1.1.1集合的表示方法第2課時課件-高一上學期數(shù)學人教B版

第一章集合與常用邏輯用語

1.1集合

1.1.1集合及其表示方法第2課時集合的表示方法基礎(chǔ)知識列舉法把集合中的元素一一列舉出來(相鄰元素之間用逗號分隔)，并寫在大括號內(nèi)，以此來表示集合的方法稱為列舉法。思考1：用列舉法可以表示無限集嗎？提示：可以。但構(gòu)成集合的元素必須具有明顯的規(guī)律，并且表示時要把元素間的規(guī)律呈現(xiàn)清楚，如正整數(shù)集N＋可表示為{1,2,3,4,5,6，…}．例如，由兩個元素0，1組成的集合可用列舉法表示為{0，1};又如，24的所有正因數(shù)1，2，3，4，6，8，12，24組成的集合可用列舉法表示為{1，2，3，4，6，8，12，24

};再如，中國古典長篇小說四大名著組成的集合可以表示為{《紅樓夢》，《三國演義》，《水滸傳》，《西游記》}.用列舉法表示集合時，一般不考慮元素的順序，例如，{1，2}與{2，1}表示同一個集合。但是，如果一個集合的元素較多，且能夠按照一定的規(guī)律排列，那么在不至于發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示。例如，不大于100的自然數(shù)組成的集合，可表示為{0，1，2，3，...，100}，無限集有時也可用列舉法表示。例如，自然數(shù)集N可表示為

{0，1，2，3，...，n，…}，值得注意的是，只含一個元素的集合{a}也是一個集合，要將這個集合與它的元素a

加以區(qū)別，事實上，a∈{a}描述法嘗試與發(fā)現(xiàn)以下集合用列舉法表示方便嗎?如果不方便，你覺得可以怎樣表示?滿足x>3的所有數(shù)組成的集合A;(2)所有有理數(shù)組成的集合Q.顯然，用列舉法表示上述集合并不方便，但因為集合A中的元素x都具有性質(zhì)“x是大于3的數(shù)”，而不屬于集合A的元素都不具有這個性質(zhì)所以可以把集合A表示為{x

|x

是大于3的數(shù)}或{x|

x>3},即A=

{x|x是大于3的數(shù))或A={x|x>3}.類似地，Q中的每一個元素都具有性質(zhì)“是兩個整數(shù)的商”，而不屬于Q的元素都不具有這個性質(zhì)，因此可以把Q表示為Q＝{x

|x是兩個整數(shù)的商}

上述表示集合的方法中，大括號內(nèi)豎線的左邊是元素的形式，豎線的右邊是只有這個集合中的元素才滿足的性質(zhì)。一般地，如果屬于集合A的任意一個元素x都具有性質(zhì)p(x)，而不屬于集合A的元素都不具有這個性質(zhì)，則性質(zhì)p(x)稱為集合A的一個特征性質(zhì)。此時，集合A可以用它的特征性質(zhì)p(x)表示為{x|p(x)}這種表示集合的方法，稱為特征性質(zhì)描述法，簡稱為描述法。例如，“一組對邊平行且相等的四邊形”是平行四邊形的一個特征性質(zhì)，因此所有平行四邊形組成的集合可以表示為{x|x

是一組對邊平行且相等的四邊形}又如，所有能被3整除的整數(shù)組成的集合，可以用描述法表示為{x|x=3n，n∈Z}類似地，所有被3除余1的自然數(shù)組成的集合可以表示為{x|x=3n+1，n∈N}不過這一集合通常也表示為{x∈N|x=3n+1，n∈Z}這就是說，集合{x|p(x)}中所有在另一個集合I中的元素組成的集合，可以表示為{x∈I

|p(x)}典例精析用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希悍匠蘹(x－1)=0的所有解組成的集合A；平面直角坐標系中，第一象限內(nèi)所有點組成的集合B.(1)因為0和1是方程x(x－1)0的解，而且這個方程只有兩個解，所以A={0，1}.(2)因為集合B的特征性質(zhì)是橫坐標與縱坐標都大于零，因此B={(x，y)|x>0，y>0)}.思考2：用列舉法與描述法表示集合的區(qū)別是什么？提示：列舉法描述法一般形式{a1，a2，a3，…，an}{x∈I|p(x)}適用范圍有限集或規(guī)律性較強的無限集有限集、無限集均可特點直觀、明了抽象、概括習慣上，如果a<b，則集合{x|

