人教A版選擇性必修第一冊322第2課時雙曲線簡單幾何性質(zhì)的應用課件

第2課時雙曲線簡單幾何性質(zhì)的應用第三章2023內(nèi)容索引010203自主預習新知導學合作探究釋疑解惑隨堂練習課標定位素養(yǎng)闡釋1.進一步掌握雙曲線的方程及其簡單幾何性質(zhì)的應用.2.會判斷直線與雙曲線的位置關系.3.能運用直線與雙曲線的位置關系解決相關的弦長、中點弦問題.4.培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng).自主預習新知導學一、直線與雙曲線的位置關系1.類比直線與橢圓的位置關系,思考直線與雙曲線有幾種位置關系?怎樣判斷其位置關系?提示:直線與雙曲線的位置關系有相離、相交、相切三種.判斷方法是聯(lián)立直線與雙曲線方程,轉化為關于x(或y)的方程,利用方程的解來判斷.2.設直線l:y=kx+m(m≠0),雙曲線C:(a>0,b>0),兩方程聯(lián)立消去y,會得到一個什么樣的方程?怎樣判斷這個方程的解的個數(shù)?提示:兩方程聯(lián)立消去y,得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.當b2-a2k2=0時,方程有一解;當b2-a2k2≠0時,Δ>0?方程有兩解;Δ=0?方程有一解;Δ<0?方程無解.提示:一個公共點,此時直線與雙曲線相交.4.直線與雙曲線的位置關系一般地,設直線l:y=kx+m(m≠0),①Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).Δ>0?直線與雙曲線有兩個公共點,此時稱直線與雙曲線相交;Δ=0?直線與雙曲線有一個公共點,此時稱直線與雙曲線相切;Δ<0?直線與雙曲線沒有公共點,此時稱直線與雙曲線相離.A.0 B.1

C.2

D.4解析:直線過定點

且平行于雙曲線的一條漸近線,故與雙曲線有且只有1個交點.答案:B二、直線與雙曲線相交的弦長公式1.直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓

(a>b>0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,回想弦長|AB|的表達式是什么?若直線與雙曲線相交于兩點,這個弦長公式還適用嗎?這個弦長公式對于雙曲線仍然適用.

3.直線

x-y+

=0被雙曲線x2-y2=1截得的弦AB的長為

.解析:聯(lián)立直線與雙曲線方程,得x2+3x+2=0,設交點為A(x1,y1),B(x2,y2),答案:2

【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)直線和雙曲線只有一個公共點?直線與雙曲線相切.(×)(4)直線和雙曲線有兩個公共點?直線與雙曲線相交.(×)(5)過雙曲線焦點的直線一定與雙曲線有兩個交點.(×)合作探究釋疑解惑探究一生活中的雙曲線【例1】

飛船返回艙順利到達地球后,為了及時將航天員安全救出,地面指揮中心在返回艙預計到達區(qū)域安排了三個救援中心(記為A,B,C),A在B的正東方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P為航天員著陸點.某一時刻,A接收到P的求救信號,由于B,C兩地比A距P遠,在此4秒后,B,C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒,求在A處發(fā)現(xiàn)P的方向角.分析:先判斷點P滿足的軌跡,再建系求出點P滿足的兩個軌跡方程,聯(lián)立求解.解:由題意知|PC|=|PB|,所以P在線段BC的垂直平分線上.又因為|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以P在以A,B為焦點的雙曲線的靠近A的一支上.以線段AB的中點為坐標原點,AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示.反思感悟利用雙曲線解決實際問題的基本步驟(1)在實際問題中尋找?guī)缀瘟恐g的關系,得到幾何關系式,驗證滿足雙曲線的定義.(2)建立適當?shù)淖鴺讼?求出雙曲線的標準方程.(3)根據(jù)雙曲線的方程或幾何性質(zhì)解決實際應用問題.解:如圖,以AB的垂直平分線為y軸,直線AB為x軸,建立直角坐標系xOy,則CD⊥y軸.因為雙曲線經(jīng)過點C,D,且以A,B為焦點,由雙曲線的對稱性知C,D關于y軸對稱,探究二直線與雙曲線的位置關系【例2】

已知直線y=kx+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A,B兩點,當k為何值時,A,B在雙曲線的同一支上?當k為何值時,A,B分別在雙曲線的兩支上?分析:直線與雙曲線有兩交點的條件是聯(lián)立的方程組有兩組解,也就是消元后獲得的一元二次方程有兩解.兩交點在同一支上,則說明兩個交點的橫坐標同號,即一元二次方程有兩個同號根,兩交點分別在兩支上,則說明兩個交點的橫坐標異號,即一元二次方程有兩個異號根.解:把y=kx+1代入3x2-y2=1,整理,得(3-k2)x2-2kx-2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),要使直線與雙曲線有兩個交點,反思感悟

