小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)經(jīng)典講義(上)

第一講循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)第二講和差倍分問題第三講行程問題第五講質(zhì)數(shù)與合數(shù)第六講工程問題第七講牛吃草問題第八講包含與排除第九講整數(shù)的拆分第十講邏輯推理第十一講通分與裂項(xiàng)第十二講幾何綜合第十三講植樹問題第十五講余數(shù)問題第十六講直線面積第十七講圓與扇形第十八講數(shù)列與數(shù)表綜合第十九講數(shù)字迷綜合第二十講計(jì)數(shù)綜合第二十一講行程與工程第二十二講復(fù)雜工程問題第二十三講運(yùn)用比例求解行程問題第二十四講應(yīng)用題綜合第二十五講數(shù)論綜合2第二十六講進(jìn)位制問題第二十七講取整問題第二十八講數(shù)論綜合3第二十九講數(shù)論綜合4第三十講幾何綜合2第三十一講圖形變換第三十二講勾股定理第三十三講計(jì)數(shù)綜合第三十四講最值問題第三十五講構(gòu)造與論證1第三十六講構(gòu)造與論證2第一講循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化，循環(huán)小數(shù)之間簡(jiǎn)單的加、減運(yùn)算，涉及循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的主要利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)算的問題．1．真分?jǐn)?shù)化為小數(shù)后，如果從小數(shù)點(diǎn)后第一位的數(shù)字開始連續(xù)假設(shè)干個(gè)數(shù)字之和是1992，那么是多少?【分析與解】=0.，=0.，=0.，=0.，=0.，=0.．因此，真分?jǐn)?shù)化為小數(shù)后，從小數(shù)點(diǎn)第一位開始每連續(xù)六個(gè)數(shù)字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因?yàn)?992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以=0.，即=6．評(píng)注：的特殊性，循環(huán)節(jié)中數(shù)字不變，且順序不變，只是開始循環(huán)的這個(gè)數(shù)有所變化．2．某學(xué)生將乘以一個(gè)數(shù)時(shí)，把誤看成1.23，使乘積比正確結(jié)果減少0.3．那么正確結(jié)果該是多少?【分析與解】由題意得：-1.23=0.3，即：=0.3，所以有：．解得=90，所以=×90=1×90=×90=111．3．計(jì)算：，結(jié)果保存三位小數(shù)．【分析與解】方法一：≈-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359≈0.736方法二：≈0.7364．計(jì)算：【分析與解】方法一：====2.4方法二：=()=2.1+×(1+2+3+4+8+9)=2.1+×27=2.1+0.3=2.4方法三：如下式，0.011111…0.122222．．．0.233333．．．0.344444．．．(1+2+3+4+8+9=27)0.788888．．．+0.899999．．．2.399997．．．注意到，百萬分位的7是因?yàn)闆]有進(jìn)位造成，而實(shí)際情況應(yīng)該是2.399999…==2.4．評(píng)注：==1,=．5．將循環(huán)小數(shù)與相乘，取近似值，要求保存一百位小數(shù)，那么該近似值的最后一位小數(shù)是多少?【分析與解】×=循環(huán)節(jié)有6位，100÷6=16……4，因此第100位小數(shù)是循環(huán)節(jié)中的第4位8，第10l位是5．這樣四舍五入后第100位為9．6.將以下分?jǐn)?shù)約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：【分析與解】找規(guī)律：,,,,…所以=評(píng)注：類似問題還有．7.將以下算式的計(jì)算結(jié)果寫成帶分?jǐn)?shù)：【分析與解】==×59=59-=588．計(jì)算:7÷÷1【分析與解】7÷÷1====59．計(jì)算：【分析與解】原式10．計(jì)算：【分析與解】原式===1011．計(jì)算:41.2×8.1+11×+537×0.19【分析與解】原式=412×0.81+11×9.25+0.19×(412+125)=412×(0.81+0.19)+11×9.25+0.19×125=412+11×8+11×1.25+19×1.25=412+88+1.25×30=500+37.5=537.512．計(jì)算：【分析與解】原式==13．計(jì)算:【分析與解】原式=14.(1)等式0.126×79+12×□-6÷25=10.08，那么口所代表的數(shù)是多少?(2)設(shè)上題答案為．在算式〔1993.81+)×○的○內(nèi)，填入一個(gè)適當(dāng)?shù)囊晃蛔匀粩?shù)，使乘積的個(gè)位數(shù)字到達(dá)最小值．問○內(nèi)所填的數(shù)字是多少?【分析與解】(1)設(shè)口所代表的數(shù)是，0.126×79+12-6÷25=10.08，解得：=0.03，即口所代表的數(shù)是0.03．(2)設(shè)○內(nèi)所填的數(shù)字是，(1993.81+O.03)×=1993.84×，有當(dāng)為8時(shí)1993.84×=1993.84×8=15050.94，所以○內(nèi)所填的數(shù)字是8．15．求下述算式計(jì)算結(jié)果的整數(shù)局部：【分析與解】原式=≈192.5+128.3+77+55+35+29.6=517.4所以原式的整數(shù)局部是517．第二講和差倍分問題各種具有和差倍分關(guān)系的綜合應(yīng)用題，重點(diǎn)是包含分?jǐn)?shù)的問題．根本的解題方法是將條件用恰當(dāng)形式寫出或變形，并結(jié)合起來進(jìn)行比擬而求出相關(guān)的量，其中要注意單位“1”的恰中選?。?．有甲、乙兩個(gè)數(shù)，如果把甲數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移兩位，就是乙數(shù)的，那么甲數(shù)是乙數(shù)的多少倍?【分析與解】甲數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，那么甲數(shù)縮小到原來的，設(shè)這時(shí)的甲數(shù)為“1”，那么乙數(shù)為1×8=8，那么原來的甲數(shù)=l×100=100，那么甲數(shù)是乙數(shù)的100÷8=12.5倍．2.有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑、白兩色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子一樣多，第三堆里的黑子占全部黑子的．如果把這三堆棋子集中在一起，那么白子占全部棋子的幾分之幾?【分析與解】如下表所示：設(shè)全部黑子為“5”份，那么第三堆里的黑子為“2”份，那么剩下的黑子占5-2=“3”份，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一樣多，將第一堆黑子和第二堆白子調(diào)換，那么第二堆全部為黑子．所以第二堆棋子總數(shù)為“3”份，三堆棋子總數(shù)為3×3=“9”份，其中黑子占“5”份，那么白子占剩下的9-5=“4”份，那么白子占全部棋子的4÷9=．3．甲、乙兩廠共同完成一批機(jī)床的生產(chǎn)任務(wù)，甲廠比乙廠少生產(chǎn)8臺(tái)機(jī)床，并且甲廠的生產(chǎn)量是乙廠的，那么甲、乙兩廠一共生產(chǎn)了機(jī)床多少臺(tái)?【分析與解】因?yàn)榧讖S生產(chǎn)的是乙廠的，也就是甲廠為12份，乙廠為13份，那么甲廠比乙廠少1份=8臺(tái)．總共=8×(12+13)=200臺(tái)．4．足球賽門票15元一張，降價(jià)后觀眾增加了一半，收入增加了五分之一，那么一張門票降價(jià)多少元?【分析與解】設(shè)原來人數(shù)為“1”，那么現(xiàn)在有1+0.5=1.5．原來收入為l×15=15，降價(jià)后收人為15×(1+)=18元，那么降價(jià)后門票為18÷1.5=12元，那么一張門票降價(jià)15-12=3元．5．李剛給軍屬王奶奶運(yùn)蜂窩煤，第一次運(yùn)了全部的，第二次運(yùn)了50塊．這時(shí)，已運(yùn)來的恰好是沒運(yùn)來的．問還有多少塊蜂窩煤沒有運(yùn)來?【分析與解】已經(jīng)運(yùn)來的是沒有運(yùn)來的，那么運(yùn)來的是5份，沒有運(yùn)來的是7份，也就是運(yùn)來的占總數(shù)的．那么共有50÷(-)=1200塊，還剩下1200×=700塊．6．有兩條紙帶，一條長(zhǎng)21厘米，一條長(zhǎng)13厘米，把兩條紙帶都剪下同樣長(zhǎng)的一段以后，發(fā)現(xiàn)短紙帶剩下的長(zhǎng)度是長(zhǎng)紙帶剩下的長(zhǎng)度的．問剪下的一段長(zhǎng)多少厘米?【分析與解】方法一：開始時(shí)，兩條紙帶的長(zhǎng)度差為21－13=8厘米．因?yàn)閮蓷l紙帶都剪去同樣長(zhǎng)度，所以兩條紙帶前后的長(zhǎng)度差不變．設(shè)剪后短紙帶長(zhǎng)度為“8”份，長(zhǎng)紙帶即為“13”份，那么它們的差為13-8=5份，那么每份為8÷5=1．6(厘米)．所以，剪后短紙帶長(zhǎng)為1.6×8=12.8(厘米)，于是剪去13-12.8=O.2(厘米)．方法二：設(shè)剪下厘米，那么，交叉相乘得：13×(13-)=8×(21-)，解得=0.2，即剪下的一段長(zhǎng)0.2厘米．7．為挖通300米長(zhǎng)的隧道，甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)分別從隧道兩端同時(shí)相對(duì)施工．第一天甲、乙兩隊(duì)各掘進(jìn)了10米，從第二天起，甲隊(duì)每天的工作效率總是前一天的2倍，乙隊(duì)每天的工作效率總是前一天的l倍．那么，兩隊(duì)挖通這條隧道需要多少天?【分析與解】如下表所示：天數(shù)工作量 12345甲10204080160乙101522.533.7550.625當(dāng)天工作量203562.5113.75210.625已完成工作量2055117.5231.25441.375說明在第五天沒有全天干活，那么第四天干完以后剩下：300-231.25=68.那么共用時(shí)間為4+68.75÷210.625=4天．8．有一塊菜地和一塊麥地．