高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)文化與創(chuàng)新應(yīng)用 第2講 新定義型、創(chuàng)新型、應(yīng)用型試題突破練習(xí) 理試題

第2講新定義型、創(chuàng)新型、應(yīng)用型試題突破「考情研析」本講內(nèi)容主要考查學(xué)生的閱讀理解能力，信息遷移能力，數(shù)學(xué)探究能力以及創(chuàng)造性解決問題的能力．高考中一般會(huì)以選擇題的形式出現(xiàn)，分值5分，題目新而不難，備考時(shí)要高度重視．核心知識(shí)回顧1.新定義型問題“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解．對(duì)于此類題中的新概念，對(duì)閱讀理解能力有一定的要求．但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶．2．創(chuàng)新型問題創(chuàng)新型試題在命題的立意，背景的取材，情境的設(shè)置，設(shè)問的方式等方面新穎靈活，解題時(shí)要注意進(jìn)行文字閱讀訓(xùn)練，培養(yǎng)從冗長(zhǎng)的或不熟悉的問題情境中獲取重要信息的能力，加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言——符號(hào)語言——圖形語言相互轉(zhuǎn)換的能力訓(xùn)練，善于把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來加以解決．3．實(shí)際應(yīng)用型問題將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，此類問題往往含有文字語言、符號(hào)語言、圖表語言，要明確題中已知量與未知量的數(shù)學(xué)關(guān)系，要理解生疏的情境、名詞、概念，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法解模(如借助不等式、導(dǎo)數(shù)等工具加以解決)．熱點(diǎn)考向探究考向1新定義型問題例1(1)(2019·北京市順義區(qū)高三第二次統(tǒng)練)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若對(duì)于?(x1，y1)∈M，?(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，則稱集合M是“互垂點(diǎn)集”．給出下列四個(gè)集合：M1＝{(x，y)|y＝x2＋1}；M2＝{(x，y)|y＝lnx}；M3＝{(x，y)|y＝ex}；M4＝{(x，y)|y＝sinx＋1}．其中是“互垂點(diǎn)集”集合的為()A．M1B．M2C．M3D．M4答案D解析設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲線上的兩點(diǎn)，對(duì)于集合M1，當(dāng)x1＝0時(shí)，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y(tǒng)2＝xeq\o\al(2,2)＋1＝0不成立，所以集合M1不是“互垂點(diǎn)集”．對(duì)于集合M2，x>0，當(dāng)x1＝1時(shí)，y1＝0，x1x2＋y1y2＝x2＝0不成立，所以集合M2不是“互垂點(diǎn)集”．對(duì)于集合M3，當(dāng)x1＝0時(shí)，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y(tǒng)2＝ex2＝0不成立，所以集合M3不是“互垂點(diǎn)集”．排除A，B，C.故選D.(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)[A，B]為y＝f(x)的“友情點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)對(duì)[A，B]與[B，A]可看作同一個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，x<0，,－x3＋6x2－9x＋a，x≥0))恰好由兩個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－2B．2C．1D．0答案B解析首先注意到(0，a)沒有對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x3＋6x2－9x＋a，則－f(－x)＝－x3－6x2－9x－a，即－x3－6x2－9x－a＝2(x<0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即a＝－x3－6x2－9x－2(x<0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．畫出y＝－x3－6x2－9x－2(x<0)的圖象如圖所示，由圖可知a＝2時(shí)有兩個(gè)解．遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)．按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決．對(duì)于選擇題，可以結(jié)合選項(xiàng)通過驗(yàn)證，用排除、對(duì)比、特值等方法求解．1．若數(shù)列{an}滿足eq\f(1,an＋1)－eq\f(p,an)＝0，n∈N*，p為非零常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“夢(mèng)想數(shù)列”．已知正項(xiàng)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))為“夢(mèng)想數(shù)列”，且b1b2b3…b99＝299，則b8＋b92的最小值是()A．