二次函數(shù)存在性問題（菱形、平行四邊形、矩形）

這里的四邊形存在性問題，一般是以幾種特殊的四邊形為主，?？疾斓挠衅叫兴倪呅?、菱形、本文我們將重點講解這類問題的求解邏輯以及注意事項，同時給大家理出一個比較通用的解題C交對稱軸于點D．(1)求拋物線的解析式；(2)點P是直線BC上方的拋物線上點，連接PC，PD．求△PCD的面積的最大值以及此時點P的坐標；點F是新拋物線的對稱軸上的一點，點G是坐標平面內(nèi)一點．當以D、E、F、G四點為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點F的坐標，并寫出求解其中一個點F的坐標的過程．\24)\24)如果只需要點F的坐標，那么沒有必要求解平移后拋物線的解析式．根據(jù)平移的性質(zhì)，將原拋物線為x=2，幾F(2,m)．但由于此時E為量拋物線的交點，因此還是要把平移后的拋物線解析式求出菱形的探究相對是比較簡單的，對于這類探究性問題，一般都是先從確定的信息入手．菱形是以D、E、F、G為頂點，其中DE為定線段，那么存在的可能有DE是一條邊，也可能是一條對對角線．前面提到，等腰三角形和菱形的分析是一致的，這里我們結(jié)合等腰三角形的存在性問題一起分析．由于G是“自由點”，可以隨機應變，因此討論以D、E、F為頂點的三角形是等腰三角當DE為一條腰時，第一種情形是點D為頂點，即DE=DF，也即半動點F到D的距離和E到D的距離相等，因此點F在以點D為圓心，DE為半徑的圓上，作出該圓，如圖1所示，可知此時FF此時兩個點應該都是滿足的．那么對應的“自由點”G，就是以DE為邊菱形了．當DE為一條腰時，另一種情形是點E為頂點，即ED=EF，也即半動點F到E的距離和D到E的距離相等，因此點F在以點E為圓心，ED為半徑的圓上，作出該圓，如圖2所示，可知此時應的“自由點”G，此時便是以DE為對角線的菱形．線”法．此題還是比較友善的，只需求出F坐標．如果需要求解點G的坐標，則還要加一個步驟．這里FG形的對角線相互平分，因此EF1的中點也即DG1的中點，利用中點坐標求解出G1坐標．這兩種處理在平行四邊形存在性問題中也是有力手段．(11)(11)\2)152292\2)5315229EDEFEDEF，即=m2?m+，16816解得m=2或m解得m=2或m=，此時F的坐標為(2,2)或|2,|，216(149)56\56)解得m(149)56\56)(1)求拋物線的解析式；(2)連接AC，BC，點P是直線BC下方拋物線上一點，過P作PD∥AC交直線BC于點D，PE∥x軸交直線BC于點，E，求△PDE面積的最大值及此時點，P的坐標；(3)在(2)的條件下，將原拋物線沿x軸向左平移3個單位得到新拋物線，點M是新拋物時，請直接寫出所有符合條件的N點的坐標；并任選其中一個N點，寫出求解過程．BC．(1)求拋物線的解析式；(2)P是拋物線上位于直線BC上方的一個動點，過點P作PQ∥y軸交BC于點Q，過點P作PE⊥BC于點E，過點E作EF⊥y軸于點F，求出2PQ+EF的最大值及此時點P的坐標；(3)如圖2，將拋物線y=ax2+bx+4沿著射線CB的方向平移，使得新拋物線y，過點(3,1)，上一動點，直接寫出所有使得以A，D，G，H為頂點的四邊形為平行四邊形的點H的坐標，并把求其中一個點H的坐標的過程寫出來．1(828)2\39)1(828)2\39)知，沿著射線CB平移，即向右平移t個單位，則向下也平移t個單位，因此假設平移后新拋物線的13相當于是沿著射線BC方向平移，故舍去，因此可得平移后拋物線的解析式為y=?x2+4x?．聯(lián)22y=?x2+x+4\28)這類平行四邊的探究也并不難，同樣先從確定的信息入手．平行四邊形是以A，D，G，H為D對角線；另一種則是平行四邊形為ADGH，也即AG，DH為對角線．當然，不管是那種情形，由AD828)828)828)設好，將點坐標表示列出來(通常都是橫坐標)，選定一個定點，如這里我們選定xA，將其與剩下及xA+xH=xD+xG，求解出點H橫坐標，再代入解析式中求出點H縱坐標即可．(1311則有D|2,8)|—H|2,8(13112\28)2\28)132\28)2\28)13(1313)13Dy=?x2+x+4\28)則xA=?2，xD=，xG=1，設H點橫坐標為xH，2\28)①當AH為一條對角線時，xA+xH=xD+xG，則xH=，代入可求得此時H|2\28)AGxAxGAGxAxGxDxH，則xH=?，代入可求得此時H|?,?|；③當AD為一條對角線時，xA+x③當AD為一條對角線時，xA+xD=xH+xG，則xH=，代入可求得此時H|,?|；(1313)(9277)(137)\28)\28)\28)\28)\28)\28)OB=3OA．