8-4 圓錐曲線的綜合問題 題型5 證明問題講義-2024屆高三數(shù)學二輪復習

考點8.4圓錐曲線的綜合問題題型5證明問題解讀：解讀：拋物線的標準方程，注意p>0條件推理：已知推理：已知l1過的點和斜率，得出l1方程（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知拋物線E：（p>0），聯(lián)想：弦長公式過點的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點和C，聯(lián)想：弦長公式l1當l1的斜率為時，(1)求E的標準方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點，證明：點G必在定直線上．得方程為拆題（1）得方程為::（2）設(shè)由直線的方程為設(shè)由直線的方程為由直線與的交點在定直線上=2方程為由直線與的交點在定直線上=2方程為直線與相交，所以直線與相交，所以方程為【解析】（1）當?shù)男甭蕿闀r，得方程為，由,消元得，，，；由弦長公式得，即，解得或（舍去），滿足，從而的標準方程為.（2）因為l1，l2分別交E于AB兩點和C，D兩點，所以直線斜率存在設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，消去得，則.設(shè)直線的方程為，同理，消去得可得．直線方程為，即，化簡得，同理，直線方程為，因為在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標為定值即可．由消去，因為直線與相交，所以，解得，所以點的橫坐標為2，即直線與的交點在定直線上．方法總結(jié)：圓錐曲線關(guān)于證明的問題（1）證明直線或圓過定點證明直線過定點，通常是設(shè)出直線方程，由已知條件確定的關(guān)系.若，則則直線過定點；證明圓過定點,常見題型是證明以AB為直徑的圓過定點P,只需證明.（2）證明與斜率有關(guān)的定值問題證明與斜率有關(guān)的定值問題通常是證明斜率之和或斜率之積為定值問題,此類問題通常是把斜率之和或斜率之積用點的坐標表示,再通過化簡使結(jié)果為定值;此外證明垂直問題可轉(zhuǎn)化為斜率之積為,證明兩直線關(guān)于直線或?qū)ΨQ,可轉(zhuǎn)化為證明斜率之和為0.（3）證明與線段長度有關(guān)的等式證明與線段長度有關(guān)的等式問題,一般是利用距離公式或弦長公式寫出長度表達式,再借助根與系數(shù)之間的關(guān)系或斜率、截距等證明等式兩邊相等.（4）證明代數(shù)式的值為定值或證明與代數(shù)式有關(guān)的恒等式證明此類問題一般是把代數(shù)式用點的坐標表示后化簡或構(gòu)造方程求解子題變式1．（創(chuàng)新題）（難度★★）已知曲線：，過它的右焦點作直線交曲線于、兩點，弦的垂直平分線交軸于點，可證明是一個定值，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即，設(shè)直線方程：，且將雙曲線的方程寫成標準形式，以便考查a,b,c值.，，，，，，，，弦的中點為，即垂直平分線：，令，可得，，所以.故選A.2．（難度★★）（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）已知點在拋物線的準線上．（1）求拋物線C的方程；（2）過點P作直線交拋物線于A，B兩點，過A作斜率為1的直線l交拋物線C于另一點M．證明：直線BM過定點．【解析】（1）因為點在拋物線的準線上，則，即，所以拋物線C的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為：，由消去x得：，設(shè)，則，而直線的斜率，則直線的方程，由消去x得：，點A的縱坐標，即：點，直線的斜率，則，因此，有，即，直線的方程為又，即，顯然直線過定點，所以直線過定點.由可得，故直線過定點3．（難度★★★）（2023·海南?？凇ば？寄M預測）已知橢圓經(jīng)過點，．（1）求橢圓的方程；（2）為橢圓的右焦點，直線垂直于軸，與橢圓交于點，，直線與軸交于點，若直線與直線交于點，證明：點在橢圓上．【解析】（1）由題意知，將點代入橢圓方程得，即，所以橢圓C的方程．（2）證明：由（1）知，設(shè)，，直線垂直于軸，與橢圓交于點，，故注意變】變量的取值范圍.設(shè)，，不妨令，則，，聯(lián)立兩直線方程解得，，從而，，有，，從而，所以點M在橢圓上．4．（挑戰(zhàn)題）（難度★★）（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考一模）已知等軸雙曲線C的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，且焦點到漸近線的距離為.（1）求C的方程；（2）若C上有兩點P，Q滿足，證明：是定值.【解析】（1）設(shè)C的方程為，因為焦點到漸近線的距離為.所以，因為C為等軸雙曲線，所以.所以C的方程為.不妨設(shè)右焦點為，漸近線方程為.右焦點到漸近線的距離.（2）設(shè)，.由，得，且，，所以，則，即，平方后得，等式兩邊同時除以，得，即，即.所以是定值，且該定值為.5．（挑戰(zhàn)題）（難度★★）（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓，斜率為2的直線與橢圓交于兩點.過點作的垂線交橢圓于另一點，再過點作斜率為的直線交橢圓于另一點.（1）若為該橢圓的上頂點，求點的坐標；（2）證明：直線的斜率為定值.【解析】（1）設(shè)直線的方程為，因為點的坐標為，所以.將代入，得，解得或，所