附加篇 構(gòu)造直角三角形利用勾股定理解決問題(備作業(yè))-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊同步備課系列（北師大版）（解析版）

附加篇構(gòu)造直角三角形利用勾股定理解決問題

一、單選題

1.如圖，△ABC中，AB=10,BC=12,AC=2而，則△ABC的面積是（）.

A.36B.10V13C.60D.12屈

【答案】A

【解析】

22

作ADLBC于點D,設(shè)=得452一3。2AC-CD結(jié)合題意，經(jīng)解方程計算得

BD,再通過勾股定理計算得AD,即可完成求解.如圖，作4）_L8C于點D

設(shè)=則CD=3C—x=12—x

???AB2-BD2=AD2>AC2-CD-=AD2

AB--BD1^AC2-CD1

-：AB=10,AC=2-713

.-?102-X2=（2V13）2-（12-A-）2

?**x=8

AD=YIAB2-BD2=V102-82=6

△ABC的面積=,BCxAD=—xl2x6=36

22

故選：A.

【點睛】

本題考察了直角三角形、勾股定理、一元一次方程的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，從而完成求

解.

2.如圖，在AABC中，D是BC邊上的中點，AC=5,AB=7,BC=8,則AABC的中線AD的長是（）

A.屈B.721c.莊D.5

【答案】B

【解析】

過A作AH_LBC于H,設(shè)CH=x,利用勾股定理求出X,進而可求得AD的長.解：過A作AH_LBC于H,設(shè)CH=x,

??1AH2=AB2-BH2=AC2-CH2，

72-(8-X)2=52-X2,

解得：X=

2

【點睛】

本題考查勾股定理、解一元一次方程，熟練掌握用勾股定理解直角三角形，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解答的

關(guān)鍵.

3.如圖，笑笑將一張A4紙（M4紙的尺寸為210mmx297mm,AC>AB）剪去了一個角，量得CF=90mm,BE=

137mm,則剪去的直角三角形的斜邊長為（）

A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm

【答案】D

【解析】

解答此題只要把原來的圖形補全，構(gòu)造出直角三角形解答.解：延長BE、CF相交于D,MAEFD構(gòu)成直角三角形,

運用勾股定理得:

EF2=(210-90)2+(297-137)2=1202+1602=40000,

所以EF=200.

則剪去的直角三角形的斜邊長為200mm.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解答此題要延長BD、DC相交于F,構(gòu)造直角三角形，然后用勾股定理進行計算.

4.如圖，已知△ABC中，NABC=90。，AB=BC,三角形的頂點在相互平行的三條直線h,h,b上，且li,b之間的

距離為1,12,b之間的距離為3,則AC的長是（）

C.426D.廊

【答案】D

【解析】

過A作ADJJ3于D,過C作CEJL/3于E,得到AD=3,CE=4,根據(jù)AAS可證明合4EBC,可求出BE=AD=3,

根據(jù)勾股定理求出BC的長，進而求出AC的長即可.過A作AD_L/3于D,過C作CE_L/3于E,由題可得，AD=3,

CE=4,

AD±/3,CE±/3,

ZADB=ZABC=ZCEB=90°,

ZDAB+ZABD=90°,ZABD+ZCBE=90°,

.IZDAB=ZCBE,

又；AB=BC,

???AEBC,

：.AD=BE=3,

?/CE=4,

在RNBCE中，BC=y]BE2+CE2=732+42=5，

???AB=BC,ZABC=90",

???AC=JAB?+BC?=V52+52=病?

故選：D.

【點睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

5.如圖，正方體的棱長為2,8為一條棱的中點.已知螞蟻沿正方體的表面從A點出發(fā)，到達B點，則它運動的

最短路程為（）

A.V13B.4C.V17D.5

【答案】A

【解

正方體側(cè)面展開為長方形，確定螞蟻的起點和終點，根據(jù)兩點之間線段最短、勾股定理即可求出最短路徑長.如

(2+2)2+(gx2)

圖，它運動的最短路程A8==舊

A

2

2

二、如圖，它運動的最短路程A8=2+(2+1X2I=而

B

故選：A.

