2024屆重慶一中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆重慶一中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知等比數(shù)列滿足,,則（）A． B． C． D．2．平行四邊形中，若點滿足，，設(shè)，則（）A． B． C． D．3．一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A．或 B．或 C．或 D．或4．已知向量=(),=(-1,1),若,則的值為（）A． B． C． D．5．直線2x+y+4=0與圓x+22+y+32=5A．255 B．4556．函數(shù)的部分圖象如圖，則（）（）A．0 B． C． D．67．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊過點，則（）A． B． C． D．8．若直線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．9．在正方體中，點是四邊形的中心，關(guān)于直線，下列說法正確的是（）A． B．C．平面 D．平面10．設(shè)變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則的值為_______.12．若，，則的值為______．13．展開式中，各項系數(shù)之和為，則展開式中的常數(shù)項為__________．14．若函數(shù)的圖像與直線有且僅有四個不同的交點，則的取值范圍是______15．三棱錐的各頂點都在球的球面上，，平面，，，球的表面積為，則的表面積為_______．16．已知向量，，若，則實數(shù)__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個．若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是．（1）求n的值；（2）從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b．①記“”為事件A，求事件A的概率；②在區(qū)間內(nèi)任取2個實數(shù)，求事件“恒成立”的概率．18．解關(guān)于x的不等式19．已知向量，，且.（1）求的值；（2）求的值.20．近年來，石家莊經(jīng)濟快速發(fā)展，躋身新三線城市行列，備受全國矚目.無論是市內(nèi)的井字形快速交通網(wǎng)，還是輻射全國的米字形高鐵路網(wǎng)，石家莊的交通優(yōu)勢在同級別的城市內(nèi)無能出其右.為了調(diào)查石家莊市民對出行的滿意程度，研究人員隨機抽取了1000名市民進行調(diào)查，并將滿意程度以分數(shù)的形式統(tǒng)計成如下的頻率分布直方圖，其中.（1）求，的值；（2）求被調(diào)查的市民的滿意程度的平均數(shù)，中位數(shù)（保留小數(shù)點后兩位），眾數(shù)；（3）若按照分層抽樣從，中隨機抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人，求至少有1人的分數(shù)在的概率.21．已知數(shù)列滿足且，設(shè)，.（1）求；（2）求的通項公式；（3）求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】試題分析：由題意可得,所以,故,選C.考點：本題主要考查等比數(shù)列性質(zhì)及基本運算.2、B【解題分析】

畫出平行四邊形，在上取點，使得，在上取點，使得，由圖中幾何關(guān)系可得到，即可求出的值，進而可以得到答案．【題目詳解】畫出平行四邊形，在上取點，使得，在上取點，使得，則，故，，則.【題目點撥】本題考查了平面向量的線性運算，考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了平行四邊形的性質(zhì)，屬于中檔題．3、C【解題分析】

由題意可知：點在反射光線上．設(shè)反射光線所在的直線方程為：，利用直線與圓的相切的性質(zhì)即可得出．【題目詳解】由題意可知：點在反射光線上．設(shè)反射光線所在的直線方程為：，即．由相切的性質(zhì)可得：，化為：，解得或．故選．【題目點撥】本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、點到直線的距離公式、光線反射的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4、D【解題分析】

對條件兩邊平方，得到該兩個向量分別垂直，代入點的坐標，計算參數(shù)，即可．【題目詳解】結(jié)合條件可知，，得到，代入坐標，得到，解得，故選D．【題目點撥】本道題考查了向量的運算，考查了向量垂直坐標表示，難度中等．5、C【解題分析】

先求出圓心到直線的距離d，然后根據(jù)圓的弦長公式l=2r【題目詳解】由題意得，圓x+22+y+32=5圓心-2,-3到直線2x+y+4=0的距離為d=|2×(-2)-3+4|∴MN=2故選C．【題目點撥】求圓的弦長有兩種方法：一是求出直線和圓的交點坐標，然后利用兩點間的距離公式求解；二是利用幾何法求解，即求出圓心到直線的距離，在由半徑、弦心距和半弦長構(gòu)成的直角三角形中運用勾股定理求解，此時不要忘了求出的是半弦長．在具體的求解中一般利用幾何法，以減少運算、增強解題的直觀性．6、D【解題分析】

先利用正切函數(shù)求出A，B兩點的坐標，進而求出與的坐標，再代入平面向量數(shù)量積的運算公式即可求解．【題目詳解】因為y＝tan（x）＝0?xkπ?x＝4k+2，由圖得x＝2；故A（2，0）由y＝tan（x）＝1?xk?x＝4k+3，由圖得x＝3，故B（3，1）所以（5，1），（1，1）．∴（）5×1+1×1＝1．故選D．【題目點撥】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，考查了利用正切函數(shù)值求角的運算，解決本題的關(guān)鍵在于求出A，B兩點的坐標，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

利用三角函數(shù)定義即可求得：，，再利用余弦的二倍角公式得解.【題目詳解】因為角的終邊過點，所以點到原點的距離所以，所以故選C【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)定義及余弦的二倍角公式，考查計算能力，屬于較易題．8、B【解題分析】

根據(jù)題意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，將代入計算即可求出值．【題目詳解】由于直線的傾斜角為，所以，則故答案選B【題目點撥】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．9、C【解題分析】