菜地的一半和麥地的三分之一放在一起是13公頃．麥地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公頃．那么菜地是多少公頃?【分析與解】如下表所示：菜地麥地13公頃菜地3麥地278公頃菜地2麥地372公頃菜地麥地12公頃即5倍菜地公頃數(shù)+5倍麥地公頃數(shù)=78+72=150，所以菜地與麥地共有150÷5=30(公頃)．而菜地減去麥地，為78-72=6(公頃)，所以菜地有(30+6)÷2=18(公頃)．9．春風(fēng)小學(xué)原方案栽種楊樹、柳樹和槐樹共1500棵．植樹開始后，當(dāng)栽種了楊樹總數(shù)的和30棵柳樹以后，又臨時(shí)運(yùn)來15棵槐樹，這時(shí)剩下的3種樹的棵數(shù)恰好相等．問原方案要栽植這三種樹各多少棵?【分析與解】將楊樹分為5份，以這樣的一份為一個(gè)單位，那么：楊樹=5份；柳樹=2份+30棵；槐樹=2份-15棵，那么一份為(1500-30+15)÷(2+2+5)=165棵，有：楊樹=5×165=825棵；柳樹=165×2+30=360棵；槐樹=165×2-15=315棵．10.師徒二人共同加工170個(gè)零件，師傅加工零件個(gè)數(shù)的比徒弟加工零件個(gè)數(shù)的還多10個(gè)．那么，徒弟一共加工了多少個(gè)零件?【分析與解】我們用“師〞表示師傅加工的零件個(gè)數(shù)，“徒〞表示徒弟加工的零件個(gè)數(shù)，有：“師〞-“徒〞＝10，4“師〞-3“徒〞=120,而4“師〞+4“徒〞=170×4=680．那么有7“徒〞=680-120=560，“徒〞=80，徒弟一共加工了80個(gè)零件．11.一批工人到甲、乙兩個(gè)工地進(jìn)行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的1倍．上午去甲工地的人數(shù)是去乙工地人數(shù)的3倍，下午這批工人中有的人去甲工地，其他人到乙工地．到黃昏時(shí)，甲工地的工作已做完，乙工地的工作還需4名工人再做1天．那么這批工人共有多少名?【分析與解】設(shè)甲工地的工作量為“1.5”，那么乙工地的工作量為“1”甲乙上午下午1-=于是甲工地一整天平均用了這批工人的，乙工地一整天平均用了這批工人的1-．這批工人的完成了“1.5”的工作量，那么的這批工人完成1.5÷2=“0.75”的工作量，于是乙工地還剩下1-0.75=“0.25”的工作量，這“而甲、乙工地的工作量為1.5+1=2.5，那么需2.5÷0.25×4=40人工作1天．所以原來這批工人共有40-4=36人．12．有一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加1，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于；如果分母加1，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于．問原來的分?jǐn)?shù)是多少?【分析與解】如果分子加1，那么分?jǐn)?shù)為，設(shè)這時(shí)的分?jǐn)?shù)為：，那么原來的分?jǐn)?shù)為，分母加1后為：，交叉相乘得：3(-1)=2+1，解得=4，那么原分?jǐn)?shù)為．13．圖2-1是某市的園林規(guī)劃圖，其中草地占正方形的，竹林占圓形的，正方形和圓形的公共局部是水池．竹林的面積比草地的面積大450平方米．問水池的面積是多少平方米?【分析與解】因?yàn)樗厥钦叫蔚?，是圓的，那么正方形是水池的4倍，圓是水池的7倍，相差7-4=3倍，差450平方米，那么水池=450÷3=150平方米．14．唐僧師徒四人吃了許多饅頭，唐僧和豬八戒共吃了總數(shù)的，唐僧和沙僧共吃了總數(shù)的，唐僧和孫悟空共吃了總數(shù)的．那么唐僧吃了總數(shù)的幾分之幾?【分析與解】唐+豬=、唐+沙=、唐+孫=．(兩邊同時(shí)加減)唐+豬+唐+沙+唐+孫=2唐+(唐+豬+沙+孫)=2唐+1=++=1．那么：2唐=，唐=．唐僧吃了總數(shù)的．15．小李和小張同時(shí)開始制作同一種零件，每人每分鐘能制作1個(gè)零件，但小李每制作3個(gè)零件要休息1分鐘，小張每制作4個(gè)零件要休息1.5分鐘．現(xiàn)在他們要共同完成制作300個(gè)零件的任務(wù)，需要多少分鐘?【分析與解】方法一：先估算出大致所需時(shí)間，然后再進(jìn)行調(diào)整．因?yàn)樾±?、小張的工作效率大致相等，那么完成時(shí)小李完成300÷2=150個(gè)零件左右；小李完成150個(gè)零件需要150÷3×4=200分鐘；在200分鐘左右，198分鐘是5.5的整數(shù)倍，此時(shí)乙生產(chǎn)198÷5.5×4=144個(gè)零件，并且剛休息完，所以在2分鐘后，即200分鐘時(shí)完成144+2=146個(gè)零件；那么在200分鐘時(shí)，小李、小張共生產(chǎn)150+146=296個(gè)零件，還剩下4個(gè)零件未完成，所以再需2分鐘，小李生產(chǎn)2個(gè)零件，小張生產(chǎn)2個(gè)零件，正好完成．所以共需202分鐘才能完成．方法二：把休息時(shí)間包括進(jìn)去，小李每4分鐘做3個(gè)，小張每5.5分鐘做4個(gè)．那么在44分鐘內(nèi)小李做了：44÷4×3=33個(gè)，小張做了：44÷5.5×4=32個(gè)，他們一共做了：33+32=65個(gè)．300÷65=4……40，也就是他們共同做了4個(gè)44分鐘即：44×4=176分鐘后，還剩下40個(gè)零件沒有做完．而22=4+4+4+4+4+2=5.5×4，所以22分鐘內(nèi)小李做了：3+3+3+3+3+2=17個(gè)，小張做了：4×2=16個(gè)，那么還剩下：40-17-16=7個(gè)，4分鐘內(nèi)小李做3個(gè)，小張做4個(gè)，共做4+3=7個(gè)，即這40個(gè)零件還需要26分鐘．所以共用時(shí)間：44×4+26=202分鐘．第三講行程問題〔1〕涉及分?jǐn)?shù)的行程問題.順?biāo)俣取⒛嫠俣扰c流速的關(guān)系，以及與此相關(guān)的問題.環(huán)形道路上的行程問題.解題時(shí)要注意發(fā)揮圖示的輔助作用，有時(shí)宜恰中選擇運(yùn)動(dòng)過程中的關(guān)鍵點(diǎn)分段加以考慮．1.王師傅駕車從甲地開往乙地交貨.如果他往返都以每小時(shí)60千米的速度行駛,正好可以按時(shí)返回甲地.可是,當(dāng)?shù)竭_(dá)乙地時(shí),他發(fā)現(xiàn)從甲地到乙地的速度只有每小時(shí)55千米.如果他想按時(shí)返回甲地,他應(yīng)以多大的速度往回開?【分析與解】設(shè)甲地到乙地的路程為單位“1”,那么按時(shí)的往返一次需時(shí)間,現(xiàn)在從甲到乙花費(fèi)了時(shí)間1÷55＝千米,所以從乙地返回到甲地時(shí)所需的時(shí)間只能是.即如果他想按時(shí)返回甲地,他應(yīng)以每小時(shí)66千米的速度往回開．2.甲、乙兩地相距100千米,小張先騎摩托車從甲地出發(fā),1小時(shí)后小李駕駛汽車從甲地出發(fā),兩人同時(shí)到達(dá)乙地.摩托車開始速度是每小時(shí)50千米,中途減速后為每小時(shí)40千米.汽車速度是每小時(shí)80千米,汽車曾在途中停駛1O分鐘.那么小張駕駛的摩托車減速是在他出發(fā)后的多少小時(shí)?【分析與解】汽車從甲地到乙地的行駛時(shí)問為100÷80=1.25小時(shí)=1小時(shí)15分鐘,加上中途停駛的10分鐘,共用時(shí)1小時(shí)25分鐘．而小張先小李1小時(shí)出發(fā),但卻同時(shí)到達(dá),所以小張從甲到乙共用了2小時(shí)25分鐘，即2最小時(shí)．以下給出兩種解法：方法一:設(shè)小張駕駛的摩托車減速是在他出發(fā)后小時(shí),有50×+40×,解得.所以小張駕駛的摩托車減速是在他出發(fā)后小時(shí).方法二:如果全程以每小時(shí)50千米的速度行駛,需100÷50=2小時(shí)的時(shí)間,全程以每小時(shí)40千米的速度行駛,需100÷40=2.5小時(shí).依據(jù)雞兔同籠的思想知,小張以每小時(shí)50千米的速度行駛了的路程,即行駛了100千米的路程,距出發(fā)小時(shí).3.一位少年短跑選手,順風(fēng)跑90米用了10秒鐘.在同樣的風(fēng)速下,逆風(fēng)跑70米,也用了10秒鐘.問:在無風(fēng)的時(shí)候,他跑100米要用多少秒?【分析與解】我們知道順風(fēng)速度=無風(fēng)速度+風(fēng)速,逆風(fēng)速度=無風(fēng)速度-風(fēng)速.有順風(fēng)時(shí)速度為90÷10=9米/秒,逆風(fēng)速度為70÷10=7米/秒．那么無風(fēng)速度==米/秒所以無風(fēng)的時(shí)候跑100米，需100÷8=12.5秒.4.一條小河流過A，B,C三鎮(zhèn).A,B兩鎮(zhèn)之間有汽船來往,汽船在靜水中的速度為每小時(shí)11千米.B,C兩鎮(zhèn)之間有木船擺渡,木船在靜水中的速度為每小時(shí)3.5千米.A,C兩鎮(zhèn)水路相距50千米,水流速度為每小時(shí)1.5千米.某人從A鎮(zhèn)上船順流而下到B鎮(zhèn),吃午飯用去1小時(shí),接著乘木船又順流而下到C鎮(zhèn),共用8小時(shí).那么A,B兩鎮(zhèn)間的距離是多少千米?【分析與解】如下畫出示意圖，有AB段順?biāo)乃俣葹?1+1.5=12.5千米/小時(shí)有BC段順?biāo)乃俣葹?.5+1.5=5千米/小時(shí)．而從AC全程的行駛時(shí)間為8-1=7小時(shí)．設(shè)AB長(zhǎng)千米,有,解得=25．所以A,B兩鎮(zhèn)間的距離是25千米.5.一條大河有A,B兩個(gè)港口,水由A流向B,水流速度是每小時(shí)4千米.甲、乙兩船同時(shí)由A向B行駛,各自不停地在A,B之間往返航行,甲船在靜水中的速度是每小時(shí)28千米,乙船在靜水中的速度是每小時(shí)20千米.兩船第二次迎面相遇的地點(diǎn)與甲船第二次追上乙船(不算甲、乙在A處同時(shí)開始出發(fā)的那一次)的地點(diǎn)相距40千米,求A,B兩個(gè)港口之間的距離.【分析與解】設(shè)AB兩地的路程為單位“1”,那么：甲、乙兩人在A、B往返航行，均從A點(diǎn)同時(shí)同向出發(fā),那么第次同向相遇時(shí),甲、乙兩人的路程差為2；甲、乙兩人在A、B往返航行,均從A點(diǎn)同時(shí)同向出發(fā),那么第次相向相遇時(shí),甲、乙兩人的路程和為2；甲、乙兩人在A、B往返航行,分別從A、B兩點(diǎn)相向出發(fā),那么第次同向相遇時(shí),甲、乙兩人的路程差為(2-1)；甲、乙兩人在A、B往返航行,分別從A、B兩點(diǎn)相向出發(fā),那么第次相向相遇時(shí),甲、乙兩人的路程和為(2-1)．