高中考試數(shù)學(xué)壓軸題講議-交點(diǎn)零點(diǎn)有沒有極最符號異與否（含答案）

【題型綜述】導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象交點(diǎn)及零點(diǎn)問題

利用導(dǎo)數(shù)來探討函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，有以下幾個步驟：①構(gòu)造函數(shù)；②求導(dǎo)；③研究函數(shù)的單調(diào)性和極值（必要時要研究函數(shù)圖象端點(diǎn)的極限情況）；④畫出函數(shù)的草圖，觀察與軸的交點(diǎn)情況，列不等式；⑤解不等式得解.探討函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，往往從函數(shù)的單調(diào)性和極值入手解決問題，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求解.【典例指引】例1．已知函數(shù)，．（I）若曲線在點(diǎn)（1，）處的切線與直線垂直，求a的值；（II）當(dāng)時，試問曲線與直線是否有公共點(diǎn)？如果有，求出所有公共點(diǎn)；若沒有，請說明理由．例2．已知函數(shù)f(x)=lnx，h(x)=ax(a為實數(shù))（1）函數(shù)f(x)的圖象與h(x)的圖象沒有公共點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)m，使得對任意的都有函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的下方？若存在，請求出整數(shù)m的最大值；若不存在，說明理由（）例3．已知二次函數(shù)f(x)的最小值為－4，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．例4．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求證：當(dāng)時，；（Ⅱ）若函數(shù)在（1，+∞）上有唯一零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍．【新題展示】1．【2019黑龍江大慶二?！恳阎瘮?shù).（Ⅰ）當(dāng)時，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動，直線與函數(shù)的圖象不相交，求點(diǎn)到直線距離的最小值；（Ⅱ）討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由.2．【2019北京房山區(qū)上學(xué)期期末】已知函數(shù)（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若對恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個零點(diǎn).3．【2019浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考】設(shè)，已知函數(shù)，．Ⅰ若恒成立，求的范圍Ⅱ證明：存在實數(shù)，使得有唯一零點(diǎn)．4．【2019甘肅、青海、寧夏上學(xué)期期末】已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).5．【2019安徽蕪湖上學(xué)期期末】已知函數(shù)，.（1）求的極值點(diǎn)；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，求的取值范圍.6．【2019山東濟(jì)南上學(xué)期期末】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.【同步訓(xùn)練】1．已知函數(shù)．（Ⅰ）若在處取極值，求在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時，若有唯一的零點(diǎn)，求證：2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)，時，對任意，有成立，求實數(shù)的取值范圍．3．已知函數(shù)(I)若函數(shù)處取得極值，求實數(shù)的值；并求此時上的最大值；(Ⅱ)若函數(shù)不存在零點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍；4．已知函數(shù)，其中是自然數(shù)的底數(shù)，．（Ⅰ）求實數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）當(dāng)時，試確定函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由．5．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求曲線在處的切線方程．（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ）設(shè)，其中，證明：函數(shù)僅有一個零點(diǎn)．6．設(shè)函數(shù)（Ⅰ）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的極小值；（Ⅱ）若函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，求的取值范圍．7．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍．8．已知，．（1）求函數(shù)的增區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍，并說明理由；（3）設(shè)正實數(shù)，滿足當(dāng)時，求證：對任意的兩個正實數(shù)，總有．(參考求導(dǎo)公式：)9．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）令，討論函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)；（3）若，正實數(shù)滿足，證明10．已知函數(shù)（）．（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)；（2）當(dāng)時，若在（）上存在一點(diǎn)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．11．已知函數(shù)．（1）求在處的切線方程；（2）試判斷在區(qū)間上有沒有零點(diǎn)？若有則判斷零點(diǎn)的個數(shù)．12．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的定義域內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)．13．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍．14．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時，判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)．15．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）若，試討論關(guān)于的方程的解的個數(shù)，并說明理由．【題型綜述】導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象交點(diǎn)及零點(diǎn)問題