2B．4C．6D．8答案B解析依題意可得bn＋1＝pbn，則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．又b1b2b3·…·b99＝299＝beq\o\al(99,50)，則b50＝2.b8＋b92≥2eq\r(b8·b92)＝2b50＝4，當(dāng)且僅當(dāng)b8＝b92，即該數(shù)列為常數(shù)列時(shí)取等號(hào)．2．(2019·長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三上學(xué)期第五次調(diào)研)定義兩個(gè)實(shí)數(shù)間的一種新運(yùn)算：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，給出如下結(jié)論：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，其中正確的是()A．②B．①②C．②③D．①②③答案D解析根據(jù)運(yùn)算法則，可知(a*b)*c＝lg(10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝lg(10a＋10b＋10c)，所以(a*b)*c＝a*(b*c)，故①正確；結(jié)合相應(yīng)式子的運(yùn)算律，可知a*b＝b*a，故②正確；(a*b)＋c＝lg(10a＋10b)＋c.(a＋c)*(b＋c)＝lg(10a＋c＋10b＋c)＝lg[10c(10a＋10b)]＝lg(10a＋10b)＋c，所以(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，故③正確；所以正確的是①②③，故選D.考向2創(chuàng)新型問題例2(1)關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)π的值：先請(qǐng)360名同學(xué)，每人隨機(jī)寫下一個(gè)x，y都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)；然后統(tǒng)計(jì)x，y兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)m；再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m來估計(jì)π的值．假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m＝102，那么可以估計(jì)π的值約為()A.eq\f(22,7)B.eq\f(47,15)C.eq\f(51,16)D.eq\f(60,17)答案B解析(構(gòu)造可行域求解)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x，y)所需滿足的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y>1，,x2＋y2<1，,0<x<1，,0<y<1，))作出滿足不等式組的可行域，如圖中陰影部分所示，依題意有eq\f(102,360)＝eq\f(\f(π,4)－\f(1,2),1×1)，解得π＝eq\f(47,15).(2)(2019·重慶模擬)古典著作《連山易》中記載了金、木、水、火、土之間相生相克的關(guān)系，如圖所示，現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，則取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系的概率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,5)答案C解析本題考查古典概型和排列組合．依題意，從5種物質(zhì)中任取2種，共有Ceq\o\al(2,5)＝10種選法，根據(jù)相生相克原理，可知恰有5種選法具有相克關(guān)系，故恰是相克關(guān)系的概率為P＝eq\f(1,2)，故選C.高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題呈現(xiàn)的形式是多樣化的，但是考查的知識(shí)和能力并沒有太大的變化，解決創(chuàng)新型問題應(yīng)注意三點(diǎn)：認(rèn)真審題，確定目標(biāo)；深刻理解題意；開闊思路，發(fā)散思維，運(yùn)用觀察、比較、類比、猜想等進(jìn)行合情推理，以便為邏輯思維定向．方向確定后，又需借助邏輯思維，進(jìn)行嚴(yán)格推理論證，這兩種推理的靈活運(yùn)用，兩種思維成分的交織融合，便是處理這類問題的基本思想方法和解題策略．1．(2019·南充市高三第一次高考適應(yīng)性考試)在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則(“·”“－”仍為通常的乘法和減法)中，我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“⊕”如下：當(dāng)a≥b時(shí)，a⊕b＝a；當(dāng)a<b時(shí)，a⊕b＝b2，則當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，函數(shù)f(x)＝(1⊕x)·x－(2⊕x)的最大值等于()A．－1B．1C．6D．12答案C解析由已知得1⊕x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1x≤1，,x2x>1，))2⊕x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x≤2，,x2x>2，))所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x≤1，,x3－21<x≤2，,x3－x2x>2，))可求出當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)的最大值是－1；當(dāng)1<x≤2時(shí)，函數(shù)的最大值是6.