2008年廣州市高二數(shù)學競賽試卷

2008年廣州市高二數(shù)學競賽試卷題號一二三合計（11）（12）（13）（14）（15）得分評卷員考生注意：⒈用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答；⒉不準使用計算器；⒊考試用時120分鐘，全卷滿分150分．一、選擇題：本大題共4小題，每小題6分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請將正確選項前的字母代號填在該小題后的括號內(nèi)．1．若集合有4個子集，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．RC．RD．且R2已知函數(shù)則等于()A．B．C．D．3．在空間直角坐標系中，點的坐標分別為、、、，則三棱錐的體積是（）A．2B．3C．6D．104.已知直線與圓R有交點,則的最小值是()A．B．C．D．二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分．把答案填在題中橫線上．5.△的三個內(nèi)角所對的邊分別為,若,則.6．已知直角梯形的頂點坐標分別為，則實數(shù)的值是.7.在數(shù)列中，＝2，N，設為數(shù)列的前n項和，則的值為.8．已知三點在同一條直線上，為直線外一點，若0，R，則.9．一個非負整數(shù)的有序數(shù)對，如果在做的加法時不用進位，則稱為“奧運數(shù)對”，稱為“奧運數(shù)對”的和，則和為的“奧運數(shù)對”的個數(shù)有___________個.10.如圖1所示,函數(shù)的圖象是圓心在點,半徑為1的兩段圓弧,則不等式的解集是.三、解答題：本大題共5小題，共90分．要求寫出解答過程．圖111．（本小題滿分15分）已知函數(shù)(R，)的部分圖象如圖2所示．(1)求的值；（2）若關于的方程在內(nèi)有解,求實數(shù)m的取值范圍．圖212．（本小題滿分15分）如圖3所示,在三棱柱中,底面，.（1）若點分別為棱的中點，求證：平面；14．（本小題滿分20分）已知在數(shù)列中，，(R,R且0,N).（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，求與滿足的條件；（2）當，時，一個質(zhì)點在平面直角坐標系內(nèi)運動，從坐標原點出發(fā)，第1次向右運動，第2次向上運動，第3次向左運動，第4次向下運動，以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地運動，設第次運動的位移是，第次運動后，質(zhì)點到達點,求數(shù)列的前項和.15．（本小題滿分20分）已知函數(shù)R，且.（1）當時，若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；（2）當且時，討論函數(shù)的零點個數(shù).2008年廣州市高二數(shù)學競賽參考答案一、選擇題：本大題共4小題，每小題6分，共24分．1．D2．C3．A4．B二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分．5．6．7．8．09．2710．三、解答題：本大題共5小題，共90分．要求寫出解答過程．11．（本小題滿分15分）解：(1)由圖象可知函數(shù)的周期為()=，∴．函數(shù)的圖象過點，∴且.∴解得：.∴.（2）由（1）得.當時，，得.令，則.故關于的方程在內(nèi)有解等價于關于的方程在上有解.由，得.，∴.∴實數(shù)m的取值范圍是.12．（本小題滿分15分）（1）證法一：以點為原點，分別以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，依題意得、.∴，，.∴.∴.平面，平面，.∴平面.證法二：連結，底面，平面，∴.，分別為棱的中點，∴.，∴Rt△Rt△.∴.,∴.∴.∴，∴平面.∴.，∴平面.平面，∴.同理可證.，∴平面.（2）切割拼接方法一：如圖甲所示，分別以的中點所確定的平面為截面，把三棱柱切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體（該長方體的一個底面為長方形如圖①所示，），此時所拼接成的長方體的表面積為16.圖甲圖①切割拼接方法二：如圖乙所示，設的中點分別為，以四點所確定的平面為截面，把三棱柱切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體（該長方體的一個底面為正方形），此時所拼接成的長方體的表面積為.圖乙圖②13．（本小題滿分20分）解一：（1）點，是橢圓上不同的兩點，∴，.以上兩式相減得：，即，，∵線段的中點為，∴.∴，當，由上式知，則重合，與已知矛盾，因此，∴.∴直線的方程為，即.由消去，得，解得或.∴所求直線的方程為.解二:當直線的不存在時,的中點在軸上,不符合題意.故可設直線的方程為,.由消去，得(*).的中點為,..解得.此時方程(*)為,其判別式.∴所求直線的方程為.（2）由于直線的方程為，則線段的垂直平分線的方程為，即.由得，由消去得，設則.∴線段的中點的橫坐標為，縱坐標.∴.∴.∵，，∴四點、、、在同一個圓上，此圓的圓心為點，半徑為，其方程為.14．（本小題滿分20分）解:（1），，0，①當時，，顯然是等比數(shù)列；②當時，.數(shù)列是等比數(shù)列，∴，即，化簡得.此時有，得，由，0,得（N)，則數(shù)列是等比數(shù)列.綜上，與滿足的條件為或（）.（2）當，時，∵，∴，依題意得：，，…，∴.∴.∴.∴.令①②①-②得.∴.∴.15．（本小題滿分20分）解：（1）當時，函數(shù)，其定義域是，∴.函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴在上有無窮多個解.∴關于的不等式在上有無窮多個解.當時，函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線，關于的不等式在上總有無窮多個解.當時，函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線，其對稱軸為.要使關于的不等式在上有無窮多個解.必須，解得，此時.綜上所述，的取值范圍為.另解：分離系數(shù)：不等式在上有無窮多個解，則關于的不等式在上有無窮多個解，∴，即，而.∴的取值范圍為.（2）當時，函數(shù)，其定義域是，∴.令，得，即，，