導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合提升講義

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合提升講義一．考點(diǎn)整合1.導(dǎo)數(shù)：當(dāng)趨近于零時(shí)，趨近于常數(shù)c?？捎梅?hào)“〞記作：當(dāng)時(shí)，或記作，符號(hào)“〞讀作“趨近于〞。函數(shù)在的瞬時(shí)變化率，通常稱作在處的導(dǎo)數(shù)，并記作。2.導(dǎo)函數(shù)：如果在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，那么稱在區(qū)間可導(dǎo)。這樣，對(duì)開區(qū)間內(nèi)每個(gè)值，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)。于是，在區(qū)間內(nèi)，構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。記為或〔或〕。3.導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么：1〕函數(shù)和〔或差〕的求導(dǎo)法那么：設(shè)，是可導(dǎo)的，那么即，兩個(gè)函數(shù)的和〔或差〕的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和〔或差〕。2〕函數(shù)積的求導(dǎo)法那么：設(shè)，是可導(dǎo)的，那么即，兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3〕函數(shù)的商的求導(dǎo)法那么：設(shè)，是可導(dǎo)的，，那么4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),函數(shù)在點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),且.5.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)6.表示處的導(dǎo)數(shù)，即是函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；表示函數(shù)在某給定區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，此時(shí)是在上的函數(shù)，即是在內(nèi)任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。7.導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系假設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，那么此函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，但逆命題不成立，即函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，未必在點(diǎn)可導(dǎo)，也就是說，連續(xù)性是函數(shù)具有可導(dǎo)性的必要條件，而不是充分條件。8.由于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程可如下求得：〔1〕求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率?！?〕在切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為：，如果曲線在點(diǎn)的切線平行于軸〔此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在〕時(shí)，由切線定義可知，切線方程為.9.極值：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，且假設(shè)對(duì)附近的所有的點(diǎn)都有〔或〕，那么稱為函數(shù)的一個(gè)極大〔小〕值，稱為極大〔小〕值點(diǎn).求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:①求導(dǎo)數(shù)。求方程的根.②求方程的根.③檢驗(yàn)在方程的根的左右的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的右側(cè)附近為正，左側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.10.函數(shù)的最大值和最小值〔1〕設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值，可分兩步進(jìn)行.①求在內(nèi)的極值.②將在各極值點(diǎn)的極值與、比擬，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.假設(shè)函數(shù)在上單調(diào)增加，那么為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值；假設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，那么為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最小值.11.微積分根本定理：如果，且在上可積.那么.其中叫做的一個(gè)原函數(shù).由于，也是的原函數(shù)，其中為常數(shù).二．典例詳解1.f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f′(a)=b，求以下極限：〔1〕；〔2〕分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不管△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。解：〔1〕〔2〕2.,那么.解：設(shè),,那么.〔注意對(duì)數(shù)求導(dǎo)法〕函數(shù)判斷f(x)在x=1處是否可導(dǎo)？解：∴f(x)在x=1處不可導(dǎo).點(diǎn)評(píng)：函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)極限值，即，△x→0，包括△x→0＋，與△x→0－，因此，在判定分段函數(shù)在“分界點(diǎn)〞處的導(dǎo)數(shù)是否存在時(shí)，要驗(yàn)證其左、右極限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定這點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，否那么不存在導(dǎo)數(shù).3.在處可導(dǎo)，那么思路：在處可導(dǎo)，必連續(xù)∴∴4.求在點(diǎn)和處的切線方程。解：即過點(diǎn)的切線的斜率為4，故切線為：．設(shè)過點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，那么切線的斜率為，又，故，。即切線的斜率為4或12，從而過點(diǎn)的切線為：點(diǎn)評(píng)：要注意所給的點(diǎn)是否是切點(diǎn)．假設(shè)是，可以直接采用求導(dǎo)數(shù)的方法求；不是那么需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)．5.〔2023北京理〕函數(shù)(),.(1)假設(shè)曲線與曲線在它們的交點(diǎn)(1,)處具有公共切線,求的值;(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間上的最大值.解:(1)由為公共切點(diǎn)可得:,那么,,,那么,,①又,,,即,代入①式可得:.(2),設(shè)那么,令,解得:,;,,原函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增①假設(shè),即時(shí),最大值為;②假設(shè),即時(shí),最大值為③假設(shè)時(shí),即時(shí),最大值為.綜上所述:當(dāng)時(shí),最大值為;當(dāng)時(shí),最大值為.6.〔2023山東理〕函數(shù)(為常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意.解析:由f(x)=可得,而,即,解得;(Ⅱ),令可得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);在內(nèi)為減函數(shù).(Ⅲ),(1)當(dāng)時(shí),,.(2)當(dāng)時(shí),要證.只需證即可設(shè)函數(shù).那么,那么當(dāng)時(shí),令解得,當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),那么當(dāng)時(shí),且,那么,于是可知當(dāng)時(shí)成立綜合(1)(2)可知對(duì)任意x>0,恒成立.另證1:設(shè)函數(shù),那么,那么當(dāng)時(shí),于是當(dāng)時(shí),要證,只需證即可,設(shè),,令解得,當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),那么當(dāng)時(shí),于是可知當(dāng)時(shí)成立綜合(1)(2)可知對(duì)任意x>0,恒成立.另證2:根據(jù)重要不等式當(dāng)時(shí),即,于是不等式,設(shè),,令解得,當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),那么當(dāng)時(shí),于是可知當(dāng)時(shí)成立.7.