a≤x

≤b}可簡寫為[a，b]，并稱為閉區(qū)間，例如，集合{x

|1≤x≤2)可簡寫為閉區(qū)間[1，2]。類似地，如果a<b;集合{x|

a＜

x＜

b}可簡寫為(a，b)，并稱為開區(qū)間；集合{x|

a

≤x＜b}可簡寫為[a，b)，集合{x|

a＜x≤b}可簡寫為(a，b]，并都稱為半開半閉區(qū)間。上述區(qū)間中，a，b分別稱為區(qū)間的左、右端點，b－a

稱為區(qū)間的長度，區(qū)間可以用數(shù)軸形象地表示。例如，區(qū)間[-2，1)可用下圖表示，注意圖中-2處的點是實心點，而1處的點是空心點。如果用“+∞”表示“正無窮大”，用“－∞”表示“負無窮大”，則：實數(shù)集R可表示為區(qū)間(－∞，+∞);集合{x|x≥a}可表示為區(qū)間[a，+∞);集合{x|x＞a}可表示為區(qū)間____________；集合{x|x≤a}可表示為區(qū)間____________；集合{x|x＜a}可表示為區(qū)間____________；(a，+∞)(－∞，a](－∞，a)類似地，上述區(qū)間也可用數(shù)軸來形象地表示。例如，區(qū)間[7，+∞)可以用下圖表示。7x思考3：區(qū)間與數(shù)集有何關(guān)系？提示：(1)聯(lián)系：區(qū)間實際上是一類特殊的數(shù)集(連續(xù)的)的符號表示，是集合的另一種表達形式；(2)區(qū)別：不連續(xù)的數(shù)集不能用區(qū)間表示，如整數(shù)集、自然數(shù)集等；(3)區(qū)間與區(qū)間之間可以用集合的運算符號連接起來，表示兩個集合之間的運算。典例精析

基礎(chǔ)自測1．用列舉法表示集合{x∈N*|x－3≤2}為(

)A．{0,1,2,3,4}

B．{0,1,2,3,4,5}C．{1,2,3,4}

D．{1,2,3,4,5}解析：集合{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}的元素為小于等于5的全部正整數(shù)，則{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}＝{1,2,3,4,5}．D

2．第一象限的點組成的集合可以表示為(

)A．{(x，y)|xy>0}

B．{(x，y)|xy≥0}C．{(x，y)|x>0且y>0}

D．{(x，y)|x>0或y>0}解析：第一象限的點的橫坐標和縱坐標都大于0，所以第一象限的點組成的集合可以表示為{(x，y)|x>0且y>0}．C

3.能被2整除的正整數(shù)組成的集合，用描述法可表示為____________________.4.下列集合：①{1,2,2}；②R＝{全體實數(shù)}；③{3,5}；④不等式x－5>0的解集為{x－5>0}．其中，集合表示方法正確的是_____(填序號)．5.(1){x|－1≤x≤2)}可用區(qū)間表示為___________；(2){x|1<x≤3}可用區(qū)間表示為_________；(3){x|x>2}可用區(qū)間表示為____________；(4){x|x≤－2}可用區(qū)間表示為______________.{x|x＝2n，n∈N*}

③

[－1,2]

(1,3]

(2，＋∞)

(－∞，－2]

典例剖析用列舉法表示集合用列舉法表示下列集合：(1)36與60的公約數(shù)構(gòu)成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根構(gòu)成的集合；

思路探究：(1)要明確公約數(shù)的含義；(2)注意4是重根；

(3)要寫成點集形式。

x－y=12x+3y=4的解是

歸納提升：1.用列舉法表示集合的三個步驟(1)求出集合的元素。(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次。(3)用花括號括起來。2．在用列舉法表示集合時的關(guān)注點(1)用列舉法書寫集合時，先應(yīng)明確集合中的元素是什么．如本題(4)是點集，而非數(shù)集．集合的所有元素用有序數(shù)對表示，并用“{}”括起來，元素間用分隔號“，”。(2)元素不重復，元素無順序，所以本題(1)中，{1,1,2}為錯誤表示。又如集合{1,2,3,4}與{2,1,4,3}表示同一集合。對點訓練

