第06講 有理數(shù)的乘方（解析版）

第06講有理數(shù)的乘方課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①有理數(shù)的乘方運算②偶次方的非負(fù)性③科學(xué)計數(shù)法表示較大的數(shù)④近似數(shù)以及有效數(shù)字掌握乘方的定義與運算。掌握偶次方的非負(fù)性，結(jié)合絕對值的非負(fù)性解題。掌握科學(xué)計數(shù)法的表示方法，能夠?qū)σ粋€較大的數(shù)用科學(xué)計數(shù)法表示。掌握近似數(shù)及其有效數(shù)字解決相關(guān)題目。知識點01乘方的定義與計算乘方的意義：求幾個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方。一般地：（個）可以記作：，讀作：的次方。當(dāng)把看做的次方的結(jié)果時，也可讀作：的次冪，所以乘方的結(jié)果叫做冪，其中是底數(shù)，是指數(shù)。特別提示：當(dāng)指數(shù)是1時，指數(shù)可以省略不寫。即直接寫成。底數(shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時，要把底數(shù)用括號括起來。如－2的三次方寫成；的四次方寫成。任何數(shù)都可以看做是它本身的1次方，一個數(shù)的2次方可以讀作：平方，一個數(shù)3次方可以讀作：立方。題型考點：①乘方的意義。②冪的認(rèn)識?！炯磳W(xué)即練1】1．43表示的意義是（）A．4+4+4 B．4×4×4 C．4×3 D．3×3×3×3【解答】解：43＝4×4×4．故選：B．【即學(xué)即練2】2．代數(shù)式可以表示為（）A．2+n B．2n C．2 D．n2【解答】解：代數(shù)式可以表示為2n．故選：B．【即學(xué)即練3】3．中，底數(shù)是，指數(shù)是．【解答】解：（﹣）5中，底數(shù)是﹣，指數(shù)是5，故答案為：﹣，5．【即學(xué)即練4】4．對于式子（﹣2）3，下列說法不正確的是（）A．指數(shù)是3 B．底數(shù)是﹣2 C．冪為﹣6 D．表示3個﹣2相乘【解答】解：該式子的指數(shù)為3，底數(shù)為﹣2，冪為﹣8，表示3個（﹣2）相乘，故選：C．知識點02乘方的計算乘方的計算：（個）。在計算有理數(shù)的乘方時，先根據(jù)有理數(shù)的乘方的意義把有理數(shù)的乘方轉(zhuǎn)化為乘法運算，計算時先確定冪的符號，在計算冪的絕對值?？梢杂嬎愠鼋Y(jié)果，也可以用冪來表示結(jié)果。特別提示：正數(shù)的任何次方都是正數(shù)。負(fù)數(shù)的奇次方是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次方是正數(shù)。0的任何正整數(shù)次方（除0外）都得0。1的任何次方都得1，﹣1的奇次方得﹣1，﹣1的偶次方得1。題型考點：乘方的計算?！炯磳W(xué)即練1】5．計算：（1）（﹣4）3；（2）（﹣2）4；（3）．【解答】解：（1）（﹣4）3＝（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）＝﹣64；（2）（﹣2）4＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝16；（3）＝＝﹣．【即學(xué)即練2】6．（﹣1）2021的相反數(shù)是（）A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021【解答】解：∵（﹣1）2021＝﹣1，∴（﹣1）2021的相反數(shù)是1，故選：A．【即學(xué)即練3】7．（﹣1）2020等于（）A．1 B．﹣2020 C．2020 D．﹣1【解答】解：（﹣1）2020＝1，故選：A．知識點03有理數(shù)的偶次方有理數(shù)的偶次方：由乘方的計算可知，任何一個數(shù)的偶次方得到的結(jié)果都大于等于0，即任何數(shù)的偶次方（常見的平方）都是非負(fù)數(shù)，都具有非負(fù)性，幾個非負(fù)數(shù)的和等于0，這幾個非負(fù)數(shù)分別等于0。即，則0。題型考點：①有理數(shù)的乘法計算。②乘法運算定律的應(yīng)用?！