所以當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，函數(shù)f(x)＝(1⊕x)·x－(2⊕x)的最大值等于6，選C.2．把數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)))的所有數(shù)按照從大到小的原則寫出如圖所示的數(shù)表，第k行有2k－1個(gè)數(shù)，第t行的第s個(gè)數(shù)(從左數(shù)起)記為A(t，s)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)))中的項(xiàng)eq\f(1,287)應(yīng)記為________．答案A(8,17)解析令2n－1＝287?n＝144?eq\f(1,287)是數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)))的第144項(xiàng)，由S7＝eq\f(27－1,2－1)＝127?A(8,17)．考向3實(shí)際應(yīng)用型問題例3(1)小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步，他從點(diǎn)A出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過點(diǎn)B跑到點(diǎn)C，共用時(shí)30s，他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小明跑步的過程，設(shè)小明跑步的時(shí)間為t(s)，他與教練間的距離為y(m)，表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則這個(gè)固定位置可能是圖1中的()A．點(diǎn)MB．點(diǎn)NC．點(diǎn)PD．點(diǎn)Q答案D解析由題圖2可知固定位置到點(diǎn)A距離大于到點(diǎn)C距離，所以舍去N，M兩點(diǎn)，不選B，A；若是P點(diǎn)，則從最高點(diǎn)到點(diǎn)C依次遞減，與圖2矛盾，因此取Q，即選D.(2)(2019·湖南六校聯(lián)考)生產(chǎn)一定數(shù)量商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為f(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(萬元)，商品的售價(jià)是每件20元，為獲取最大利潤(rùn)(利潤(rùn)＝收入－成本)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品的數(shù)量為()A．9萬件 B．18萬件C．22萬件 D．36萬件答案B解析由題意可得，獲得最大利潤(rùn)時(shí)的收入是20x萬元，成本是eq\f(1,2)x2＋2x＋20，所以此時(shí)的利潤(rùn)為M＝20x－eq\f(1,2)x2＋2x＋20＝－eq\f(1,2)x2＋18x－20＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142≤142，當(dāng)且僅當(dāng)x＝18時(shí)，取最大值．故選B.求解應(yīng)用題的一般步驟(四步法)(1)讀題：讀懂和深刻理解，譯為數(shù)學(xué)語言，找出主要關(guān)系；(2)建模：把主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題；(3)求解：化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；(4)評(píng)價(jià)：對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證或評(píng)估，對(duì)誤差加以調(diào)節(jié)，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，作出解釋或驗(yàn)證．1．(2019·全國(guó)卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就．實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通信聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行．L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿足方程：eq\f(M1,R＋r2)＋eq\f(M2,r2)＝(R＋r)eq\f(M1,R3).設(shè)α＝eq\f(r,R).由于α的值很小，因此在近似計(jì)算中eq\f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)≈3α3，則r的近似值為()A.eq\r(\f(M2,M1))R B.eq\r(\f(M2,2M1))RC.eq\r(3,\f(3M2,M1))R D.eq\r(3,\f(M2,3M1))R答案D解析由α＝eq\f(r,R)得r＝αR，代入eq\f(M1,R＋r2)＋eq\f(M2,r2)＝(R＋r)·eq\f(M1,R3)，整理得eq\f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)＝eq\f(M2,M1).又∵eq\f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)≈3α3，∴3α3≈eq\f(M2,M1)，∴α≈eq\r(3,\f(M2,3M1))，∴r＝αR≈eq\r(3,\f(M2,3M1))R.