專題6-1 圓錐曲線中的非對稱韋達定理問題（原卷版）

專題一圓錐曲線中的非對稱韋達定理問題【考點分析】在一些定點、定值、定線問題中，還常出現(xiàn)需要證明類似為定值的情形，通過直線代換可得：，但此時式子并不能完全整理為韋達定理的形式，這種式子一般稱為“非對稱韋達定理”．或者在處理斜率比值的時候：我們明明求了韋達定理卻無法代入，這時我們就需要通過所求得的韋達定理找到和之間的關系，將其中一個替換，常用手段是把乘法的替換成加法．這樣的非對稱形式，即韋達定理無法直接代入，可以通過韋達定理構造互化公式，先局部互化，然后可整理成對稱型.具體辦法：①聯(lián)立方程后得到韋達定理：代入之后進行代換消元解題.②利用點在橢圓方程上代換題型一：利用非對稱韋達定理思想解決定點問題【精選例題】【例1】已知雙曲線的左頂點為A，右焦點為F，P是直線上一點，且P不在x軸上，以點P為圓心，線段PF的長為半徑的圓弧AF交C的右支于點N．(1)證明：；(2)取，若直線PF與C的左、右兩支分別交于E，D兩點，過E作l的垂線，垂足為R，試判斷直線DR是否過定點若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．【跟蹤訓練】1.已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，且過點，，，為橢圓上關于軸對稱的兩點（不與點B重合），，直線與橢圓交于另一點，直線垂直于直線，為垂足．(1)求的方程；(2)證明：（i）直線過定點，（ii）存在定點，使為定值．2.橢圓C:的一個焦點為，且過點．(1)求橢圓C的標準方程和離心率；(2)若過點且斜率不為0的直線與橢圓C交于M，N兩點，點P在直線上，且NP與x軸平行，求直線MP恒過的定點．題型二：利用非對稱韋達定理思想解決斜率定值問題【精選例題】【例1】橢圓的長軸長為4，且橢圓C過點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知A、B為橢圓C的左、右頂點，過右焦點F且斜率不為0的直線交橢圓C于點M、N，直線與直線交于點P，記、、的斜率分別為、、，問是否是定值，如果是，求出該定值，如果不是，請說明理由.【例2】已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P為橢圓上一點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．【跟蹤訓練】1.已知點F為橢圓的右焦點，A，B分別為其左、右頂點，過F作直線l與橢圓交于M，N兩點(不與A，B重合)，記直線AM與BN的斜率分別為證明為定值．2．已知雙曲線：的離心率為，點在雙曲線的左焦點F作直線交的左支于A、B兩點.(1)求雙曲線C的方程；(2)若，試問：是否存在直線，使得點M在以為直徑的圓上?請說明理由.(3)點，直線交直線于點.設直線、的斜率分別、，求證：為定值.題型三：利用非對稱韋達定理思想解決定直線問題【精選例題】【例1】已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為6.(1)求點的軌跡的方程.(2)已知點，直線與曲線的另一個公共點為，直線與交于點，試問：當點變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請證明；若不是，請說明理由.【例2】已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.【跟蹤訓練】1.已知圓，圓，動圓與圓和圓均相切，且一個內(nèi)切、一個外切．(1)求動圓圓心的軌跡的方程．(2)已知點，過點的直線與軌跡交于兩點，記直線與直線的交點為．試問：點是否在一條定直線上？若在，求出該定直線；若不在，請說明理由．2.已知橢圓：的左、右焦點分別為，，上頂點為，到直線的距離為，且.(1)求橢圓的標準方程；(2)若過且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，橢圓的左、右頂點分別為，，證明：直線與的交點在定直線上.3.已知橢圓的長軸長為4，左、右頂點分別為A，B，經(jīng)過點P（1，0）的動直線與橢圓相交于不同