炯磳W(xué)即練1】8．若|x﹣2|+（y+3）2＝0，則yx＝．【解答】解：∵x、y滿足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；則yx＝（﹣3）2＝9．故答案為：9．【即學(xué)即練2】9．如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代數(shù)式（a+b）2021的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021【解答】解：由題意，得：a+2＝0，b﹣1＝0，即a＝﹣2，b＝1；所以（a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故選：B．知識點04的區(qū)別與聯(lián)系三者的意義：表示的意義是個相乘的積，即（個），底數(shù)是。表示的意義是個相乘的積的相反數(shù)，即，底數(shù)是。表示的意義是相乘的積，即，底數(shù)是。三者的聯(lián)系當(dāng)為奇數(shù)時，和相等，他們與互為相反數(shù)。當(dāng)為偶數(shù)時，和相等，他們與互為相反數(shù)。題型考點：求倒數(shù)?！炯磳W(xué)即練1】10．下列各組的兩個數(shù)中，運算后的結(jié)果相等的是（）A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣（）3和﹣【解答】解：A、23＝8，32＝9，不相等；B、﹣33＝（﹣3）3＝﹣27，相等；C、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，不相等；D、﹣（）3＝﹣，﹣＝﹣，不相等，故選：B．【即學(xué)即練2】11．對于式子（﹣3）6與﹣36，下列說法中，正確的是（）A．它們的意義相同 B．它們的結(jié)果相同 C．它們的意義不同，結(jié)果相等 D．它們的意義不同，結(jié)果也不相等【解答】解：（﹣3）6與表示﹣3的6次冪，結(jié)果是729，﹣36表示3的6次冪的相反數(shù)，結(jié)果是﹣729．故選：D．【即學(xué)即練3】12．下列說法中正確的是（）A．﹣an和（﹣a）n一定是互為相反數(shù) B．當(dāng)n為奇數(shù)時，﹣an和（﹣a）n相等 C．當(dāng)n為偶數(shù)時，﹣an和（﹣a）n相等 D．﹣an和（﹣a）n一定不相等【解答】解：當(dāng)n為奇數(shù)時，﹣an和（﹣a）n相等，當(dāng)n為偶數(shù)時，﹣an和（﹣a）n一定互為相反數(shù)．故選：B．知識點05科學(xué)計數(shù)法科學(xué)計數(shù)法：把一個大于10或小于﹣10的數(shù)用的形式來表示。這種表示數(shù)的方法就叫做科學(xué)計數(shù)法。其中1≤＜10。為正整數(shù)。方法技巧：確定：移動小數(shù)點到只有一位整數(shù)時得到的數(shù)就是。確定：小數(shù)點移動了幾位就是幾。特別提示：當(dāng)數(shù)后面帶有數(shù)級單位時，的值是由小數(shù)點的移動位數(shù)＋級數(shù)單位后的位數(shù)。萬級是4位數(shù)，億級是8位數(shù)。科學(xué)計數(shù)法還原：還原時，等于多少就將小數(shù)點向右移動多少位，若位數(shù)不夠時添0補足。題型考點：①用科學(xué)計數(shù)法表示數(shù)。【即學(xué)即練1】13．2022年冬奧會即將在北京舉行，北京也即將成為迄今為止唯一個既舉辦過夏季奧運會，又舉辦過冬季奧運會的城市，據(jù)了解北京冬奧會的預(yù)算規(guī)模為15.6億美元，政府補貼6%（9400萬美元）．其中1560000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．1.56×109 B．1.56×108 C．15.6×108 D．0.156×1010【解答】解：1560000000用科學(xué)記數(shù)法表示為1.56×109．故選：A．【即學(xué)即練2】14．在經(jīng)過長達3個月的火星停泊軌道運行探測后，我國首次火星探測任務(wù)“天問一號”探測器于2021年5月15日穩(wěn)穩(wěn)降落在火星烏托邦平原南部的預(yù)選著陸區(qū)，邁出了我國星際探測征程的重要一步，火星作為地球的近鄰，到地球的最近距離約為5500萬千米，將5500萬用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．