故選D.2．某網(wǎng)店是一家以銷售襪子為主的店鋪，該網(wǎng)店月銷量L(x)(單位：千雙)是關(guān)于銷售單價(jià)x(單位：元)的函數(shù)．已知銷售單價(jià)不低于1元．當(dāng)月銷售量最少為0.205千雙時(shí)，該店才會(huì)正常營(yíng)業(yè)，否則會(huì)虧本停業(yè)；當(dāng)銷售單價(jià)為20元時(shí)，月銷售量恰好可以保證該店正常營(yíng)業(yè)；當(dāng)銷售單價(jià)不超過4元時(shí)，月銷售量為2.125千雙．研究表明：當(dāng)4≤x≤20時(shí)，月銷售量L(x)與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系為L(zhǎng)(x)＝eq\f(a,x2)＋b(a，b為常數(shù))．記月銷售額(單位：千元)為f(x)＝x·L(x)，為使f(x)達(dá)到最大值，則銷售單價(jià)x應(yīng)為()A．1元B．2元C．3元D．4元答案D解析由題得，當(dāng)1≤x≤4時(shí)，L(x)＝2.125；當(dāng)x＝20時(shí)，L(x)＝0.205；當(dāng)4≤x≤20時(shí)，L(x)＝eq\f(a,x2)＋b(a，b為常數(shù))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(L4＝2.125，,L20＝0.205，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,42)＋b＝2.125，,\f(a,202)＋b＝0.205，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝32，,b＝\f(1,8)，))所以L(x)＝eq\f(32,x2)＋eq\f(1,8)，故函數(shù)L(x)的表達(dá)式為L(zhǎng)(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2.125，1≤x≤4，,\f(32,x2)＋\f(1,8)，4<x≤20.))故f(x)＝x·L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2.125x，1≤x≤4，,\f(32,x)＋\f(x,8)，4<x≤20.))當(dāng)1≤x≤4時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)的最大值為8.5；當(dāng)4<x≤20時(shí)，可知函數(shù)f(x)＝eq\f(32,x)＋eq\f(x,8)在區(qū)間(4,16]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[16,20]上單調(diào)遞增，又f(4)＝8.5，f(20)＝4.1，所以f(x)的最大值為8.5.綜上，當(dāng)x＝4，即當(dāng)銷售單價(jià)為4元時(shí)，月銷售額可以達(dá)到最大值，故選D.真題押題『真題模擬』1．(2019·重慶模擬)歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案B解析依題可知eix表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(cosx，sinx)，故e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(cos2，sin2)，顯然該點(diǎn)位于第二象限，選B.2．(2019·欽州市高三三模)一個(gè)放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過一年就有eq\f(3,4)的質(zhì)量發(fā)生衰變，剩余質(zhì)量為原來的eq\f(1,4).若該物質(zhì)余下質(zhì)量不超過原有的1%，則至少需要的年數(shù)是()A．3B．4C．5D．6答案B解析設(shè)原物質(zhì)的質(zhì)量為單位1，一年后剩余質(zhì)量為原來的eq\f(1,4)，兩年后變?yōu)樵瓉淼膃q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2，依此類推，得到n年后質(zhì)量是原來的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n，只需要eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n≤eq\f(1,100)?n>3，故選B.3．(2019·上海市嘉定(長(zhǎng)寧)區(qū)高三二模)對(duì)于△ABC，若存在△A1B1C1，滿足eq\f(cosA,sinA1)＝eq\f(cosB,sinB1)＝eq\f(cosC,sinC1)＝1，則稱△ABC為“V類三角形”．“V類三角形”一定滿足()A．有一個(gè)內(nèi)角為30°B．有一個(gè)內(nèi)角為45°C．有一個(gè)內(nèi)角為60°D．有一個(gè)內(nèi)角為75°答案B解析由對(duì)稱性，不妨設(shè)A1和B1為銳角，則A1＝eq\f(π,2)－A，B1＝eq\f(π,2)－B，所以A1＋B1＝π－(A＋B)＝C，于是cosC＝sinC1＝sin(A1＋B1)＝sinC，即tanC＝1，解得C＝45°，故選B.4．(2019·北京高考)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如圖)．給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過eq\r(2)；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A．