設(shè)，證明出，可判斷出選項A、C的正誤；由為等腰三角形結(jié)合可判斷出B選項的正誤；證明平面可判斷出D選項的正誤.【題目詳解】如下圖所示，設(shè)，則為的中點，在正方體中，，則四邊形為平行四邊形，.易知點、分別為、的中點，，則四邊形為平行四邊形，則，由于過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，則A選項中的命題錯誤；，平面，平面，平面，C選項中的命題正確；易知，則為等腰三角形，且為底，所以，與不垂直，由于，則與不垂直，B選項中的命題錯誤；四邊形為正方形，則，在正方體中，平面，平面，，，平面，平面，，同理可證，且，平面，則與平面不垂直，D選項中的命題錯誤.故選C.【題目點撥】本題考查線線、線面關(guān)系的判斷，解題時應(yīng)充分利用線面平行與垂直等判定定理證明線面平行、線面垂直，考查推理能力，屬于中等題.10、C【解題分析】

作出可行域，利用平移法即可求出．【題目詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示：當直線平移至經(jīng)過直線與直線的交點時，取得最大值，．故選：C．【題目點撥】本題主要考查簡單線性規(guī)劃問題的解法應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

把已知等式展開利用二倍角余弦公式及兩角和的余弦公式，整理后兩邊平方求解．【題目詳解】解：由，得，，則，兩邊平方得：，即．故答案為．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．12、【解題分析】

求出，將展開即可得解．【題目詳解】因為，，所以，所以.【題目點撥】本題主要考查了三角恒等式及兩角和的正弦公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．13、【解題分析】令，則，即，因為的展開式的通項為，所以展開式中常數(shù)項為，即常數(shù)項為.點睛：本題考查二項式定理；求二項展開式的各項系數(shù)的和往往利用賦值法（常賦值為）,還要注意整體賦值，且要注意展開式各項系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別.14、【解題分析】

將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，再畫出函數(shù)的圖象，則直線與函數(shù)圖象有四個交點，從而得到的取值范圍.【題目詳解】因為因為所以，所以圖象關(guān)于對稱，其圖象如圖所示：因為直線與函數(shù)圖象有四個交點，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用三角函數(shù)圖象研究與直線交點個數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，作圖時發(fā)現(xiàn)圖象關(guān)于對稱，是快速畫出圖象的關(guān)鍵.15、【解題分析】

根據(jù)題意可證得，而，所以球心為的中點．由球的表面積為，即可求出，繼而得出的值，求出三棱錐的表面積．【題目詳解】如圖所示：∵，平面，∴，又，故球心為的中點．∵球的表面積為，∴，即有．∴，．∴，，，．故的表面積為．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查三棱錐的表面積的求法，球的表面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

根據(jù)平面向量時，列方程求出的值．【題目詳解】解：向量，，若，則，即，解得．故答案為：．【題目點撥】本題考查了平面向量的坐標運算應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）P＝．【解題分析】

試題分析：（1）依題意共有小球n＋2個，標號為2的小球有n個，從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率為，解得n＝2；（2）①從袋子中不放回地隨機抽取2個小球共有12種結(jié)果，而滿足2≤a＋b≤3的結(jié)果有8種，故；②由①知，，故，（x，y）可以看成平面中的點的坐標，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為，由集合概型得概率為．考點：考查了古典概型和幾何概型．點評：解本題的關(guān)鍵是掌握古典概型和集合概型的概率公式，并能正確應(yīng)用．18、見解析.【解題分析】試題分析：（1）討論的取值，分為，兩種情形，求出對應(yīng)不等式的解集即可.試題解析：當a=0時，原不等式化為x+10，解得;當時，原不等式化為，解得；綜上所述，當a=0時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為.點睛：本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，元二次不等式的核心還是求一元二次方程的根，然后在結(jié)合圖象判定其區(qū)間解題時應(yīng)用分類討論的思想，是中檔題目；常見的討論形式有：1、對二項式系數(shù)進行討論；2、相對應(yīng)的方程是否有根進行討論；3、對應(yīng)根的大小進行討論.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）由向量垂直的坐標運算可得，再求解即可；（2）利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可得原式，再構(gòu)造齊次式求解即可.【題目詳解】解：（1）因為，所以，因為，，所以，即，故.（2）.【題目點撥】本題考查了向量垂直的坐標運算，重點考查了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及構(gòu)造齊次式求值，屬中檔題.20、（1），；（2）平均數(shù)約為，中位數(shù)約為，眾數(shù)約為75；（3）．【解題分析】

（1）根據(jù)題目頻率分布直方圖頻率之和為1，已知其中，可得答案；（2）利用矩形的面積等于頻率為0.5可估算中位數(shù)所在的區(qū)間，利用估算中位數(shù)定義，矩形最高組估算縱數(shù)可得答案；（3）利用古典概型的概率計算公式求解即可．【題目詳解】解：研究人員隨機抽取了1000名市民進行調(diào)查，并將滿意程度以分數(shù)的形式統(tǒng)計成如圖的頻率分布直方圖，其中，（1），其中，解得：，；（2）隨機抽取了1000名市民進行調(diào)查，則估計被調(diào)查的市民的滿意程度的平均數(shù)：，由題中位數(shù)在70到80區(qū)間組，，，中位數(shù)：，眾數(shù)：75，故平均數(shù)約為，中位數(shù)約為，眾數(shù)約為75；（3）若按照分層抽樣從，，，中隨機抽取8人，則，共80人抽2人，，共240人抽6人，再從這8人中隨機抽取2人，則共有種不同的結(jié)果，其中至少有1人的分數(shù)在，共種不同的結(jié)果，所以至少有1人的分數(shù)在，的概率為：．【題目點撥】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題．21、（1），，，；（1），；（3）.【解題分析】

（1）依次代入計算，可求得；（1）歸納出，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）用裂項相消法求和，然后求極限．【題目詳解】（1）∵且，∴，即，，，，，，，，，∴；（1）由（1）歸納：，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°n=1，n=1時，由（1）知成立，1°假設(shè)n=k（k>1）時，結(jié)論成立，即