙4﹚：由﹙3﹚﹙5﹚：由﹙3﹚得知在到2的時(shí)候，，換言之，在之前已轉(zhuǎn)了無限多圈，于是蒼蠅會(huì)“頭昏〞。雪球融化假設(shè)雪球融化的速率與外表積成正比，假設(shè)有一個(gè)半徑為10公分的雪球，在氣溫氣壓皆固定的情況之下，在5分鐘后融化為一個(gè)半徑5公分的雪球，請(qǐng)問雪球完全融化需要多少時(shí)間？解答：假設(shè)此雪球在時(shí)間分鐘時(shí)的半徑為公分，由題意可知，，又雪球融化的速率與外表積成正比，雪球融化的速率即雪球體積的變化率，雪球的體積為，外表積為，所以有為一比例常數(shù)，由于體積隨時(shí)間經(jīng)過而減少，可知為常數(shù)，由，，可解出，由此可看出雪球的半徑隨時(shí)間經(jīng)過等速率減少，雪球完全融化時(shí)，所以雪球在10分鐘后完全融化。雨中行車假設(shè)你駕駛一輛風(fēng)玻璃與地面垂直的吉普車欲從甲地到乙地，此時(shí)天正下著雨，假設(shè)所有雨滴皆以速度u垂直落下，且均勻的分布在空氣中，請(qǐng)問你是該開的快一點(diǎn)或是慢一點(diǎn)，才能使落在擋風(fēng)玻璃的雨水總量最少？解答：圖一假設(shè)每立方公尺中有α克的雨水，假設(shè)車子以速度v前進(jìn)，以車子為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)來看，那么雨水以水平速度v，垂直速度u朝車子而來,假設(shè)速度與水平夾角θ，那么對(duì)單位面積的擋風(fēng)玻璃來說，在到間，落在其上的雨水正好是時(shí)，單位面積上高為，傾斜角度θ的圓柱內(nèi)的水﹙如圖二﹚圖二總共有克，所以單位時(shí)間內(nèi)單位面積所接收的雨水為，假設(shè)甲到乙地距離，擋風(fēng)玻璃總面積，那么從甲以等速v開車到乙擋風(fēng)玻璃所接收的雨水共有為一常數(shù)，與無關(guān)。假設(shè)并非以等速行車，結(jié)果又會(huì)是如何呢？假設(shè)v為t的函數(shù)，寫成，單位時(shí)間內(nèi)單位面積接收的雨水為，假設(shè)在時(shí)間后從甲到達(dá)乙，那么。那么從甲到乙所接收的總雨量為依然是一個(gè)常數(shù)，與v無關(guān)，也就是說不管怎么開，落在擋風(fēng)玻璃上總雨量都是固定的。工人拉船碼頭上，有一個(gè)圓筒狀鐵柱，從船上拋出一根繩子，一端固定在船尾，另一端繞鐵柱三圈后由一工人拉著，假設(shè)工人施力10公斤，繩子與鐵柱的磨擦系數(shù)是1/3，請(qǐng)問船尾受力多大？解答：在繩子與鐵柱有的接觸時(shí)，拉力會(huì)提供﹙接近﹚的正壓力給鐵柱，所以有，積分得，其中就是10公斤，，而，所以。錄音帶如果你曾注意過收音機(jī)帶動(dòng)錄音帶的情形，相信你會(huì)發(fā)現(xiàn)在收聽﹙或者快轉(zhuǎn)﹚的時(shí)候，在左方的輪子會(huì)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，以帶動(dòng)磁帶，而原本在右方的磁帶地方就會(huì)被一直帶動(dòng)，最后會(huì)繞到左方的輪子上?，F(xiàn)在我們考慮二個(gè)問題：兩個(gè)輪子磁帶半徑的變化率之比為多少？如果我知道錄音帶從一開始﹙左方的輪子沒有磁帶，所有磁帶都在右方的輪子上﹚轉(zhuǎn)到一半(左方的磁帶量＝右方的磁帶量﹚時(shí)，需要一分鐘，并且輪1的轉(zhuǎn)速始終保持一定值，那么錄音帶全部轉(zhuǎn)完的時(shí)候需要幾分鐘呢？解答：如果你曾注意過收音機(jī)帶動(dòng)錄音帶的情形時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)到，在收聽﹙或者快轉(zhuǎn)﹚的時(shí)候，在1處的輪子會(huì)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，以帶動(dòng)磁帶，而磁帶原本在2的地方就會(huì)被一直帶動(dòng)，最后會(huì)繞到輪子1上?，F(xiàn)在我們想要考慮兩個(gè)問題：記為1號(hào)輪子在時(shí)刻所繞出的磁帶的半徑，為2號(hào)輪子在時(shí)刻磁帶形成圓形的半徑，它們會(huì)隨而變化，那么兩半徑的變化率之比﹙即﹚為何？如果我知道錄音帶從一開始﹙輪1沒有磁帶，所有磁帶都在輪2上﹚轉(zhuǎn)到一半﹙輪1的磁帶量＝輪2的磁帶量﹚時(shí)，需要一分鐘，并且輪1的轉(zhuǎn)速始終保持一定值，那么錄音帶全部轉(zhuǎn)完的時(shí)候需要幾分鐘？第一個(gè)問題其實(shí)并不難，如果注意到磁帶的總量始終保持一定，另一個(gè)角度想就是兩磁帶所繞出的兩個(gè)圓形面積總和是固定的，于是會(huì)有常數(shù)，對(duì)微分后得到第二個(gè)問題我們可以試著用積分的方法解決，首先注意到由于轉(zhuǎn)速是一定﹙記為ω﹚，所以半徑是和成正比，于是不妨令﹙比方說輪子每秒轉(zhuǎn)10圈，那么一秒后半徑就多了10個(gè)磁帶的厚度，兩秒后半徑就多了20個(gè)磁帶的厚度﹚另外，我們同樣是以圓面積代表磁帶量，所以﹙一分鐘時(shí)轉(zhuǎn)了總長的一半，是一比例常數(shù)﹚欲解時(shí)的α值。所以帶子全部轉(zhuǎn)完需要分鐘。