專題2.5 線段的軸對稱性（分層練習）-2023-2024學年八年級數(shù)學上冊基礎知識專項突破講與練（蘇科版）

專題2.5線段的軸對稱性（分層練習）單選題1．如圖所示，在中，，，的垂直平分線交于點D，交于點E，則的周長為（

）

A．12 B．13 C．14 D．152．如圖，在中，、的垂直平分線分別交于點、，若，，，則的周長為（）A．5 B．7 C．10 D．33．下列條件中，不能判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線的是（

）A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥ABC．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB4．到三角形各頂點距離相等的點是（

）A．三條邊垂直平分線交點 B．三個內角平分線交點C．三條中線交點 D．三條高交點5．如圖，根據尺規(guī)作圖的痕跡，計算的度數(shù)為（）A． B． C． D．6．如圖，在長方形中，，依據尺規(guī)作圖的痕跡，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．7．如圖，已知點O是△ABC的兩邊AB和AC的垂直平分線OD,OE的交點，且∠A=50°，則的度數(shù)為（

）

A．100° B．110° C．120° D．125°8．如圖，在銳角三角形中，直線l為的中垂線，射線為的角平分線，且直線l與射線相交于點P．若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．9．如圖，我們都知道長方形的對邊相等并且每個角都是直角，小微做折紙游戲，她將長方形紙片折疊，使點B落在邊上，壓平后得到折痕，下列結論正確的有（

）個．①連接，則線段被所在直線垂直平分；②E點一定是中點；③；④；⑤．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個10．小麗同學要找到到三角形三個頂點距離相等的點，根據下列各圖中圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到此點的是（

）A． B． C． D．11．如圖，銳角按下列步驟圖：①在射線上取一點，以點為圓心，長為半徑作圓弧，交射線與點，連接；②以點為圓心，長為半徑作弧，交弧于點；③連接，．作射線．根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論中錯誤的是（

）A． B．C．垂直平分 D．12．如圖，中，，，，于點D，是的垂直平分線，交于點E，交于點F，在上確定一點P，使最小，則這個最小值為()

A． B．4 C． D．513．如圖，在△ABC中，∠C＝84°，分別以點A，B為圓心，以大于AB的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M，N，作直線MN交AC于點D；以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點E，F(xiàn)，再分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P．若此時射線BP恰好經過點D，則∠A的大小是（）A．30° B．32° C．36° D．42°14．如圖，中，平分，是的中點，過點作的垂線交于點，連接，若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．15．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，點E、F分別是AD、AB上的動點，若∠BAC＝50°，當BE+EF的值最小時，∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．115° C．120° D．130°填空題16．如圖，垂直平分，垂直平分．若，，則的周長為．

17．如圖，中，垂直平分，交于點D，交于點F，交的延長線于點E，若，則的長為.18．線段垂直平分線的性質定理的逆定理：到線段兩端相等的點在線段的垂直平分線上．角平分線性質定理的逆定理：角的內部，到角兩邊相等的點，在這個角的平分線上．19．如圖，已知線段長為4．現(xiàn)按照以下步驟作圖：①分別以點，為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點，；②過，兩點作直線，與線段相交于點．則的長為．20．在△ABC中，∠C=90°，AB的中垂線交直線BC于D，若∠BAD﹣∠DAC=22.5°，則∠B的度數(shù)是21．如圖，周長為16cm，，垂直平分，則cm．

22．如圖，在中，，垂直平分，交于點G，交于點D，P為直線上一動點（不在的延長線上），連接，則周長的最小值是．

23．如圖，在中，分別以點和點為圓心，以相同的長（大于）為半徑作弧，兩弧相交于點和點，作直線交于點，交于點，連接，若的面積為，的面積為，則四邊形的面積為．

24．如圖，是的角平分線，、分別是和的高，則下列結論：①垂直平分；②；③；④為的中點．其中一定正確的是（填序號）

25．如圖，在中，，分別以點、為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于，，作直線，為的中點，為直線上任意一點，若，面積為，則長度的最小值為．

26．如圖，在中，，點D是內部一點，，點E是邊上一點，若平分，，則的度數(shù)為．

27．如圖，在中，，垂足為D，PQ是BC邊的垂直平分線，交BC于點Q，交AC于點P，．若的周長是，，則的長是．28．點在的內部，點、分別是點關于直線、的對稱點，線段交、于點、，若的周長是，則線段的長是.29．如圖，在中，D為中點，，，于點F，，，則的長為．