①B．②C．①②D．①②③答案C解析由x2＋y2＝1＋|x|y，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝±1；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝±1；當(dāng)y＝1時(shí)，x＝0，±1.故曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)：A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，D(1,1)，E(－1,0)，F(xiàn)(－1,1)，所以①正確．由基本不等式，當(dāng)y>0時(shí)，x2＋y2＝1＋|x|y＝1＋|xy|≤1＋eq\f(x2＋y2,2)，所以x2＋y2≤2，所以eq\r(x2＋y2)≤eq\r(2)，故②正確．如圖，由①知長(zhǎng)方形CDFE面積為2，三角形BCE面積為1，所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，故③錯(cuò)誤．故選C.5．(2019·江蘇高考)定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”．(1)已知等比數(shù)列{an}(n∈N*)滿足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求證：數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”；(2)已知數(shù)列{bn}(n∈N*)滿足：b1＝1，eq\f(1,Sn)＝eq\f(2,bn)－eq\f(2,bn＋1)，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；②設(shè)m為正整數(shù)．若存在“M-數(shù)列”{cn}(n∈N*)，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時(shí)，都有ck≤bk≤ck＋1成立，求m的最大值．解(1)證明：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2a4＝a5，,a3－4a2＋4a1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,1)q4＝a1q4，,a1q2－4a1q＋4a1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2.))因此數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”．(2)①因?yàn)閑q\f(1,Sn)＝eq\f(2,bn)－eq\f(2,bn＋1)，所以bn≠0.由b1＝1，S1＝b1，得eq\f(1,1)＝eq\f(2,1)－eq\f(2,b2)，則b2＝2.由eq\f(1,Sn)＝eq\f(2,bn)－eq\f(2,bn＋1)，得Sn＝eq\f(bnbn＋1,2bn＋1－bn).當(dāng)n≥2時(shí)，由bn＝Sn－Sn－1，得bn＝eq\f(bnbn＋1,2bn＋1－bn)－eq\f(bn－1bn,2bn－bn－1)，整理得bn＋1＋bn－1＝2bn.所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列．因此，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝n(n∈N*)．②由①知，bk＝k，k∈N*.因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M-數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1＝1，q>0.因?yàn)閏k≤bk≤ck＋1，所以qk－1≤k≤qk，其中k＝1,2,3，…，m(m∈N*)．當(dāng)k＝1時(shí)，有q≥1；當(dāng)k＝2,3，…，m時(shí)，有eq\f(lnk,k)≤lnq≤eq\f(lnk,k－1).設(shè)f(x)＝eq\f(lnx,x)(x>1)，則f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).令f′(x)＝0，得x＝e.列表如下：x(1，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)極大值因?yàn)閑q\f(ln2,2)＝eq\f(ln8,6)<eq\f(ln9,6)＝eq\f(ln3,3)，所以f(k)max＝f(3)＝eq\f(ln3,3).取q＝eq\r(3,3)，當(dāng)k＝1,2,3,4,5時(shí)，eq\f(lnk,k)≤lnq，即k≤qk，經(jīng)檢驗(yàn)知qk－1≤k也成立．因此所求m的最大值不小于5.若m≥6，分別取k＝3,6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在．因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5.『金版押題』6．已知一族雙曲線En：x2－y2＝eq\f(n,2019)(n∈N*，n≤2019)，設(shè)直線x＝2與En在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為An，點(diǎn)An在En的兩條漸近線上的射影分別為Bn，Cn，記△AnBnCn的面積為an，則a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝________.答案eq\f(505,2)解析設(shè)An(x0，y0)，可得xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,0)＝eq\f(n,2019).