有甲船的順?biāo)俣葹?2千米/小時(shí),逆水速度為24千米/小時(shí)，乙船的順?biāo)俣葹?4千米/小時(shí)，逆水速度為16千米/小時(shí).兩船第二次迎面相遇時(shí),它們的路程和為“4”；甲船第二次追上乙船時(shí)，它們的路程差為“4”.(一)第二次迎面相遇時(shí)，一定是甲走了2～3個(gè)AB長(zhǎng)度，乙走了2～1個(gè)AB長(zhǎng)度，設(shè)甲走了2＋個(gè)AB的長(zhǎng)度,那么乙走了2-個(gè)AB的長(zhǎng)度,有＝，解得，即第二次迎面相遇的地點(diǎn)距A點(diǎn)AB的距離.(二)①第二次甲追上乙時(shí)，有甲行走(為整數(shù)，≤1)個(gè)AB的長(zhǎng)度，那么乙行走了個(gè)AB的長(zhǎng)度，有＝，化簡(jiǎn)得，顯然無法滿足為整數(shù)，≤1；②第二次甲追上乙時(shí)，有甲行走(y為整數(shù)，≤1)個(gè)AB的長(zhǎng)度，那么乙行走了個(gè)AB的長(zhǎng)度，有＝，化簡(jiǎn)有，有，.即第二次甲追上乙時(shí)的地點(diǎn)距B點(diǎn)AB的距離，那么距A也是AB的距離．所以，題中兩次相遇點(diǎn)的距離為(AB，為40千米，所以AB全長(zhǎng)為240千米.6.甲、乙兩船分別在一條河的A，B兩地同時(shí)相向而行,甲順流而下,乙逆流而上.相遇時(shí),甲乙兩船行了相等的航程,相遇后繼續(xù)前進(jìn),甲到達(dá)B地、乙到達(dá)A地后,都立即按原來路線返航,兩船第二次相遇時(shí),甲船比乙船少行1000米.如果從第一次相遇到第二次相遇的時(shí)間相隔為1小時(shí)20分,那么河水的流速為每小時(shí)多少千米?【分析與解】因?yàn)榧?、乙第一次相遇時(shí)行駛的路程相等,所以有甲、乙同時(shí)刻各自到達(dá)B、A兩地.接著兩船再分別從B、A兩地往AB中間行駛.所以在第二次相遇前始終是一船逆流、一船順流,那么它們的速度和始終等于它們?cè)陟o水中的速度和.有:甲靜水速度+水速=乙靜水速度－水速.還有從開始到甲第一次到達(dá)B地，乙第一次到達(dá)A地之前,兩船在河流中的速度相等.所以甲船比乙船少行駛的1000米是在甲、乙各自返航時(shí)產(chǎn)生的．甲乙返航時(shí),有甲在河流中行駛的速度為:甲靜水速度-水速,乙在河流中的速度為:乙靜水速度+水速.它們的速度差為4倍水速．從第一次相遇到第二次相遇,兩船共行駛了2AB的路程,而從返航到第二次相遇兩船共行駛了AB的路程,需時(shí)間80÷2=40分鐘．有4倍水速=,有水速=375米/小時(shí)=0.375千米/小時(shí)．即河水的流速為每小時(shí)0.375千米7.甲、乙二人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，背向而行.現(xiàn)在甲走一圈的時(shí)間是70分鐘，如果在出發(fā)后45分鐘甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的時(shí)間是多少分鐘?【分析與解】甲行走45分鐘，再行走70－45=25分鐘即可走完一圈.而甲行走45分鐘，乙行走45分鐘也能走完一圈.所以甲行走25分鐘的路程相當(dāng)于乙行走45分鐘的路程．甲行走一圈需70分鐘，所以乙需70÷25×45=126分鐘．即乙走一圈的時(shí)間是126分鐘．8.如圖3-1，甲和乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇.求此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)．【分析與解】注意觀察圖形，當(dāng)甲、乙第一次相遇時(shí)，甲乙共走完圈的路程，當(dāng)甲、乙第二次相遇時(shí)，甲乙共走完1+＝圈的路程．所以從開始到第一、二次相遇所需的時(shí)間比為1：3，因而第二次相遇時(shí)乙行走的總路程為第一次相遇時(shí)行走的總路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇時(shí)，共行走(1圈－60)+300，為圈，所以此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為480米．9.甲、乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓(xùn)練：他們同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時(shí)，乙的速度是甲速度的.甲跑第二圈時(shí)速度比第一圈提高了；乙跑第二圈時(shí)速度提高了．沿跑道看從甲、乙兩人第二次相遇點(diǎn)到第一次相遇點(diǎn)的最短路程是190米，那么這條橢圓形跑道長(zhǎng)多少米?【分析與解】設(shè)甲跑第一圈的速度為3，那么乙跑第一圈的速度為2，甲跑第二圈的速度為4，乙跑第二圈的速度為.如以下圖，第一次相遇地點(diǎn)逆時(shí)針方向距出發(fā)點(diǎn)的跑道長(zhǎng)度．有甲回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，乙才跑了的跑道長(zhǎng)度.在乙接下來跑了跑道的距離時(shí)，甲以“4”的速度跑了圈．所以還剩下的跑道長(zhǎng)度，甲以4的速度，乙以的速度相對(duì)而跑，所以乙跑了圈.也就是第二次相遇點(diǎn)逆時(shí)針方向距出發(fā)點(diǎn)圈．即第一次相遇點(diǎn)與第二次相遇點(diǎn)相差圈，所以，這條橢圓形跑道的長(zhǎng)度為米．10.如圖3-2，在400米的環(huán)形跑道上，A,B兩點(diǎn)相距100米.甲、乙兩人分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按逆時(shí)針方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒鐘.那么甲追上乙需要時(shí)間是多少秒?【分析與解】如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的時(shí)間為100÷(5-4)=100秒．此時(shí)甲跑了100×5=500米，乙跑了100×4=400米．而實(shí)際上甲跑500米，所需的時(shí)間為100+4×10=140秒，所以140～150秒時(shí)甲都在逆時(shí)針距A點(diǎn)500處．而乙跑400米所需的時(shí)間為100+3×10=130秒，所以130～140秒時(shí)乙走在逆時(shí)針距B點(diǎn)400處．顯然從開始計(jì)算140秒時(shí)，甲、乙在同一地點(diǎn)，即甲追上乙需要時(shí)間是140秒．11.周長(zhǎng)為400米的圓形跑道上，有相距100米的A，B兩點(diǎn)．甲、乙兩人分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)相背而跑，兩人相遇后，乙即轉(zhuǎn)身與甲同向而跑，當(dāng)甲跑到A時(shí)，乙恰好跑到B．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不變，那么甲追上乙時(shí)，甲從出發(fā)開始，共跑了多少米?【分析與解】如以下圖,記甲乙相遇點(diǎn)為C.當(dāng)甲跑了AC的路程時(shí)，乙跑了BC的路程；而當(dāng)甲跑了400米時(shí)，乙跑了2BC的路程．由乙的速度保持不變，所以甲、乙第一次相向相遇所需的時(shí)間是甲再次到達(dá)A點(diǎn)所需時(shí)間的.即AC=×400=200(米)，也就是甲跑了200米時(shí)，乙跑了100米，所以甲的速度是乙速度的2倍．那么甲到達(dá)A，乙到達(dá)B時(shí)，甲追上乙時(shí)需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后甲還需跑300÷(2-1)×2=600米，加上開始跑的l圈400米．所以甲從出發(fā)到甲追上乙時(shí)，共跑了600+400=1000米．12.如圖3-3，一個(gè)長(zhǎng)方形的房屋長(zhǎng)13米，寬8米．甲、乙兩人分別從房屋的兩個(gè)墻角出發(fā)，甲每秒鐘行3米，乙每秒鐘行2米.問:經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間甲第一次看見乙?【分析與解】開始時(shí)，甲在順時(shí)針方向距乙8+13+8=29米．因?yàn)橐贿呑铋L(zhǎng)為13、所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米．甲追上乙16米所需時(shí)間為16÷(3-2)=16秒，此時(shí)甲行了3×16=48米，乙行了2×16=32米．甲、乙的位置如右圖所示：顯然甲還是看不見乙，但是因?yàn)榧椎乃俣缺纫铱?，所以甲能在乙離開上面的那條邊之前到達(dá)上面的邊，從而看見乙．而甲要到達(dá)上面的邊，需再跑2米，所需時(shí)間為2÷3=秒．所以經(jīng)過16+=16秒后甲第一次看見乙.13.如圖3-4,學(xué)校操場(chǎng)的400米跑道中套著300米小跑道,大跑道與小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆時(shí)針方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道順時(shí)針方向跑,兩人同時(shí)從兩跑道的交點(diǎn)A處出發(fā),當(dāng)他們第二次在跑道上相遇時(shí),甲共跑了多少米?【分析與解】如以下圖,甲、乙只可能在大跑道上相遇．并且只能在AB順時(shí)針的半跑道上．易知小跑道AB逆時(shí)針路程為100,順時(shí)針路程為200,大跑道上AB的順、逆時(shí)針路程均是200米．我們將甲、乙的行程狀況分析清楚．當(dāng)甲第一次到達(dá)B時(shí),乙還沒有到達(dá)B點(diǎn),所以第一次相遇一定在逆時(shí)針的BA某處．而當(dāng)乙第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，所需時(shí)間為200÷4=50秒,此時(shí)甲跑了50×6=300米,在B點(diǎn)300-200=100米處．乙跑出小跑道到達(dá)A需100÷4=25秒,那么甲又跑了25×6=150米,在A點(diǎn)左邊(100+150)-200=50米處．所以當(dāng)甲到達(dá)B處時(shí),乙還未到B處,那么甲必定能在B點(diǎn)右邊某處與乙第二次相遇．從乙再次到達(dá)A處開始計(jì)算,還需(400-50)÷(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此時(shí)甲共跑了50+25+35=110秒．