30．如圖，△ABC中（AB＞BC），G在CB的延長線上，邊AC的垂直平分線DE與∠ABG的角平分線交于點M，與AB交于點D，與AC相交于E，MN⊥AB于N．已知AB=13，BC=9，MN=3，則△BMN的面積是．解答題31．如圖，已知在中，，．請用尺規(guī)作圖法，在上確定一點D，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法．）

32．如圖，與相交于點O，，，，連接，求證；垂直平分．33．如圖，為的角平分線，，求證：是的垂直平分線小高證明如下：證明：平分，，又點在上，．∴是的垂直平分線．小高的證法正確嗎？若不正確，請寫出正確的證明過程．34．如圖，四邊形中，，E為的中點，連結并延長交的延長線于點F．(1)與全等嗎？請說明理由．(2)連結，當，，時，求的長．35．如圖，ABC的外角平分線AD與邊BC的垂直平分線交于點D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分別為F、G．(1)求證：BG＝CF；(2)若AB＝18，AC＝6，求AF的長度．(3)直接寫出∠ADB、∠ADC、∠ADG之間的數(shù)量關系．36．【了解概念】如圖1，已知A，B為直線MN同側的兩點，點P為直線的一點，連接，，若，則稱點P為點A，B關于直線l的“等角點”．(1)【理解運用】如圖2，在中，D為上一點，點D，E關于直線對稱，連接并延長至點F，判斷點B是否為點D，F(xiàn)關于直線的“等角點”，并說明理由；(2)【拓展提升】如圖2，在（1）的條件下，若，，點Q是射線上一點，且點D，Q關于直線的“等角點”為點C，請利用尺規(guī)在圖2中確定點Q的位置，并求出的度數(shù)；(3)【拓展提升】如圖3，在中，，的平分線交于點O，點O到AC的距離為1，直線l垂直平分邊，點P為點O，B關于直線l“等角點”，連接，，當時，的值為．參考答案1．B【分析】根據線段垂直平分線的性質得到，再根據三角形周長公式進行求解即可．解：∵的垂直平分線交于點D，交于點E，∴，∵，，∴的周長，故選B．【點撥】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，熟知線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等是解題的關鍵．2．B【分析】根據線段垂直平分線的性質得到，，根據三角形的周長公式計算，得到答案．解：是線段的垂直平分線，，同理，，的周長，故選：B．【點撥】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．3．C【分析】根據垂直平分線的概念逐個判斷即可．解：A、CA=CB，DA=DB，可以判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線，不符合題意；B、CA=CB，CD⊥AB，可以判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線，不符合題意；C、CA=DA，CB=DB，不能判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線，符合題意；D、CA=CB，CD平分AB，可以判定直線CD是線段AB(C，D不在線段AB上)的垂直平分線，不符合題意．故選：C．【點撥】此題考查了垂直平分線的概念，解題的關鍵是熟練掌握垂直平分線的概念．4．A【分析】根據線段垂直平分線的判定，即可求解．解：∵到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上，∴到三角形各頂點距離相等的點是三條邊垂直平分線交點．故選：A【點撥】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，熟練掌握到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上是解題的關鍵．5．A【分析】根據圖像，明確是線段的中垂線和的角平分線相交構成的銳角即可解題．解：由圖可知，是線段的中垂線和的角平分線相交構成的銳角，∵，∴，∴，故選：A【點撥】本題考查了尺規(guī)作圖，屬于簡單題，熟悉尺規(guī)作圖的方法是解題關鍵．6．C【分析】如圖所示，可知是的角平分線，是線段的垂直平分線，即，垂足為，射線與直線交于點，根據長方形的性質可得，根據角平分線的性質可得，根據垂直平分線的性質可得，再根據三角形內角和定理可得的度數(shù)，根據對頂角相等即可求解．解：如圖所示，可知是的角平分線，是線段的垂直平分線，即，垂足為，射線與直線交于點，

