高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題檢測（十五）圓錐曲線的方程與性質(zhì)試題

專題檢測（十五）圓錐曲線的方程與性質(zhì)A組——“6＋3＋3”考點(diǎn)落實(shí)練一、選擇題1.(2019·全國卷Ⅱ)若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝()A.2 B.3C.4 D.8解析：選D拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\r(2p)，0)).由題意得eq\f(p,2)＝eq\r(2p)，解得p＝0(舍去)或p＝8.故選D.2.一個(gè)焦點(diǎn)為(eq\r(26)，0)且與雙曲線eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1有相同漸近線的雙曲線方程是()A.eq\f(y2,18)－eq\f(x2,8)＝1 B.eq\f(x2,18)－eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,10)＝1 D.eq\f(y2,16)－eq\f(x2,10)＝1解析：選B設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝t(t≠0)，因?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)為(eq\r(26)，0)，所以|13t|＝26.又焦點(diǎn)在x軸上，所以t＝－2，即雙曲線方程為eq\f(x2,18)－eq\f(y2,8)＝1.3.已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.eq\f(x2,24)＋eq\f(y2,25)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,24)＝1C.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1解析：選D設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r，|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|，所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C1(4，0)和C2(－4，0)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝16，a＝8，c＝4，則b2＝a2－c2＝48，所以點(diǎn)M的軌跡方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.4.(2019·全國卷Ⅲ)已知F是雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|OP|＝|OF|，則△OPF的面積為()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,2)C.eq\f(7,2) D.eq\f(9,2)解析：選B由F是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＝3，,\f(xeq\o\al(2,0),4)－\f(yeq\o\al(2,0),5)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)＝\f(56,9)，,yeq\o\al(2,0)＝\f(25,9)，))所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(14),3)，\f(5,3)))，所以S△OPF＝eq\f(1,2)|OF|·y0＝eq\f(1,2)×3×eq\f(5,3)＝eq\f(5,2).故選B.5.(2019·石家莊市模擬(一))已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，點(diǎn)F為左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為下頂點(diǎn)，平行于FP的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，則橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(\r(3),2)解析：選B∵FP的斜率為－eq\f(b,c)，F(xiàn)P∥l，∴直線l的斜率為－eq\f(b,c).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1))得eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)－eq\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)－\f(xeq\o\al(2,2),a2)))，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2（x1＋x2）,a2（y1＋y2）).∵AB的中點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，∴－eq\f(b,c)＝－eq\f(2b2,a2)，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc，∴b＝c，∴a＝eq\r(2)c，∴橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)，故選B.6.(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn).若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2 D.eq\r(5)解析：選A設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c，0).由圓的對(duì)稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，如圖，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq\f(c,2).由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，故eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即e＝eq\r(2).故選A.二、填空題7.(2019·北京通州區(qū)三模改編)拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線與雙曲線x2－eq\f(y2,4)＝1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為2，則p＝________，拋物線焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為________.解析：拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，雙曲線x2－eq\f(y2,4)＝1的兩條漸近線方程分別為y＝2x，y＝－2x，這三條直線構(gòu)成等腰三角形，其底邊長為2p，三角形的高為eq\f(p,2)，因此eq\f(1,2)×2p×eq\f(p,2)＝2，解得p＝2.則拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，且到直線y＝2x和y＝－2x的距離相等，均為eq\f(|2－0|,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).答案：2eq\f(2\r(5),5)8.設(shè)直線l：2x＋y＋2＝0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為l′，若l′與橢圓x2＋eq\f(y2,4)＝1的交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使△PAB的面積為eq\f(1,2)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為________.解析：直線l′的方程為2x＋y－2＝0，∴交點(diǎn)分別為橢圓頂點(diǎn)(1，0)和(0，2)，則|AB|＝eq\r(5)，由△PAB的面積為eq\f(1,2)，得點(diǎn)P到直線AB的距離為eq\f(\r(5),5)，而平面上到直線2x＋y－2＝0的距離為eq\f(\r(5),5)的點(diǎn)都在直線2x＋y－1＝0和2x＋y－3＝0上，而直線2x＋y－1＝0與橢圓相交，2x＋y－3＝0與橢圓相離，∴滿足題意的點(diǎn)P有2個(gè).答案：29.已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn).若eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))<0，則y0的取值范圍是________.解析：由題意知a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3)，設(shè)F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，則eq\o(MF1,\s\up7(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)，eq\o(MF2,\s\up7(→))＝(eq\r(3)－x0，－y0).∵eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))<0，∴(－eq\r(3)－x0)(eq\r(3)－x0)＋yeq\o\al(2,0)<0，即xeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)<0.∵點(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線C上，∴eq\f(xeq\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，即xeq\o\al(2,0)＝2＋2yeq\o\al(2,0)，∴2＋2yeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)<0，∴－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3)三、解答題10.(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測(二))已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，滿足PF2⊥x軸，|PF2|＝eq\f(1,2)，橢圓C的離心率為eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓C左焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積.解：(1)由題意知，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，|PF2|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(1,2)，得a＝2，b＝1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由條件可知F1(－eq\r(3)，0)，直線l：y＝x＋eq\r(3)，聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋\r(3)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y得5x2＋8eq\r(3)x＋8＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(8\r(3),5)，x1·x2＝eq\f(8,5)，所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(4\r(2),5)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)·|y1－y2|·|OF1|＝eq\f(2\r(6),5).11.