橢圓的幾何性質(zhì)及綜合問(wèn)題

的幾何性質(zhì)及綜合問(wèn)題

橢圓的幾何性質(zhì)一、概念及性質(zhì)1^1橢圓的“范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、軸長(zhǎng)、焦距、離心率及范圍、a,b,c的關(guān)系”；1^1liiJ橢圓的通經(jīng)：liiJ橢圓的焦點(diǎn)三角形的概念及面積公式：橢圓的焦半徑的概念及公式：主要用來(lái)求離心率的取值范圍，對(duì)于此問(wèn)題也可以用下列性質(zhì)求解：.,.a-c<\PF|<a+c5?直線與橢圓的位置關(guān)系：6.橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題：【注】：橢圓的幾何性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，高考中多以小題出現(xiàn)，試題難度一般較大，高考對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的考查主要有以下三個(gè)命題角度：（1） 根據(jù)橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍；（2） 由性質(zhì)寫(xiě)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3） 求離心率的值或范圍.題型一：根據(jù)橢圓的性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)的值或范圍、離心率的值或范圍.【典例1】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（30）。（02；（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20,離P（-3，U）,Q（U,-2）心率等于3.

1^1【典例2】求橢圓…2時(shí)=400的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo).1^1【典例3】已知A,P,Q為橢圓C：爐+— 0)十—一1(a》b》o)- - a2-b2上三點(diǎn)，若直線PQ過(guò)原點(diǎn)，且直線AP，AQ的斜率之積為1，則橢圓C的離心率為()——2A.至 B.i C^/2 D.1【練習(xí)】(1)已知橢圓M+b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x2+y2—&+8=0的圓心，且短軸長(zhǎng)為8,則橢圓的左頂點(diǎn)為()0)=1的離心率為4,則k的值(2)為(A?(—3,0)B?(—4,0)C.(—10,0)=1的離心率為4,則k的值(2)為(— 19A.—21B.21C?—或2125D.25或21(3)設(shè)橢圓C：a+*=1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)為鳥(niǎo)，F(xiàn)2，過(guò)F2作x軸的垂線與C相交于A,B兩點(diǎn)，F(xiàn)B與y軸相交于點(diǎn)。若AD±F1B,則橢圓C的離心率等于.【典例4】已知F,F為橢圓X2+y2=1(a>b>

0)的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，且欣I=欣I=5PFJ練習(xí)：如圖，把橢圓2]的長(zhǎng)軸AB分成；等十=12516份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分PF\+\PF|+與P]P2，…P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則PF\+\PF|+【典例5】若“過(guò)橢圓M+*=1(aX>0)的左，右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的兩條互相垂直的直線0l2的交點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部”，求離心率的取值范圍.【典例6】已知橢圓C：*+￥=1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合.若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,8,線段MN的中點(diǎn)在C上，則IANI+IBNI=

【方法歸納】：1=1在利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，總體原則是“先定位，再定量”.1=1l=J求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，其原則是“數(shù)形結(jié)合，定義優(yōu)先，幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化”，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分利用平面幾何的性質(zhì)及有關(guān)重要結(jié)論來(lái)探尋參數(shù)a,b,c之間的關(guān)系，以減少運(yùn)算量?l=J在求解有關(guān)圓錐曲線焦點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，結(jié)合圖形，注意動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的轉(zhuǎn)化.求橢圓的離心率或其范圍時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a,b,c的等式（或不等式）,利用a2=b2+c2消去b,即可求得離心率或離心率的范圍；有時(shí)也可利用正弦、余弦的有界性求解離心率的范圍?在探尋a,b,c的關(guān)系時(shí)，若能充分考慮平面幾何的性質(zhì)，則可使問(wèn)題簡(jiǎn)化，如典例5.【本節(jié)練習(xí)】 — 、一3 1.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8,離心率是；則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