撞球問題你知道撞球的時(shí)候球桿應(yīng)該打在哪里最好嗎？解答：觀察1：如果球桿打在撞球的中央﹙如圖A處﹚那么球有速度，但是無旋轉(zhuǎn)的角速度，如此一來球和布會(huì)有摩擦，布會(huì)壞掉，可見這不是最正確的點(diǎn)。球桿應(yīng)打在讓球產(chǎn)生全滾動(dòng)而不滑動(dòng)，這是最正確的點(diǎn)。觀察2：假設(shè)球一開始有滑動(dòng)，不久球會(huì)開始滾動(dòng)，滾速會(huì)增加，移動(dòng)速度會(huì)減少，而質(zhì)心速度會(huì)增加，到最后會(huì)有，即滾動(dòng)而不滑動(dòng)，而摩擦力會(huì)消失。一些記號(hào)：：球的質(zhì)心速度ω：球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度：球的半徑：球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：球的質(zhì)量由物理學(xué)的角度來看，一剛性物體的角動(dòng)量變化率等于力矩之和，寫成數(shù)學(xué)式即為，另外，角動(dòng)量等于物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量乘上角速度，也就是說，于是，用到撞球的例子上即為：注：1.因?yàn)樽睬虻臐L動(dòng)是以貫穿球心的軸而轉(zhuǎn)動(dòng)，所以其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(質(zhì)心)2.力矩，其中是轉(zhuǎn)動(dòng)軸到施力點(diǎn)的方向向量，如果只關(guān)心力矩的大小，那么3.要到達(dá)全滾動(dòng)而不滑動(dòng)，那么，動(dòng)量的變化率最后必須全部轉(zhuǎn)變?yōu)?，瞬間達(dá)成。所以最后，計(jì)算出的值：1.先計(jì)算空心球殼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(球殼上的點(diǎn)到軸的距離)(均勻球殼,質(zhì)量與面積成正比)，。2.計(jì)算實(shí)心球殼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)球殼r，從O到R積分：，而所以結(jié)論：球桿應(yīng)打在距球心高處為最正確。補(bǔ)充：為何滾動(dòng)而不滑動(dòng)的時(shí)候會(huì)有？∵滾動(dòng)而不滑動(dòng)∴質(zhì)心的位移等于弧長，牛吃草問題有一頭牛，被栓在一個(gè)半徑為r的木樁上﹙如以下圖所示﹚繩子的一端被固定在A點(diǎn)，而牛能夠走到木樁的對(duì)面B。木樁的外部都是草地，請(qǐng)問牛有方法吃到多少草呢？解答：圖一經(jīng)由觀察我們發(fā)現(xiàn)牛能吃到草的范圍如右圖的斜線部份﹙見圖二﹚。由題意知繩長為，而在點(diǎn)左邊的區(qū)域會(huì)是一個(gè)半圓。至于剩下的區(qū)域怎么求得呢？當(dāng)繩子被木樁"拌住"的時(shí)候﹙見圖三﹚。牛所到達(dá)的最遠(yuǎn)處為，其中弧長加直線長為﹙繩子的長度﹚，而曲線即所有這種點(diǎn)所形成的軌跡。圖二圖三我們可以利用解析幾何將軌跡描述出來：取木樁的中心為原點(diǎn)，令與的夾角為θ﹙如圖四﹚，于是點(diǎn)坐標(biāo)為，而？是圓在點(diǎn)上的切線段，所以，待定，而長度要等于弧長，于是，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)即確定：圖四圖五我們可先計(jì)算圖五的斜線面積，它會(huì)是以下所表示的積分值：﹙其中為周期函數(shù)，故﹚∴Area至此可得吃草的范圍＝上下兩塊Area加上左半圓扣掉木樁面積＝﹙平方單位﹚補(bǔ)充：圖五中弧稱為圓的漸伸線﹙involutes﹚對(duì)微積分學(xué)開展歷史的認(rèn)識(shí)早在幾千年前的古代科學(xué)家的腦海里，微積分的思想雛形便已出現(xiàn)。之后的幾千年中，在許多數(shù)學(xué)家的不懈努力下，微積分學(xué)的創(chuàng)立積累了愈加多的材料，根底一步步奠定，終于在17世紀(jì)下半葉，在前人工作的根底上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里單獨(dú)研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。此后，微積分學(xué)定義嚴(yán)格化，有了較為完善的定義，接著不斷拓寬、深化，為我們展開了一扇又一扇數(shù)學(xué)未知世界的大門。人類對(duì)自然的認(rèn)識(shí)永遠(yuǎn)不會(huì)止步，微積分這門學(xué)科在現(xiàn)代也一直在開展著，人類認(rèn)識(shí)微積分的水平在不斷深化。在此期間，18世紀(jì)所發(fā)生的對(duì)微積分創(chuàng)造優(yōu)先權(quán)的長時(shí)間爭(zhēng)論，毫無疑問的成為我們注意力的焦點(diǎn)由于人們?cè)谛蕾p微積分的宏偉成效之余，在提出誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場(chǎng)悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對(duì)立。