直線與雙曲線位置關系的判斷方法(1)方程思想的應用,把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組,通過消元后化為ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情況下考查方程的判別式.①當Δ>0時,直線與雙曲線有兩個不同的公共點.②當Δ=0時,直線與雙曲線只有一個公共點.③當Δ<0時,直線與雙曲線沒有公共點.當a=0時,直線與雙曲線的漸近線平行(不包含重合的情形),直線與雙曲線有一個公共點.(2)數(shù)形結合思想的應用,①直線過定點時,根據(jù)定點的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關系確定其位置關系.②直線斜率一定時,通過平行移動直線,比較直線斜率與漸近線斜率的關系來確定其位置關系.【變式訓練2】

已知直線l:y=kx-1與雙曲線C:x2-y2=4.(1)若直線l與雙曲線C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若直線l與雙曲線C只有一個交點,求實數(shù)k的取值范圍;(3)若直線l與雙曲線C的兩支各有一個交點,求k的取值范圍.(2)此時等價于(*)式方程只有一解.當1-k2=0,即k=±1時,(*)式方程只有一解;當1-k2≠0時,應滿足Δ=4k2+20(1-k2)=0,探究三直線與雙曲線的相交弦問題【例3】

經(jīng)過點M(2,2)作直線l交雙曲線x2-

=1于A,B兩點,且M為AB的中點.(1)求直線l的方程.(2)求線段AB的長.分析:先用點差法求l的斜率,再用弦長公式求|AB|.反思感悟

1.弦長的求法:求直線與雙曲線相交所得弦長,主要利用弦長公式,要注意方程的思想以及根與系數(shù)的關系的應用.2.弦中點問題的解決方法:對于弦中點問題,通常使用點差法解決,以減小運算量,提高運算速度.另外,對于相交弦問題還要注意靈活轉化,如垂直、相等等問題也可以轉化成中點、弦長問題解決.【變式訓練3】

已知雙曲線

-y2=1,求過點A(3,-1)且被點A平分的弦MN所在直線的方程.解法一:由題意知直線的斜率存在,故可設直線方程為y+1=k(x-3),即y=kx-3k-1,解法二:設M(x1,y1),N(x2,y2),∵M,N均在雙曲線上,探究四直線與雙曲線的綜合問題【例4】

已知定點A(-1,0),F(2,0),定直線l:x=.不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設點P的軌跡為E,過點F的直線交E于B,C兩點,直線AB,AC分別交l于點M,N.(1)求E的方程;(2)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F,并說明理由.分析:(1)利用點P滿足的關系式,代入坐標化簡即可;②當直線BC與x軸垂直時,其方程為x=2,則B(2,3),C(2,-3),AB的方程為y=x+1,故以線段MN為直徑的圓過點F.反思感悟

雙曲線的綜合問題最終仍體現(xiàn)在直線與雙曲線軌跡、向量的應用及參數(shù)范圍的探求上,直線方程與雙曲線方程聯(lián)立后,要注意二次項系數(shù)為零的情況.另外,設而不求、根與系數(shù)的關系、消參也是常用的方法,在解題時,應有意識地運用這些方法,達到熟練掌握的程度.【變式訓練4】

已知點M(-2,0),N(2,0),動點P滿足條件|PM|-|PN|=2

,記動點P的軌跡為W.(1)求W的方程;(2)設A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).當AB⊥x軸時,x1=x2,y1=-y2.當AB與x軸不垂直時,設直線AB的方程為y=kx+m,與W的方程聯(lián)立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.【易錯辨析】

直線與雙曲線相交忽視特殊情況致誤【典例】

已知過點P(1,1),斜率為k的直線l,與雙曲線x2-

=1只有一個公共點,試探究直線l的斜率k的值.錯解:由題意得l:y=k(x-1)+1,代入雙曲線方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5

=0.由題意得Δ=(2k-2k2)2-4(4-k2)(-k2+2k-5)=0,以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯解的原因是忽略了直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線只有一個公共點.正解:由題意得l:y=k(x-1)+1,代入雙曲線方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5

=0.若4-k2=0,即k=±2,此時直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線只有一個公共點;防范措施

解決直線與雙曲線的位置關系的題目時,要注意討論聯(lián)立直線與雙曲線的方程消元得到的方程是否為一元一次方程,即二次項系數(shù)是否為0,因為直線與雙曲線有一個公共點包含直線與雙曲線的漸近線平行的情況.【變式訓練】

已知雙曲線C:x2-

=1,過點P(1,2)的直線l與C有且只有一個公共點,則滿足上述條件的直線l共有(

)A.1條

B.2條

C.3條

D.4條解析:如圖,過點P(1,2)與雙曲線x2-

=1有且只有一個公共點有兩種情況,分別是垂直于x軸和與漸近線y=-2x平行.答案:B隨堂練習1.若直線y=mx+1與雙曲線x2-y2=1總有公共點,則m的取值范圍是(

)

答案:D

2.若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點,則k的取值范圍是(

)