5.5×103 B．5.5×106 C．5.5×107 D．5.5×1010【解答】解：5500萬＝55000000＝5.5×107，故選：C．知識點06近似數(shù)與有效數(shù)字相關(guān)概念：準(zhǔn)確數(shù)：確切的反映實際的數(shù)。近似數(shù)：與實際接近但有差別的數(shù)。近似數(shù)的精確度：近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度叫做精確度。一個近似數(shù)四舍五入到哪一位就說這個說精確到哪一位。精確度的表示方法：①用數(shù)位表示，如精確到個位、十位、百分位等；②用小數(shù)表示，如精確到0.1或0.01等。特別提示：求一個科學(xué)計數(shù)法表示的數(shù)的精確度時應(yīng)先將其還原，看科學(xué)計數(shù)法中的的最后一位在哪一位就是精確到哪一位。求一個后面有級數(shù)單位的數(shù)的精確度時也應(yīng)先將其還原，看原數(shù)最后一位在哪個位置就精確到哪一位。題型考點：①精確度的判斷。【即學(xué)即練1】15．用四舍五入法按要求對0.05019分別取近似值，其中錯誤的是（）A．0.1（精確到0.1） B．0.05（精確到百分位） C．0.05（精確到千分位） D．0.0502（精確到0.0001）【解答】解：A、0.05019≈0.1（精確到0.1），所以此選項正確；B、0.05019≈0.05（精確到百分位），所以此選項正確；C、0.05019≈0.050（精確到千分位），所以此選項錯誤；D、0.05019≈0.0502（精確到0.0001），所以此選項正確；本題選擇錯誤的，故選：C．【即學(xué)即練2】16．由四舍五入得到的近似數(shù)88.35萬．精確到（）A．十分位 B．百分位 C．百位 D．十位【解答】解：由四舍五入得到的近似數(shù)88.35萬，精確到百位，故選：C．【即學(xué)即練3】17．近似數(shù)3.14×104的精確到（）A．個位 B．百位 C．百分位 D．千位【解答】解：近似數(shù)3.14×104的精確到百位．故選：B．題型01有理數(shù)的混合運算法則：先算乘方，在算乘除，最后算加減。有括號的先算括號，能簡便運算的簡便運算?！镜淅?】計算：（1）（﹣1）3﹣×[2﹣（﹣3）2]．（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣×（2﹣9）＝﹣1+＝；（2）原式＝﹣4+3﹣＝﹣．【典例2】計算（1）﹣20+（﹣5）﹣（﹣18）；（2）﹣9÷3+（﹣）×12+（﹣3）2；（3）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣32）]；（4）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（﹣）2．【解答】解：（1）﹣20+（﹣5）﹣（﹣18）＝﹣20﹣5+18＝﹣7（2）＝﹣3+6﹣8+9＝4（3）＝﹣1﹣××（2+9）＝﹣1﹣×11＝﹣1﹣＝﹣；（4）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（﹣）2＝﹣49+2×9+（﹣6）×9＝﹣49+18﹣54＝﹣85題型02【典例1】下列各組數(shù)中，相等的一組是（）A．（﹣3）2與﹣32 B．（﹣2）3與﹣23 C．23與32 D．與【解答】解：A、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，故選項錯誤；B、（﹣2）3＝﹣8﹣23＝﹣8，故選項正確；C、23＝8，32＝9，故選項錯誤；D、＝，＝，故選項錯誤．故選：B．【典例2】下列各式中，不相等的是（）A．（﹣5）2和52 B．（﹣5）2和﹣52 C．（﹣5）3和﹣53 D．|﹣5|3和|﹣53|【解答】解：A、（﹣5）2＝25，52＝25，所以（﹣5）2＝52；B、（﹣5）2＝25，﹣52＝﹣25，所以（﹣5）2≠﹣52；C、（﹣5）3＝﹣125，﹣53＝﹣125，所以（﹣5）3＝﹣53；D、|﹣5|3＝125，|﹣53|＝125，所以|﹣5|3＝|﹣53|，故選：B．