英國數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)〞中停步不前，因而數(shù)學(xué)開展整整落后了一百年。而其實(shí)，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，在大體上相近的時(shí)間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是正式公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。這一事件，讓我們認(rèn)識(shí)到了在學(xué)習(xí)、研究的進(jìn)程中，我們應(yīng)該更著眼于對(duì)知識(shí)理論的深挖掘，而非對(duì)榮譽(yù)名聲的追求，本著科學(xué)的精神不斷前進(jìn)。微積分學(xué)的重要性微積分是一門極為重要的數(shù)學(xué)工具，廣泛地應(yīng)用在生產(chǎn)生活中的每一個(gè)角落，微積分學(xué)實(shí)際應(yīng)用常涉及生活、生產(chǎn)、天文、地理、軍事等諸多方面的實(shí)際問題，尤其在涉及動(dòng)態(tài)分析及微小量處理的問題上有非常神奇的效果。微積分學(xué)在科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程學(xué)領(lǐng)域被廣泛的應(yīng)用，來解決那些僅依靠代數(shù)學(xué)不能有效解決的問題。微積分學(xué)在代數(shù)學(xué)、三角學(xué)和解析幾何學(xué)的根底上建立起來，并包括微分學(xué)、積分學(xué)兩大分支。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學(xué)根本定理指出，微分和積分互為逆運(yùn)算，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點(diǎn)來討論微積分學(xué)，但是在教學(xué)中，微分學(xué)一般會(huì)先被引入。在更深的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，微積分學(xué)通常被稱為分析學(xué)，并被定義為研究函數(shù)的科學(xué)。例題分析結(jié)論微積分學(xué)實(shí)際應(yīng)用的例題一般涉及到對(duì)動(dòng)態(tài)過程的分析理解，對(duì)這類問題，我們學(xué)要結(jié)合自己的生活常識(shí)和物理知識(shí)對(duì)整個(gè)過程作出清晰的認(rèn)識(shí)，再結(jié)合數(shù)學(xué)公式就能得到結(jié)果。有些時(shí)候在獲得結(jié)果之后還能反推回題目得到新的認(rèn)識(shí)，對(duì)整個(gè)動(dòng)態(tài)過程有更深刻的認(rèn)識(shí)理解。在物理學(xué)習(xí)過程中微積分是一個(gè)異常使用的工具。關(guān)于參加研究性學(xué)習(xí)體會(huì)在這次研究性活動(dòng)中，通過與同學(xué)們的通力合作，順利完成了這次學(xué)習(xí)。從中我感觸良多，并從中學(xué)到很多。首先，我負(fù)責(zé)的是資料收集以及局部例題的收集。期間，我閱讀了大量的書籍，及上網(wǎng)查閱了大量有關(guān)微積分和導(dǎo)數(shù)的資料。從中，我仿佛翻開了一個(gè)新世界的大門，一個(gè)微積分的世界。原來，微積分最早起源于中國，由孟子提出。然后再追溯到古希臘的阿基米德。這，可以說是古代積分思想的起源。距今大約已經(jīng)有近30個(gè)世紀(jì)?？墒?，微積分思想現(xiàn)在也在不斷開展，人類對(duì)微積分的認(rèn)識(shí)也在不斷深化。微積分總體來說，其實(shí)就是研究變化的學(xué)科，這門學(xué)科，可以在我們平時(shí)學(xué)習(xí)和日常生活中得到應(yīng)用。早在在高中物理開始不久后的學(xué)習(xí)中，我們就接觸到了微積分的原型——微元法。它幫助我們培養(yǎng)自身人文素養(yǎng)，增強(qiáng)自身的綜合素質(zhì)，可以為高中階段的歷史學(xué)習(xí)畫上圓滿的句號(hào)。其次，例題的收集也不是十分簡(jiǎn)單的，畢竟，不是每一道題都適合。期間，我們也做了大量的例題，變相相當(dāng)于為重新再復(fù)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的根底。這是有好處的，也是有用的。其次，拋開課題不說，增加了我們的合作能力。以及培養(yǎng)了同學(xué)之間的純真友誼。豐富了我們高中生活的課余生活。這很有意義，也很有價(jià)值。使高中生活部再乏味和單調(diào)。相信，這次研究性學(xué)習(xí)將會(huì)給我們高中生活畫上濃重的一筆。數(shù)學(xué)心得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，種種發(fā)現(xiàn)無不使自然世界更神秘美麗。