心+￥=1臨+y=1疇+16=1c.16+22=1心+22=1或22+12=11=1的離心率，且e《（2，1）1=1的離心率，且e《（2，1），），16c.（0，3）u（孚FeaEJA.（0,3） B.（3+8）D.（0,2）已知橢圓短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為B,B,焦點(diǎn)為F,F2,若四邊形BFBF是正方形，則這個(gè)橢圓的離心率e等于（）D.F0AxA.ml—B.. C.D.F0AxA.2如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓羊+巖=11的離心率e=2，F(xiàn),A分別是橢圓2的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則PF■PA的最大值為.戶+”鄧＞0）的左、右焦點(diǎn)為F1,戶+”鄧＞0）的左、右焦點(diǎn)為F1,F，離心率為＜3，過(guò)F2的直線I交C于A,B兩點(diǎn)，若△AF18的周長(zhǎng)為43，則C的方程為（）A.x2+y2_] B.x2+2_] C.x2+y2_] D.x2+y2_1T~2~ T+廣— 12百― H~T~6.已知F1.F2是橢I7.設(shè)是橢圓E：F,F

1 2P為直線|黑）+巖=6.已知F1.F2是橢I7.設(shè)是橢圓E：F,F

1 2P為直線蘭+22_1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，a2b2x_3a上一點(diǎn)，爵PF是底角為300的等腰TOC\o"1-5"\h\z2 2 1三角形，則E的離心率為（）A.1B.2C.3D.42 3 4 58.過(guò)橢圓抒+22_1（a〉b>0）的左焦點(diǎn)F作x軸的垂線a2b2 1交橢圓于點(diǎn)P,F為右焦點(diǎn)，若 ，則橢匕FPF_600、 . 乙 1 2圓的離心率為（）A.笠B.笠C.￡D.19.已知橢圓x2——+9.已知橢圓x2——+a22!b2*>b>°）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)—±（a>>u）為A,上頂點(diǎn)為B,若BF±BA，則稱其為“優(yōu)美橢圓”那么“優(yōu)美橢圓”的離心率為10.已知F為橢圓的左焦點(diǎn)，A,B分別為橢圓的1右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF±FA，PF^FAPO^AB(O為橢圓中心)時(shí)，橢圓的離心率為11.已知方程:二+二=1表示焦點(diǎn)在y軸上2—k2k—1的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()1、 ， 、 .、 1A.(2,2) B?(1,+8) C.(1,2) D.(2,1)12.矩形ABCD中，IABI=4,BCI=3，則以A,B為焦點(diǎn)，且過(guò)C,D兩點(diǎn)的橢圓的短軸的長(zhǎng)為()A.23 B.26C.42D.43成等差數(shù)列，則橢圓方程為(A.況=1 B.-￥=1 D.卷+普13.一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F],F2在x軸上，P(2,3)是橢圓上一點(diǎn)，且IPF1I,I成等差數(shù)列，則橢圓方程為(A.況=1 B.-￥=1 D.卷+普+白1C.A

圓的離心率為1^114.如圖，已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)恰好是橢圓$+片=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)兄且這兩條曲線交點(diǎn)的連線過(guò)點(diǎn)兄則該橢圓的離心率為1^115.已知拋物線，尤2與橢圓X2+y2皿>。)在第一象y_ 十二—1(a。)4 a2 18限相交于A點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，AB±y軸于B點(diǎn)，當(dāng)ZBAF=300時(shí)，a=16.設(shè)16.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢I成+卜1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4),則IPMI+1PF1I的最大值為?17.橢圓親+，=1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q,E(3,0),EPVEQ，貝UEP-QP的最小值為()A.6 B.3—3 C.9D.12—6* 、

18.橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是寸3,則這個(gè)橢圓方程為.19.若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度，短軸的長(zhǎng)度和焦距依次成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是20.已知圓錐曲線mx2+4y2=4m的離心率e為方程2x2-5x+2=0的根，則滿足條件的圓錐曲線的個(gè)數(shù)為（）A.4B.3 C.2D.114.橢圓「:買+四兀>b>°）的左右焦點(diǎn)分別為「,f，焦a2b2 .. 12距為小若直線M+c）與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)滿足2C y—*3xx十c//MFF—2ZMFF，則該橢圓的離心率等于12 21設(shè)Fi（-c,0）,F2（c,0）是橢圓蘭+j（a>b>0）a2b2則該橢圓的的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是以IF^I為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且ZPFF=5ZPFF則該橢圓的(B)(B)空(C)(D)2（A）1&3