利用導(dǎo)數(shù)來探討函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，有以下幾個步驟：①構(gòu)造函數(shù)；②求導(dǎo)；③研究函數(shù)的單調(diào)性和極值（必要時要研究函數(shù)圖象端點(diǎn)的極限情況）；④畫出函數(shù)的草圖，觀察與軸的交點(diǎn)情況，列不等式；⑤解不等式得解.探討函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，往往從函數(shù)的單調(diào)性和極值入手解決問題，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求解.【典例指引】例1．已知函數(shù)，．（I）若曲線在點(diǎn)（1，）處的切線與直線垂直，求a的值；（II）當(dāng)時，試問曲線與直線是否有公共點(diǎn)？如果有，求出所有公共點(diǎn)；若沒有，請說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，即；（2）構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的單調(diào)性，它和軸的交點(diǎn)個數(shù)即可得到在（0，1）（）恒負(fù)，，故只有一個公共點(diǎn)．當(dāng)時，，在（）單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在（0，1）單調(diào)遞增．學(xué)科*網(wǎng)又，所以在（0，1）（）恒負(fù)因此，曲線與直線僅有一個公共點(diǎn)，公共點(diǎn)為（1，-1）．例2．已知函數(shù)f(x)=lnx，h(x)=ax(a為實數(shù))（1）函數(shù)f(x)的圖象與h(x)的圖象沒有公共點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)m，使得對任意的都有函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的下方？若存在，請求出整數(shù)m的最大值；若不存在，說明理由（）【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）函數(shù)與無公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程在無解，令，得出是唯一的極大值點(diǎn)，進(jìn)而得到，即可求解實數(shù)取值范圍；（Ⅱ）由不等式對恒成立，即對恒成立，令，則，再令，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得出結(jié)論.當(dāng)且僅當(dāng)故實數(shù)的取值范圍為∴存在，使得，即，則，………9分∴當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，則取到最小值，∴，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，∴存在實數(shù)滿足題意，且最大整數(shù)的值為.學(xué)科*網(wǎng)例3．已知二次函數(shù)f(x)的最小值為－4，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)是二次函數(shù)，且關(guān)于的不等式的解集為，設(shè)出函數(shù)解析式，利用函數(shù)的最小值為，可求函數(shù)的解析式；（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)時，，，結(jié)合單調(diào)性由此可得結(jié)論．(2)∵，∴，令，得，．當(dāng)變化時，，的取值變化情況如下：13＋0－0＋遞增極大值遞減極小值遞增當(dāng)時，，，又因為在上單調(diào)遞增，因而在上只有1個零點(diǎn)，故在上僅有1個零點(diǎn)．學(xué)科*網(wǎng)點(diǎn)睛：本題主要考查二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系，即一元二次不等式的解集區(qū)間的端點(diǎn)值即為對應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)，同時用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的意識、考查數(shù)形結(jié)合思想，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理與單調(diào)性相結(jié)合可得零點(diǎn)個數(shù)．例4．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求證：當(dāng)時，；（Ⅱ）若函數(shù)在（1，+∞）上有唯一零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）求導(dǎo)，得，分析單調(diào)性得當(dāng)時，即得證；（Ⅱ）對t進(jìn)行討論①，在[1，+∞)上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以在(1，+∞)上沒有零點(diǎn)，②若，在[1，+∞)上是減函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以在(1，+∞)上沒有零點(diǎn)，③若0<t<1時分析單調(diào)性借助于第一問，找到，則當(dāng)時，即成立；取，則當(dāng)時，，即，說明存在，使得，即存在唯一零點(diǎn)．（Ⅱ）①若，則當(dāng)時，，所以在[1，+∞)上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以在(1，+∞)上沒有零點(diǎn)，所以不滿足條件．②若，則當(dāng)時，，所以在[1，+∞)上是減函數(shù)，學(xué)科*網(wǎng)所以當(dāng)時，，所以在(1，+∞)上沒有零點(diǎn)，所以不滿足條件．點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，最值；考查了分類討論的思想；處理0<t<1時，注意前后問間的聯(lián)系，找到，使得，根據(jù)單調(diào)性說明唯一存在，這是本題的難點(diǎn)所在；【新題展示】1．【2019黑龍江大慶二?！恳阎瘮?shù).（Ⅰ）當(dāng)時，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動，直線與函數(shù)的圖象不相交，求點(diǎn)到直線距離的最小值；（Ⅱ）討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由.【思路引導(dǎo)】（1）首先寫出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，分析在什么情況下滿足距離最小，構(gòu)造等量關(guān)系式，求解，得到對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，之后應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，分情況討論函數(shù)的單調(diào)性，依次得出函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).【解析】（Ⅱ）法一：（1）當(dāng)時，，在上是增函數(shù).∵.當(dāng)時，∴，又，∴，故恰有一個零點(diǎn).（2）當(dāng)時，，得（舍去），所以沒有零點(diǎn).（3）當(dāng)時，令，得或（舍去）.當(dāng)時，，當(dāng)時，.∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，.①當(dāng)，即時，恰有1個零點(diǎn).②當(dāng)，即時，沒有零點(diǎn).③當(dāng)，即時，.令，則，.令，，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴.∵，，∴有2個零點(diǎn).綜上，函數(shù)當(dāng)或時，有1個零點(diǎn)；當(dāng)時，有2個零點(diǎn)；當(dāng)時，沒有零點(diǎn).2．【2019北京房山區(qū)上學(xué)期期末】已知函數(shù)（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若對恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個零點(diǎn).【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）求得時的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線方程；（Ⅱ）若對恒成立，即為對恒成立，設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、極大值即最大值，可得的范圍；（Ⅲ）若存在零點(diǎn)，即關(guān)于的方程有解，可得有解，由的單調(diào)性，即可得證．【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，，所以，所以切線方程為（Ⅱ）對恒成立等價于，即恒成立設(shè)，則由解得與在區(qū)間上的情況如下0增極大減所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.函數(shù)在處取得極大值（也是最大值）所以，即的取值范圍是3．【2019浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考】設(shè)，已知函數(shù)，．Ⅰ若恒成立，求的范圍Ⅱ證明：存在實數(shù)，使得有唯一零點(diǎn)．【思路引導(dǎo)】Ⅰ先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可得時，，在單調(diào)遞增，由此；Ⅱ設(shè)的零點(diǎn)為，有，則，構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)，設(shè)在上存在零點(diǎn)，設(shè)為，取，代入到中，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系，即可求出．【解析】Ⅱ設(shè)的零點(diǎn)為，有，則，令，則，，在上存在零點(diǎn)，設(shè)為，取，則，，，4．【2019甘肅、青海、寧夏上學(xué)期期末】已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).【思路引導(dǎo)】（1）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得的值，即可求解曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得時，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，借助圖象即可判定函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，得到答案?！窘馕觥浚?）因為，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2），當(dāng)時，，無零點(diǎn)；當(dāng)時，由，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以.，當(dāng)時，；當(dāng)時，，.所以當(dāng)，即時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)；所以當(dāng)，即時，函數(shù)有一個零點(diǎn)；當(dāng)，即時，函數(shù)沒有零點(diǎn).綜上，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)沒有零點(diǎn).5．【2019安徽蕪湖上學(xué)期期末】已知函數(shù)，.（1）求的極值點(diǎn)；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）先求得函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，對分成兩類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)的極值點(diǎn).（2）先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對分成三類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，求得的取值范圍.【解析】（2），，則.當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，，所以無零點(diǎn)，滿足條件；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，，所以無零點(diǎn)，滿足條件；當(dāng)時，存在，使得，即時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.又，，，故在上一定存在零點(diǎn)，不符合條件.綜上所述，或.6．【2019山東濟(jì)南上學(xué)期期末】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論，即可求得f（x）單調(diào)性；（2）對a分類討論，結(jié)合（1）中的單調(diào)性，研究函數(shù)的圖象的變化趨勢從而得到的取值范圍.【解析】（1），（ⅱ）若，，恒成立，在上為增函數(shù)；（ⅲ）若，，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)；（ⅳ）若，，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)，，為增函數(shù)；綜上所述：當(dāng)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).當(dāng)時，取，則，所以，當(dāng)時，有1個零點(diǎn)；所以，當(dāng)時，有2個零點(diǎn)，符合題意；（ⅲ）當(dāng)時，在上為增函數(shù)，不可能有兩個零點(diǎn)，不合題意；（ⅴ）當(dāng)時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；因為，此時，最多有1個零點(diǎn)，不合題意；綜上所述，若有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是.【同步訓(xùn)練】1．已知函數(shù)．（Ⅰ）若在處取極值，求在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時，若有唯一的零點(diǎn)，求證：【思路引導(dǎo)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、極值中的應(yīng)用．（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)在處取極值可得，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值可得在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為，證明即可得結(jié)論．