但不管怎么說，就我看來其中對(duì)世界開展起到最大推動(dòng)作用的莫過于微積分的創(chuàng)立，其影響不僅僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在物理學(xué)方面的奉獻(xiàn)也是不容無視。說到微積分，就不能不說到牛頓和萊布尼茨，這次的數(shù)學(xué)課題以微積分為主題，追本溯源，我們感受到了前輩科學(xué)家們堅(jiān)持不懈、不斷探索的精神。研究不僅豐富了我們的知識(shí)，更加強(qiáng)了對(duì)微積分的理解，這對(duì)未來的學(xué)習(xí)將會(huì)有莫大的幫助！數(shù)學(xué)課題心得今年的數(shù)學(xué)課題是以對(duì)微分學(xué)、積分學(xué)的探究為主題的，而我作為數(shù)學(xué)組的一員，很快樂與大家一起分享我的學(xué)習(xí)感悟。通過這一次的課題研究，我發(fā)現(xiàn)，微積分其實(shí)并不像想象的那么難，學(xué)習(xí)微積分要有一定的技巧，掌握了方法，解題就會(huì)很快了。從收集的例題，我們可以知道方法對(duì)微積分的學(xué)習(xí)是很重要的。并且，微積分與生活息息相關(guān)，我們?cè)谖锢?、化學(xué)等領(lǐng)域都會(huì)用到微積分。每一次課題的研究都是一種能力的提升，當(dāng)然，更重要的是我們要把所得到的啟示運(yùn)用到實(shí)處，這樣才會(huì)使研究更有意義！這一次的課題研究讓我受益匪淺，衷心地感謝學(xué)校對(duì)研究性學(xué)習(xí)的重視與支持！實(shí)踐活動(dòng)心得通過這次實(shí)踐活動(dòng)，我對(duì)微積分這一數(shù)學(xué)方法有了更深刻的認(rèn)識(shí)。微積分，簡(jiǎn)單地說，就是把一個(gè)大事物分割成許多個(gè)小塊，分得越多，與原來事物的誤差就越小，最后加起來，誤差就可以忽略。這樣算出的結(jié)果與真實(shí)值相差微小，并且在現(xiàn)實(shí)生活中得以實(shí)踐，所以這種方法迅速開展，成為必不可少的方法之一。作為一個(gè)理科生，我也明白這種方法在學(xué)習(xí)過程中的重要性。在物理中，通常把一個(gè)過程分割成無數(shù)個(gè)小步驟來計(jì)算。數(shù)學(xué)中。常常用微積分來求一個(gè)不規(guī)那么對(duì)稱的物體的體積，這讓我從理論上該受到微積分的魅力。不僅在理論上，而且在生活中，微積分也有它的類似應(yīng)用。當(dāng)我們遇到困難，就把困難一步一步解決。要完成一項(xiàng)任務(wù)，而總的容易出錯(cuò)，我們就分塊來完成，這樣可以更加精確?？偟膩碚f，這次實(shí)踐活動(dòng)加強(qiáng)了我的實(shí)踐能力，動(dòng)手能力，思考能力呵合作能力，是我與同學(xué)間的友情更加濃厚，同時(shí)我也了解到一些新知識(shí)，加深了對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛。實(shí)踐活動(dòng)心得這次實(shí)踐活動(dòng)，我對(duì)微積分這一概念有了更深刻的認(rèn)識(shí)。真是不容易啊。微積分〔Calculus〕是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。作為數(shù)學(xué)的一個(gè)根底學(xué)科，它無論是在學(xué)習(xí)上還是生活中都給予了我們莫大的幫助。但在我看來，微積分的美妙不僅在于它廣泛的應(yīng)用范圍，還有它那巧妙的方法——將曲線劃分為無數(shù)的區(qū)域，在將它們看成一個(gè)個(gè)的規(guī)那么圖形計(jì)算。先微分，后積分，你可以認(rèn)為這是投機(jī)取巧，但你不得不成認(rèn)它的大膽與準(zhǔn)確。無可置疑，微積分對(duì)我們正在學(xué)習(xí)的物理，以及對(duì)我們將來或?qū)氖碌奶煳膶W(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等工作上都會(huì)有相應(yīng)的地位，相信隨著信息技術(shù)的迅速開展，微積分更將成為一個(gè)科學(xué)研究有力的助手，幫助人們解決未知的謎團(tuán)，把人類的文明進(jìn)一步加深。同時(shí)，生活中也可以發(fā)現(xiàn)微積分的影子：從街道上奔馳的汽車，到在飛往宇宙的飛船。微積分在無意之中改變了我們的生活，我們也在享受科學(xué)帶來的方便。這次活動(dòng)，在了解了新知識(shí)之外，是我們對(duì)科學(xué)的無盡的追求，在這之中，我也感受到了微積分背后那巨大的未向人們開放的謎。但我相信，人類對(duì)科學(xué)探索的堅(jiān)持終會(huì)叩開這扇大門，向我們展示一個(gè)別樣的數(shù)學(xué)世界。最后，對(duì)領(lǐng)導(dǎo)或參與了本次活動(dòng)的同學(xué)表示感謝，大家合作愉快！研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)心得這次研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，是我們的動(dòng)手能力和思維能力進(jìn)入了一個(gè)新的臺(tái)階。