GCT線性代數(shù)輔導(dǎo)講義全

./GCT線性代數(shù)輔導(dǎo)第一講行列式一.行列式的定義一階行列式定義為二階行列式定義為在階行列式中,劃去元素所在的第行第列,剩余元素構(gòu)成階行列式,稱為元素的余子式,記作．令,稱為的代數(shù)余子式．階行列式定義為．二.行列式的性質(zhì)1.行列式中行列互換,其值不變．2.行列式中兩行對(duì)換,其值變號(hào)．–3.行列式中如果某行元素有公因子,可以將公因子提到行列式外．4.行列式中如果有一行每個(gè)元素都由兩個(gè)數(shù)之和組成,行列式可以拆成兩個(gè)行列式的和．由以上四條性質(zhì),還能推出下面幾條性質(zhì)5.行列式中如果有兩行元素對(duì)應(yīng)相等,則行列式的值為０．6.行列式中如果有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例,則行列式的值為０．7.行列式中如果有一行元素全為０,則行列式的值為０．8.行列式中某行元素的倍加到另一行,其值不變．三.階行列式展開性質(zhì)等于它的任意一行的各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式的乘積的和,即按列展開定理階行列式的某一行的各元素與另一行對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于零．即按列展開的性質(zhì)四.特殊行列式;上〔下三角行列式和上面的對(duì)角行列式的結(jié)果相同.五.計(jì)算行列式消零降階法.消為特殊行列式〔上〔下三角行列式或和對(duì)角行列式..典型習(xí)題1.=〔.〔2.設(shè)的代數(shù)余子式,則=〔〔-23．中的系數(shù)是〔〔24．=〔〔5．設(shè),則=〔〔16．〔〔7．,則〔,〔08．,則〔<><或>9.設(shè)則<8M>10.的根的個(gè)數(shù)是〔〔111.解方程<>12.設(shè)是方程的三個(gè)根,則行列式的值為<><0>第二講矩陣一.矩陣概念和運(yùn)算1.矩陣的定義和相等.2.加法,數(shù)乘,乘法,轉(zhuǎn)置,方陣的冪乘的定義及性質(zhì).尤其是矩陣乘法不滿足交換律和消去律.滿足結(jié)合律,左<右>乘分配律等.若是階方陣,則特殊方陣3.逆矩陣定義：可逆公式：可逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)4.伴隨矩陣定義：基本關(guān)系式：與逆矩陣的關(guān)系：行列式：秩：5．矩陣方程設(shè)是階方陣,是矩陣,若可逆,則矩陣方程有解,其解為設(shè)是階方陣,是矩陣,若可逆,則矩陣方程有解,其解為二.初等變換矩陣的初等行〔列變換：交換兩行〔列；用一個(gè)非零常數(shù)乘某一行〔列；某行〔列的倍加到另一行〔列上．<初等行變換>三.矩陣的秩1.定義在矩陣中,任取行列,位于這行列交叉處的個(gè)元素按其原來(lái)的次序組成一個(gè)階行列式,稱為矩陣的一個(gè)階子式．若矩陣中有一個(gè)階子式不為零,而所有階子式全為零,則稱矩陣的秩為.矩陣的秩記作．顯然有中有一個(gè)階子式不為零；中所有階子式全為零．對(duì)于階方陣,對(duì)于階方陣,若,則稱是滿秩方陣．重要定理對(duì)矩陣施行初等變換不改變矩陣的秩．矩陣的秩的求法階梯形矩陣滿足以下條件的矩陣稱為階梯形：所有零行都在矩陣的底部；非零行的第一個(gè)元素稱為主元,每個(gè)主元在前一行主元的右方；<初等變換>階梯形,則中主元的個(gè)數(shù)4.矩陣的秩有以下一些常用的性質(zhì)：〔１．.〔２．〔３〔4若,則,其中為矩陣的列數(shù)．〔5若可逆,則．若可逆,則．典型習(xí)題１．都是階陣,則下列結(jié)論不正確的是<>A.B.C.D.<A>2.,且,求,．<-108,32/3>3．,則<>4.設(shè)則中第3行第2列的元素是A.B.C.1D.<B>5.,則〔<>6.都是階陣,.則下列結(jié)論正確的是<>A.B.或C.D.<B>7.設(shè)都是階陣,滿足.則A.B.C.D.<A>８．設(shè).則下列結(jié)論不正確的是<>A．可逆.B..不可逆.C.可逆D.可逆<B>9.設(shè),則<>10．.設(shè),則<A>1或2<A>1或3<A>2或3<A>3或4<A>11．,則〔.<1>12．設(shè),〔時(shí).<-3>13．設(shè)則〔.<1>14.設(shè)則A.B.C.D.<D>15.設(shè),三階矩陣,且滿足,則A.B.C.D.<A>第三講向量一.向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)1.向量組的線性組合與線性表示設(shè)是維向量,是數(shù),則稱為向量的一個(gè)線性組合．若,稱可由線性表出．線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)定義設(shè)是維向量,若存在不全為零的數(shù),使得,則稱線性相關(guān)．否則稱線性無(wú)關(guān)．定理若線性無(wú)關(guān),而線性相關(guān),則可由線性表出,,且表示法惟一．判斷設(shè)是維向量,線性相關(guān)<存在某個(gè)向量可被其余個(gè)向量線性表出．個(gè)維向量線性相關(guān)個(gè)維向量必線性相關(guān)增加向量組向量的個(gè)數(shù),不改變向量組的線性相關(guān)性.減少向量組向量的個(gè)數(shù),不改變向量組的線性無(wú)關(guān)性.增加向量組向量的維數(shù),不改變向量組的線性無(wú)關(guān)性.