【點睛】

本題考查了正方體的側(cè)面展開圖、兩點之間線段最短、勾股定理，掌握正方體的側(cè)面展開圖是解題關(guān)鍵.

6.如圖，四邊形ABCD中，ZABC=90°,AC=BD,AC±BD,若AB=4,AD=5,則DC的長（）.

A.7B.758C.765D.2717

【答案】B

【解析】

解：過。作DFJ?弘交8A的延長線于F.：8E_LAC,二NEBC+N8CE=90°,：NABC=90°,，NABD+NEBC=90°,

ZABE=ABCA.在4BFD和^CBA中，：NABE=ABCA,ZF=ZABC=90°,BD=CA,：.△BFD^△CBA,：.DF=AB=4,

BF=BC.在RtAADF中，:AD=5,DF=4,二AF=3,/.8c=3+4=7.；ZDEC=90°,：.DC2=DE2+EC2=(BD-BE)2+EC2=(AC-BE)2+EC2

=AC2-2AC?BE+BE2+EC2

=AC2-2AB*BC+BC2

=42+72-2X4X7+72

=58

*'?DC-J58-

點睛：解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形.在計算時要巧用轉(zhuǎn)換，使計算簡單.

7.如圖，在AABC中，AC=BC,NACB=90。，點D在8c上，BD=6,DC=2,點P是AB上的動點，則PC+PD的最

小值為（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】B

【解析】

過點C作CO_LAB于。，延長CO到（7,使。C=OC,連接DO,交AB于P,連接CP,MDP+CP=DP+PC=

0c的值最小.由DC=2,BD=6,得至IJBC=8,連接BU,由對稱性可知N=NCB4=45。，于是得到NCBU

=90。，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.解：過點。作（：0_1_48于O,延長C。到（7,使O（7=OC,連接DU,交

AB于P,連接CP.

此時DP+CP=DP+PU=DC的值最小.

DC=2,BD=6,

BC=8,

連接BC,由對稱性可知NCBA=^CBA=45。,

ZCBC=90°,

：.BC'±BC,ZBCC'=NBCC=45°,

BC=BC=8,

根據(jù)勾股定理可得DC=4BC'2+=褥+6。=10.

故選：B.

【點睛】

此題考查了軸對稱-線路最短的問題，確定動點P為何位置時PC+PD的值最小是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在AABC和ADBE中，AB=BC,DB=EB,NABC=NDBE=50°.若NBDC=25°,AD=4,DE=713>則CD的

長為（）

A.JiB.&C.巫D.2

2

【答案】B

【解析】

連接CE,根據(jù)已知和全等三角形的判定可證得^AB四△CBE,則CE=AD=4,由等腰三角形的性質(zhì)可求得NBDE=65°,

進而求得NCDE=90。，由勾股定理即可求得CD的長.解：連接CE,

ZABC=ZDBE,

ZABC+ZCBD=ZDBE+ZCBD,

即NABD=ZCBE,

又??AB=BC,DB=EB,

...△ABD些△CBE(SAS),

CE=AD=4,

,/DB=EB,ZABC=ZDBE=50°,

igo_50

ZBDE=--------------=65°,又NBDC=25°,

2

/.ZCDE=65°+25°=90°,

在RtACDE中，由勾股定理得：

CD=y/CE2-DE2="2_(加)2=y/31

故選：B.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，連接CE證得NCDE=90。

是解答的關(guān)鍵.