雙曲線En：x2－y2＝eq\f(n,2019)(n∈N*，n≤2019)的漸近線方程為x－y＝0，x＋y＝0.由點(diǎn)An在En的兩條漸近線上的射影分別為Bn，Cn，不妨設(shè)Bn在第一象限內(nèi)，可得|AnBn|＝eq\f(|x0－y0|,\r(2))，|AnCn|＝eq\f(|x0＋y0|,\r(2))，易知雙曲線En的兩條漸近線互相垂直，可得AnBn⊥AnCn，則△AnBnCn的面積an＝eq\f(1,2)|AnBn|·|AnCn|＝eq\f(1,2)·eq\f(|x0－y0|,\r(2))·eq\f(|x0＋y0|,\r(2))＝eq\f(x\o\al(2,0)－y\o\al(2,0),4)＝eq\f(1,8076)n，則a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝eq\f(1,8076)×eq\f(1,2)×2019×2020＝eq\f(505,2).配套作業(yè)一、選擇題1．某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x](其中[x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()A．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋5,10))) B．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋4,10)))C．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,10))) D．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,10)))答案C解析根據(jù)題意，當(dāng)x＝16時(shí)y＝1，所以A，B不正確；當(dāng)x＝17時(shí)y＝2，所以D不正確，故選C.2.(2019·黃山市高三第二次質(zhì)量檢測(cè))2018年，曉文同學(xué)參加工作，月工資為7000元，各種用途占比統(tǒng)計(jì)如下面的條形圖．后來曉文同學(xué)加強(qiáng)了體育鍛煉，目前月工資的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如下面的折線圖．已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛參加工作時(shí)少200元，則目前曉文同學(xué)的月工資為()A．7000B．7500C．8500D．9500答案C解析參加工作時(shí)就醫(yī)費(fèi)為7000×15%＝1050，設(shè)目前曉文同學(xué)的月工資為x，則目前的就醫(yī)費(fèi)為10%·x，因此10%·x＝1050－200＝850，∴x＝8500.故選C.3．某次夏令營(yíng)中途休息期間，3位同學(xué)根據(jù)胡老師的口音對(duì)她是哪個(gè)地方的人進(jìn)行了判斷：甲說胡老師不是上海人，是福州人；乙說胡老師不是福州人，是南昌人；丙說胡老師既不是福州人，也不是廣州人．聽完以上3人的判斷后，胡老師笑著說，你們3人中有1人說的全對(duì)，有1人說對(duì)了一半，另1人說的全不對(duì)．由此可推測(cè)胡老師()A．一定是南昌人B．一定是廣州人C．一定是福州人D．可能是上海人答案D解析若胡老師是南昌人，則甲對(duì)一半，乙全對(duì)，丙全對(duì)，不符合題意；若胡老師是福州人，則甲全對(duì)，乙全錯(cuò)，丙對(duì)一半，符合題意；若胡老師是上海人，則甲全錯(cuò)，乙一對(duì)一錯(cuò)，丙全對(duì)，符合題意；若胡老師是廣州人，則甲一對(duì)一錯(cuò)，乙一對(duì)一錯(cuò)，丙一對(duì)一錯(cuò)，不符合題意．4．設(shè)a，b∈R，定義運(yùn)算“∧”和“∨”如下：a∧b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b，))a∨b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a≤b，,a，a>b，))若正數(shù)a，b，c，d滿足ab≥4，c＋d≤4，則()A．a(chǎn)∧b≥2，c∧d≤2B．a(chǎn)∧b≥2，c∨d≥2C．a(chǎn)∨b≥2，c∧d≤2D．a(chǎn)∨b≥2，c∨d≥2答案C解析不妨設(shè)a≤b，c≤d，則a∨b＝b，c∧d＝c.若b<2，則a<2，∴ab<4，與ab≥4矛盾，∴b≥2.故a∨b≥2.若c>2，則d>2，∴c＋d>4，與c＋d≤4矛盾，∴c≤2.故c∧d≤2.故選C.5．某班級(jí)有一個(gè)學(xué)生A在操場(chǎng)上繞圓形跑道逆時(shí)針方向勻速跑步，每52秒跑完一圈，當(dāng)學(xué)生A開始跑步時(shí)，在教室內(nèi)有一個(gè)學(xué)生B，往操場(chǎng)看了一次，以后每50秒他都往操場(chǎng)看一次，則該學(xué)生B“感覺”到學(xué)生A的運(yùn)動(dòng)是()A．逆時(shí)針方向勻速前跑B．順時(shí)針方向勻速前跑C．順時(shí)針方向勻速后退D．靜止不動(dòng)答案C解析令操場(chǎng)的周長(zhǎng)為C，則學(xué)生B每隔50秒看一次，學(xué)生A都距上一次學(xué)生B觀察的位置eq\f(C,26)(弧長(zhǎng))，并在上一次位置的后面，故學(xué)生B“感覺”到學(xué)生A的運(yùn)動(dòng)是順時(shí)針方向勻速后退的．6．對(duì)函數(shù)f(x)，如果存在x0≠0使得f(x0)＝－f(－x0)，則稱(x0，f(x0))與(－x0，f(－x0))為函數(shù)圖象的一組奇對(duì)稱點(diǎn)．