）D.9C:蘭+22=10>b>0）上三點(diǎn)，若直a）D.9C:蘭+22=10>b>0）上三點(diǎn)，若直a2b2時(shí)如的斜率之積為1，則橢AP,AQ）B.12lX2切1的1切線，切點(diǎn)分別為A,B，直線赫恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是 已知橢圓a2+b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F1,左焦點(diǎn)為f2，若橢圓上存在一點(diǎn)P,滿足線段PF1相切于以橢圓的短軸為直徑的圓，切點(diǎn)為線段PF1的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（A.率B.3C.遢已知■“為橢圓A,P,Q線PQ過(guò)原點(diǎn)，且直線圓「的離心率等于（v24A.v242D.14題型二：直線與橢圓的位置關(guān)系的判定.【典例1】當(dāng)m為何值時(shí)，直線八…〃與橢圓l?y—X十fm9x"16y2-144相切、相交、相離？

1^1【典例2】已知橢圓蕓+瑟=1，直線皿“40=0，

橢圓上是否存在一點(diǎn)，它到直線l的距離最小?1^11^1‘小距離是多少？1^1反饋：（2012反饋：（2012福建）如圖，橢圓E：蘭+22=1(a>b>0)a2 b2的左右焦點(diǎn)分別為F1、正2，離心率°=1，過(guò)F12的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8.（1） 求橢圓E的方程；5：（2） 設(shè)動(dòng)直線I：2=奴+w與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4交于0試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)M，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5：【方法歸納】：直線與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟:聯(lián)立直線方程與橢圓方程；

消元得出關(guān)于x(或y)的一元二次方程；當(dāng)△>0時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)A=0時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)八V0時(shí)，直線與橢圓相離.注：對(duì)比直線與圓的位置關(guān)系的判斷，它們之間有何聯(lián)系與區(qū)別？題型三：直線與橢圓相交(及中點(diǎn)弦)問(wèn)題該問(wèn)題屬高考中對(duì)圓錐曲線考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn)問(wèn)題，其主要方法是數(shù)形結(jié)合、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、整體代換.【典例1】已知斜率為1的直線l過(guò)橢圓"冏十y2=14右焦點(diǎn)，交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)及山所^ABr1的周長(zhǎng)、面積.1^1【典例2】已知橢圓切+名=10>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,3),離心率為2,左，右焦點(diǎn)分別為F1(~c,0)，F(xiàn)2(c,0).1^1⑴求橢圓的方程；(2)若直線l：y=—>+m與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn),AB|5、3且滿足cdi—4,不且線l的方程?【典例3】已知一直線與橢圓4,2小一36相交于x2十y2—A,B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,1),求直線AB的方程.變式：過(guò)點(diǎn)M(1,d作斜率為_(kāi)1的直線與橢圓C:|+步-1(a>b>0)相交于A,B，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為【典例4】(2015新課標(biāo)文)已知橢圓C:擋+5>b>0)的離心率為典，點(diǎn)"定C上.a2b2 2求C的方程；宜線I不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,且不平行于坐標(biāo)軸，I與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B，線段AB中點(diǎn)為M,證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.

【典例5】已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓e：蘭+j(.>b>o)a2b2的離心率為業(yè),的離心率為業(yè),2”是橢圓的焦點(diǎn)，直線時(shí)的F AF斜率為獎(jiǎng)3,°為坐標(biāo)原點(diǎn).求E的方程；E設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線盧E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求,的方程.【典例6】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3，最小值為1.⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l：_與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)y一k^十(A，B均不在左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn).求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【方法歸納】:

解決直線與橢圓相交問(wèn)題的原則有兩個(gè)：一是數(shù)形結(jié)合；二是一條主線：“斜率、方程組、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系”.利用根與系數(shù)的關(guān)系整體代換，以減少運(yùn)算量?如果題設(shè)中沒(méi)有對(duì)直線的斜率的限定,一定要討論斜率是否存在，以免漏解；這里又有兩個(gè)問(wèn)題需要注意：①若已知直線過(guò)y軸上的定點(diǎn)P(0,b)，可將直線設(shè)為斜截式，即縱截距式，即y=kx+b，但要討論斜率是否存在；②若已知直線過(guò)x軸上的定點(diǎn)P(a,0)，可以直接將直線方程設(shè)為橫截距式，即x=my+a，這樣可避免討論斜率是否存在，但此時(shí)求弦長(zhǎng)時(shí)，需將下面弦長(zhǎng)公式中的k用￡替換.園截-B園截直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,,y1)、B(x2,y2),則IABI=:(1+k2)[(x1+x2)2■4x1x2]二;(1+￡)[(七+‘2)2-),2](k為直線斜率):【本節(jié)練習(xí)】1.(2014-高考安徽卷)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2+b2=1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若IAF1I=3IF1BI,AF2Xx軸，則橢圓E的方程為.2.（2015-豫西五校聯(lián)考）巳知橢圓￥+名=1（0<bV2）的左、右焦點(diǎn)分別為鳥(niǎo)、F2，過(guò)F1的直線I交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若IBF2I+IAF2I的最大值為5,則b的值是（）A?1B?2C?；D?33.（2015-宜昌調(diào)研）過(guò)橢圓W+￥=1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為4.已知橢圓G：M+b2=1（，>b>0）的離心率為孕，右焦點(diǎn)為（2」2,0）.斜率為1的直線l與橢圓G交于A,B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（—3,2）.（1） 求橢圓G的方程；（2） 求△PAB的面積.

5.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦1距為2,離心率為2?求橢圓C的方程；設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,1),且與橢圓C交5’.已知橢圓于A,B兩點(diǎn)，若AM=2JMB,5’.已知橢圓TOC\o"1-5"\h\zE+22=1(。>b>0)的離心率為—，右焦點(diǎn)到直線a2b2 2x+"\6=0的距離為2百.⑴求橢圓的方程；7 -(2)過(guò)點(diǎn)M(0,-1)作直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn)，交x軸于N點(diǎn)，滿足NA=-5NB,求直線l的方程?6.已知橢圓x2+22=i(a>b>0)的離心率為買，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12，過(guò)點(diǎn)a2b2 2P(4,2)的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn).(1)求橢圓方程；(2)當(dāng)直線l的斜率為2時(shí)，求|ab|的值；⑶當(dāng)點(diǎn)P恰好為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程.7 2 、,2 平面直角坐標(biāo)系xoy中，過(guò)橢圓M：號(hào)+上=1(。>b>0)的右焦點(diǎn)F作直線x+y-*=0交M于A,B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為-.2求M的方程；C,D為M上的兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對(duì)角線CDY^,求四邊形ACBD面積的最大值.8.設(shè)弓七分別是橢圓E:壬+苔=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F斜率為1的直線l與E相交于A,B兩點(diǎn)，且|AFJ,|AB|,|BFJ成等差數(shù)列.求E的離心率；設(shè)點(diǎn)p(°f滿足網(wǎng)=冏，求E的方程.9.設(shè)F，F(xiàn)分別是橢圓C：擋+22=1(a>b>0)的a2b2左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.1(I)若直線MN的斜率為3，求C的離心率；4若直線MN在y軸上的截距為2且\MN\=5\FN\9^a,b.110.如圖,分別是橢圓點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)Ca2+b2=Ka>b>0)的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線交直線x=a2于點(diǎn)Q.如果點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4,4),求此時(shí)橢圓C的方程；證明：直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn).11.已知橢圓C：x2+2y2=4.(1)求橢圓C的離心率;(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線y=2上，點(diǎn)B在橢圓C上，且OALOB,(文)求線段AB長(zhǎng)度的最小值.系.(理)試判斷直線AB與圓……2的位置關(guān)X2十y2—2圓錐曲線在高考中的考查主要體現(xiàn)“一條主線,五種題型”，所謂一條主線:是指直線與圓錐曲線的綜合.五種題型是指“最值問(wèn)題；定點(diǎn)問(wèn)題；定值問(wèn)題；參數(shù)的取值范圍問(wèn)題；存在性問(wèn)題”.一、最值問(wèn)題【規(guī)律方法】：=J=J（1） 最值問(wèn)題有兩大類：距離、面積的最值以及與之有關(guān)的一些問(wèn)題；求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問(wèn)題.=J=J1^1（2） 兩種常見(jiàn)方法：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解題；②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法;若是分式函數(shù)則可先分離常數(shù)，再求最值；若是二次函數(shù)，可用配方法；若是更復(fù)雜的函數(shù)，還可用導(dǎo)數(shù)法.1^1（3） 圓錐曲線的綜合問(wèn)題要四重視：

