高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七篇 立體幾何與空間向量 第3節(jié) 空間點 直線 平面之間的位置關(guān)系習(xí)題 理試題

第3節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系【選題明細表】知識點、方法題號平面的基本性質(zhì)3,6,14點、線、面的位置關(guān)系1,4,5,11異面直線所成的角2,7,8,9,10,12,13基礎(chǔ)對點練(時間:30分鐘)1.(2016·黑龍江大慶高三月考)下列說法正確的是(D)(A)若a?α,b?β,則a與b是異面直線(B)若a與b異面,b與c異面,則a與c異面(C)若a,b不同在平面α內(nèi),則a與b異面(D)若a,b不同在任何一個平面內(nèi),則a與b異面解析:由異面直線的定義可知選D.2.空間四邊形兩對角線的長分別為6和8,所成的角為45°,連接各邊中點所得四邊形的面積是(A)(A)62 (B)12 (C)122 (D)242解析:如圖,已知空間四邊形ABCD,對角線AC=6,BD=8,易證四邊形EFGH為平行四邊形,∠EFG或∠FGH為AC與BD所成的45°角,故S四邊形EFGH=3×4·sin45°=62,故選A.3.若直線上有兩個點在平面外,則(D)(A)直線上至少有一個點在平面內(nèi)(B)直線上有無窮多個點在平面內(nèi)(C)直線上所有點都在平面外(D)直線上至多有一個點在平面內(nèi)解析:根據(jù)題意,兩點確定一條直線,那么由于直線上有兩個點在平面外,則直線在平面外,只能是直線與平面相交,或者直線與平面平行,那么可知直線上至多有一個點在平面內(nèi).選D.4.(2016·淄博實驗階段測試)如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是棱C1D1,C1①直線AM與直線C1C②直線AM與直線BN平行;③直線AM與直線DD1異面;④直線BN與直線MB1異面.其中正確結(jié)論的序號為(B)(A)①② (B)③④ (C)①③ (D)②④解析:AM與C1C異面,故①錯;AM與BN異面,故②錯;③,④5.(2016·福州質(zhì)檢)已知命題p:a,b為異面直線,命題q:直線a,b不相交,則p是q的(A)(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件解析:若直線a,b不相交,則a,b平行或異面,所以p是q的充分不必要條件,故選A.6.如圖,ABCDA1B1C1D1是長方體,O是B1D1的中點,直線A1C交平面AB1D(A)A,M,O三點共線(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面解析:連接A1C1,AC,則A1C1∥AC,所以A1,C1,C,A四點共面,所以A1C?平面ACC1A1,因為M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,同理O在平面ACC7.(2016·洛陽一模)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,則CD與平面BDC1(A)23 (B)33 (C)2解析:如圖所示,因為BD⊥平面ACC1A1,所以平面ACC1A1⊥平面BDC1.在Rt△CC1O中,過C作CH⊥C1O于H,連接DH,則∠CDH即為所求.令A(yù)B=a,顯然CH=CO·CC1C所以sin∠CDH=23aa即CD與平面BDC1所成角的正弦值為238.(2016·揭陽模擬)如圖所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中點,AA1∶AB=2∶1,則異面直線AB1與BD所成的角為.解析:如圖,取A1C1的中點D1,連接B1D1因為D是AC的中點,所以B1D1∥BD,所以∠AB1D1即為異面直線AB1與BD所成的角.連接AD1,設(shè)AB=a,則AA1=2a,所以AB1=3a,B1D1=32AD1=14a2所以,在△AB1D1中,由余弦定理得cos∠AB1D1=A=3a2+所以∠AB1D1=60°.答案:60°9.如圖所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是.解析:由于AC∥A1C1,所以∠BA1C1(或其補角)就是所求異面直線所成的角.在△BA1C1中,A1B=6,A1C1=1,BC1=5,cos∠BA1C1答案:6能力提升練(時間:15分鐘)10.導(dǎo)學(xué)號18702358三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1與AC,AB所成的角均為60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,則A1B與AC1(A)1 (B)13 (C)33解析:如圖所示,把三棱柱補成四棱柱ABDCA1B1D1C1,連接BD1,則BD1∥AC1,則∠A1BD1就是異面直線A1B與AC1所成的角,設(shè)AB=a,在△A1BD1中,A1B=a,BD1=3a,A1D1=2a,所以sin∠A1BD1=611.(2016·福建六校聯(lián)考)設(shè)a,b,c是空間中的三條直線,下面給出四個命題:①若a∥b,b∥c,則a∥c;②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;③若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;④若a?平面α,b?平面β,則a,b一定是異面直線.上述命題中正確的命題是(寫出所有正確命題的序號).