9.在△ABC中，NBCA=90o,AC=6,BC=8,D是AB的中點，將△ACD沿直線CD折疊得到△ECD,連接BE,則線段

BE的長等于（）

E

【答案】c

【解析】

根據(jù)勾股定理及直角三角形的中線、翻折得CD=DE=BD=5,CE=AC=6,作DH_LBE于H,EG_LCD于G,證明

7

△DHE2△EGD,利用勾股定理求出E”=DG=-,即可得到BE；：NBCA=90。，AC=6,BC=8,

5

AB=7AC2+BC2=A/62+82=10>

?JD是AB的中點，

/.AD=BD=CD=5,

由翻折得:DE=AD=5,ZEDC=ZADC,CE=AC=6,

BD=DE,

作DHJ_BE于H,EG_LCD于G,

11

ZDHE=ZEGD=90°,ZEDH=—ZBDE=—(180°-2ZEDC)=90°-ZEDC,

22

...ZDEB=90°-ZEDH=90°-(90°-ZEDC)=ZEDC,

?.DE=DE,

△D心△EGD,

DH=EG,EH=DG,

設(shè)DG=x,則CG=5-x,

EG2=DE2-DG2=CE2-CG2，

52-x2=62-(5-X)2,

7

x=—,

5

7

EH=DG=~,

5

14

BE=2EH=—,

5

故選：c.

【點睛】

此即考查翻折的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，將求BE轉(zhuǎn)換為求其一半的長度的想法是關(guān)鍵，由此作垂

線，證明△DHE合△EGD,由此求出BE的長度.

10.如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=AACB=AADC=45°.若AD=4,CD=2,則8D的長為()

A.6B.2幣C.5D.2亞

【答案】A

【解析】

【解析】作AD」AD,AD，=AD,連接CD，，DDS根據(jù)等式的性質(zhì)，可得NBAD與NCAD，的關(guān)系，根據(jù)SAS,可得

△BAD與ACAD，的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BD與CD，的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得答案.

作AD」AD,AD，=AD,連接CD，，DD\

則有NAD'D=ND'AD=45。，

???ZBAC+ZCAD=ZDAD'+NCAD,

即NBAD=ZCAD',

BC=CA

在ABAD與ACAD，中，,NBA。=NCA。'，

AD=AD'

△BADS△CAD'(SAS),

BD=CD',

ZDAD，=90。，由勾股定理得DDZ=AD2+AD'2=4A/2，

ZDzDA+ZADC=90°,由勾股定理得

Ch=4DC-+DD-=J(4何+22=6.

故選A.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，添加輔助線作出全

等圖形是解題關(guān)鍵.

二、填空題

11.如圖，四邊形ABCD中，點E在CD上，3E//Ar）交AC于點F,/ABE=NAC。=45°,若A8=CQ=3應(yīng)，

CF=2,WOBF=.

【答案】7

【解析】

證明AABa△DCAnJ^AD=AF,AC=BF,過點D作DG垂直于AC于點G,可得DG=GC=3,GF=GC-FC=1,在△ADG

中利用勾股定理即可求得AD，從而求得AC.解：,「BEIIAD,

/.ZAFB=ACAD,

NABE=ZACD=45°,OC=A8=372,NAFB=ZCAD,

△ABF^△DCA(ZUS),

/.AD=AFfAC=BF,

過點。作DG垂直于AC于點G,NACD=45。，CD=3近,

DG=GC=3,

GF=GC-FC=3-2=1,

設(shè)/W=AF=x,貝lMG=x-l,

由勾股定理得32+(x-1)2=x2,

解得x=5,

AD=5,BF=AC=AF+CF=5+2=7,

故答案為：7.

【點睛】

此題考查勾股定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答.

12.已知，如圖，在A43C中，NC=90°,AB=10,4C=6,8是AB上的中線，如果將△88沿C。翻

折后，點8的對應(yīng)點B'，那么的長為.