在這次活動(dòng)，我們解決了現(xiàn)實(shí)生活中的問題，使我們明確了我們的學(xué)習(xí)目的和學(xué)習(xí)動(dòng)力，檢驗(yàn)了我們的學(xué)習(xí)成果，我希望，這樣開拓我們的眼界的研究性學(xué)習(xí)多半一點(diǎn)，多有深度一點(diǎn)。驅(qū)散迷霧——數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)心得初識(shí)微積分，頗有霧里看花之感。那還是剛高一的時(shí)候，在物理學(xué)習(xí)過程中開始接觸到微元法。不得不說微元法對(duì)邏輯行、根底概念等都有較高要求，而且需要抽象思維，但這只是微積分的冰山一角，日后還將學(xué)習(xí)更為深?yuàn)W的理念、復(fù)雜多變的公式，這便是我之前所擔(dān)憂的“霧〞了。但如今，我們已完成了對(duì)導(dǎo)數(shù)、積分的課本知識(shí)學(xué)習(xí)，對(duì)微積分也有了根本認(rèn)識(shí)和了解，隱隱約約嗅到了花的芬芳。原來，微積分并不像外表看起來那么難，相反地，學(xué)習(xí)起來極具技巧性，許多同學(xué)都產(chǎn)生了濃厚的興趣。正因如此，今年的數(shù)學(xué)課題以對(duì)微分學(xué)、積分學(xué)的深入探究為主題，我很榮幸能作為數(shù)學(xué)組的一員并記錄下學(xué)習(xí)心得、感悟與大家分享。追本溯源，課題研究從微積分的歷史著手，不僅豐富了組員們的歷史知識(shí)，更在前人的總結(jié)、完善中汲取經(jīng)驗(yàn)，并學(xué)著去分析、推導(dǎo)，深化了對(duì)微分、積分的理解，而且微積分不只是數(shù)學(xué)的分支，同樣應(yīng)用在理論物理研究、統(tǒng)計(jì)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。確切地說，每一次的研究性學(xué)習(xí)都是一次能力的提升，其好處對(duì)將來的學(xué)習(xí)理解自然是不言而喻的，更重要的是，我們應(yīng)學(xué)會(huì)把所識(shí)所學(xué)運(yùn)用到實(shí)際生活中，那么理論知識(shí)才變得有意義！其實(shí)，很多知識(shí)都被看似障礙重重的迷霧包裹著，但這一次的學(xué)習(xí)，讓我明白，憑著熱心、慧心、信心、細(xì)心，一定能撥開迷霧，去感受百花爭(zhēng)艷的科學(xué)春天！最后，當(dāng)然要感謝學(xué)校對(duì)研究性學(xué)習(xí)的重視和支持，以及組長的領(lǐng)導(dǎo)和謀劃，組員的配合，也希望數(shù)學(xué)組能取得一個(gè)好成績！微積分的數(shù)學(xué)美——數(shù)學(xué)課題心得羅素，這位抽象數(shù)學(xué)思想大師曾直言不諱地說：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，那么具有至高無上的美。正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美。這種美不是投合我們天性的微弱方面，這種美沒有繪畫或音樂的那種華美裝飾，它可以純潔到崇高的地步。能夠到達(dá)嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美境地。一種真實(shí)的喜悅精神，一種精神上的亢奮一種覺得高于人的意識(shí)——這些是至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠在數(shù)學(xué)里得到。〞微積分作為結(jié)束人類農(nóng)耕文明，迎來新時(shí)代的開端的序曲。以其至小卻又至大的美，從我們身體的每一個(gè)微孔向內(nèi)心以最小的微元向里滲透；又以無處不在無不包容的累積將我們包裹。微積分它繼歐氏幾何之后，成為又一里程碑式的事件，在開展中出現(xiàn)了立即被應(yīng)用到科學(xué)技術(shù)之中。卻又因其不嚴(yán)密性產(chǎn)生了無數(shù)悖論或謬論。然而實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，人的認(rèn)識(shí)都是客觀對(duì)象的反映，其中與客觀對(duì)象相符合的認(rèn)識(shí)就是真理，不符合的就是謬誤。隨著微積分理論不斷完善，其中一批杰出的數(shù)學(xué)家用級(jí)數(shù)收斂概念使積分理論變得十分完善同時(shí)其應(yīng)用也漸漸向世界各處推廣開來。實(shí)線是檢念真理唯一標(biāo)準(zhǔn)，真理是具體的有條件的。從微積分的開展，完善中我們可以看到微積分的真理?xiàng)l件越來越寬泛，卻也永遠(yuǎn)走不出無限小的前提。我們應(yīng)該學(xué)會(huì)有勇氣、有思想的去認(rèn)識(shí)真理，即使認(rèn)識(shí)是反復(fù)的、無限的。數(shù)學(xué)是一門需要?jiǎng)?chuàng)造性的學(xué)科，牛頓和萊布尼茨幾乎同時(shí)發(fā)現(xiàn)了微積分，他們的創(chuàng)造和許許多多，有名無名的創(chuàng)造，共同創(chuàng)造了現(xiàn)今的美妙的世界。