①重視定義在解題中的作用；②重視平面幾何知識(shí)在解題中的作用；③重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用；④重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用.如定值中2014江西文科考題，范圍中的題6、7.1.已知橢圓C：丑+y2=1(a>0)的焦點(diǎn)在x軸上，a2右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別為A、B.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，分別以A、B為焦點(diǎn)的拋物線C/C2交于點(diǎn)P(不同于O點(diǎn))，且以BP為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.已知橢圓C：若與OP垂直的動(dòng)直線I交橢圓C于M、N不同兩點(diǎn)，求^OMN面積的最大值和此時(shí)直線l2.已知橢圓C：抒+七=10>b>0)的上頂點(diǎn)為(°，1)，a2b2且離心率為、3.2求橢圓C的方程;旦+22旦+22=1(m>n>0)上一點(diǎn)0%,y)的m2n2 00切線方程為*0m2

從圓…_16上一點(diǎn)P向橢圓C引兩條切x2十y2—16線，切點(diǎn)分別為A、8,當(dāng)直線AB分別與x軸、y軸交于M、N兩點(diǎn)時(shí)，求的最小值.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和到定直線x=2的距離之比為巨,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E,過(guò)點(diǎn)F作垂直于x軸的直線與曲線E相交于A,B兩點(diǎn)，直線L與曲線E交于C、D兩點(diǎn)，y—mix十n與線段AB相交于一點(diǎn)(與A、B不重合)?求曲線E的方程；當(dāng)直線l與圓x2+y2—1相切時(shí)，四邊形ACBD的面積是否有最大值.若有，求出其最大值及相應(yīng)的直線l的方程；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.4.已知點(diǎn)4.已知點(diǎn)A(0,-2),橢|U：馬22-w>b>0)的離a2 b2心率為、§，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線時(shí)的斜F AF2率為至，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(I)求E的方程；E△OPQ(I)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線盧E相交于pQ兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求Z的方程.△OPQ5.平面直角坐標(biāo)系,少中，已知橢圓xoyc?x2+y2_](。>b>0)的離心率為切，且點(diǎn)(31)在橢匚C.\1(^>>U) (,)上：(I)求橢圓c的方程;(II)設(shè)橢I(II)設(shè)橢I點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線y=奴+m射線PO交橢圓E于點(diǎn)e?X2,y2 1E? + =14a2 4b2，P為橢圓。上任意一交橢圓E于心兩點(diǎn)，A,B(i)求絲的值；OP(訂)求ms面積的最大值。^ABQ二、定值問(wèn)題解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率、某些代數(shù)表達(dá)式的值等)的大小與題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值.解決圓錐曲線中的定值問(wèn)題的基本思路是：定值問(wèn)題必然是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變量，那么就可以用變化的量表示問(wèn)題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量

積、比例關(guān)系等不受變化的量所影響的一個(gè)值即為定值.求定值的基本方法：liiJliiJi=j

w直接推理計(jì)算，通過(guò)消參得到定值：直接推理計(jì)算，通過(guò)消參得到定值的關(guān)鍵在于引進(jìn)參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量liiJliiJi=j

w（如2015高考文科）=1i=j

w從特殊入手，求出定值，再證明，即從特殊到一般法：從動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊位置入手，計(jì)算出定值或定點(diǎn)，然后驗(yàn)證一般情形，即證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān).=1i=j

w【注】：無(wú)論哪種方法，其求解過(guò)程仍始終貫穿一條主線.擋+J。>b>擋+J。>b>0）的離心率為互，點(diǎn)（Ta2b2在C上.（1） 求C的方程；（2） 直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為肱.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.

已知橢圓C：4件=y>0)，直線/不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，，與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；若l過(guò)點(diǎn)何八,延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)〔耳,3.已知?jiǎng)又本€,與橢|P,四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)3.已知?jiǎng)又本€,與橢|p +y2=1交于P(x,y),Q(x,y)TOC\o"1-5"\h\z32 11 22兩不同點(diǎn)，且皿0的面積S拆，其中。為坐標(biāo)^OPQ S —— OXOPQ 2原點(diǎn).證明：x2+X2和y2+y2均為定值；(II)設(shè)線段I。的中點(diǎn)為〃，求om|.|pq|的最大值；(m) 橢圓C上是否存在三點(diǎn)d,e,g，使得SSS 、6?若存在，判斷&EG的形狀；SSODE-SSODG-S'oegF NDEG若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(安排此題的目的有兩個(gè)：一是在處理⑴時(shí)，所建立的等式S 、6中含有兩個(gè)變量，且這S=AOPQ2

