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文檔簡介
第一節(jié)
可測函數(shù)的定義及其簡單性質(zhì)第三章
可測函數(shù)
新的積分(Lebesgue積分,從分割值域入手)yi
yi-1
用
mEi
表示
Ei
的“長度”
問題:怎樣的函數(shù)可使Ei
都有“長度”(測度)?1可測函數(shù)定義例
(1)零集上的任何函數(shù)都是可測函數(shù)。注:稱外測度為0的集合為零集;零集的子集,有限并,可數(shù)并仍為零集定義:設(shè)f(x)是可測集E上的實(shí)函數(shù)(可取
),若
可測,則稱f(x)是E上的可測函數(shù)
(2)簡單函數(shù)是可測函數(shù)可測函數(shù)注:Dirichlet函數(shù)是簡單函數(shù)01若
(Ei
可測且兩兩不交),f(x)在每個Ei上取常值
ci,則稱f(x)是E上的簡單函數(shù);(3)可測集E上的連續(xù)函數(shù)f(x)必為可測函數(shù)
對比:設(shè)f(x)為(a,b)上有限實(shí)函數(shù),
()()()f(x)在
處連續(xù)(對閉區(qū)間端點(diǎn)則用左或右連續(xù))設(shè)f(x)為E上有限實(shí)函數(shù),稱f(x)在
處連續(xù)可測集E上的連續(xù)函數(shù)f(x)定為可測函數(shù)
證明:任取x∈E[f>a],則f(x)>a,由連續(xù)性假設(shè)知,()x0
f(x0)+εf(x0)f(x0)-εa則G為開集,當(dāng)然為可測集,且/dx//dx/151129/4734714.html/dx/150916/4697353.html/dx/151130/4735105.html/dx/151130/4735110.html/dx/151201/4736968.html/dx/151201/4736970.html/dx/151201/4736972.html/dx/151201/4736973.html/dx/151202/4737432.html/dx/151202/4737433.html/dx/151202/4737434.html/dx/151202/4737435.html/dx/151203/4737888.html/dx/151203/4737890.html/dx/150915/4696069.html/dx/150915/4696047.html/dx/151204/4738432.html/dx/150912/4695166.html/dx/150912/4695137.html/dx/151204/4738448.html⑷
R中的可測子集E上的單調(diào)函數(shù)f(x)必為可測函數(shù)。aIax1x2由f單調(diào)增知下面的集合為可測集證明:不妨設(shè)f單調(diào)增,對任意a∈R⒊可測函數(shù)的等價描述證明:利用(1)與(4),(2)與(3)互為余集,以及⒈定義:設(shè)f(x)是可測集E上的實(shí)函數(shù),則
f(x)在E上可測
對前面等式的說明
([a-1/na([aa+1/n⒋可測函數(shù)的性質(zhì)⑴可測函數(shù)關(guān)于子集、并集的性質(zhì)反之,若
,f(x)限制在En上是可測函數(shù),則f(x)在E上也是可測函數(shù)。即:若f(x)是E上的可測函數(shù),可測,則f(x)限制在E1上也是可測函數(shù);若m(E[f≠g])=0,則稱f(x)=g(x)在E上幾乎處處成立,記作f(x)=g(x)a.e.于E。(almosteverywhere)注:在一零測度集上改變函數(shù)的取值不影響函數(shù)的可測性證明:令E1=E[f≠g],
E2=E[f=g],則mE1=0從而
g(x)在E1上可測
,即:
設(shè)f(x)=g(x)a.e.于E,
f(x)在E上可測,則g(x)在E上也可測
注:用到了可測函數(shù)關(guān)于子集、并集的性質(zhì)另外f(x)在E2上可測,從而
g(x)在E2上也可測
,進(jìn)一步g(x)在E=E1
∪E2上也可測
。⑵可測函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉
即:若f(x),g(x)是E上的可測函數(shù),則f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)仍為E上的可測函數(shù)。a-g(x)rf(x)⑵可測函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉
即:若f(x),g(x)是E上的可測函數(shù),則f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)仍為E上的可測函數(shù)。a-g(x)rf(x)類似可證:設(shè)f(x),g(x)是E上可測函數(shù),則
為可測集。證明中利用了Q是可數(shù)集和R中的稠密集兩個性質(zhì)a-g(x)rf(x)類似可證:設(shè)f(x),g(x)是E上可測函數(shù),則
為可測集。證明中利用了Q是可數(shù)集和R中的稠密集兩個性質(zhì)a-g(x)rf(x)⑶可測函數(shù)類關(guān)于確界運(yùn)算和極限運(yùn)算封閉。
推論:可測函數(shù)列的極限函數(shù)仍為可測函數(shù)(連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù)不一定為連續(xù)函數(shù))。若fn(x)是E上的可測函數(shù),則下列函數(shù)仍為E上的可測函數(shù)。對上式的說明:下確界:
([a-1/na例:
R1上的可微函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f`(x)是可測函數(shù)
利用了可測函數(shù)列的極限函數(shù)仍為可測函數(shù).從而f`(x)是一列連續(xù)函數(shù)(當(dāng)然是可測函數(shù))的極限,故f`(x)是可測函數(shù).
