云南省玉溪市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含解析）

玉溪市2022-2023學(xué)年上學(xué)期高二年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求一元二次不等式的解集，再求集合A與集合B的交集即可.【詳解】∵，∴.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合定義求解.【詳解】，即的虛部為.故選：C3.歐幾里得大約生活在公元前330~前275年之間，著有《幾何原本》《已知數(shù)》《圓錐曲線》《曲面軌跡》等著作.若從上述4部書籍中任意抽取2部，則抽到《幾何原本》的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用列舉法解決古典概型.【詳解】記4部書籍分別為a、b、c、d，則從從4部書籍中任意抽取2部的基本事件為、、、、、共有6個(gè)，抽到《幾何原本》的基本事件為、、共有3個(gè)，所以抽到《幾何原本》的概率為：.故選：A.4.過點(diǎn)的直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，弦長(zhǎng)的最小值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】判斷點(diǎn)在圓C內(nèi)，根據(jù)當(dāng)l垂直于圓心與定點(diǎn)所在直線時(shí)，弦長(zhǎng)最短，代入公式計(jì)算可得.【詳解】∵圓C：，即：，∴圓C的圓心，半徑為3.又∵，∴點(diǎn)在圓C內(nèi)，∴當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短.又∵∴.故選：C.5.已知等比數(shù)列滿足，，，則的值為（）A.4 B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】由得出，再由通項(xiàng)結(jié)合得出，進(jìn)而得出的值.【詳解】設(shè)公比，.，.即，解得..故選：D6.已知直線：和直線：，則的充要條件為（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解出即可.【詳解】∵，∴，即：，解得：.故選：B.7.碳14的半衰期為5730年.在考古中，利用碳14的半衰期可以近似估計(jì)目標(biāo)物所處的年代.生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)的函數(shù)關(guān)系式是（其中為生物體死亡時(shí)體內(nèi)碳14含量）.考古學(xué)家在對(duì)考古活動(dòng)時(shí)挖掘到的某生物標(biāo)本進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)該生物體內(nèi)碳14的含量是原來的60%，由此可以推測(cè)到發(fā)掘出該生物標(biāo)本時(shí)，該生物體在地下大約已經(jīng)過了（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.2292年 B.3580年 C.3820年 D.4728年【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解方程即可.【詳解】由題意知，，所以，即，即：，解得：（年）.故選：C.8.若，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的形式可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，由可得大小關(guān)系；根據(jù)基本不等式和對(duì)數(shù)運(yùn)算可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】令，則，在上單調(diào)遞減，，即，；，，又，，.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查通過構(gòu)造函數(shù)的方式比較大小的問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)所給數(shù)值的共同形式，準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)的不同函數(shù)值的大小關(guān)系比較問題，從而利用函數(shù)單調(diào)性來確定結(jié)果.二?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.如圖，在中，若點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，設(shè)，，交于一點(diǎn)，則下列結(jié)論中成立的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用向量的加減法則進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)向量減法可得，故A正確；因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，故B正確；由題意知是的重心，則，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在上單調(diào)遞增D.若將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象變換即可求解.【詳解】由題意可知，，則，則，所以，又因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，故A正確；，故B正確；令，解得：，令可得：，所以C不正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則為偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，所以D正確.故選：ABD.11.已知雙曲線：左?右焦點(diǎn)分別為，，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，連接，記為雙曲線的離心率，為的周長(zhǎng)，若直線與另一條漸近線交于點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】不妨設(shè)垂足在第二象限，從而可求得，再根據(jù)，可得，則，即可求出，進(jìn)而可得離心率，求出直線斜率，即可得，再在中，利用余弦定理求得即可.【詳解】雙曲線：的漸近線方程為，，不妨設(shè)垂足在第二象限，即點(diǎn)在直線上，則，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，則，即，所以，故，所以，所以，則，在中，，則，所以，所以的周長(zhǎng).故選：AD.12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上有一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍為C.使得與平面所成角為45°的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.若是線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)且滿足平面時(shí)，線段長(zhǎng)的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，運(yùn)用等體積法轉(zhuǎn)化可得；對(duì)于選項(xiàng)B，通過作平行線研究異面直線所成的角；對(duì)于選項(xiàng)C，通過線面垂直找到線面角，再根據(jù)線面角可得點(diǎn)G的軌跡計(jì)算即可.對(duì)于選項(xiàng)D，通過面面平行的判定定理證得面面，從而得到點(diǎn)G的軌跡，在中，運(yùn)用等面積法求得PG的最小值.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槊?，面，所以，?dāng)點(diǎn)G在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)?，，，、面，所以面，又因?yàn)?，所?