I=J

wliiJliiJliiJ兩個(gè)變量間再無(wú)宜接關(guān)系，此時(shí)可通過(guò)觀察等式的結(jié)構(gòu)，通過(guò)換元，再借助此等式，探索原來(lái)兩個(gè)變量間的關(guān)系，以達(dá)到消元的目的；二是在處理（2）時(shí)，可通過(guò)觀察伽f和倒的結(jié)構(gòu)，通過(guò)變形，使之滿足均值不等式求I=J

wliiJliiJliiJ，值的三個(gè)條件）如題（20）圖，橢圓的中心為原點(diǎn)。，離心率x=2匹?求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;x=2匹?求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2（I）（II）設(shè)動(dòng)點(diǎn)p滿足…om+“N，其中M,N是橢圓上的點(diǎn)，直線（）M與第的斜率之積為1，問(wèn)：是否 n/一2 /? E存在兩個(gè)定點(diǎn)F〔,F，虹，使得|PF|+|PF|為定。/）%值？若薦在；求「fF,F 1 2的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

4’?已知橢圓E：井+靠=1（a>b>0）其焦點(diǎn)為1,凡，離心率為業(yè)，直線l：x+2y-2=0與x軸，y4’?已知橢圓E：（1） 若點(diǎn)A是橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)，求橢圓的方程；\PF1\+\PF2\=2a5.已知橢圓:\PF1\+\PF2\=2a5.已知橢圓:x+22*〉b>0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且a2 b2過(guò)點(diǎn)（亳.（1） 求橢圓的方程；（2） 設(shè)A，B，M是橢圓上的三點(diǎn)?若物=3OA+4OB，點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，以-手°），D（孚0），求證：|NC|+|ND|=2克.（2014江西文）如圖，已知拋物線°『4,，過(guò):人右一y點(diǎn)M(0,2)任作一直線與c相交于4B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與直線..相交于點(diǎn)°(°為坐標(biāo)原.證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線上；作c的任意一條切線,(不含x軸)與宜線廣2i x y相交于點(diǎn)N，與(1)中的定直線相交于點(diǎn)1N2，證明：|MN|2-1MN2為定值，并求此定值.三、定點(diǎn)問(wèn)題(同定值問(wèn)題)已知橢圓C的中心在為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3，最小值為1.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；若直線l：y—女,m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)3,B均不在左、右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn).求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).(2013陜西)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.園圓求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；園圓已知點(diǎn)B(—1,0),設(shè)不垂宜于x軸的宜線/與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是g的角平分線，證明直線/過(guò)定點(diǎn).2.(2014課標(biāo)1)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線°:yK與直線I.廣kx3(a>0)交與MN兩點(diǎn)，:y—fvx\a(a>) ,當(dāng)k—0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有ZOPM=ZOPN?說(shuō)明理由.3.設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E：x2=4^相切于點(diǎn)P，與直線y一］相交于點(diǎn)Q，證明：以PQ為直徑的圓