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點E為射線AD上一點，點P為第二象限內(nèi)拋物線上一點，求四邊形PBEC面積的最大值及此時點P的坐標；(3)如圖2，將原拋物線沿x軸正方向平移得到新拋物線y，y經(jīng)過點C，平移后點A的對應點為點A，點N為線段AD的中點，點Q為新拋物線y的對稱軸上一點，在新拋物線y上存在一點M，使以點M，Q，A，N為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點M的坐標，并選擇一個出求解過程．(1)求拋物線的解析式；B△BDP面積的最大值以及此時P點坐標；(3)如圖2，將拋物線向左平移1個單位長度，得到新的拋物線y1，M為新拋物線對稱軸上一點，N為直線AC上一動點，在(2)的條件下，是否存在點M，使得以點P、B、M、N為頂N【例1】如圖，已知拋物線y=ax2+bx?4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且點A的坐標直線BC的解析式為y=x?4．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過點A作AD∥BC交拋物線于點D(異于點A)，P是直線BC下方拋物線上一點，過點P作PQ∥y軸，交AD于點Q，過點Q作QR⊥BC于點R，連接PR．求△PQR面積的最大值及此時點P的坐標；(3)如圖2，點C關(guān)于x軸的對稱點為點C，將拋物線沿射線CA的方向平移2個單位長度得到新的拋物線y，新拋物線y與原拋物線交于點M，原拋物線的對稱軸上有一動點N，平面直角坐標系內(nèi)是否存在一點K，使得以D，M，N，K為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫342yxx?4；S△PQR的最大值為9，點P(4,?342AM物線的解析式．根據(jù)A(?2,0)，C(0,4)，可知Rt△AOC中AO:OC:AC=1:2:，因此將拋物線4242y=x2?x?4(1得M(6,?4)．又BC:y=1x?4，可知AD:y=1x+1，聯(lián)立〈|y=2x+1，解得D(10,6)．|4222|y=1x2?3x|42前面討論菱形、平行四邊形時的流程基本大同小異，定線段DM可能是矩形的邊，也可能是矩形的對角線，因此要分兩種情形討論．矩形的存在性問題和直角三角形的存在性問題是一致的，如本題\5)N\5)當M為直角頂點時，過M作DM垂線與對稱軸交點即為點N所在位置，如圖1所示．對于N點坐標的求解，一方面，由于MN⊥DM，則kMN.kDM=?1，結(jié)合點M坐標，由此可求得直線MN解析式，將其與對稱軸方程聯(lián)立即可求得點N坐標．另一方面，可以構(gòu)造如圖所示的K型相似，即構(gòu)造△MN1G造△MN1G∽△DMH，利用=，可求出長度，進而得到點N坐標．更特殊地，如果是等GMGMNG在此直角三角形的基礎上，加上自由點K，就變成矩形問題了．對于矩形問題，同樣可以求出點N坐標后，利用平移關(guān)系或者對角線的中點關(guān)系，求相應的點K的坐標．當然，如果是探究矩形的存在性問題，也可以直接利用中點關(guān)系求得點K的坐標．由點N(3,n)，設K(xK,yK)(熟練后，在實際解題中設K(x,y)即可)，利用中點關(guān)系〈MKDN，則〈K在實際解題中設K(x,y)即可)，利用中點關(guān)系〈MKDN，則〈K，整理得lyMyKyDyNl?4+yK=6+n故此時K|7,|．此法借助的是矩形的對角線平分且相等的性質(zhì)，該處理對于故此時K|7,|．此法借助的是矩形的對角線平分且相等的性質(zhì)，該處理對于DM是對角線的情形l5當N為直角頂點時，則有NM⊥ND，因此點N在以DM為直徑的圓上．此種情形若只是求點Nl5當N為直角頂點時，則有NM⊥ND，因此點N在以DM為直徑的圓上．此種情形若只是求點NN線段長度求解，設DM中點為為R，則此時圓心為R，因此NR=RD=DM，由此也可求得點N坐NK標外，也可以利用前面的對角線平分且相等來求解．般利用斜率關(guān)系，求出解析式后進一步求解．如果是矩形問題要求自由點的坐標，可以用對角線平xM+xD=xN+xKxM+xD=xN+xK\5)\5)式和長度關(guān)系式子，即〈MKDN且MK2=DN2，〈MND式和長度關(guān)系式子，即〈MKDN且MK2=DN2，〈MNDK且MN2=DK2以及l(fā)yM+yK=yD+yNlyM+yN=yD+yK〈且MD2=NK2，利用方程組求解出對應的點K的坐標．lyM+yD=yN+yKy1?y2附：坐標平面內(nèi)點A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中x1豐xy1?y242424242My=x2?x?4(1又BC:y=1x?4，可知AD:y=1x+1，聯(lián)立〈|y=2x+1，解得D(10,6)，22|y=1x2?