若f(x)＝ex－a(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))存在奇對(duì)稱點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(e，＋∞)D．[1，＋∞)答案B解析由題意可知，函數(shù)存在奇對(duì)稱點(diǎn)，即函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可設(shè)兩點(diǎn)為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，即y1＝ex1－a，y2＝ex2－a，因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以ex1－a＝－ex2＋a，即2a＝ex1＋ex2≥2eq\r(ex1·ex2)＝2eq\r(e0)＝2，因?yàn)閤1≠x2，所以a>1，故選B.7．若存在正實(shí)數(shù)a，b，使得?x∈R有f(x＋a)≤f(x)＋b恒成立，則稱f(x)為“限增函數(shù)”．給出以下三個(gè)函數(shù)：①f(x)＝x2＋x＋1；②f(x)＝eq\r(|x|)；③f(x)＝sin(x2)，其中是“限增函數(shù)”的是()A．①②B．②③C．①③D．③答案B解析對(duì)于①，f(x＋a)≤f(x)＋b即(x＋a)2＋(x＋a)＋1≤x2＋x＋1＋b，即2ax≤－a2－a＋b，x≤eq\f(－a2－a＋b,2a)對(duì)一切x∈R恒成立，顯然不存在這樣的正實(shí)數(shù)a，b.對(duì)于②，f(x)＝eq\r(|x|)，即eq\r(|x＋a|)≤eq\r(|x|)＋b，|x＋a|≤|x|＋b2＋2beq\r(|x|)，而|x＋a|≤|x|＋a，∴|x|＋a≤|x|＋b2＋2beq\r(|x|)，則eq\r(|x|)≥eq\f(a－b2,2b)，顯然，當(dāng)a≤b2時(shí)式子恒成立，∴f(x)＝eq\r(|x|)是“限增函數(shù)”．對(duì)于③，f(x)＝sin(x2)，－1≤f(x)＝sin(x2)≤1，故f(x＋a)－f(x)≤2，當(dāng)b≥2時(shí)，對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a，b都成立．故選B.8．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎(jiǎng)金投入．若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(lg2≈0.3，lg1.3≈0.11，lg1.12≈0.05)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年答案D解析設(shè)從2017年后第n年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由已知得130×(1＋12%)n>200，∴1.12n>eq\f(200,130)，兩邊取常用對(duì)數(shù)得nlg1.12>lgeq\f(200,130)，∴n>eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈eq\f(0.3－0.11,0.05)＝3.8，∴n≥4，故選D.9．(2019·湖南省寧鄉(xiāng)一中、攸縣一中高三聯(lián)考)微信運(yùn)動(dòng)是由騰訊開發(fā)的一個(gè)類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號(hào)．用戶可以通過關(guān)注微信運(yùn)動(dòng)公眾號(hào)查看自己每天或每月行走的步數(shù)，同時(shí)也可以和其他用戶進(jìn)行運(yùn)動(dòng)量的PK或點(diǎn)贊．加入微信運(yùn)動(dòng)后，為了讓自己的步數(shù)能領(lǐng)先于朋友，人們運(yùn)動(dòng)的積極性明顯增強(qiáng)，下面是某人2018年1月至2018年11月期間每月跑步的平均里程(單位：十公里)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是()A．月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月D．1月至5月的月跑步平均里程相對(duì)于6月至11月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)答案D解析根據(jù)折線圖得中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)；月跑步平均里程在2月、7月、8月、11月減少，月跑步平均里程高峰期大致在9月、10月；1月至5月的月跑步平均里程相對(duì)于6月至11月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)，故選D.二、填空題10．國(guó)家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4000元的按全部稿酬的11%納稅．已知某人出版一本書，共納稅420元，則這個(gè)人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)為________元．答案3800解析設(shè)扣稅前應(yīng)得稿費(fèi)為x元，則應(yīng)納稅額為分段函數(shù)，由題意，得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0≤x≤800，,x－800×14%，800<x≤4000，,11%·x，x>4000.))如果稿費(fèi)為4000元應(yīng)納稅為448元，現(xiàn)知，某人共納稅420元，∴稿費(fèi)應(yīng)在800～4000元之間，∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3800.11