【答案】--

5

【解析】

先用勾股定理求得BC,利用斜邊上的中線性質(zhì)，求得CD,BD的長，再利用折疊的性質(zhì)，引進未知數(shù)，用勾股定

理列出兩個等式，聯(lián)立方程組求解即可.如圖所示,

vZACB=90°,AB=10,AC=6,

BC=Jl()2—6?=8,

CD是AB上的中線,

...CD=BD=AD=5,

設(shè)DE=x,BE=y,

根據(jù)題意，得

x2+y2=25,

(x+5)2+/=64,

724

解得x=1,y=—,

f48

??.BB=2y=—f

故答案為：—.

5

【點睛】

本題考查了勾股定理，斜邊上中線的性質(zhì)，方程組的解法，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，正確構(gòu)造方程組

計算是解題的關(guān)鍵.

13.在RSACB中，N4CB=90。，點D在邊A8上，連接CD,將△ADC沿直線CD翻折，點A恰好落在8c邊上

的點E處，若AC=3,BE=1,則DE的長是.

【答案】—

7

【解析】

過點。作于”，DFLBC于F，由折疊的性質(zhì)可得AC=CE=3,ZACD=NBCD=45。,

由勾股定理可求A3=5,由面積法可求。咒的長，由勾股定理可求。E的長.解：如圖，過點。作。

于H,DFLBC于F，

V將A4QC沿直線C￡）翻折，

AC=CE=3,ZACD=ZBCD=45°,

;衣=4,

-.DHLAC,DF1BC，NACD=N8CD=45。,

：,DF=DH，ZDCF=NFDC=45。,

:.DF=CF,

AB2=AC2+BC2=9+16=25>

：.AB=5,

S.?=-xACxBC^-xACxDH+-xBCxDF，

MABCr222

..12=7OF,

/.DF=—,

7

129

DF=CF=—,EF=-,

77

DE=J。產(chǎn)+EF?=I—+—=—,

V49497

故答案為：—.

7

【點睛】

本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，求出。咒的長是本題的關(guān)鍵.

14.如圖，在AABC中，NACB=90°,AC=BC,點M為射線AE上一點，連接CM,點N為三角形.ABC

外右側(cè)一點，連接CN,連接NB交射線AE于點。，己知CNLCM,CN=CM,NE4c=15°,

ZACM=60°,8。=逅上也，則線段DN長為.

2

【答案】

2

【解析】

根據(jù)題意可求證△ACMWABOV,延長CM交AB與點G,過G作GK垂直于BC于點K,根據(jù)角相等判斷邊相

等,AG=AM,列出方程求出AG的長，從而求出AM的長，從而求出BN的長,DN=BN-BD即可求解.；ZACM=60°.

ZACB=96=NMCN，

ZACM=ZBCN=60°，

AC=BC,CN=CM

AACM與BCN,

ZCAM=4CBN=15°，

延長CM交AB與點G,過G作GK垂直于BC于點K,

???ZACB=90°,4C=BC,ZACAf=60°

???ZABC=45°.NC4B=45°，NGC5=30。，

ZABD=60°-/BAO=30°，ZAGC=75°,ZAMG=75°

ZADB=90°-AM=AG,

...BD4+e，

2

AB=?+4i，

...AC=8C=￥x（而+閭=逐+1，

設(shè)BK=a,則GK=a,CK=瓜，

a+i'/3tz—y/3+1>

a=l,

BK=KG=T,

BG=母,

AG~娓>AM=瓜>

???BN=瓜，

【點睛】

本題主要考查的是三角形全等的性質(zhì)及判定，正確做出輔助線，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)及判定是解答本題的

關(guān)鍵.

15.如圖，在Rt^ABC中，/ACB=90°,AC=6,BC=8,AD平分NCAB交BC于D點，E、F分別是AD、

AC上的動點，則CE+EF的最小值為.

【解析】

在AB上取點/，，使Ak=AF,過點c作垂足為H.因為M+CE=EF'+CE,推出當(dāng)c、E、

尸'共線，且點尸'與H重合時，F(xiàn)E+EC的值最小.解：如圖所示：在AB上取點F，，使AF=AF,過點c

作C//LA3,垂足為H.