∵四邊形是長方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∵是線段的垂直平分線，即，垂足為，∴在中，，∵，∴的度數(shù)是，故選：．【點撥】本題主要考查長方形與三角形的綜合，掌握長方形的性質，角平分線的畫法及性質，垂直平分線的畫法及性質，三角形內角和定理等值的綜合運用是解題的關鍵．7．A【分析】連接，可利用垂直平分線的性質得到的值，進一步可求出∠BOC的度數(shù)．解：連接，如圖所示：

由題意得：又故選：A【點撥】本題考查了垂直平分線的性質、三角形的內角和定理等知識點．掌握數(shù)學中的整體思想是解題關鍵．8．A【分析】根據直線l為的中垂線得，即，根據射線為的角平分線得，即可得，根據三角形內角和定理和進行計算即可得．解：∵直線l為的中垂線，∴，∴，∵射線為的角平分線，∴，∴，∵，∴，，，，，，故選：A．【點撥】本題考查了中垂線，角平分線，三角形的內角和，解題的關鍵是掌握這些知識點．9．C【分析】如圖所示，連接，證明M、N都在線段的垂直平分線上，即可判斷①；根據折疊的性質得到，再根據長方形的性質得到，由此即可判斷③④⑤；根據現(xiàn)有條件無法證明②．解：如圖所示，連接，由折疊的性質可知，∴M、N都在線段的垂直平分線上，∴直線垂直平分線，故①正確；由折疊的性質可知，由長方形的性質可知，∴，故③，④正確；∴，故⑤正確；根據現(xiàn)有條件無法證明E點是中點，故②錯誤；∴正確的一共有4個，故選C．【點撥】本題主要考查了折疊的性質，線段垂直平分線的判定，三角形內角和定理，靈活運用所學知識是解題的關鍵．10．B【分析】根據角平分線的作圖，三角形的高的作圖，線段的垂直平分線的作圖，逐一分析各選項即可．解：∵到三角形三個頂點距離相等的點是三角形三邊的垂直平分線的交點，∴選項B中的作圖是作的三角形的兩邊的垂直平分線，符合題意，選項A中的作圖，作的一個內角的平分線，作的一邊的垂直平分線，不符合題意；選項C中的作圖作的是兩個內角的平分線，不符合題意，選項D中的作圖作的一邊的垂直平分線，作的一邊上的高，不符合題意；故選B．【點撥】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，根據垂直平分線的性質再判斷作圖是解本題的關鍵．11．D【分析】由作法得，則可對選項進行判斷；根據全等三角形的性質可得，則可對B選項進行判斷；由線段垂直平分線的判定可對C選項進行判斷；利用三角形三邊的關系得到，則可對D選項進行判斷．解：由作法得，，故選項A正確，不符合題意；又∵，∴∴，故選項B正確，不符合題意；∵，，∴垂直平分，故選項C正確，不符合題意；，，，所以選項符合題意．故選：D．【點撥】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了線段垂直平分線的性質和全等三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是熟練掌握基本作圖．12．B【分析】在上取一點P，連接，，，由垂直平分線的性質可知，從而得到，點D是定點，由兩點之間線段最短可知，最小值為的長，再利用三角形的面積公式求即可．解：在上取一點P，連接，∵是的垂直平分線，∴，∴，