上一恒過(guò)y軸上某定點(diǎn).上一4.已知結(jié)論：若點(diǎn)P(x,,y)為橢圓蘭+22=1a2b2點(diǎn)，則直線l：*+里=】與橢圓相切，現(xiàn)過(guò)橢圓a2b2C：X2+22=1上一點(diǎn)P作橢圓的切線交直線x=匝于9 4 5點(diǎn)A，試判斷以線段AP為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.5.已知橢圓戶+壬=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為檢0),京°)，其中abc都是正數(shù)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,原點(diǎn)到過(guò)點(diǎn)A(0,-b)和B(a,0)兩點(diǎn)的直線的距離為空5.已知橢圓求橢圓的方程；若點(diǎn)M,N是定直線x=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，頑標(biāo)0,證明：以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，F(xiàn)M-FN=0并求定點(diǎn)坐標(biāo).(2015廣東汕頭二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)蘭+22=1(。>b>0)a2b2左頂點(diǎn)A蘭+22=1(。>b>0)a2b2左頂點(diǎn)A與上頂點(diǎn)B的距離為蓋.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；6.如圖，橢圓E:過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線(與坐標(biāo)軸不重合)與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA、QA分別與y軸交于M、N兩點(diǎn)，問(wèn)：以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論6.如圖，橢圓E:蘭+ >b>0)的離心率是笠，a2b2 2過(guò)點(diǎn)P(0，1)的動(dòng)直線,與橢圓交于A、B兩點(diǎn)當(dāng)直線Z平行于x軸時(shí)，直線z被橢圓E截的線段長(zhǎng)為2技求橢圓E的方程在平面直角坐標(biāo)系中是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,使得也=四恒成立，若存在，求出QI四|朗點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.7.已知橢圓C:『F1(a>b21)"心率e=有,右焦點(diǎn)到直線之破+by「2=07.已知橢圓C:求橢圓C的方程；已知直線x-y+m=0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N,且線段MN的中點(diǎn)不在圓……1內(nèi)，x2+y2—1求實(shí)數(shù)m的取值范圍；過(guò)點(diǎn)m1)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，尸(0，-了使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，8.已知使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，8.已知圓。一與F:(x+1)2+y2=r2(0<r<4)的公共點(diǎn)的軌跡為曲線F:(x-1)2+y2=(4-r)2E,且曲線E與y軸的正半軸相交于點(diǎn)M.若曲線E上相異兩點(diǎn)A、B滿足直線MA,MB的斜率之積為1.4(I)(II)(I)(II)(III)證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo);求的面積的最大值.^ABM四、參數(shù)(或式)的取值范圍問(wèn)題解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題的五方

面考慮:(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；⑸利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍?引例1已知A是橢圓E：爐弗］的左頂點(diǎn)，斜十14 3率為k(°0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA1NA.引例2已知橢圓E:(I)當(dāng)ami=|an|時(shí)，求口amn的面積(ID當(dāng)2|AM|=AN時(shí)，證明：占<k引例2已知橢圓E:X2+y21的焦點(diǎn)在軸十=1 Xt3上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA±NA.

當(dāng)t=4,當(dāng)1.若過(guò)點(diǎn)仙,0)的宜線盧曲線(x_2)2當(dāng)t=4,當(dāng)1.若過(guò)點(diǎn)仙,0)的宜線盧曲線(x_2)2+y2=1有公共點(diǎn),則直線/的斜率的取值范圍為()A?[—島③B- (^/3^/3)C.3D.,百*、[?] (?)已知P為拋物線=1尤2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸V2上的射影為肱，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(617)，則lF.lFMl最小值是(A.8B.I。,"-) r^\十最小值是(A.8B.19C.10D.213.橢圓C3.橢圓C：J(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分b2別是F、[,離心率為v3，過(guò)F且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為l求橢圓C的方程；點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF「PF2,設(shè)ZFPF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m，0)，求m的取值范圍；(M)在(II)的條件下，過(guò)燭作斜率為k的直線L使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF,PF2的斜率分別為k,k2,若k=0,試證明_￡+上為定值，并求出這個(gè)定值.kkkk已知橢圓擋f—1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直2》線y=mx+1對(duì)稱.2求實(shí)數(shù)m的取值范圍；求MOB面積的最大值(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).已知橢圓抒2_］的左焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn).2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，線段AB的的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2,離心率

(I)求橢圓C的方程；(II)A,B為橢圓C上滿足刊的面積為業(yè)的任4意兩點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C與點(diǎn)P，設(shè)OP=tOE，求實(shí)數(shù),的值.1^16?已知橢圓E：X2y2 0的離心率為克，過(guò)1^1 +1(a/b/0) a2b2 2其右焦點(diǎn)F作與x軸垂直的直線l與該橢圓交于2A、B兩點(diǎn)，與拋物線,2我交于C、D兩點(diǎn)，且y2=4xAB=—CD*2求橢圓E的方程；若過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓E相交于G、H兩點(diǎn)，設(shè)P為橢圓E上一點(diǎn)，且滿足OG-OHOG-OH<妄!時(shí)，求實(shí)數(shù)3OG+OH=tOP(t。0,O為坐標(biāo)原點(diǎn))，n”。t的取值范圍.7*如圖、橢圓——(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F+=1a2b2(1，0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).y圓(1