函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍.解:，在上是減函數(shù)，在上恒成立，且，即且，.8.〔2023安徽文〕設(shè)定義在(0,+)上的函數(shù)(Ⅰ)求的最小值;(II)假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求的值.【解析】(I)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的最小值為(II)由題意得:①②由①②得:9.求證以下不等式〔1〕〔相減〕〔2〕〔相除〕證：〔1〕∴為上∴恒成立∴∴在上∴恒成立〔2〕原式令∴∴∴10.〔2023新課標(biāo)理〕函數(shù)滿足滿足;(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間;(2)假設(shè),求的最大值.【解析】(1)令得:得:在上單調(diào)遞增得:的解析式為且單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)得①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增時(shí),與矛盾②當(dāng)時(shí),得:當(dāng)時(shí),令;那么當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),的最大值為11.〔2023天津理〕函數(shù)的最小值為,其中.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)假設(shè)對(duì)任意的,有成立,求實(shí)數(shù)的最小值;(Ⅲ)證明.解：(1)的定義域?yàn)榈茫簳r(shí)，〔2〕設(shè)那么在上恒成立〔*〕①當(dāng)時(shí)，與〔*〕矛盾②當(dāng)時(shí)，符合〔*〕得：實(shí)數(shù)的最小值為(lfxlby)〔3〕由〔2〕得：對(duì)任意的值恒成立?。寒?dāng)時(shí)，得：〔lbylfx〕當(dāng)時(shí)，得：12.函數(shù)的圖象如下圖．〔I〕求的值；〔II〕假設(shè)函數(shù)在處的切線方程為，求函數(shù)的解析式；〔III〕在〔II〕的條件下，函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍．解：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為得〔II〕依題意且解得所以〔III〕．可轉(zhuǎn)化為：有三個(gè)不等實(shí)根，即：與軸有三個(gè)交點(diǎn)；，+0-0+增極大值減極小值增．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，故而，為所求．13.設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：.當(dāng)時(shí).〔i〕當(dāng)時(shí)，對(duì)所有，有.即，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增.〔ii〕當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，即，此時(shí)在〔0，1〕內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)在x=1處連續(xù)，因此，函數(shù)在〔0，+〕內(nèi)單調(diào)遞增〔iii〕當(dāng)時(shí)，令，即.解得.因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增.令，解得.因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.14.函數(shù)．〔I〕假設(shè)函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是，求的值；〔II〕假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍．解析〔Ⅰ〕由題意得又，解得，或〔Ⅱ〕函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)在既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)即函數(shù)在上存在零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，有，即：整理得：，解得15.設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供給站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3:5,那么,D應(yīng)選在何處,才能使原料供給站C運(yùn)貨到工廠A所需運(yùn)費(fèi)最省?解：設(shè)BD之間的距離為km,那么|AD|=,|CD|=.如果公路運(yùn)費(fèi)為元/km,那么鐵路運(yùn)費(fèi)為元/km.故從原料供給站C途經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠A所需總運(yùn)費(fèi)為:+,().對(duì)該式求導(dǎo),得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合實(shí)際意義,舍去).且=15是函數(shù)在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn),所以=15是函數(shù)的極小值點(diǎn),而且也是函數(shù)的最小值點(diǎn).由此可知,車站D建于B,C之間并且與B相距15km處時(shí),運(yùn)費(fèi)最省.三．定積分和微積分根本定理16.=_________．解法1由定積分的幾何意義知，等于上半圓周()與軸所圍成的圖形的面積．故=．解法2此題也可直接用換元法求解．令=〔〕，那么====17.求曲線與軸在區(qū)間上所圍成陰影局部的面積S.解：根據(jù)等式求常數(shù)的值。1〕2〕解：1〕2〕18.一質(zhì)點(diǎn)以速度沿直線運(yùn)動(dòng)。求在時(shí)間間隔上的位移。分析：變速求位移和變力求功一樣都可以用定積分解決。解：答：位移為。19.求．解將區(qū)間等分，那么每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)為，然后把的一個(gè)因子乘入和式中各項(xiàng)．于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分．即==．四．不等式中恒成立問題的解法類型1：設(shè)，〔1〕上恒成立；〔2〕上恒成立。類型2：設(shè)〔1〕當(dāng)時(shí)，上恒成立，上恒成立〔2〕當(dāng)時(shí)，上恒成立上恒成立類型3：。類型4：1.變換主元法對(duì)于一次函數(shù)有：例.假設(shè)不等式對(duì)滿足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的方法，將m視為主變?cè)磳⒃坏仁交癁椋?，；令，那么時(shí)，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。2.判別式法對(duì)于一元二次函數(shù)有：〔1〕上恒成立；〔2〕上恒成立例.假設(shè)不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。〔1〕當(dāng)m-1=0時(shí)，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；〔2〕時(shí)，只需，所以，。3.函數(shù)最值〔或值域〕法〔1〕對(duì)任意x都成立；〔2〕對(duì)任意x都成立。簡(jiǎn)單計(jì)作：“大的大于最大的，小的小于最小的〞。由此看出，本類問題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。例.在ABC中，恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。解析：由，，恒成立，，即恒成立，例.〔1〕求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：由于函，顯然函數(shù)有最大值，。如果把上題稍微改一點(diǎn)，那么答案又如何呢？請(qǐng)看下題：〔2〕求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：我們首先要認(rèn)真比照上面兩個(gè)例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。所以，我們對(duì)這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因?yàn)檫@直接關(guān)系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時(shí)，一般要求把參數(shù)單獨(dú)放在一側(cè)，所以也叫別離參數(shù)法。4.數(shù)形結(jié)合法對(duì)一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。例.，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如果兩個(gè)函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，那么由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想