點D是定點，由兩點之間線段最短可知：點P在上時，最小值為的長，∵，，∴，∴，∴最小值為4，故選：B．【點撥】本題考查三角形的面積公式，兩點之間線段最短，垂直平分線的性質等知識，推導出最小值即為的長是解題的關鍵．13．B【分析】根據題中作圖知：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，利用三角形內角和定理計算即可．解：由題意得：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，∵DM垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=，∠C＝84°，∴∠A=，故選：B．【點撥】此題考查線段垂直平分線作圖及性質，角平分線作圖及性質，三角形的內角和定理，根據題意得到DM垂直平分AB，BD平分∠ABC是解題的關鍵．14．B【分析】根據已知條件得到垂直平分，求得，根據等腰三角形的性質得到，求得，得，根據角平分線的性質得到，根據三角形的內角和定理即可得到．解：是的中點，過點作的垂線交于點，垂直平分，，，，，，，平分，，，故選：．【點撥】本題考查三角形的性質定理，關鍵要掌握中垂線的性質．15．B【分析】過點B作BB′⊥AD于點G，交AC于點B′，過點B′作B′F′⊥AB于點F′，與AD交于點E′，連接BE′，證明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三邊關系可知，，即BE+EF的值最小為，通過證明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性質求出AE′B′即可．解：過點B作BB′⊥AD于點G，交AC于點B′，過點B′作B′F′⊥AB于點F′，與AD交于點E′，連接BE′，如圖：此時BE+EF最?。逜D是△ABC的角平分線，∠BAC＝50°，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，在△ABG和△AB′G中，，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，AB＝AB′，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，在△ABE′和△AB′E′中，，∴△ABE′≌△AB′E′（SSS），∴∠AE′B＝AE′B′，∵AE′B′＝∠BAD+AF′E′＝25°+90°=115°，∴∠AE′B＝115°．即當BE+EF的值最小時，∠AEB的度數(shù)為115°．故選B．【點撥】本題考查垂直平分線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的定義，三角形外角的性質，三角形三邊關系等知識點，解題的關鍵是找出BE+EF取最小值時點E的位置．16．7【分析】由垂直平分線的性質得到，，即可得到的周長．解：∵垂直平分，，∴，∵垂直平分．，∴，∴的周長為．故答案為：7【點撥】此題主要考查了垂直平分線的性質和三角形的周長，熟練掌握線段垂直平分線上的點到這條線段兩端的距離相等是解題的關鍵．17．8【分析】根據線段垂直平分線的性質得到，結合圖形計算即可．解：∵垂直平分，，∴，∵，∴，故答案為：8．【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質，熟知線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解本題的關鍵．18．距離距離【分析】根據到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上，以及角的內部，到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上，進行作答即可．解：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上；到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上；故答案為：距離，距離．【點撥】本題考查線段垂直平分線的性質定理的逆定理以及角平分線性質定理的逆定理．熟練掌握到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上；到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上，是解題的關鍵．19．2【分析】根據作圖得出是線段的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質即可得出結論．解：分別以點，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點和點，，，是線段的垂直平分線，．故答案為2．【點撥】本題考查了作圖基本作圖以及線段垂直平分線的性質，熟知垂直平分線作法是解答此題的關鍵．20．37.5°或67.5°．【分析】求出AD=BD,推出∠B=∠DAB，∠B+∠BAC=90°，分為兩種情況并畫出圖形后，根據三角形內角和定理求出即可.解：∵DE是AB的垂直平分線,∴AD=BD,∴∠B=∠DAB,∵∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°,分為兩種情況:①如圖1,∵∠B+∠BAC=90,∠BAD-∠DAC=22.5°，∴∠B=∠DAB=∠DAC+22.5°∴∠DAC+22.5°+∠DAC+22.5°+∠DAC=90°,∠DAC=15°∴∠B=15°+22.5°=37.5°②如圖2，∵∠B+∠BAC=90°,∠BAD-∠DAC=22.5°∴∠B=∠DAB=∠DAC+22.5°，∴∠DAC+22.5°+∠DAC+22.5°-∠DAC=90°，∴∠DAC=45°,∴∠B=45°+22.5°=67.5°【點撥】本題考查中垂線性質和三角形內角和定理，中等難度，分類討論是解題關鍵.21．5【分析】由三角形的周長求出，根據線段垂直平分線的性質得出，，推出，由此求出，由此求出．解：∵周長為16cm，，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴∵垂直平分，∴∴∴，∴故答案為：5．【點撥】此題考查了線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等，熟練線段垂直平分線的性質定理是解題的關鍵．22．14【分析】利用線段的垂直平分線的性質得到，再利用兩點之間線段最短即可求解．解：∵垂直平分，∴，∴的周長=，故答案為14．

【點撥】本題考查了線段的垂直平分線的性質和兩點之間線段最短，解題關鍵是理解相關概念并正確轉化．23．【分析】先利用基本作圖得到垂直平分，則，在根據三角形面積公式得到，接著計算出，然后計算即可．解：由作法得垂直平分，，，，，四邊形的面積．故答案為：．【點撥】本題考查了作圖中垂線，線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．24．②③④【分析】如果，則，，，即可判斷①．根據，判斷出，，即可判斷出成立，即可判斷③；然后根據全等三角形的判定方法，判斷出，即可判斷出，，即可判斷②④．解：如果垂直平分，則點O是的中點，∵分別是和的高，∴，，∴，∴，不符合題意；∴①不正確；∵是的角平分線，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴③正確；在和中，，∴，∴，∴為的中點，∴④正確．又∵，∴是的中垂線，∴，∴②正確；綜上，正確的是：②③④．故答案為：②③④．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，垂直平分線的判定和性質，準確分析判斷是解題的關鍵．25．6【分析】如圖，連接，，則，利用三角形的面積公式求出，再根據垂線段最短，線段的垂直平分線的性質判斷即可．解：如圖，連接，，∵，為的中點，∴