當(dāng)回首中國的封建數(shù)學(xué)開展歷程，我們看到，創(chuàng)造性在金科玉律下被緊緊束縛，數(shù)學(xué)漸漸落后于西方。我國數(shù)學(xué)開展的全盛時(shí)期在宋元兩代，到了明清，封建統(tǒng)治日趨腐敗，國內(nèi)政治經(jīng)濟(jì)上的不景氣影響數(shù)學(xué)方面的研究工作，使之瀕于停滯不前的狀態(tài)，但時(shí)西方數(shù)學(xué)正被我們的有知識(shí)數(shù)學(xué)家們吸收著。利瑪竇的《幾何原本》《同文算指》中文譯本在中國傳開后，梅文鼎的數(shù)學(xué)研究也為那個(gè)時(shí)代作了不少奉獻(xiàn)，隨后愛好數(shù)學(xué)的康熙皇帝的時(shí)期，《數(shù)理精蘊(yùn)》編成。在此之后，直到鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)用大炮再度翻開中國國門前，我國的數(shù)學(xué)研究在1712年后，工作重新陷入寂靜，沒有取得什么大成果。而此時(shí)，18世紀(jì)的歐洲微積分已漸漸走向成熟。其實(shí)一句話，數(shù)學(xué)研究也需要“改革〞與“開放〞，徐光啟、梅文鼎懂得了這個(gè)道理，給我們這些后人留下不少的啟示。美國當(dāng)代數(shù)學(xué)家克萊因說過：“數(shù)學(xué)的一系列技巧還遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)，如同調(diào)配顏色不能當(dāng)作繪畫一樣，技巧是將數(shù)學(xué)的激情推理，美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物。如果我們對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)有一定的了解就會(huì)認(rèn)識(shí)到，‘?dāng)?shù)學(xué)在現(xiàn)代生活和思想中起了重要作用’，這一斷言并不是天方夜譚。〞當(dāng)微積分進(jìn)入生活生產(chǎn)中，我們沒有技巧，只有朝著最終的目標(biāo)，分著、合著。做數(shù)學(xué)課題就是一種追求數(shù)學(xué)世界純粹的美的過程。奇妙的數(shù)學(xué)應(yīng)用題就是如此的出乎人的預(yù)料，又是如此的符合邏輯。它用簡(jiǎn)單的分合方法給了解世界的新途徑。像汽車行駛在雨中所接觸到的雨量，微小的雨珠在積分后告訴我們。這個(gè)問題競(jìng)與車速無關(guān)，與是否有風(fēng)也無關(guān)。當(dāng)然，這是理想模型所解出的結(jié)果，奇妙的解答了數(shù)學(xué)的美，也包括那不可代替的微積分的美。細(xì)細(xì)數(shù)來，極限思想的的統(tǒng)一性，使用的簡(jiǎn)單、協(xié)調(diào)性，互逆過程的對(duì)稱性，貝克萊悖論的奇異性，它們共同組成了微積分的美。導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識(shí)，是研究函數(shù)，解決實(shí)際問題的有力工具。在高中階段對(duì)于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個(gè)方面:1．導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題：〔1〕刻畫函數(shù)〔比初等方法精確細(xì)微〕；〔2〕同幾何中切線聯(lián)系〔導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線〕；〔3〕應(yīng)用問題〔初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡(jiǎn)便〕等關(guān)于次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。2．導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，應(yīng)引起注意。3．曲線的切線用割線的極限位置來定義了曲線的切線．切線方程由曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)確定，設(shè)為曲線上一點(diǎn)，過點(diǎn)的切線方程為：4．瞬時(shí)速度用物體在一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)的平均速度的極限來定義瞬時(shí)速度，5．導(dǎo)數(shù)的定義對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1)△x是自變量x在處的增量(或改變量)．(2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)的概念，如果△x→0時(shí)，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，才能得到f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(3)由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的根本方法，必須嚴(yán)格按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：(a)求函數(shù)的增量；(b)求平均變化率；(c)取極限，得導(dǎo)數(shù)。