高考數學一輪復習 第九章 平面解析幾何 第5講 橢圓練習 理 試題

【創(chuàng)新設計】（全國通用）2017版高考數學一輪復習第九章平面解析幾何第5講橢圓練習理新人教A版基礎鞏固題組(建議用時：45分鐘)一、選擇題1.橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1(m＞0)的焦距為2，則m的值等于()A.5 B.3 C.5或3 D.8解析當m>4時，m－4＝1，∴m＝5；當0<m<4時，4－m＝1，∴m＝3.答案C2.“2<m<6”是“方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析若eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓.則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))∴2<m<6且m≠4.故“2<m<6”是“eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓”的必要不充分條件.答案B3.(2016·西安質量檢測)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，離心率等于eq\f(1,2)，則C的方程是()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,4)＋y2＝1解析依題意，所求橢圓的焦點位于x軸上，且c＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)?a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故選C.答案C4.(2016·蘭州診斷)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，右頂點為A，上頂點為B，若橢圓C的中心到直線AB的距離為eq\f(\r(6),6)|F1F2|，則橢圓C的離心率e＝()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(3),3)解析設橢圓C的焦距為2c(c<a)，由于直線AB的方程為bx＋ay－ab＝0，∴eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(6),3)c，∵b2＝a2－c2，∴3a4－7a2c2＋2c4＝0，解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍去)，∴e＝eq\f(\r(2),2).答案A5.(2016·江西師大附中模擬)橢圓ax2＋by2＝1與直線y＝1－x交于A、B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為eq\f(\r(3),2)，則eq\f(b,a)的值為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(2\r(3),3) C.eq\f(9\r(3),2) D.eq\f(2\r(3),27)解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則axeq\o\al(2,1)＋byeq\o\al(2,1)＝1，axeq\o\al(2,2)＋byeq\o\al(2,2)＝1，即axeq\o\al(2,1)－axeq\o\al(2,2)＝－(byeq\o\al(2,1)－byeq\o\al(2,2))，eq\f(byeq\o\al(2,1)－byeq\o\al(2,2),axeq\o\al(2,1)－axeq\o\al(2,2))＝－1，eq\f(b（y1－y2）（y1＋y2）,a（x1－x2）（x1＋x2）)＝－1，∴eq\f(b,a)×(－1)×eq\f(\r(3),2)＝－1，∴eq\f(b,a)＝eq\f(2\r(3),3)，故選B.答案B二、填空題6.若橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一點P到焦點F1的距離為6，則點P到另一個焦點F2的距離是________.解析由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝10，又|PF1|＝6，∴|PF2|＝4.答案47.已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點P1(eq\r(6)，1)、P2(－eq\r(3)，－eq\r(2))，則橢圓的方程為________.解析設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).∵橢圓經過點P1、P2，∴點P1、P2的坐標適合橢圓方程.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6m＋n＝1，①,3m＋2n＝1，②))①、②兩式聯立，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))∴所求橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1.答案eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝18.(2015·福建卷改編)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點.若|AF|＋|BF|＝4，點M到直線l的距離不小于eq\f(4,5)，則橢圓E的離心率的取值范圍是________.解析設橢圓的左焦點為F1，半焦距為c，連接AF1，BF1，則四邊形AF1BF為平行四邊形，所以|AF1|＋|BF1|＝|AF|＋|BF|＝4.根據橢圓定義，有|AF1|＋|AF|＋|BF1|＋|BF|＝4a，所以8＝4a，解得a＝2.因為點M到直線l：3x－4y＝0的距離不小于eq\f(4,5)，即eq\f(4b,5)≥eq\f(4,5)，b≥1，所以b2≥1，所以a2－c2≥1，4－c2≥1，解得0＜c≤eq\r(3)，所以0＜eq\f(c,a)≤eq\f(\r(3),2)，所以橢圓的離心率的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))三、解答題9.(2014·新課標全國Ⅱ卷)設F1，F2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為eq\f(3,4)，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解(1)根據c＝eq\r(a2－b2)及題設知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，2b2＝3ac.將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)或eq\f(c,a)＝－2(舍去).故C的離心率為eq\f(1,2).(2)由題意，知原點O為F1F2的中點，MF2∥y軸，所以直線MF1與y軸的交點D(0，2)是線段MF1的中點，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.