減少向量組向量的維數(shù),不改變向量組的線性相關(guān)性.含有零向量的向量組必線性相關(guān).含有兩個(gè)相同向量的向量組必線性相關(guān).二.向量組的秩和極大線性無(wú)關(guān)組1.定義設(shè)向量組是向量組的一個(gè)部分組．滿足１線性無(wú)關(guān)；２向量組的每一個(gè)向量都可以由向量組線性表出,則稱部分組是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組．且向量組的極大線性無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩．2.求法任何矩陣都可以通過矩陣的行初等變換化作階梯形．求極大線性無(wú)關(guān)組的步驟：將向量依次按列寫成矩陣；對(duì)矩陣施行行初等變換,化作階梯形；階梯形中主元所在列標(biāo)對(duì)應(yīng)到原向量構(gòu)成一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組；例如<行初等變換>主元所在列是第１列,第２列,第４列,因此的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是．且3三．向量組的秩與矩陣的秩設(shè)是矩陣,將矩陣的每個(gè)行看作行向量,矩陣的個(gè)行向量構(gòu)成一個(gè)向量組,該向量組的秩稱為矩陣的行秩．將矩陣的每個(gè)列看作列向量,矩陣的個(gè)列向量構(gòu)成一個(gè)向量組,該向量組的秩稱為矩陣的列秩．矩陣的行秩＝矩陣的列秩＝矩陣的秩．〔三秩相等典型習(xí)題1．下列向量組中線性相關(guān)性的向量組是〔A.B.C.D.,,,〔D2．設(shè)向量組線性無(wú)關(guān),下列向量組無(wú)關(guān)的是〔A．B.C．D.〔A3.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān),而向量組線性相關(guān),則A.3B.2C.-2D.-3〔D4.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān),則是向量組線性無(wú)關(guān)的A.充分必要條件B.充分條件,但非必要是條件C.必要條件,但非充分是條件D.既非充分條件,也非必要是條件〔C5.<>時(shí),向量組線性無(wú)關(guān).A．B.C.D.且<D>6.設(shè),則它們的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是<>A.B.C.D.<D>7.,,.則A.向量組線性無(wú)關(guān).B.向量組線性相關(guān).C.僅當(dāng)向量組線性無(wú)關(guān)時(shí),向量組線性無(wú)關(guān).D.僅當(dāng)向量組線性相關(guān)時(shí),向量組線性相關(guān).<B>8.設(shè)A,B為滿足AB=0的任意兩個(gè)非零矩陣,則必有A.A的列向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān).<A>B.A的列向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān).C.A的行向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān).D.A的行向量組線向相關(guān),B的列向量組線性相關(guān).9.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān),向量組線性相關(guān).則A.必能被線性表出.B.必不能被線性表出.C.必能被線性表出.D.必不能被線性表出.<C>.設(shè)是單維位向量,若,則〔Ａ．Ｂ．Ｃ．１Ｄ．〔Ａ11．設(shè)向量組線性無(wú)關(guān),向量組線性相關(guān),設(shè)向量組線性無(wú)關(guān).則<>A.2B.3C.4D.5<C>12..設(shè),,且.則<>.A.2B.4C.-2D.-4<B>第四講線性方程組解的理論一齊次線性方程組設(shè)元齊次線性方程組,系數(shù)矩陣令,則線性方程組可寫成矩陣方程的形式：若令,,,則齊次線性方程組又可以寫成向量方程的形式：．齊次線性方程組有非零解的判定條件設(shè),齊次線性方程組有非零解只有零解.即系數(shù)矩陣列滿秩．設(shè)是階方陣,齊次線性方程組有非零解．只有零解．設(shè),當(dāng)時(shí),齊次線性方程組必有非零解．齊次線性方程組的解的性質(zhì)若,是齊次線性方程組的解,則和仍是的解．若是齊次線性方程組的解,則的任意常數(shù)倍仍是的解．齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．其要點(diǎn)為：<1>都是的解,<2>它們是線性無(wú)關(guān)的,<3>的任何一個(gè)解都可以由它們線性表出．因此基礎(chǔ)解系往往不是惟一的．若元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩,則基礎(chǔ)解系中含有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量．<這一點(diǎn)和上面的<3>等價(jià),即>.