6．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)處的切線的斜率．由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程．具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率；(2)在切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為特別地，如果曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為7、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系㈠與為增函數(shù)的關(guān)系。能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。㈡時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系。假設(shè)將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有?！喈?dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。㈢與為增函數(shù)的關(guān)系。為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?，即為或。?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，那么為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性?！嗍菫樵龊瘮?shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，防止討論以上問題，也簡(jiǎn)化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。微積分教程微積分〔Calculus〕是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)根底學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分的根本介紹微積分學(xué)根本定理指出，求不定積分與求導(dǎo)函數(shù)互為逆運(yùn)算[把上下限代入不定積分即得到積分值，而微分那么是導(dǎo)數(shù)值與自變量增量的乘積]，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點(diǎn)來討論微積分學(xué)，但是在教學(xué)中，微分學(xué)一般會(huì)先被引入。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無限細(xì)分’就是微分，‘無限求和’就是積分。十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，但是理論根底是不牢固的。因?yàn)椤盁o限〞的概念是無法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進(jìn)行演算，所以，直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的一步就是要理解到，“極限〞引入的必要性：因?yàn)?，代?shù)是人們已經(jīng)熟悉的概念，但是，代數(shù)無法處理“無限〞的概念。所以，必須要利用代數(shù)處理代表無限的量，這時(shí)就精心構(gòu)造了“極限〞的概念。在“極限〞的定義中，我們可以知道，這個(gè)概念繞過了用一個(gè)數(shù)除以0的麻煩，相反引入了一個(gè)過程任意小量。就是說，除的數(shù)不是零，所以有意義，同時(shí)，這個(gè)小量可以取任意小，只要滿足在德爾塔區(qū)間，都小于該任意小量，我們就說他的極限為該數(shù)——你可以認(rèn)為這是投機(jī)取巧，但是，他的實(shí)用性證明，這樣的定義還算比較完善，給出了正確推論的可能性。這個(gè)概念是成功的。微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系著開展起來的，它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個(gè)分支中，有越來越廣泛的應(yīng)用。特別是計(jì)算機(jī)的創(chuàng)造更有助于這些應(yīng)用的不斷開展。客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)開展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)開展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。