所以三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，在△中，，所以，所以，故與所成角的取值范圍為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，∵面ABCD，則，∴當(dāng)G在線段上時(shí)，與面ABCD所成角為，，同理：當(dāng)G在線段上時(shí)，與面ABCD所成角為，，若點(diǎn)G在面上，∵面ABCD面，∴與面所成角為，又∵面，面，∴，，∴，∴點(diǎn)G在以為圓心，2為半徑的圓上，又∵點(diǎn)G在面上，∴點(diǎn)G在圓與四邊形的交線上，∴的長(zhǎng)為，∴點(diǎn)G的軌跡長(zhǎng)度為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，連接、，取AB的中點(diǎn)E，連接DE、PE，則，平面ABCD，所以平面ABCD，平面ABCD，所以，如圖所示，∵且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵面，面，∴面，同理面，又∵，、面，∴面面，又∵面，∴面，又∵面ABCD，面面ABCD，∴，即：G的軌跡為線段BD.∴當(dāng)時(shí)，PG最短.在中，，，所以，，在中，，在中，，所以，在中，因?yàn)?，所以，所以由等面積法得，即：，解得：，所以線段PG長(zhǎng)的最小值為.故選項(xiàng)D正確.故選:ACD.三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.為估計(jì)某中學(xué)高一年級(jí)男生的身高情況，隨機(jī)抽取了25名男生身高的樣本數(shù)據(jù)（單位：），按從小到大排序結(jié)果如下?lián)斯烙?jì)該中學(xué)高一年級(jí)男生的第75百分位數(shù)約為___________.【答案】173【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】由，所以該中學(xué)高一年級(jí)男生的第75百分位數(shù)為第19個(gè)數(shù)，即173.故答案為：17314.若正數(shù)，滿足，則的最小值是___________.【答案】8【解析】【分析】利用常數(shù)“1”代換結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是8.故答案為：8.15.已知等腰三角形底角的正切值為，則頂角的正弦值是___________.【答案】##【解析】【分析】由倍角公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.【詳解】如下圖所示，等腰三角形，其中為頂角，因?yàn)?，所?故答案為：16.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋桥己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用函數(shù)的奇偶性可得關(guān)于對(duì)稱，再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性可得，解絕對(duì)值不等式即可.【詳解】∵是偶函數(shù)，∴，即：∴關(guān)于對(duì)稱.∵當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，又∵，∴，即：，∴，即：，解得：或.故答案為：或.四?解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，為的前項(xiàng)和，滿足，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列單調(diào)性和通項(xiàng)公式可構(gòu)造方程求得公比，進(jìn)而得到；（2）利用等差數(shù)列求和公式可求得.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，為遞增的等比數(shù)列，，，，解得：（舍）或，.【小問2詳解】由（1）得：，又，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，.18.已知中，三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足（1）求；（2）如圖，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且，，，求的面積.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角及和角公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果；（2）在△ABC中應(yīng)用余弦定理解得BC的值，代入三角形面積公式計(jì)算即可.【小問1詳解】∵，∴由正弦定理得，即，，即，∵，∴又∵，∴.【小問2詳解】設(shè)，則，在△ABC中，，解得：則△ABC的面積.19.2022年，某市教育體育局為了解九年級(jí)語文學(xué)科教育教學(xué)質(zhì)量，隨機(jī)抽取100名學(xué)生參加某項(xiàng)測(cè)試，得到如圖所示的測(cè)試得分（單位：分）頻率分布直方圖.（1）根據(jù)測(cè)試得分頻率分布直方圖，求的值；（2）根據(jù)測(cè)試得分頻率分布直方圖估計(jì)九年級(jí)語文平均分；（3）猜測(cè)平均數(shù)和中位數(shù)（不必計(jì)算）的大小存在什么關(guān)系？簡(jiǎn)要說明理由.【答案】（1）（2）79.2（3）中位數(shù)大于平均數(shù)，理由見解析【解析】【分析】（1）由頻率之和等于1，得出的值；（2）由頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法求解；（3）觀察頻率分布直方圖數(shù)據(jù)的分布，得出平均數(shù)和中位數(shù)的大小關(guān)系.【小問1詳解】解：解得【小問2詳解】語文平均分的近似值為，所以，語文平均分的近似值為79.2.【小問3詳解】中位數(shù)大于平均數(shù).因?yàn)楹椭形粩?shù)相比，平均數(shù)總在“長(zhǎng)尾巴”那邊.20.如圖，三棱柱為直三棱柱，側(cè)面是正方形，，為線段上的一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）且（1）證明：；（2）當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）法一：由線面垂直的判定定理證得平面，則，又，所以.法二：設(shè)，由空間向量基本定理表示出，由可得，代入化簡(jiǎn)即可得出.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線的方向向量和平面的法向量，由線面角的向量公式求解即可.【小問1詳解】法一：證明：連接，在直三棱柱中，∵，∴四邊形是正方形，∴，又∵且，平面，∴平面，因平面，∴，又∵，平面，，∴平面，平面，∴，又∵，∴，法二：證明：設(shè)，，∵，∴，即又∵點(diǎn)不與的端點(diǎn)重合，∴，∴，即.【小問2詳解】由（1）得，，兩兩互相垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，令，則，可求得設(shè)直線與平面所成角為，，∴直線與平面所成角的正弦值為21.已知，，，設(shè)（1）若函數(shù)圖象相鄰的兩對(duì)稱軸之間的距離為，求；（2）當(dāng)函數(shù)在定義域內(nèi)存在，，使，則稱該函數(shù)為“互補(bǔ)函數(shù)”.若函數(shù)在上為“互補(bǔ)函數(shù)”，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)相鄰的對(duì)稱軸距離為求出，即可得解；（2）分、、三種情況討論，分別求出的取值范圍，即可得解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)相鄰的對(duì)稱軸距離為，所以，即，解得，所以.【小問2詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上為“互補(bǔ)函數(shù)”，函數(shù)在定義域內(nèi)存在，使，即，①當(dāng)，即，解得，顯然成立；②當(dāng)，即，解得時(shí)，顯然不成立；③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以或者或者，解得的取值范圍為，綜上所述22.已知曲線：，且點(diǎn)和點(diǎn)在曲線上.（1）求曲線的方程；（2）若點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且滿足，試探究：點(diǎn)到直線的距離是否為定值.如果是，請(qǐng)求出定值；如果不是，請(qǐng)說明理由【答案】（1）（2）定值，定值為【解析】【分析】（1）方法1：待定系數(shù)法（代入曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中）求得橢圓的方程.方法2：待定系數(shù)法（代入曲線的一般式方程中）求得橢圓的方程.（2）分類討論①若直線