用描述法表示集合

思路探究：用描述法表示集合時，關(guān)鍵要先弄清元素的屬性是什么，再給出其滿足的性質(zhì)，注意不要漏掉類似“x∈N”等條件。解析：(1)集合可表示為{x∈R|2≤x≤20}．(2)第二象限內(nèi)的點(x，y)滿足x<0，且y>0，故集合可表示為{(x，y)|x<0且y>0}．(3)要使該式有意義，需有解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示為{x|x≤2，且x≠0}．(4){x|x＝2k＋1，x<200，k∈N}．(5){x|x2－5x－6＝0}．x≠02－x≥0，歸納提升：用描述法表示集合應(yīng)注意的問題1．寫清楚該集合中的代表元素，即弄清代表元素是數(shù)、點還是其他形式。2．準確說明集合中元素所滿足的特征。3．所有描述的內(nèi)容都要寫在集合符號內(nèi)，并且不能出現(xiàn)未被說明的符號。4．用于描述的語句力求簡明、準確，多層描述時，應(yīng)準確使用“且”“或”等表示描述語句之間的關(guān)系。對點訓練2．給出下列說法：①在直角坐標平面內(nèi)，第一、三象限內(nèi)的點組成的集合為{(x，y)|xy>0}；②所有奇數(shù)組成的集合為{x|x＝2n＋1}；③集合{(x，y)|y＝1－x}與{x|y＝1－x}是同一集合．其中正確的有(

)A．1個 B．2個C．3個 D．4個A

解析：①正確；②不正確，應(yīng)為{x|x＝2n＋1，n∈Z}；③不正確，{(x，y)|y＝1－x}表示的是點集，而{x|y＝1－x}表示的為數(shù)集．集合與方程的綜合問題(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一個元素，則a＝(

)A．1

B．2 C．0

D．0或1D

思路探究：(1)集合只有一個元素，即方程ax2＋2x＋1＝0只有一根；

(2)先求出a的值，再求元素之積。

歸納提升：集合與方程綜合問題的解題策略(1)對于一些已知某個集合(此集合中涉及方程)中的元素個數(shù)，求參數(shù)的問題，常把集合的問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題．如對于方程ax2＋bx＋c＝0，當a＝0，b≠0時，方程有一個解；當a≠0時，若Δ＝0，則方程有兩個相等的實數(shù)根；若Δ<0，則方程無解；若Δ>0，則方程有兩個不等的實數(shù)根。(2)集合與方程的綜合問題，一般要求對方程中最高次項的系數(shù)的取值進行分類討論，確定方程實數(shù)根的情況，進而求得結(jié)果．需特別注意判別式在一元二次方程的實數(shù)根個數(shù)的討論中的作用。對點訓練3．(1)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值。

(2)若本例(1)中“只有一個元素”變?yōu)椤爸辽儆幸粋€元素”，

求a的取值范圍。解析：(1)由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的兩根為2,3，∴4－2a+b=0，9－3a+b=0，解得a=5，b=6，因此a=5，b=6(2)A中至少有一個元素，即A中有一個或兩個元素。由例題解析可知，當a＝0或a＝1時，A中有一個元素；當A中有兩個元素時，Δ＝4－4a>0，即a<1且a≠0.所以A中至少有一個元素時，a的取值范圍為(－∞，1]。對集合中的代表元素認識不到位用列舉法表示下列集合：(1)A＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；(2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；(3)C={方程組的解}.x＋y=3x－y=－1錯因探究：(1)本題容易忽略集合的代表元素是y，習慣認為是x，誤認為A＝{0,1,2}．(2)本題容易忽略代表元素，把點集誤認為數(shù)集，導致錯誤答案B＝{0,6,1,5,2}．(3)本題容易對“方程組的解為有序?qū)崝?shù)對”認識不到位，導致錯誤答案C＝{1,2}．解析：(1)因為y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，所以當x＝0,1,2時，y＝6,5,2，符合題意，所以用列舉法表示為A＝{2,5,6}．(2)(x，y)滿足條件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，則有

滿足條件，所以用列舉法表示為B＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．x=0,y=6,x=1,y=5,x=2,y=2,(3)方程組

的解是有序?qū)崝?shù)對，其解的集合可以表示為

，用列舉法表示為{(1,2)}．x＋y=3,x－y=－1,(x，y)|x=1,y=2,誤區(qū)警示：當用描述法表示集合時，要注意其表達符號(花括號、豎線)，豎線前表示代表元素，豎線后為元素的特征性質(zhì)．看一個集合要先弄清其代表元素是什么，再弄清元素具有的特征性質(zhì)是什么。集合中的“新定義”問題“新定義”型集合問題就是在已有的運算法則和運算律的基礎(chǔ)上，結(jié)合