所以,從開始到甲、乙第二次相遇甲共跑了110×6=660米．14．如圖3-5,正方形ABCD是一條環(huán)形公路．汽車在AB上時(shí)速是90千米，在BC上的時(shí)速是120千米，在CD上的時(shí)速是60千米,在DA上的時(shí)速是80千米．從CD上一點(diǎn)P,同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車,它們將在AB中點(diǎn)相遇．如果從PC的中點(diǎn)M,同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車,它們將在AB上一點(diǎn)N相遇．問A至N的距離除以N至B的距離所得到的商是多少?【分析與解】如以下圖,設(shè)甲始終順時(shí)針運(yùn)動(dòng),乙始終逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),并設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為單位“1〞.有甲從P到達(dá)AB中點(diǎn)O所需時(shí)間為.乙從P到達(dá)AB中點(diǎn)O所需時(shí)間為.有甲、乙同時(shí)從P點(diǎn)出發(fā),那么在AB的中點(diǎn)O相遇,所以有：=且有PD=DC-PC=1-PC,代入有,解得PC=.所以PM=MC=,DP=.現(xiàn)在甲、乙同時(shí)從PC的中點(diǎn)出發(fā),相遇在N點(diǎn),設(shè)AN的距離為.有甲從M到達(dá)N點(diǎn)所需時(shí)間為；乙從M到達(dá)N點(diǎn)所需時(shí)間為.有，解得.即AN=.所以AN÷BN15.如圖3-6，8時(shí)10分,有甲、乙兩人以相同的速度分別從相距60米的A，B兩地順時(shí)針方向沿長(zhǎng)方形ABCD的邊走向D點(diǎn).甲8時(shí)20分到D點(diǎn)后,丙、丁兩人立即以相同速度從D點(diǎn)出發(fā).丙由D向A走去,8時(shí)24分與乙在E點(diǎn)相遇；丁由D向C走去，8時(shí)30分在F點(diǎn)被乙追上.問三角形BEF的面積為多少平方米?【分析與解】如以下圖，標(biāo)出局部時(shí)刻甲、乙、丙、丁的位置．先分析甲的情況，甲10分鐘，行走了AD的路程；再看乙的情況，乙的速度等于甲的速度，乙14分鐘行走了60+AE的路程，乙20分鐘走了60+AD+DF的路程．所以乙10分鐘走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF的路程．有，有然后分析丙的情況,丙4分鐘,行了走ED的路程,再看丁的情況,丁的速度等于丙的速度,丁10分鐘行走了DF的距離．有，即5ED＝2DF．聯(lián)立，解得于是,得到如下的位置關(guān)系：-=×60×87－(平方米)第五講質(zhì)數(shù)與合數(shù)與質(zhì)數(shù)有關(guān)的構(gòu)造問題，通過分解質(zhì)因數(shù)求解的整數(shù)問題．1、有人說：“任何7個(gè)連續(xù)整數(shù)中一定有質(zhì)數(shù)．〞請(qǐng)你舉一個(gè)例子，說明這句話是錯(cuò)的．【分析與解】例如連續(xù)的7個(gè)整數(shù)：842、843、844、845、846、847、848分別能被2、3、4、5、6、7、8整除，電就是說它們都不是質(zhì)數(shù)．評(píng)注：有些同學(xué)可能會(huì)說這是怎么找出來的，翻質(zhì)數(shù)表還是……，我們注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)這n個(gè)數(shù)分別能被2、3、4、…、(n+1)整除，它們是連續(xù)的n個(gè)合數(shù)．其中n!表示從1一直乘到n的積，即1×2×3×…×n．2、從小到大寫出5個(gè)質(zhì)數(shù)，使后面的數(shù)都比前面的數(shù)大12．【分析與解】我們知道12是2、3的倍數(shù)，如果開始的質(zhì)數(shù)是2或3，那么即與12的和一定也是2或3的倍數(shù)，將是合數(shù)，所以從5開始嘗試．有5、17、29、41、53是滿足條件的5個(gè)質(zhì)數(shù)．3．9個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，它們都大于80，那么其中質(zhì)數(shù)最多有多少個(gè)?【分析與解】大于80的自然數(shù)中只要是偶數(shù)一定不是質(zhì)數(shù)，于是奇數(shù)越多越好，9個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中最多只有5個(gè)奇數(shù)，它們的個(gè)位應(yīng)該為1，3，5，7，9．但是大于80且個(gè)位為5的數(shù)一定不是質(zhì)數(shù)，所以最多只有4個(gè)數(shù)．驗(yàn)證101，102，103，104，105，106，107，108，109這9個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中101、103、107、109這4個(gè)數(shù)均是質(zhì)數(shù)．也就是大于80的9個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中質(zhì)數(shù)最多能有4個(gè)．4.用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，如果每個(gè)數(shù)字都要用到并且只能用一次，那么這9個(gè)數(shù)字最多能組成多少個(gè)質(zhì)數(shù)?【分析與解】要使質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)最多，我們盡量組成一位的質(zhì)數(shù)，有2、3、5、7均為一位質(zhì)數(shù)，這樣還剩下1、4、6、8、9這5個(gè)不是質(zhì)數(shù)的數(shù)字未用．有1、4、8、9可以組成質(zhì)數(shù)41、89，而6可以與7組合成質(zhì)數(shù)67．所以這9個(gè)數(shù)字最多組成了2、3、5、41、67、89這6個(gè)質(zhì)數(shù)．5．3個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和是，那么這3個(gè)質(zhì)數(shù)之和為多少?【分析與解】設(shè)這3個(gè)質(zhì)數(shù)從小到大為a、b、c，它們的倒數(shù)分別為、、，計(jì)算它們的和時(shí)需通分，且通分后的分母為a×b×c，求和得到的分?jǐn)?shù)為,如果這個(gè)分?jǐn)?shù)能夠約分，那么得到的分?jǐn)?shù)的分母為a、b、c或它們之間的積．現(xiàn)在和為，分母1986=2×3×331，所以一定是a=2，b=3，c=331，檢驗(yàn)滿足．所以這3個(gè)質(zhì)數(shù)的和為2+3+331=336．6．一個(gè)兩位數(shù)除1477，余數(shù)是49．求滿足這樣條件的所有兩位數(shù)．【分析與解】有1477÷除數(shù)=商……49，那么1477-49：除數(shù)×商，所以，除數(shù)×商=1428=2×2×3×7×17．一般情況下有除數(shù)大于余數(shù)．即除數(shù)大于49且整除1428，有84、51、68滿足．所以滿足題意的兩位數(shù)有51、68、84．7．有一種最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的乘積都是140．如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從小到大排列，那么第三個(gè)分?jǐn)?shù)是多少?【分析與解】有140=2×2×5×7，因?yàn)檫@些分?jǐn)?shù)的分子與分母的乘積均為140，當(dāng)分母越大時(shí)，分子越小，所以對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)也越小．有分母從大到小依次為140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1；對(duì)應(yīng)分子從小到大依次為1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140；對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)從小到大依次為而、、、、、、、…其中第三個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)為．8．某校師生為貧困地區(qū)捐款1995元．這個(gè)學(xué)校共有35名教師，14個(gè)教學(xué)班．各班學(xué)生人數(shù)相同且多于30人不超過45人．如果平均每人捐款的錢數(shù)是整數(shù)，那么平均每人捐款多少元?【分析與解】這個(gè)學(xué)校最少有35+14×30=455名師生，最多有35+14×45=665名師生，并且?guī)熒側(cè)藬?shù)能整除1995．1995=3×5×133，在455～665之間的約數(shù)只有5×133=665，所以師生總數(shù)為665人，那么平均每人捐款1995÷665=3元．9．在做一道兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的乘法題時(shí)，小馬虎把一乘數(shù)中的數(shù)字5看成8，由此得乘積為1872．那么原來的乘積是多少?【分析與解】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某個(gè)口為8，一一驗(yàn)證只有：1872=48×39，1872=78×24滿足．當(dāng)為1872=48×39時(shí)，小馬虎錯(cuò)把5看成8，也就是錯(cuò)把45看成48，所以正確的乘積應(yīng)該是45×39=1755．當(dāng)為1872=78×24時(shí)，小馬虎錯(cuò)把5看成8，也就是錯(cuò)把75看成78，所以正確的乘積應(yīng)該是75×24=1800．所以原來的積為1755或1800．10.兩個(gè)數(shù)的和被5除余1，它們的積是2924，那么它們的差等于多少?【分析與解】2924=2×2×17×43=A×B，且有A+B被5除余l(xiāng)，那么和的個(gè)位為1或6．有4×17+43=68+43=11l，也就是說68、43為滿足題意的兩個(gè)數(shù)．它們的差為68-43=25．11．在射箭運(yùn)動(dòng)中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”(脫靶)，或者是不超過10的自然數(shù)．