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，則由，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，故當(dāng)時，；學(xué)科*網(wǎng)又，故在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為，從而可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為有唯一零點(diǎn)，故且2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)，時，對任意，有成立，求實數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）討論、兩種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)恰有一個零點(diǎn)時實數(shù)的取值范圍；（2）對任意，有成立，等價于，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分別求出最大值與最小值，解不等式即可的結(jié)果．②當(dāng)時，令，解得．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．要使函數(shù)有一個零點(diǎn)，則即．綜上所述，若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，則或．（2）因為對任意，有成立，所以在上單調(diào)遞增，故，所以．從而．所以即，設(shè)，則．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．又，所以，即為，解得．因為，所以的取值范圍為．學(xué)科*網(wǎng)3．已知函數(shù)(I)若函數(shù)處取得極值，求實數(shù)的值；并求此時上的最大值；(Ⅱ)若函數(shù)不存在零點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍；【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)函數(shù)的極值的概念得到，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最值．（2）研究函數(shù)的單調(diào)性，找函數(shù)和軸的交點(diǎn)，使得函數(shù)和軸沒有交點(diǎn)即可；分和，兩種情況進(jìn)行討論．（2），由于．①當(dāng)時，是增函數(shù)，且當(dāng)時，．當(dāng)時，，，取，則，所以函數(shù)存在零點(diǎn)．②當(dāng)時，．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時取最小值．函數(shù)不存在零點(diǎn)，等價于，解得．綜上所述：所求的實數(shù)的取值范圍是．點(diǎn)睛：這個題目考查的是另用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值問題，函數(shù)的零點(diǎn)問題；對于函數(shù)有解求參的問題，常用的方法是，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像和軸的交點(diǎn)問題，或者轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，還可以轉(zhuǎn)化為方程的根的問題．4．已知函數(shù)，其中是自然數(shù)的底數(shù)，．（Ⅰ）求實數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）當(dāng)時，試確定函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ），令，解出，，解出，即可得的單調(diào)區(qū)間（Ⅱ），當(dāng)時，，現(xiàn)考慮函數(shù)的零點(diǎn)，令，則，令，考慮函數(shù)與的交點(diǎn)，兩者相切，解得，此時，所以，故函數(shù)與無交點(diǎn)，即可得結(jié)果．點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間，研究函數(shù)零點(diǎn)問題，第二問中對進(jìn)行這樣處理，很容易確定一個零點(diǎn)0，考慮函數(shù)的零點(diǎn)時使用換元法，簡化函數(shù)式，很容易利用初等函數(shù)即可解決．5．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求曲線在處的切線方程．（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ）設(shè)，其中，證明：函數(shù)僅有一個零點(diǎn)．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）求導(dǎo)，所以，又可得在處的切線方程（Ⅱ）令，解出，令，解出，可得的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ），在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且極大值，極小值可得在無零點(diǎn)，在有一個零點(diǎn)，所以有且僅有一個零點(diǎn)．點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線，考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題，注意處理時采用因式分解很容易得出的根，考查了學(xué)生推理運(yùn)算的能力，屬于中檔題．6．設(shè)函數(shù)（Ⅰ）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的極小值；（Ⅱ）若函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，求的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，進(jìn)而確定極值（2）先化簡，再利用參變分離法得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，由圖像可得存在唯一零點(diǎn)時的取值范圍試題解析：（1）由題設(shè)，當(dāng)時，，則，由，得．∴當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，學(xué)科*網(wǎng)當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，又，結(jié)合的圖象（如圖），可知當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)．學(xué)科*網(wǎng)所以，當(dāng)或時，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)．點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解．(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解．(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．7．