第8講解三角形的實際應用講義 高三數(shù)學一輪復習

努力成就夢想方法創(chuàng)造奇跡第8講解三角形的實際應用【必備知識】1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角(如圖①)．2．方位角從正北方向順時針轉到目標方向線的角（如圖②，B點的方位角為α）．3．方向角：相對于某一正方向的角（如圖③）．（1）北偏東α，即由指正北方向順時針旋轉α到達目標方向；（2）東北方向：指北偏東45°或東偏北45°；（3）其他方向角類似．4．坡角與坡度（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)；（2）坡度：坡面的鉛直角高度與水平長度之比(如圖④，為坡度)．坡度又稱為坡比．考點22解三角形應用舉例角度1距離問題【常見方法】求距離問題的兩個策略(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有求知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解；(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．【例22】1、如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點之間的距離，選擇山坡上一段長度為300eq\r(3)m且和P，Q兩點在同一平面內的路段AB的兩個端點作為觀測點，現(xiàn)測得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，則P，Q兩點的距離為________m．角度2高度問題【常見方法】求解高度問題應注意(1)在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內，視線與水平線的夾角；(2)準確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；(3)運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用．2、2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848．86(單位：m)，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°．由C點測得B點的仰角為15°，BB′與CC′的差為100；由B點測得A點的仰角為45°，則A，C兩點到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′約為(eq\r(3)≈1．732)A．346B．373C．446 D．473角度3角度問題【常見方法】測量角度問題的基本思路測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際問題的解．特別提醒：方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角．3、在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇，若要在最短的時間內攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值．考點23正、余弦定理在平面幾何中的應用【常見方法】平面幾何中解三角形問題的求解思路（1）把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內利用正弦、余弦定理求解．（2）尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結果【例22】1、如圖，D是△ABC邊AC上的一點，△BCD的面積是△ABD面積的2倍，∠CBD＝2∠ABD＝2