甲、乙兩名運(yùn)發(fā)動(dòng)各射了5箭，每人5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)．求甲、乙的總環(huán)數(shù)各是多少?【分析與解】1764=2×2×3×3×7×7，1764對(duì)應(yīng)為5個(gè)小于10的自然數(shù)乘積．只能是1764=4×3×3×7×7=2×6×3×7×7=2×2×9×7×7=1×6×6×7×7=1×4×9×7×7對(duì)應(yīng)的和依次為4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28．對(duì)應(yīng)的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭環(huán)數(shù)為4、3、3、7、7，乙的5箭環(huán)數(shù)為1、4、9、7、7．所以甲的總環(huán)數(shù)為24，乙的總環(huán)數(shù)為28．12．在面前有一個(gè)長(zhǎng)方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少?【分析與解】如以下圖，設(shè)長(zhǎng)、寬、高依次為a、b、c，有正面和上面的和為ac+ab=209．a(chǎn)c+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．當(dāng)a=11時(shí)，c+b=19，當(dāng)兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和為奇數(shù)，那么其中必定有一個(gè)數(shù)為偶質(zhì)數(shù)2，那么c+b=2+17;當(dāng)a=19時(shí)，c+b=11，那么c+b=2+9，b為9不是質(zhì)數(shù)，所以不滿足題意．所以它們的乘積為11×2×17=374．13.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是連續(xù)的3個(gè)自然數(shù)，它的體積是39270立方厘米，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的外表積是多少平方厘米?【分析與解】方法一：39270=2×3×5×7×11×17，為三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，而34×34×34即最接近39270，39270的約數(shù)中接近或等于34的有35、34、33，有33×34×35=39270．所以33、34、35為滿足題意的長(zhǎng)、寬、高．那么長(zhǎng)方體的外表積為：2×(長(zhǎng)×寬+寬×高+高×長(zhǎng))=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)．方法二：39270=2×3×5×7×11×17，為三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，考慮質(zhì)因數(shù)17，如果17作為長(zhǎng)、寬或高顯然不滿足．當(dāng)17與2結(jié)合即34作為長(zhǎng)方體一條邊的長(zhǎng)度時(shí)有可能成立，再考慮質(zhì)因數(shù)7，與34接近的數(shù)32～36中，只有35含有7，于是7與5的乘積作為長(zhǎng)方體的一條邊的長(zhǎng)度．而39270的質(zhì)因數(shù)中只剩下了3和1l，所以這個(gè)長(zhǎng)方體的大小為33×34×35．長(zhǎng)方體的外表積為2×(++)=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)．14．一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都是整數(shù)厘米，它的體積是1998立方厘米，那么它的長(zhǎng)、寬、高的和的最小可能值是多少厘米?【分析與解】我們知道任意個(gè)已確定個(gè)數(shù)的數(shù)的乘積一定時(shí)，它們相互越接近，和越?。?個(gè)數(shù)的積為18，那么三個(gè)數(shù)為2、3、3時(shí)和最小，為8．1998=2×3×3×3×37，37是質(zhì)數(shù)，不能再分解，所以2×3×3×3對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)應(yīng)越接近越好．有2×3×3×3=6×9時(shí)，即1998=6×9×37時(shí)，這三個(gè)自然數(shù)最接近．它們的和為6+9+37=52(厘米)．15．如果兩數(shù)的和是64，兩數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個(gè)數(shù)的差等于多少?【分析與解】4875=3×5×5×5×13，有a×b為4875的約數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)的和為64．發(fā)現(xiàn)39=3×13、25=5×5這兩個(gè)數(shù)的和為64，所以39、25為滿足題意的兩個(gè)數(shù)．那么它們的差為39-25=14．評(píng)注：由上題可推知，當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和一定時(shí)，這兩個(gè)數(shù)越接近，積越大，所以兩個(gè)和為64的數(shù)的乘積最大為32×32=1024，而積最小為1×63=63．而4875在64～1024之間的約數(shù)有65，195，325，375，975等．我們?cè)賹?duì)65，195，325，375，975等一一驗(yàn)證．嚴(yán)格的逐步計(jì)算，才不會(huì)漏掉滿足題意的其他的解．而在此題中滿足題意的只有39、25這組數(shù)．第六講工程問題多人完成工作、水管的進(jìn)水與排水等類型的應(yīng)用題．解題時(shí)要經(jīng)常進(jìn)行工作時(shí)間與工作效率之間的轉(zhuǎn)化．1．甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時(shí)司以完成任務(wù)．如果甲單獨(dú)加工，便需要12小時(shí)完成．現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了2小時(shí)后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生產(chǎn)了420個(gè)零件才完成任務(wù)．問乙一共加工零件多少個(gè)?【分析與解】乙單獨(dú)加工，每小時(shí)加工－=.甲調(diào)出后，剩下工作乙需做(8—2)×(÷)=(小時(shí))，所以乙每小時(shí)加工零件420÷=25個(gè)，那么2小時(shí)加工2×25=60(個(gè))，因此乙一共加工零件60+420＝480(個(gè))．2．某工程先由甲單獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成．如果由甲、乙兩人合作，需48天完成．現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來單獨(dú)完成，那么還需做多少天?【分析與解】由右表知，甲單獨(dú)工作15天相當(dāng)于乙單獨(dú)工作20天，也就是甲單獨(dú)工作3天相當(dāng)于乙單獨(dú)工作4天．所以，甲單獨(dú)工作63天，相當(dāng)于乙單獨(dú)工作63÷3×4=84天，即乙單獨(dú)工作84+28=112天即可完成這項(xiàng)工程．現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，相當(dāng)于乙單獨(dú)工作42÷3×4=56天，即乙還需單獨(dú)工作112—56=56天即可完成這項(xiàng)工程．3．有一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修需10天，乙隊(duì)獨(dú)修需12天，丙隊(duì)獨(dú)修需15天．現(xiàn)在讓3個(gè)隊(duì)合修，但中間甲隊(duì)撤出去到另外工地，結(jié)果用了6天才把這條公路修完．當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了多少天才完成?【分析與解】甲、乙、丙三個(gè)隊(duì)合修的工作效率為++=，那么它們6天完成的工程量為×6=，而實(shí)際上因?yàn)橹型境烦黾钻?duì)6天完成了的工程量為1．所以－1=是因?yàn)榧钻?duì)的中途撤出造成的，甲隊(duì)需÷=5(天)才能完成的工程量，所以甲隊(duì)在6天內(nèi)撤出了5天．所以，當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了5天才完成．4．一件工程，甲隊(duì)獨(dú)做12天可以完成，甲隊(duì)做3天后乙隊(duì)做2天恰好完成一半．現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合做假設(shè)干天后，由乙隊(duì)單獨(dú)完成，做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時(shí)間相等，那么共用了多少天?【分析與解】甲隊(duì)做6天完成一半，甲隊(duì)做3天乙隊(duì)做2天也完成一半。所以甲隊(duì)做3天相當(dāng)于乙隊(duì)做2天．即甲的工作效率是乙的，從而乙單獨(dú)做12×=8(天)完成，所以兩段所用時(shí)間相等，每段時(shí)間應(yīng)是：8÷(1+l+)＝3(天)，因此共用3×2＝6(天)．5．抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當(dāng)甲、乙每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨(dú)抄需要多少天才能完成？【分析與解】甲、乙、丙合抄一天完成書稿的，又甲每天抄寫量等于乙、丙兩人每天抄寫量之和，因此甲兩天抄寫書稿的，即甲每天抄寫書稿的；由于丙抄寫5天相當(dāng)于甲乙合抄一天，從而丙6天抄寫書稿的，即丙每天抄寫書稿的；于是可知乙每天抄寫書稿的－－＝.所以乙一人單獨(dú)抄寫需要1÷=24天才能完成．6．游泳池有甲、乙、丙三個(gè)注水管．如果單開甲管需要20小時(shí)注滿水池；甲、乙兩管合開需要8小時(shí)注滿水池；乙、丙兩管合開需要6小時(shí)注滿水池．那么，單開丙管需要多少小時(shí)注滿水池?【分析與解】乙管每小時(shí)注滿水池的-=,丙管每小時(shí)注滿水池的-=.