證明:由于gn(x)例
設(shè){fn}是可測函數(shù)列,則它的收斂點(diǎn)全體和發(fā)散點(diǎn)全體是可測集.注意:函數(shù)列收斂與函數(shù)列收斂于f之間的不同.證明:發(fā)散點(diǎn)全體為
收斂點(diǎn)全體為再⒌可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系
可測函數(shù)f(x)總可表示成一列簡單函數(shù)的極限MmMmMmn0例:設(shè)f(x)是R上連續(xù)函數(shù),g(x)是E上可測函數(shù),則f(g(x))是可測函數(shù)。
證明:要證f(g(x))是可測函數(shù),只要證對任意a,E[fg>a]={x|f(g(x))>a}可測即可,g可測f連續(xù){x|f(g(x))>a}=(fg)-1((a,+∞))
=g-1(f-1((a,+∞)))f-1((a,+∞))=第二節(jié)
可測函數(shù)的收斂性第三章
可測函數(shù)
⒈函數(shù)列的幾種收斂定義
⑵一致收斂:注:近似地說一致收斂是函數(shù)列收斂慢的程度能有個控制
近似地說一致連續(xù)是函數(shù)圖象陡的程度能有個控制fn(x)=xn⑴點(diǎn)點(diǎn)收斂:記作1-δ例:函數(shù)列fn(x)=xn
,n=1,2,…
在(0,1)上處處收斂到f(x)=0,但不一致收斂,但去掉一小測度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收斂fn(x)=xn⑶幾乎處處收斂:記作
(almosteverywhere)即:去掉某個零測度集,在留下的集合上處處收斂
即:去掉某個?。ㄈ我庑。y度集,在留下的集合上一致收斂
⑷幾乎一致收斂:記作
(almostuniformly)⑸依測度收斂:記作注:從定義可看出,幾乎處處收斂強(qiáng)調(diào)的是在點(diǎn)上函數(shù)值的收斂(除一零測度集外)依測度收斂并不
指出函數(shù)列在哪個點(diǎn)上的收斂,其要點(diǎn)在于誤差超過σ的點(diǎn)所成的集的測度應(yīng)隨n趨于無窮而趨于零,而不論點(diǎn)集的位置狀態(tài)如何不依測度收斂依測度收斂⒉幾種收斂的區(qū)別
說明:當(dāng)n越大,取1的點(diǎn)越多,故{fn(x)}在R+上處處收斂于1
(1)處處收斂但不依測度收斂n
在R+上處處收斂于
f(x)=1,所以{fn(x)}在R+上不依測度收斂于1,另外{fn}不幾乎一致收斂于1fn不幾乎一致收斂于f幾乎一致收斂:記作
(almostuniformly)即:去掉某個?。ㄈ我庑。y度集,在留下的集合上一致收斂
即:去掉
測度集,在留下的集合上仍不一致收斂
任意
(
)適當(dāng)小小fn不幾乎一致收斂于f即:去掉任意?。ㄟm當(dāng)?。y度集,在留下的集合上仍不一致收斂
不幾乎一致收斂于f(x)=1n(2)依測度收斂但處處不收斂01f1f601/4?3/4101/4?3/4101/4?3/4101/4?3/41f7f5f40?1f30?1f201/81/4?1f8依測度收斂但處處不收斂⑵
取E=(0,1],n=2k+i,0≤i<2k,k=0,1,2,3,…
說明:對任何x∈(0,1],{fn(x)}有兩個子列,一個恒為1,一個恒為0,所以{fn(x)}在(0,1]上處處不收斂;例:函數(shù)列fn(x)=xn
在(0,1)上處處收斂到f(x)=0,但不一致收斂,但去掉一小測度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收斂收斂的聯(lián)系(葉果洛夫定理的引入)1-δfn(x)=xn⒊三種收斂的聯(lián)系
即:去掉某個?。ㄈ我庑。y度集,在留下的集合上一致收斂
⑴幾乎處處收斂與幾乎一致收斂(葉果洛夫定理)
設(shè)mE<+∞,fn
,f在E上幾乎處處有限且可測,
(即:可測函數(shù)列的收斂“基本上”是一致收斂)即:去掉某個零測度集,在留下的集合上處處收斂
引理:設(shè)mE<+∞,fn