題型03有理數(shù)的偶次方【典例1】已知（a+3）2+|b﹣2|＝0，則ab＝．【解答】解：由題意得，a+3＝0，b﹣2＝0，解得，a＝﹣3，b＝2，則ab＝9，故答案為：9．【典例2】若x、y為有理數(shù)，且（5﹣x）2+|y+5|＝0，則（）2021＝．【解答】解：∵（5﹣x）2+|y+5|＝0，∴5﹣x＝0，y+5＝0，解得：x＝5，y＝﹣5，則（）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故答案為：﹣1．【典例3】若有理數(shù)a、b、c滿足|a﹣1|+|b+4|+（4c﹣1）2＝0，求（abc）250÷（a6×b4×c3）的值．【解答】解：∵|a﹣1|+|b+4|+（4c﹣1）2＝0，∴a﹣1＝0，b+4＝0，4c﹣1＝0，∴a＝1，b＝﹣4，c＝，則（abc）250÷（a6×b4×c3）＝[1×（﹣4）×]250÷[16×（﹣4）4×（）3]＝（﹣1）250÷4＝．即（abc）250÷（a6×b4×c3）的值是．題型04科學(xué)計數(shù)法【典例1】港珠澳大橋是世界上總體跨度最長的跨海大橋，全長55000米，其中海底隧道部分全長6700米，是世界最長的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我國第一條外海沉管隧道，將數(shù)字55000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．5.5×104 B．55×103 C．5.5×103 D．0.55×105【解答】解：55000＝5.5×104．故選：A．【典例2】電影《長津湖之水門橋》上映后，票房一路高歌，2022年2月9日單日票房為113000000元，113000000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．11.3×108 B．1.13×108 C．1.13×109 D．113×107【解答】解：113000000＝1.13×108．故選：B．【典例3】國家統(tǒng)計局于2021年5月11日發(fā)布了第七次全國人口普查主要數(shù)據(jù)情況的公告，全國人口共計141178萬人，與2010年的133972萬人相比，增加7206萬人．其中數(shù)據(jù)7206萬用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．7.206×103 B．72.06×106 C．7.206×105 D．7.206×107【解答】解：7206萬＝72060000＝7.206×107．故選：D．題型05精確度的判斷【典例1】將34.945取近似數(shù)精確到十分位，正確的是（）A．34.9 B．35.0 C．35 D．35.05【解答】解：34.945取近似數(shù)精確到十分位是34.9；故選：A．【典例2】用四舍五入法對0.06045取近似值，錯誤的是（）A．0.1（精確到0.1） B．0.06（精確到百分位） C．0.061（精確到千分位） D．0.0605（精確到0.0001）【解答】解：A．0.06045精確到0.1為0.1，此選項正確，不符合題意；B．0.06045精確到百分位為0.06，此選項正確，不符合題意；C．0.06045精確到千分位為0.060，此選項錯誤，符合題意；D．0.06045精確到0.0001為0.0605，此選項正確，不符合題意；故選：C．【典例3】據(jù)報道，國新辦于2021年5月11日上午就第七次全國人口普查主要數(shù)據(jù)結(jié)果舉行發(fā)布會，發(fā)布會上透露全國人口已達14.1178億人，這里的近似數(shù)“14.1178億”精確到（）A．億位 B．千萬位 C．萬分位 D．萬位【解答】解：近似數(shù)“14.1178億”精確到萬位，故選：D．1．下列數(shù)值中，（﹣4）2的計算結(jié)果是（）A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16【解答】解：（﹣4）2＝﹣4×（﹣4）＝16．故選：C．2．2023年3月5日，在第十四屆全國人民代表大會第一次會議上，李克強總理做政府報告時指出我國人民生活水平不斷提高，基本養(yǎng)老保險參保人數(shù)增加1.4億、覆蓋10.5億人，基本醫(yī)保水平穩(wěn)步提高．