因此，單開丙管需要1÷==10(小時(shí))．7．一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天可以完成．那么甲、丁兩人合作多少天可以完成?【分析與解】甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、、.對(duì)于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．即+－=，所以甲、丁合作的工作效率為．所以，甲、丁兩人合作24天可以完成這件工程．8．一項(xiàng)工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成．那么丙一個(gè)人來做，完成這項(xiàng)工作需要多少天?【分析與解】方法一：對(duì)于工作效率有：(甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即+－=為兩倍乙的工作效率，所以乙的工作效率為．而對(duì)于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率為－＝那么丙一個(gè)人來做，完成這項(xiàng)工作需1÷=48天．方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝＋＋＝，所以(甲，乙，丙)=÷2＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率為．那么丙單獨(dú)工作的工作效率為－＝，那么丙一個(gè)人來做，完成這項(xiàng)工作需48天．9．某工程如果由第1、2、3小隊(duì)合干需要12天才能完成；如果由第1、3、5小隊(duì)合干需要7天才能完成；如果由第2、4、5小隊(duì)合干需要8天才能完成；如果由第1、3、4小隊(duì)合干需要42天才能完成．那么這5個(gè)小隊(duì)一起合干需要多少天才能完成這項(xiàng)工程?【分析與解】由條件可得，對(duì)于工作效率有：(1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5)．所以5個(gè)小隊(duì)一起合作時(shí)的工作效率為：〔＋＋2×＋〕÷3＝所以5個(gè)小隊(duì)合作需要6天完成這項(xiàng)工程.評(píng)注：這類需綜合和差倍等知識(shí)的問題在工程問題中還是很常見的.10．一個(gè)水箱，用甲、乙、丙三個(gè)水管往里注水．假設(shè)只開甲、丙兩管，甲管注入18噸水時(shí)，水箱已滿；假設(shè)只開乙、丙兩管，乙管注入27噸水時(shí)，水箱才滿．又知，乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍．那么該水箱最多可容納多少噸水?【分析與解】設(shè)甲管注入18噸水所需的時(shí)間為“1”，而乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍，那么乙管注入18噸的水所需時(shí)間為“O.5”，所以乙管注入27噸水所需的時(shí)間為27÷18×0.5=0.75以下采用兩種方法：方法一：設(shè)丙在單位時(shí)間內(nèi)注入的水為“1”，那么有：因此18+“1”=27+“O.75”，那么“0.25”=36噸，即丙在單位時(shí)間內(nèi)灌入36噸的水．所以水箱最多可容納18+36=54噸的水．方法二：也就是說甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的．再設(shè)甲單獨(dú)灌水的工作效率為“1”，那么乙單獨(dú)灌水的工作效率為“2”，有1+丙=(2+丙)；所以丙的工作效率為“2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌時(shí)，丙也灌了27噸，那么水箱最多可容納27+27=54噸水．11.某水池的容積是100立方米，它有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管．甲、乙兩管單獨(dú)灌滿水池分別需要10小時(shí)和15小時(shí)．水池中原有一些水，如果甲、乙兩管同時(shí)進(jìn)水而排水管放水，需要6小時(shí)將水池中的水放完；如果甲管進(jìn)水而排水管放水，需要2小時(shí)將水池中的水放完．問水池中原有水多少立方米?【分析與解】甲每小時(shí)注水100÷10=10(立方米)，乙每小時(shí)注水100÷15=(立方米)，設(shè)排水管每小時(shí)排水量為“排〞，那么(“排〞－10－)×3=(“排〞－10)，整理得3“排〞－3×=“排〞－10,2“排〞=40，那么“排〞=20．所以水池中原有水(20—10)×2=20(立方米)．12．一個(gè)水池，底部安有一個(gè)常開的排水管，上部安有假設(shè)干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管．當(dāng)翻開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)翻開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池．現(xiàn)在需要在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，那么最少要翻開多少個(gè)進(jìn)水管?【分析與解】記水池的容積為“1”，設(shè)每個(gè)進(jìn)水管的工作效率為“進(jìn)〞，排水管的工作效率為“4“進(jìn)〞－“排〞=，2“進(jìn)〞－“排〞=.所以有，2“進(jìn)〞=(－)=，那么“進(jìn)〞=，那么“排〞=.題中需同時(shí)翻開x個(gè)進(jìn)水管2小時(shí)才能注滿，有：x“進(jìn)〞－“排〞=，即x－=，解得x=8.5所以至少需翻開9個(gè)進(jìn)水管，才能在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿．13．蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管和乙、丁兩條排水管．要灌滿一池水，單開甲管需要3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí)．要排光一池水，單開乙管需要4小時(shí)，單開丁管需要6小時(shí)．現(xiàn)在池內(nèi)有池水．如果按甲、乙、丙、丁的順序循環(huán)開各水管，每次每管開1小時(shí)，問經(jīng)過多少時(shí)間后水開始溢出水池?【分析與解】方法一：甲、乙、丙、丁四個(gè)水管，按順序各開l小時(shí)，共開4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的－＋－=.最優(yōu)情況為：在完整周期后的1小時(shí)內(nèi)灌滿一池水．因?yàn)榇藭r(shí)為甲管進(jìn)水時(shí)間，且甲的效率是四條管子中最大的．那么在最優(yōu)情況下：完整周期只需注入1－－＝池水．所需周期數(shù)為÷＝＝4那么，至少需要5個(gè)完整周期，而5個(gè)完整周期后，水池內(nèi)有水＋×5=＋＝剩下l－＝池水未灌滿，而完整周期后l小時(shí)內(nèi)為甲注水時(shí)間，有÷＝(小時(shí)).所以，需5個(gè)完整周期即20小時(shí)，再加上小時(shí)，即20小時(shí)后水開始溢出．方法二：甲、乙、丙、丁四個(gè)水管，按順序各開1小時(shí)，共開4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的－＋－=.加上池內(nèi)原有的水，池內(nèi)有水：＋=.再過四個(gè)4小時(shí)，也就是20小時(shí)后，池內(nèi)有水：＋×4=，在20小時(shí)后，只需要再灌水1－＝,水就開始溢出．÷=(小時(shí))，即再開甲管小時(shí)，水開始溢出，所以20+=20(小時(shí))后，水開始溢出水池．方法三：甲、乙、丙、丁四個(gè)水管，按順序各開1小時(shí)，共開4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的－＋－＝.一個(gè)周期后，池內(nèi)有水：＋=,有待注入；二個(gè)周期后，池內(nèi)有水：＋=,即有先待注入；三個(gè)周期后，池內(nèi)有水：＋＝，有待注入；四個(gè)周期后，池內(nèi)有水：＋＝，即有待注入；五個(gè)周期后，池內(nèi)有水：＋＝，即有待注入．而此時(shí)，只需注入的水即可，小于甲管1小時(shí)注入的水量，所以有÷=(小時(shí))，即再開甲管小時(shí)，水開始溢出，所以20+＝20(小時(shí))后,水開始溢出水池．評(píng)注：這道題中要求的是第一次溢出，因?yàn)樵谝粋€(gè)周期內(nèi)不是均勻增加或減少，而是有時(shí)增加有時(shí)又減少，所以不能簡(jiǎn)單的運(yùn)用周期性來求解，這樣往往會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的解答，至于為什么?我們給出一個(gè)簡(jiǎn)單的問題，大家在解完這道題就會(huì)知曉．有一口井，深20米，井底有一只蝸牛，蝸牛白天爬6米，晚上掉4米，問蝸牛爬出井需多少時(shí)間?14.一個(gè)水池，地下水從四壁滲入，每小時(shí)滲入該水池的水是固定的．當(dāng)這個(gè)水池水滿時(shí)，翻開A管，8小時(shí)可將水池排空；翻開B管，10小時(shí)可將水池排空；翻開C管，12小時(shí)可將水池排空．如果翻開A，B兩管，4小時(shí)可將水池排空，那么翻開B，C兩管，將水池排空需要多少時(shí)間?【分析與解】設(shè)這個(gè)水池的容量是“1A管每小時(shí)排水量是：+每小時(shí)滲入水量；B管每小時(shí)排水量是：+每小時(shí)滲入水量；C管每小時(shí)排水量是：+每小時(shí)滲入水量；A、B兩管每小時(shí)排水量是：+每小時(shí)滲入水量．因?yàn)?每小時(shí)滲入水量++每小時(shí)滲入水量=+每小時(shí)滲入水量，因此，每小時(shí)滲入水量是：－〔＋〕＝.那么有A、B、C管每小時(shí)的排水量如下表所示：于是翻開B、C兩管，將水池排空需要1÷〔＋-〕=1÷=4.8〔小時(shí)〕.第七講牛吃草問題牛吃草問題在普通工程問題的根底上，工作總量隨工作時(shí)間均勻的變化，這樣就增加了難度．牛吃草問題的關(guān)鍵是求出工作總量的變化率.下面給出幾例牛吃草及其相關(guān)問題．1.草場(chǎng)有一片均勻生長(zhǎng)的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供21頭牛吃幾周?(這類問題由牛頓最先提出，所以又叫“牛頓問題〞．)