,f在E上幾乎處處有限且可測,證明:由于
為零測度集,故不妨令
fn
,f在E上處處有限,從而有:關(guān)于N單調(diào)減小幾乎處處收斂與依測度收斂(Lebesgue定理)設(shè)mE<+∞,fn
,f在E上幾乎處處有限且可測,第三節(jié)
可測函數(shù)結(jié)構(gòu)
Lusin定理
第三章
可測函數(shù)
可測函數(shù)簡單函數(shù)是可測函數(shù)
可測函數(shù)總可表示成一列簡單函數(shù)的極限(當(dāng)可測函數(shù)有界時,可作到一致收斂)問:可測函數(shù)是否可表示成一列連續(xù)函數(shù)的極限?可測集E上的連續(xù)函數(shù)定為可測函數(shù)
魯津定理實(shí)變函數(shù)的三條原理(J.E.Littlewood)(1)任一可測集差不多就是開集(至多可數(shù)個開區(qū)間的并)設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的可測函數(shù),則
使得
m(E-F)<ε且f(x)在F上連續(xù)。
(去掉一小測度集,在留下的集合上成為連續(xù)函數(shù))即:可測函數(shù)“基本上”是連續(xù)函數(shù)(3)任一點(diǎn)點(diǎn)收斂的可測函數(shù)列集差不多就是一致收斂列(2)任一可測函數(shù)差不多就是連續(xù)函數(shù)魯津定理的證明證明:由于mE[|f|=+∞]=0,故不妨令f(x)為有限函數(shù)(1)當(dāng)f(x)為簡單函數(shù)時,
當(dāng)x∈Ei時,f(x)=ci,所以f(x)在Fi上連續(xù),而Fi為兩兩不交閉集,故f(x)在
上連續(xù)顯然F為閉集,且有對f(x)在F連續(xù)的說明
若f(x)在Fi上連續(xù),而
Fi為兩兩不交閉集,則f(x)在
上連續(xù)故對任意x`∈O(x,δ)∩F,有|f(x`)-f(x)|=0,故f連續(xù)
Fi0()x證明:任取則存在
i0,使得x∈Fi0,f(x)=ci0,又Fi為兩兩不交閉集,從而x在開集
中所以存在δ>0,使得對f(x)在F連續(xù)的說明說明:取閉集的原因在于閉集的余集為開集,開集中的點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn),從而可取x∈Fi足夠小的鄰域不含其他Fi
中的點(diǎn)函數(shù)在每一塊上為常值,故在每一塊上都連續(xù),但函數(shù)在R上處處不連續(xù)
條件Fi為兩兩不交閉集必不可少,如:魯津定理的證明(2)當(dāng)f(x)為有界可測函數(shù)時,存在簡單函數(shù)列{φn(x)}在E上一致收斂于f(x),由{φn(x)}在F連續(xù)及一致收斂于f(x)
,易知f(x)在閉集F上連續(xù)。利用(1)的結(jié)果知魯津定理的證明則g(x)為有界可測函數(shù),應(yīng)用(2)即得我們的結(jié)果(連續(xù)函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉)(3)當(dāng)f(x)為一般可測函數(shù)時,作變換注:(1)魯津定理推論魯津定理(限制定義域)(即:去掉某個小測度集,在留下的集合上連續(xù))(在某個小測度集上改變?nèi)≈挡⒀a(bǔ)充定義變成連續(xù)函數(shù))若f(x)為
上幾乎處處有限的可測函數(shù),使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<ε(對n維空間也成立)則
及R上的連續(xù)函數(shù)g(x)開集的余集是閉集閉集的余集是開集aibi直線上的開集構(gòu)造
直線上的任一非空開集都可唯一地表示成有限個或可數(shù)個互不相交的開區(qū)間的并魯津定理推論證明的說明
魯津定理:設(shè)f(x)為
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