設N(x1，y1)，由題意知y1＜0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（－c－x1）＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c.,y1＝－1.))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②將①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9（a2－4a）,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq\r(7).10.(2015·安徽卷)設橢圓E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，點O為坐標原點，點A的坐標為(a，0)，點B的坐標為(0，b)，點M在線段AB上，滿足|BM|＝2|MA|，直線OM的斜率為eq\f(\r(5),10).(1)求E的離心率e；(2)設點C的坐標為(0，－b)，N為線段AC的中點，點N關于直線AB的對稱點的縱坐標為eq\f(7,2)，求E的方程.解(1)由題設條件知，點M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(1,3)b))，又kOM＝eq\f(\r(5),10)，從而eq\f(b,2a)＝eq\f(\r(5),10)，進而得a＝eq\r(5)b，c＝eq\r(a2－b2)＝2b，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(5),5).(2)由題設條件和(1)的計算結果可得，直線AB的方程為eq\f(x,\r(5)b)＋eq\f(y,b)＝1，點N的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)b，－\f(1,2)b)).設點N關于直線AB的對稱點S的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(7,2)))，則線段NS的中點T的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),4)b＋\f(x1,2)，－\f(1,4)b＋\f(7,4))).又點T在直線AB上，且kNS·kAB＝－1，從而有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\f(\r(5),4)b＋\f(x1,2),\r(5)b)＋\f(－\f(1,4)b＋\f(7,4),b)＝1，,\f(\f(7,2)＋\f(1,2)b,x1－\f(\r(5),2)b)＝\r(5).))解得b＝3.所以a＝3eq\r(5)，故橢圓E的方程為eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,9)＝1.能力提升題組(建議用時：25分鐘)11.(2016·汕頭一模)已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上有一點P，F1，F2是橢圓的左、右焦點，若△F1PF2為直角三角形，則這樣的點P有()A.3個 B.4個 C.6個 D.8個解析當∠PF1F2為直角時，根據橢圓的對稱性知，這樣的點P有2個；同理當∠PF2F1為直角時，這樣的點P有2個；當P點為橢圓的短軸端點時，∠F1PF2最大，且為直角，此時這樣的點P有2個.故符合要求的點P有6個.答案C12.(2016·唐山模擬)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點為F，若F關于直線eq\r(3)x＋y＝0的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3)－1,2) C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)－1解析法一設A(m，n)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n,m＋c)×（－\r(3)）＝－1，,\r(3)×\f(m－c,2)＋\f(n,2)＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))，代入橢圓C中，有eq\f(c2,4a2)＋eq\f(3c2,4b2)＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，∴c4－8a2c2＋4a4＝0，∴e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4±2eq\r(3)，∵0<e<1，∴e＝eq\r(3)－1.法二借助于橢圓的定義，本題還有如下簡潔解法：設F′是橢圓的右焦點，連接AF，AF′.由已知得△AFF′是直角三角形，其中∠A＝90°，∠AFF′＝30°，∵|FF′|＝2c，∴|AF|＝eq\r(3)c，|AF′|＝c，∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|FF′|,|AF|＋|AF′|)＝eq\f(2c,c＋\r(3)c)＝eq\r(3)－1，故選D.答案D13.已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率等于eq\f(1,3)，其焦點分別為A，B，C為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則在△ABC中，eq\f(sinA＋sinB,sinC)的值等于________.解析在△ABC中，由正弦定理得eq\f(sinA＋sinB,sinC)＝eq\f(|CB|＋|CA|,|AB|)，因為點C在橢圓上，所以由橢圓定義知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以eq\f(sinA＋sinB,sinC)＝eq\f(2a,2c)＝eq\f(1,e)＝3.答案314.已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為eq\f(1,2)，且經過點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在過點P(2，1)的直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A，B，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))2？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請說明理由.解(1)設橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，))解得a2＝4，b2＝3.故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)假設存在直線l1且由題意得斜率存在，設滿足條件的方程為y＝k1(x－2)＋1，代入橢圓C的方程得，(3＋4keq\o\al(2,1))x2－8k1(2k1－1)x＋16keq\o\al(2,1)－16k1－8＝0.因為直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，所以Δ＝[－