【分析與解】27頭牛吃6周相當(dāng)于27×6=162頭牛吃1周時(shí)間，吃了原有的草加上6周新長(zhǎng)的草；23頭牛吃9周相當(dāng)于23×9=207頭牛吃1周時(shí)間，吃了原有的草加上9周新長(zhǎng)的草；于是，多出了207-162=45頭牛，多吃了9-6=3周新長(zhǎng)的草．所以45÷3=15頭牛1周可以吃1周新長(zhǎng)出的草．即相當(dāng)于給出15頭牛專門吃新長(zhǎng)出的草．于是27-15=12頭牛6周吃完原有的草，現(xiàn)在有21頭牛，減去15頭吃長(zhǎng)出的草，于是21-15=6頭牛來吃原來的草；所以需要12×6÷6=12(周)，于是2l頭牛需吃12周．評(píng)注：我們求出單位“1”一般方法：先求出變化的草相當(dāng)于多少頭牛來吃：(甲牛頭數(shù)×?xí)r間甲-乙牛頭數(shù)×?xí)r間乙)÷(時(shí)間甲-時(shí)間乙)；再進(jìn)行如下運(yùn)算：(甲牛頭數(shù)-變化草相當(dāng)頭數(shù))×?xí)r問甲÷(丙牛頭數(shù)-變化草相當(dāng)頭數(shù))=時(shí)間丙．或者：(甲牛頭數(shù)-變化草相當(dāng)頭數(shù))×?xí)r間甲÷時(shí)間丙+變化草相當(dāng)頭數(shù)丙所需的頭數(shù)．2．有三塊草地，面積分別是4公頃、8公頃和10公頃．草地上的草一樣厚而且長(zhǎng)得一樣快．第一塊草地可供24頭牛吃6周，第二塊草地可供36頭牛吃12周．問：第三塊草地可供50頭牛吃幾周?【分析與解】我們知道24×6=144頭牛吃一周吃2個(gè)(2公頃+2公頃周長(zhǎng)的草).36×12=432頭牛吃一周吃4個(gè)(2公頃+2公頃12周長(zhǎng)的草)．于是144÷2=72頭牛吃一周吃2公頃+2公頃6周長(zhǎng)的草．432÷4=108頭牛吃一周吃2公頃+2公頃12周長(zhǎng)的草．所以108-72=36頭牛一周吃2公頃12—6=6周長(zhǎng)的草．即36÷6=d頭牛1周吃2公頃1周長(zhǎng)的草．對(duì)每2公頃配6頭牛專吃新長(zhǎng)的草，那么正好．于是4公頃，配4÷2×6=12頭牛專吃新長(zhǎng)的草，即24-12=12頭牛吃6周吃完4公頃，所以1頭牛吃6×1÷(4÷2)=36周吃完2公頃．所以10公頃，需要10÷2×6=30頭牛專吃新長(zhǎng)的草，剩下50-30=20頭牛來吃10公頃草，要36×(10÷2)÷20=9周．于是50頭牛需要9周吃10公頃的草．3．如圖，一塊正方形的草地被分成完全相等的四塊和中間的陰影局部，草在各處都是同樣速度均勻生長(zhǎng)．牧民帶著一群牛先在①號(hào)草地上吃草，兩天之后把①號(hào)草地的草吃光．(在這2天內(nèi)其他草地的草正常生長(zhǎng))之后他讓一半牛在②號(hào)草地吃草，一半牛在③號(hào)草地吃草，6天后又將兩個(gè)草地的草吃光．然后牧民把的牛放在陰影局部的草地中吃草，另外號(hào)的牛放在④號(hào)草地吃草，結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們同時(shí)把草場(chǎng)上的草吃完．那么如果一開始就讓這群牛在整塊草地上吃草，吃完這些草需要多少時(shí)間？【分析與解】一群牛，2天，吃了1塊+1塊2天新長(zhǎng)的；一群牛，6天，吃了2塊+2塊2+6=8天新長(zhǎng)的；即3天，吃了1塊+1塊8天新長(zhǎng)的.即群牛，1天，吃了1塊1天新長(zhǎng)的.又因?yàn)椋呐７旁陉幱熬植康牟莸刂谐圆?，另外的牛放在④?hào)草地吃草，它們同時(shí)吃完.所以，③=2陰影局部面積.于是，整個(gè)為塊地.那么需要群牛吃新長(zhǎng)的草，于是=現(xiàn)在.所以需要吃：天.所以，一開始將一群牛放到整個(gè)草地，那么需吃30天.4．現(xiàn)在有牛、羊、馬吃一塊草地的草，牛、馬吃需要45天吃完，于是馬、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度為馬吃草的速度，求馬、牛、羊一起吃，需多少時(shí)間?【分析與解】我們注意到：牛、馬45天吃了原有+45天新長(zhǎng)的草①牛、馬90天吃了2原有+90天新長(zhǎng)的草⑤馬、羊60天吃了原有+60天新長(zhǎng)的草②牛、羊90天吃了原有+90天新長(zhǎng)的草③馬90天吃了原有+90天新長(zhǎng)的草④所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再結(jié)合③知，羊吃了90天，吃了90天新長(zhǎng)的草，所以，可以將羊視為專門吃新長(zhǎng)的草．所以，②知馬60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．現(xiàn)在將牛、馬、羊放在一起吃；還是讓羊吃新長(zhǎng)的草，牛、馬一起吃原有的草.所需時(shí)間為l÷=36天.所以，牛、羊、馬一起吃，需36天．5.有三片牧場(chǎng)，場(chǎng)上草長(zhǎng)得一樣密，而且長(zhǎng)得一樣快．它們的面積分別是公頃、10公頃和24公頃．12頭牛4星期吃完第一片牧場(chǎng)的草，21頭牛9星期吃完第二片牧場(chǎng)的草，那么多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場(chǎng)的草?【分析與解】由于三片牧場(chǎng)的公頃數(shù)不一致，給計(jì)算帶來困難，如果將其均轉(zhuǎn)化為1公頃時(shí)的情形．所以表1中，3.6-0.9=2.7頭牛吃4星期吃完l公頃原有的草，那么18星期吃完1公頃原有的草需要2.7÷(18÷4)=0.6頭牛，加上專門吃新長(zhǎng)草的O．9頭牛，共需0.6+0.9=1.5頭牛，18星期才能吃完1公頃牧場(chǎng)的草．所以需1.5×24=36頭牛18星期才能吃完第三片牧場(chǎng)的草．第八講包含與排除涉及互相重復(fù)的兩類或三類對(duì)象的計(jì)數(shù)問題．解題可利用計(jì)算所有對(duì)象總個(gè)數(shù)的容斥原理，以及圖示包含與排除關(guān)系．1．某班有40名學(xué)生，其中有15人參加數(shù)學(xué)小組，18人參加航模小組，有10人兩個(gè)小組都參加．那么有多少人兩個(gè)小組都不參加?【分析與解】至少參加一個(gè)小組的同學(xué)有15+18-10=23人，所以有40-23=17人兩個(gè)小組都不參加．2．某班45個(gè)學(xué)生參加期末考試，成績(jī)公布后，數(shù)學(xué)得總分值的有10人，數(shù)學(xué)及語文均得總分值的有3人，這兩科都沒有得總分值的有29人．那么語文成績(jī)得總分值的有多少人?【分析與解】數(shù)學(xué)、語文至少有一門得總分值的學(xué)生有45-29=16人．所以語文成績(jī)得總分值的有16-10+3=9人．3．50名同學(xué)面向老師站成一行．老師先讓大家從左至右按1，2，3，…，49，50依次報(bào)數(shù)；再讓報(bào)數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)．問：現(xiàn)在面向老師的同學(xué)還有多少名?【分析與解】在轉(zhuǎn)過兩次后，面向老師的同學(xué)分成兩類：第一類是標(biāo)號(hào)既不是4的倍數(shù)，又不是6的倍數(shù)；第二類是標(biāo)號(hào)既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)．150之間，4的倍數(shù)有=12,6的倍數(shù)有=8，即是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)的數(shù)一定是12的倍數(shù)，所以有=4．于是，第一類同學(xué)有50-12-8+4=34人，第二類同學(xué)有4人，所以現(xiàn)在共有34+44．在游藝會(huì)上，有100名同學(xué)抽到了標(biāo)簽分別為1至100的獎(jiǎng)券．按獎(jiǎng)券標(biāo)簽號(hào)發(fā)放獎(jiǎng)品的規(guī)那么如下：①標(biāo)簽號(hào)為2的倍數(shù)，獎(jiǎng)2支鉛筆；②標(biāo)簽號(hào)為3的倍數(shù)，獎(jiǎng)3支鉛筆；③標(biāo)簽號(hào)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)可重復(fù)領(lǐng)獎(jiǎng)；④其他標(biāo)簽號(hào)均獎(jiǎng)1支鉛筆．那么游藝會(huì)為該項(xiàng)活動(dòng)準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品鉛筆共有多少支?【分析與解】1～100，2的倍數(shù)有=50，3的倍數(shù)有=33個(gè)，因?yàn)榧仁?的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)的數(shù)一定是6的倍數(shù)，所以標(biāo)簽為這樣的數(shù)有=16個(gè)．于是，既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)的數(shù)在1～100中有100-50-33+16=33．所以，游藝會(huì)為該項(xiàng)活動(dòng)準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品鉛筆共有：50×2+33×3+33×1=232支.5.有一根長(zhǎng)為180厘米的繩子，從一端開始每隔3厘米作一記號(hào)，每隔4厘米也作一記號(hào)，然后將標(biāo)有記號(hào)的地方剪斷．問繩子共被剪成了多少段?【分析與解】只需先計(jì)算剪了多少刀，再加上1即為剪成的段數(shù)．從一端開始，將繩上距離這個(gè)端點(diǎn)整數(shù)厘米數(shù)的點(diǎn)編號(hào)，并將距離長(zhǎng)度作為編號(hào)．有1～180，3的倍數(shù)有=60個(gè)，4的倍數(shù)有=45個(gè)，而既是3的倍數(shù)，又是4的倍數(shù)的數(shù)一定是12的倍數(shù)，所以這樣的數(shù)有=15個(gè)．注意到180厘米處的無法標(biāo)上記號(hào)，所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，所以繩子被剪成89+1=90段．6.東河小學(xué)畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級(jí)的，有15幅畫不是五年級(jí)的．現(xiàn)知道五、六年級(jí)共有25幅畫，那么其他年級(jí)的畫共有多少幅?【分析與解】將東河小學(xué)分成3個(gè)局部，六年級(jí)、五年級(jí)、其他年級(jí)，那么有五年級(jí)和其他年級(jí)共作畫16幅，六年級(jí)和其他年級(jí)共作畫15幅．