(2019·全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))，求|AB|.解：設(shè)直線l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由題設(shè)得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2).又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq\f(5,2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，則x1＋x2＝－eq\f(12（t－1）,9).從而－eq\f(12（t－1）,9)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8).所以l的方程為y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8).(2)由eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))可得y1＝－3y2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得y2－2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2，從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3).故|AB|＝eq\f(4\r(13),3).12.(2019·成都市第二次診斷性檢測)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短軸長為4eq\r(2)，離心率為eq\f(1,3).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且F1M∥F2N，直線F1M的斜率為2eq\r(6)，記直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，求3k1＋2k2的值.解：(1)由題意，得2b＝4eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(1,3).又a2－c2＝b2，∴a＝3，b＝2eq\r(2)，c＝1.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.(2)由(1)可知A(－3，0)，B(3，0)，F(xiàn)1(－1，0).據(jù)題意，直線F1M的方程為y＝2eq\r(6)(x＋1).記直線F1M與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為M′.設(shè)M(x1，y1)(y1>0)，M′(x2，y2∵F1M∥F2N，∴根據(jù)對(duì)稱性，得N(－x2，－y2聯(lián)立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8x2＋9y2＝72，,y＝2\r(6)（x＋1），))消去y，得14x2＋27x＋9＝0.由題意知x1>x2，∴x1＝－eq\f(3,7)，x2＝－eq\f(3,2)，k1＝eq\f(y1,x1＋3)＝eq\f(2\r(6)（x1＋1）,x1＋3)＝eq\f(4\r(6),9)，k2＝eq\f(－y2,－x2－3)＝eq\f(2\r(6)（x2＋1）,x2＋3)＝－eq\f(2\r(6),3)，∴3k1＋2k2＝3×eq\f(4\r(6),9)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)))＝0，即3k1＋2k2的值為0.B組——大題專攻強(qiáng)化練1.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為eq\f(1,2)，其中一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線x2＝－4eq\r(3)y的焦點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)P(2，1)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M，求直線l的方程和點(diǎn)M的坐標(biāo).解：(1)設(shè)橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由題意得b＝eq\r(3)，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，c＝1.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)因?yàn)檫^點(diǎn)P(2，1)的直線l與橢圓C在第一象限相切，所以直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)＋1(k≠0).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝k（x－2）＋1))得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①因?yàn)橹本€l與橢圓C相切，所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.整理，得2k＋1＝0，解得k＝－eq\f(1,2).所以直線l的方程為y＝－eq\f(1,2)(x－2)＋1＝－eq\f(1,2)x＋2.將k＝－eq\f(1,2)代入①式，可以解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，故切點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).2.在直角坐標(biāo)系xOy中，長為eq\r(2)＋1的線段的兩端點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸上滑動(dòng)，eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\r(2)eq\o(PD,\s\up7(→)).記點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)(0，1)作直線l與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))，當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時(shí)，求直線l的方程.解：(1)設(shè)C(m，0)，D(0，n)，P(x，y).由eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\r(2)eq\o(PD,\s\up7(→))，得(x－m，y)＝eq\r(2)(－x，n－y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－m＝－\r(2)x，,y＝\r(2)（n－y），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝（\r(2)＋1）x，,n＝\f(\r(2)＋1,\r(2))y，))由|eq\o(CD,\s\up7(→))|＝eq\r(2)＋1，得m2＋n2＝(eq\r(2)＋1)2，所以(eq\r(2)＋1)2x2＋eq\f(（\r(2)＋1）2,2)y2＝(eq\r(2)＋1)2，整理，得曲線E的方程為x2＋eq\f(y2,2)＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))，知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1＋x2，y1＋y2).易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，代入曲線E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，則x1＋x2＝－eq\f(2k,k2＋2)，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝eq\f(4,k2＋2).由點(diǎn)M在曲線E上，知(x1＋x2)2＋eq\f(（y1＋y2）2,2)＝1，即eq\f(4k2,（k2＋2）2)＋eq\f(8,（k2＋2）2)＝1，解得k2＝2.此時(shí)直線l的方程為y＝±eq\r(2)x＋1.3.已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\f(1,3)，焦距為2.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)Q(0，2)作斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若x軸上的一點(diǎn)E滿足|AE|＝|BE|，試求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的取值范圍.解：(1)由已知得eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，2c＝2，所以c＝1，a＝3，b2＝a2－c2＝8.所以橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.(2)根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為G(x0，y0).設(shè)點(diǎn)E(m，0)，使得|AE|＝|BE|，則EG⊥AB.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,9)＋\f(y2,8)＝1))得(8＋9k2)x2＋36kx－36＝0，x1＋x2＝－eq\f(36k,9k2＋8)，所以x0＝eq\f(－18k,9k2＋8)，y0＝kx0＋2＝eq\f(16,9k2＋8)，因?yàn)镋G⊥AB，所以kEG＝－eq\f(1,k)，即eq\f(\f(16,9k2＋8)－0,\f(－18k,9k2＋8)－m)＝－eq\f(1,k)，所以m＝eq\f(－2k,9k2＋8)＝eq\f(－2,9k＋\f(8,k))，當(dāng)k>0時(shí)，9k＋eq\f(8,k)≥2eq\r(9×8)＝12eq\r(2)，所以－eq\f(\r(2),12)≤m<0；當(dāng)k<0時(shí)，9k＋eq\f(8,k)≤－12eq\r(2)，所以0<m≤eq\f(\r(2),12).綜上所述，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),12)，0))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),12))).4.如圖，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，且|AB|＝eq\f(\r(5),2)|BF|.(1)求橢圓C的離心率；(2)若點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,17)，\f(2,17)))在橢圓C的內(nèi)部，過點(diǎn)M的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，且OP⊥OQ，求直線l的方程及橢圓C的方程.解：(1)由已知|AB|＝eq\f(\r(5),2)|BF|，得eq\r(a2＋b2)＝