解析:由公理4知①正確;當(dāng)a⊥b,b⊥c時,a與c可以相交、平行或異面,故②錯;當(dāng)a與b相交,b與c相交時,a與c可以相交、平行,也可以異面,故③錯;a?α,b?β,并不能說明a與b“不同在任何一個平面內(nèi)”,故④錯.答案:①12.(2015·四川卷)如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動點M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點.設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ,則cosθ的最大值為.

解析:如圖,建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz,設(shè)AB=2,QM=m(0≤m≤2),則F(2,1,0),E(1,0,0),M(0,m,2),AF→=(2,1,0),MEcosθ=|cos<AF→,ME=|AF→=|2-=|m設(shè)y=(m-2)2則y′=2=(=(m當(dāng)0≤m≤2時,y′≤0,所以y=(m所以當(dāng)m=0時,y取最大值,此時cosθ取最大值,(cosθ)max=|0-2答案:213.導(dǎo)學(xué)號18702359已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為2,A1在底面ABC內(nèi)的射影O為底面△(1)連接BC1,求異面直線AA1與BC1所成角的大小;(2)連接A1C,A1B,求三棱錐C1BCA1解:(1)連接AO,并延長與BC交于點D,則D是BC邊上的中點.因為點O是正△ABC的中心,且A1O⊥平面ABC,所以BC⊥AD,BC⊥A1O.因為AD∩A1O=O,所以BC⊥平面ADA1.所以BC⊥AA1.又AA1∥CC1,所以異面直線AA1與BC1所成的角為∠BC1C因為CC1⊥BC,BC=CC1=B1C1=BB1即四邊形BCC1B1為正方形,所以異面直線AA1與BC1所成角的大小為π4(2)因為三棱柱的所有棱長都為2,所以可求得AD=3,AO=23AD=233,A1O=A所以VABCA1B1C1=S△VA1BCC1B1所以VC1BCA1=V14.導(dǎo)學(xué)號18702361已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C(1)D,B,E,F四點共面;(2)若A1C證明:(1)如圖所示,因為EF是△D1B1C1所以EF∥B1D1.在正方體AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD確定一個平面.即D,B,F,E四點共面.(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α又設(shè)平面BDEF為β.因為Q∈A1C1,所以Q∈α又Q∈EF,所以Q∈β.則Q是α與β的公共點,同理,P點也是α與β的公共點.所以α∩β=PQ.又A1C∩β所以R∈A1C,R∈α且R∈β則R∈PQ,故P,Q,R三點共線.好題天天練1.導(dǎo)學(xué)號18702362如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點,則下列判斷正確的是.(填所有正確結(jié)論的序號)①MN與CC1垂直;②MN與AC垂直;③MN與BD平行;④MN與A1B1平行.解題關(guān)鍵:連接B1C,則點M是B1C的中點,根據(jù)三角形的中位線,證明MN∥B1D解析:連接B1C,B1D1,則點M是B1C的中點,MN是△B1CD所以MN∥B1D1,因為CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,所以MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD,故①②③正確.又因為A1B1與B1D1相交,所以MN與A1B1不平行,因此④錯誤.答案:①②③2.一個正方體紙盒