而五、六年級(jí)共作畫25幅，所以其他年級(jí)的畫共有(16+15-25)÷2=3幅．7．有假設(shè)干卡片，每張卡片上寫著一個(gè)數(shù)，它是3的倍數(shù)或4的倍數(shù)，其中標(biāo)有3的倍數(shù)的卡片占，標(biāo)有4的倍數(shù)的卡片占，標(biāo)有12的倍數(shù)的卡片有15張．那么，這些卡片一共有多少張?【分析與解】設(shè)這些卡片的總數(shù)為“1”，而標(biāo)有12的倍數(shù)的卡片既屬于3的倍數(shù)又屬于4的倍數(shù)．所以有，解得“1”對(duì)應(yīng)36張．即這些卡片一共有36張．8．在從1至1000的自然數(shù)中，既不能被5除盡，又不能被7除盡的數(shù)有多少個(gè)?【分析與解】l～1000之間，5的倍數(shù)有=200個(gè)，7的倍數(shù)有=142個(gè)，因?yàn)榧仁?的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)的數(shù)一定是35的倍數(shù)，所以這樣的數(shù)有=28個(gè)．所以既不能被5除盡，又不能被7除盡的數(shù)有1000-200-142+-28=686個(gè)．9．五年級(jí)三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng)．其中有25人參加自然興趣小組，35人參加美術(shù)興趣小組，27人參加語文興趣小組，參加語文同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有12人，參加自然同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有8人，參加自然同時(shí)又參加語文興趣小組的有9人，語文、美術(shù)、自然3科興趣小組都參加的有4人．求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)．【分析與解】設(shè)參加自然興趣小組的人組成集合A，參加美術(shù)興趣小組的人組成集合日，參加語文興趣小組的人組成集合C．=25，=35，=27，=12，=8，=9，=4.=.所以，這個(gè)班中至少參加一項(xiàng)活動(dòng)的人有25+35+27-12-即這個(gè)班有62人．10．如圖8-1，甲、乙、丙3個(gè)圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合局部的面積分別為6，8，5，而3個(gè)圓覆蓋的總面積為73．求陰影局部的面積．【分析與解】設(shè)甲圓組成集合A，乙圓組成集合B，丙圓組成集合C．=30，=6，=8，=5，=73，而=.有73=30×3-6-8-5+，即=2，那么只是甲與乙(④)，乙與丙(⑥)，甲與丙(⑤)的公共的面積依次為6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有陰影局部(①、②、③局部之和)的面積為73-4-611．四年級(jí)一班有46名學(xué)生參加3項(xiàng)課外活動(dòng)．其中有24人參加了數(shù)學(xué)小組，20人參加了語文小組，參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組也參加文藝小組人數(shù)的3．5倍，又是3項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的7倍，既參加文藝小組也參加語文小組的人數(shù)相當(dāng)于3項(xiàng)都參加的人數(shù)的2倍，既參加數(shù)學(xué)小組又參加語文小組的有10人．求參加文藝小組的人數(shù)．【分析與解】設(shè)參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生組成集合A，參加語文小組的學(xué)生組成集合B，參加文藝小組的學(xué)生組成集合G．三者都參加的學(xué)生有z人．有=46，=24，=20，=3.5，=7，=2，=10．因?yàn)?，所?6=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，即三者的都參加的有3人．那么參加文藝小組的有37=21人．12．圖書室有100本書，借閱圖書者需在圖書上簽名．這100本書中有甲、乙、丙簽名的分別有33，44和55本，其中同時(shí)有甲、乙簽名的圖書為29本，同時(shí)有甲、丙簽名的圖書為25本，同時(shí)有乙、丙簽名的圖書為36本．問這批圖書中最少有多少本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過?【分析與解】設(shè)甲借過的書組成集合A，乙借過的書組成集合B，丙借過的書組成集合C．=33,=44，=55，=29，=25，=36．此題只需算出甲、乙、丙中至少有一人借過的書的最大值，再將其與100作差即可．,當(dāng)最大時(shí)，有最大值.也就是說當(dāng)三人都借過的書最多時(shí)，甲、乙、丙中至少有一人借過的書最多．而最大不超過、、、、、6個(gè)數(shù)中的最小值，所以最大為25．此時(shí)=33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借過的書最多為67本，所以這批圖書中最少有33本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過．13．如圖8-2，5條同樣長(zhǎng)的線段拼成了一個(gè)五角星．如果每條線段上恰有1994個(gè)點(diǎn)被染成紅色，那么在這個(gè)五角星上紅色點(diǎn)最少有多少個(gè)?【分析與解】如以下圖，以下圖中“〞位置均有兩條線段通過，也就是交點(diǎn)，如果這些交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的線段都在“〞位置恰有紅色點(diǎn)，那么在五角星上重疊的紅色點(diǎn)最多，所以此時(shí)顯現(xiàn)的紅色點(diǎn)最少，有1994×5-(2-1)×10=9960個(gè)．14．甲、乙、丙同時(shí)給100盆花澆水．甲澆了78盆，乙澆了68盆，丙澆了58盆，那么3人都澆過的花最少有多少盆?【分析與解】只考慮甲乙兩人情況，有甲、乙都澆過的最少為：78+68-100=46盆，此時(shí)甲單獨(dú)澆過的為78-46=32盆，乙單獨(dú)澆過的為68-46=22盆；欲使甲、乙、丙三人都澆過的花最少時(shí)，應(yīng)將丙澆過的花盡量分散在兩端。于是三者都澆過花最少為58-32-22=4盆．15．甲、乙、丙都在讀同-一本故事書，書中有100個(gè)故事．每個(gè)人都從某一個(gè)故事開始，按順序往后讀．甲讀了7.5個(gè)故事，乙讀了60個(gè)故事，丙讀了52個(gè)故事．那么甲、乙、丙3人共同讀過的故事最少有多少個(gè)?【分析與解】只考慮甲乙兩人情況，有甲、乙都讀過的最少為：75+60-100=35個(gè)，此時(shí)甲單獨(dú)讀過的為75-35=40個(gè)，乙單獨(dú)讀過的為60-35=25個(gè)；欲使甲、乙、丙三人都讀過的書最少時(shí)，應(yīng)將丙讀過的書盡量分散在某端，于是三者都讀過書最少為52-40=12個(gè)．評(píng)注：注意與14題的區(qū)別，此題中必須是從一端連續(xù)的排下去，而14題沒有要求連續(xù)．第九講整數(shù)分拆1．一般的有，把一個(gè)整數(shù)表示成兩個(gè)數(shù)相加，當(dāng)兩個(gè)數(shù)相近或相等的時(shí)候，乘積最大．也就是把整數(shù)分拆成兩個(gè)相等或者相差1的兩個(gè)整數(shù)．2．一般的有，把自然數(shù)m分成n個(gè)自然數(shù)的和，使其乘積最大，那么先把m進(jìn)行對(duì)n的帶余除法，表示成m=np+r，那么分成r個(gè)(p+1)，(n－r)個(gè)P．3．把自然數(shù)S(S＞1)分拆為假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的和(沒有給定是幾個(gè))，那么分開的數(shù)當(dāng)中最多有兩個(gè)2，其他的都是3，這樣它們的乘積最大．4．把自然數(shù)分成假設(shè)干個(gè)互不相等的整數(shù)，那么先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，當(dāng)和等于原數(shù)那么可以，假設(shè)不然，比原數(shù)大多少除去等于它們差的那個(gè)自然數(shù)．如果僅大于1，那么除去2，再把最大的那個(gè)數(shù)加1．5．假設(shè)自然數(shù)N有k個(gè)大于1的奇約數(shù)，那么N共有k種表示為兩個(gè)或兩個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)之和的方法．即當(dāng)有m個(gè)奇約數(shù)表示的乘積，那么有奇約數(shù)2－1個(gè)奇約數(shù)．6．共軛分拆．我們通過下面一個(gè)例子來說明共軛分拆：如：10=4+2+2+1+1，我們畫出示意圖，我們將其翻轉(zhuǎn)(將圖左上到右下的對(duì)角線翻轉(zhuǎn)即得到)：，可以對(duì)應(yīng)的寫成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一種分拆方式．我們把這兩種有關(guān)聯(lián)的分拆方式稱為互為共軛分拆．1．寫出13=1+3+4+5的共軛分拆．【分析與解】畫出示意圖，翻轉(zhuǎn)得到，對(duì)應(yīng)寫為4+3+3+2+1=13，即為13=1+3+4+5的共軛分拆．2．電視臺(tái)要播出一部30集電視連續(xù)劇，假設(shè)要每天安排播出的集數(shù)互不相等．那么該電視連續(xù)劇最多可以播出幾天?【分析與解】由于希望播出的天數(shù)盡可能地多，假設(shè)要滿足每天播出的集數(shù)互不相等的條件下，每天播出的集數(shù)應(yīng)盡可能地少．選擇從1開始假設(shè)干連續(xù)整數(shù)的和與30最接近(小于30)的情況為1+2+3+4+5+6+7=28，現(xiàn)在就可以播出7天，還剩下2集，由于已經(jīng)有2集這種情況，就是把2集分配到7天當(dāng)中又沒有引起與其他的幾天里播出的集數(shù)相同.于是只能選擇從后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天．3．假設(shè)干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個(gè)同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小明從每支盒子里取出一個(gè)小球，然后把這些小球再放到小