若是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則齊次線性方程組的通解〔一般解是其中是任意常數(shù)解齊次線性方程組的基本方法解元齊次線性方程組的基本步驟：對(duì)系數(shù)矩陣作矩陣的初等行變換,化作行階梯形；假設(shè)有個(gè)非零行,則基礎(chǔ)解系中有個(gè)解向量．選非主元所在列的變量為自由未知量；將自由變量依次設(shè)為單位向量,求得所需的線性無(wú)關(guān)的解向量為一個(gè)基礎(chǔ)解系．二非齊次線性方程組設(shè)非齊次線性方程組記系數(shù)矩陣為,常數(shù)項(xiàng)向量為,則非齊次線性方程組可寫作方程組的增廣矩陣記作．對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組稱為非齊次線性方程組的導(dǎo)出組．非齊次線性方程組有解的判定非齊次線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩．即若元非齊次線性方程組有解,即當(dāng)時(shí),方程組有惟一解；時(shí),方程組有無(wú)窮多解．當(dāng)系數(shù)矩陣時(shí),非齊次線性方程組有唯一解非齊次線性方程組解的性質(zhì)設(shè)是非齊次線性方程組的兩個(gè)解,則是導(dǎo)出組的一個(gè)解．非齊次線性方程組的任一解與導(dǎo)出組的解的和是非齊次線性方程組的解．非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組的通解〔一般解是非齊次線性方程組的一個(gè)特解+導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的線性組合．即設(shè)非齊次線性方程組,若,是的一個(gè)特解,是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系,則的通解〔一般解是,其中是任意常數(shù)典型習(xí)題1.只有零解的充分必要條件是A．A的列向量組線性相關(guān)B．A的列向量組線性無(wú)關(guān)C．A的行向量組線性相關(guān)D．A的行向量組線性無(wú)關(guān)〔Ｂ2.是對(duì)應(yīng)的齊次方程組.則Ａ．若只有零解,則有唯一解.Ｂ．若有非零解,則有無(wú)窮多解.Ｃ．若有無(wú)窮多解,則有非零解.Ｄ．若無(wú)解,則只有零解.<C>３.的行向量線性無(wú)關(guān),則錯(cuò)誤的是Ａ．只有零解.Ｂ．必有無(wú)窮多解.Ｃ．有惟一解.Ｄ．總有無(wú)窮多解．〔Ｃ4．設(shè),其每行之和都為零,且.則的通解是<>.〔已知三階矩陣的秩,是方程組的三個(gè)解向量,則常數(shù)A.B.C.D.3<D>已知三階非零矩陣的每一列都是方程組的解,則.〔１．０８.設(shè),,,則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是<A><B><C><D>〔Ｃ９.方程組,它的基礎(chǔ)解系是<>.<>10.設(shè),是的三個(gè)解向量,且則的通解是<>.<>11.設(shè)為齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則A.B.C.D.<A>12.設(shè)是齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則的另一個(gè)基礎(chǔ)解系是A.與等秩的向量組.B.C.D.<C>13.可逆的充分必要條件是A.有解.B.有非零解.C.時(shí)D.<C>14.設(shè)且可逆,則方程組A.有唯一解．B.有無(wú)窮多解．C.無(wú)解D.不能確定〔C第五講特征值與特征向量一特征值和特征向量的定義,性質(zhì)與計(jì)算１定義設(shè),,,是的特征值,是的屬于特征值的特征向量．２．性質(zhì)若都是的屬于特征值的特征向量,則也是的屬于特征值的特征向量．若是的屬于特征值的特征向量,是非零常數(shù),則也是的屬于特征值的特征向量．３．求法的特征多項(xiàng)式：．＝０由屬于的特征向量．〔求基礎(chǔ)解系．屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的．二相似矩陣１．概念定義設(shè),若存在可逆矩陣,滿足,則稱相似于.記作2.性質(zhì)相似矩陣有相同的秩,相同的跡,相同的行列式,相同的特征值．3.階方陣的相似對(duì)角化的條件階方陣可對(duì)角化是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．階方陣可對(duì)角化的每個(gè)特征值的重?cái)?shù)等于它對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)．即若<其中>則階方陣可對(duì)角化方陣有個(gè)不同的特征值,可對(duì)角化．方陣的相似對(duì)角化的步驟<1>解的特征多項(xiàng)式：．求出的個(gè)特征值.<其中可能有相重的特征值><2>解齊次方程組:．<>,求出的每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量．即求的基礎(chǔ)解系.<3>若共有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量則令,有.注意與的對(duì)應(yīng)關(guān)系.典型習(xí)題1．.是的特征向量,則.<-3,0>2．設(shè),則對(duì)應(yīng)于特征值2的一個(gè)特征向量是<>A.B.C.D.<D>3.設(shè)階矩陣中任一行的個(gè)元素之和都為則必有