∵，∴，∵垂直平分線段，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查線段的垂直平分線的作法及性質，三角形的面積，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會利用垂線段最短解決最值問題．26．【分析】如圖所示，取的中點F，連接，則可證明在的垂直平分線上，得到，證明得到，同理可得，設，則，由三角形外角的性質得到，再根據三角形內角和定理求出答案即可．解：如圖所示，取的中點F，連接，∵，∴在的垂直平分線上，∴三點共線，且，∴，又∵，∴，∴，同理可得，∵平分，∴，設，∴，∵，∴，∴．

故答案為：．【點撥】本題主要考查三角形內角和定理，三角形的外角的性質，全等三角形的性質與判定，線段垂直平分線的判定等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)解決問題．27．/8厘米【分析】先根據垂直平分線的性質得到，，，再求出，，即可求出．解：∵，，∴是線段的垂直平分線，∴，∵PQ是BC邊的垂直平分線，∴，，∴，∵的周長是，∴，∴，即，∵，，∴．故答案為：【點撥】本題考查了線段垂直平分線的定義和性質，熟知線段垂直平分線的性質和定義，結合題意進行線段的轉化是解題關鍵．28．【分析】根據“點、分別是點關于直線、的對稱點”可知，，再根據的周長即可求出MN的長度.解：∵點、分別是點關于直線、的對稱點，∴，，∵的周長是，即.∴.【點撥】本題考查的是對稱的性質，中垂線的性質，能夠判斷出，是解題的關鍵.29．【分析】連接，過點E作，交的延長線于N，由，可得；由D為中點，，則可得；證明，再證明即可求得結果．解：連接，過點E作，交的延長線于N，如圖，∵，，∴；∵D為中點，，∴；∵，，∴，∵，∴，∴；∵，，，∴，∴，∴，即，∴．

故答案為：．【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定與性質，掌握這兩個性質是關鍵．30．3【分析】連接AM，CM，做MK⊥CG，垂足為K．先證明△MBK≌△MBN，Rt△AMN≌Rt△CMK，得到，BK=BN，AN=CK，通過線段的代換求出BN，利用三角形的面積公式即可求解．解：如圖，連接AM，CM，做MK⊥CG，垂足為K，∵ME為AC的垂直平分線，∴AM=MC，∵BM平分∠ABG，MN⊥AB，MK⊥CG，∴∠MBK=∠MBN，∠MKB=∠MNB=90°，又∵MB=MB，∴△MBK≌△MBN，∴MN=MK，BK=BN，∴Rt△AMN≌Rt△CMK，∴AN=CK，∴AN=CK=BC+BK=BC+BN，∴BN=AN-BC=AB-BN-BC，∴2BN=AB-BC=13-9=4，∴BN=2，∴△BMN的面積為．故答案為：．．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質、線段的垂直平分線性質、角平分線等知識，根據題意添加輔助線構造全等三角形是解題關鍵．31．見分析【分析】作的垂直平分線交于點，則根據線段垂直平分線的性質得到，所以，然后根據三角形外角性質可得到．解：如圖，作的垂直平分線交于點，則點為所作．

【點撥】本題考查了作圖復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質．32．見分析【分析】先證明得到，再由即可證明垂直平分．解：證明：在和中，，，又，垂直平分．【點撥】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，線段垂直平分線的判定，證明得到是解題的關鍵．33．不正確，見分析【分析】根據小高過程中不是已知條件，可得小高證明方法不正確；通過證明，得出，即可求證．解：∵不是已知條件，∴小高證明方法不正確，證明：平分，，在和中，，∴，∴，∵，∴是的垂直平分線．【點撥】本題主要考查了垂直平分線的判定，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握垂直平分線的判定方法．34．(1)全