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）函數(shù)求導(dǎo)得，討論導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性即可得極值；（2）函數(shù)求導(dǎo)得，討論，，和時函數(shù)的單調(diào)性及最值即可下結(jié)論．（2），當(dāng)時，易知函數(shù)只有一個零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時，在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增；，且，→，→，所以函數(shù)有兩個零點(diǎn)．當(dāng)時，在和上，，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減；，函數(shù)至多有一個零點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)時，在和上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減；學(xué)科*網(wǎng)，函數(shù)至多有一個零點(diǎn)，不符合題意．綜上：實數(shù)的取值范圍是．學(xué)科*網(wǎng)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值，也是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問題，（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點(diǎn)時，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．8．已知，．（1）求函數(shù)的增區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍，并說明理由；（3）設(shè)正實數(shù)，滿足當(dāng)時，求證：對任意的兩個正實數(shù)，總有．(參考求導(dǎo)公式：)【思路引導(dǎo)】(1)求導(dǎo)，對進(jìn)行分類討論，可得函數(shù)的增區(qū)間；（2）由（1）知：若函數(shù)在的上為增函數(shù)，函數(shù)有至多有一個零點(diǎn)，不合題意．若可知，要使得函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則，以下證明函數(shù)有兩個零點(diǎn)即可（3）證明：不妨設(shè)，以為變量，令，則可以證明，所以在單調(diào)遞增；因為所以，這樣就證明了而，所以在存在惟一零點(diǎn)；又令所以在上遞增，所以的所以在也存在惟一零點(diǎn)；綜上：函數(shù)有兩個零點(diǎn)方法2：(先證：有)而，所以在也存在惟一零點(diǎn)；綜上：，函數(shù)有兩個零點(diǎn)．學(xué)科*網(wǎng)（3）證明：不妨設(shè)，以為變量令，則令，則因為，所以；即在定義域內(nèi)遞增．又因為且所以即，所以；又因為，所以學(xué)科*網(wǎng)所以在單調(diào)遞增；因為所以即【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的應(yīng)用、不等式問題、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想等．9．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）令，討論函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)；（3）若，正實數(shù)滿足，證明【思路引導(dǎo)】（1）求出的解析式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求出，由出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程即可；（2）求導(dǎo)數(shù)，分三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分別結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷出函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)；（3），化為，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到，解不等式可得結(jié)論．（3）證明：當(dāng)所以即為：所以令所以所以所以學(xué)科*網(wǎng)因為【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于難題．求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程．10．已知函數(shù)（）．（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)；（2）當(dāng)時，若在（）上存在一點(diǎn)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【思路引導(dǎo)】令，，得，記，，求得導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可以求得函數(shù)極值點(diǎn)以此判斷函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)；本題不宜分離，因此作差構(gòu)造函數(shù)，利用分類討論法求函數(shù)最小值，由于，所以討論與的大小，分三種情況，當(dāng)，的最小值為，，的最小值為，當(dāng)，的最小值為，解對應(yīng)不等式即可．②當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值為，由，可得．③當(dāng)，即時，可得的最小值為，∵，∴，，此時不成立．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．點(diǎn)睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決．但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法．11．已知函數(shù)．（1）求在處的切線方程；（2）試判斷在區(qū)間上有沒有零點(diǎn)？若有則判斷零點(diǎn)的個數(shù)．【思路引導(dǎo)】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程．（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，判斷極值與0的關(guān)系明確零點(diǎn)個數(shù)．試題解析：12．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的定義域內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)．【思路引導(dǎo)】（1）求出，求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可證明函數(shù)恒成立，即證明在定義域內(nèi)無零點(diǎn)．試題解析：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，則單調(diào)增，當(dāng)時，，所以，則單調(diào)減，所以是的極大值點(diǎn)，極大值是．（2）由已知，當(dāng)時，，所以，【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值以及函數(shù)