將“10.5億”用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．10.5×109 B．1.05×1010 C．0.105×1011 D．1.05×109【解答】解：10.5億＝1050000000＝1.05×109，故選：D．3．計算（﹣1）2022+（﹣1）2023等于（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：原式＝1﹣1＝0．故選：B．4．下列等式成立的是（）A．22×23＝25 B．22×23＝26 C．22×23＝28 D．22×23＝29【解答】解：22×23＝22+3＝25，故選：A．5．某平臺發(fā)布2022卡塔爾世界杯觀賽報告稱，2022世界杯累計直播觀看人次達106.253億，用戶直播總互動達13.67億．將數(shù)據(jù)106.253按照四舍五入精確到十分位，其結(jié)果是（）A．106.0 B．106.2 C．106.25 D．106.3【解答】解：106.253按照四舍五入精確到十分位，其結(jié)果是106.3．故選：D．6．下列各對數(shù)中，數(shù)值相等的是（）A．+23與+32 B．﹣32與（﹣3）2 C．﹣23與（﹣2）3 D．3×22和（3×2）2【解答】解：A、32＝9，23＝8，9≠8，本選項錯誤，不符合題意；B、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，﹣9≠9，本選項錯誤，不符合題意；C、﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，﹣8＝﹣8，本選項正確，符合題意；D、3×22＝3×4＝12，（3×2）2＝62＝36，12≠36，本選項錯誤，不符合題意．故選：C．7．定義新運算“?”，規(guī)定：a?b＝a2﹣|b|，則（﹣2）?（﹣1）的運算結(jié)果為（）A．﹣5 B．﹣3 C．5 D．3【解答】解：由題意可得：（﹣2）?（﹣1）＝（﹣2）2﹣|﹣1|＝4﹣1＝3．故選：D．8．如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么（a+b）2009的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2009 D．2009【解答】解：∵|a+2|+（b﹣1）2＝0，∴a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2009＝（﹣2+1）2009＝﹣1，故選：A．9．某人一天飲水1890mL，請用四舍五入法將1890mL精確到1000mL，并用科學(xué)記數(shù)法表示為mL．【解答】解：1890mL≈2×103（精確到1000mL）．故答案為：2×103．10．已知a，b滿足|a﹣3|+（b+2）2＝0，則式子（a+b）2022的值是．【解答】解：∵|a﹣3|+（b+2）2＝0，∴a﹣3＝0，b+2＝0，∴a＝3，b＝﹣2，∴（a+b）2022＝（3﹣2）2022＝1．故答案為：1．11．若34＝3a，34+34+34＝3b，則a+b＝．【解答】解：∵34＝3a，∴a＝4，∵34+34+34＝34×3＝35＝3b，∴b＝5，則a+b＝4+5＝9，故答案為：9．12．我們根據(jù)指數(shù)運算，得出了一種新的運算，如表是兩種運算對應(yīng)關(guān)系的一組實例：指數(shù)運算21＝222＝423＝8…31＝332＝933＝27…新運算log22＝1log24＝2log28＝3…log33＝1log39＝2log327＝3…根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫出了三個式子：①log216＝4，②log525＝5，③log2＝﹣1．其中正確的是．【解答】解：由表格可得：①log216＝log224＝4，原計算正確，②log525＝log552＝2，原計算錯誤，③＝log22﹣1＝﹣1，原計算正確．故答案為：①③．13．已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對值等于2，求x3+cdx2﹣的值．【解答】解：∵a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對值等于2，∴a+b＝0，cd＝1，x＝±2，當(dāng)x＝2時，x3+cdx2﹣＝