微積分的本質(zhì)【參考文獻(xiàn)】劉里鵬.《從割圓術(shù)走向無窮小——揭秘微積分》，長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，20231．用文字表述：增量無限趨近于零，割線無限趨近于切線，曲線無限趨近于直線，從而以直代曲，以線性化的方法解決非線性問題，這就是微積分理論的精髓所在。2．用式子表示：微積分的根本方法微積分的根本原理告訴我們微分和積分是互逆的運(yùn)算，微積分的精髓告訴我們我們之所以可以解決很多非線性問題，本質(zhì)的原因在于我們化曲為直了，現(xiàn)實(shí)生活中我們會(huì)遇到很多非線性問題，那么解決這樣的問題有沒有統(tǒng)一的方法呢？經(jīng)過研究思考和總結(jié)，筆者認(rèn)為，微積分的根本方法在于：先微分，后積分。筆者所看到的是，現(xiàn)在的教材沒有注意對(duì)這些根本問題的總結(jié)，根本上所有的教材每講到積分時(shí)都還重復(fù)古人無限細(xì)分取極限的思想，講到弧長時(shí)取極限，講到面積時(shí)又取極限，最后用一個(gè)約等號(hào)打發(fā)過去。這樣一來不僅讓學(xué)生聽得看得滿頭霧水，而且很有牽強(qiáng)附會(huì)之嫌，其實(shí)懂得微積分的本質(zhì)和根本方法后根本不需要再那么重復(fù)。微積分學(xué)的建立從微積分成為一門學(xué)科來說，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)根底的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比方我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇〞中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭〞。三國時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，那么與圓周和體而無所失矣。〞這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了奉獻(xiàn)。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的根底上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里單獨(dú)研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問題〔微分學(xué)的中心問題〕，一個(gè)是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否認(rèn)了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度〔微分法〕；運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。德國的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長而且很乖僻的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》。就是這樣一篇說理也頗模糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。它已含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和根本微分法那么。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的開展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的開展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。前面已經(jīng)提到，一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的根底上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。不幸的是，由于人們?cè)谛蕾p微積分的宏偉成效之余，在提出誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場(chǎng)悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對(duì)立。英國數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)〞中停步不前，因而數(shù)學(xué)開展整整落后了一百年。其實(shí)，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，在大體上相近的時(shí)間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是正式公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們