在RSABC中，依據(jù)勾股定理可知BA=10,

?/S=-ACBC=-CHAB,

△ARr22

，CH=AC^C=24

AB5

AE平分ZCAB,

ZEAF=ZEAF',

-：AF'=AF,AE=AE,

△EAFSAEAF'>

EF=EF'，

EF+CE^EF'+CE,

.?.當(dāng)c,E,尸，共線，且點與H重合時，F(xiàn)E+EC的值最小，最小值為彳.

_,24

故答案為—.

5

【點睛】

本題主要考查的是軸對稱的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、垂線段最短等知識,解題的關(guān)鍵是利用對稱,解決最短問題.三、

解答題

16.如已知：如圖，四邊形ABC。中AB=3C=1,CD=5AT>=1，且/B=90°.試求㈤。的度數(shù).

【答案】135°

【解析】

連接AC,根據(jù)勾股定理可得AC=J5，再由勾股定理逆定理可得AACD為直角三角形，即可求得.解：如圖,

連接AC

.AB=5C=1,ZB=90°

；?AC=&，NBAC=45°

又：CD=8，AD=1.AC=72

ACD為直角三角形

ZCAD=90°

ABAD=135°

【點睛】

本題考查勾股定理和勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理證明直角三角形是解題關(guān)鍵.

17.如圖△AC8和AECD都是等腰直角三角形，C4=CB,CE=CD，△ACS頂點A在AECD的斜邊DE

上，求證：AE2+AD2=2AC2.

【答案】證明見解析.

【解析】

連結(jié)BD,易證△E4CMAZ)3C(S4S),即BD=AE、AC=BC.又可證明出NADB=90。，再結(jié)合勾股定理即可得到所

要證明的等式是成立的.證明：如圖，連結(jié)BD,

ZECA+ZACD=ADCB+ZACD=90°,

...ZECA=ZDCB.

AC^BC

，在AEAC和ADBC中，《NECA=NOCB,

CE=CD

■■■^EAC^DBCCSAS).

..AE=BD,NCDB=NE=45。.

又,：Z￡Z)C=45°,

ZADB^9Q0.

???在RsADB中，AB2=AD2+BD2，

???AB2=AD2+AE2-

在Rt^ABC中，AB2=AC2+BC2=2AC2，

.--2AC2=AD2+AE2.

【點睛】

本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理.靈活應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

18.如圖，在AABC中，AB^AC,ABAC=90°.BD平分NA6C，CE±BD,垂足是E，84和CE的

延長線交于點F.

(1)在圖中找出與△45。全等的三角形，并說出全等的理由;

(2)說明3D=2CE；

(3)如果AD=2，求48的長.

【答案】(1)△ABDS△ACF,理由見解析；(2)見解析；(3)AB=2+2五

【解析】

(1)根據(jù)等角的余角相等，推出ZABDZACF,用ASA即可判定△AB醛AACF：

(2)根據(jù)ASA證明△FBE合△CBE,得到EF=CE,結(jié)合BD=CF即可得證；

(3)過D作DMLBC,根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得DM=AD=2,易得△CDM為等腰直角三角形,

可得CD=J^DM,利用AB=AC=AD+CD即可得出答案.(1)△ABD2△ACF,理由如下：

NBAC=90°,CE±BD

ZABD+ZF=90",ZACF+ZF=90°

/.ZABD=ZACF

在4ABD和4ACF中，

---ZABD=ZACF,AB=AC,ZBAD=ZCAF=90°

△ABDS△ACF(ASA)

(2)BD平分NABC

ZFBE=ZCBE

在4FBE和會CBE中，

ZFBE=ZCBE,BE=BE,ZBEF=ZBEC=90°

△FBE空△CBE(ASA)

EF=CE

又；AAB醛AACF

BD=CF=2CE

(3)如圖，過D作DMJ_BC,

「BD平分NABC,DA±BF,DM±BC

DM=AD=2,

又「ZBAC=90°,AB=AC

△ABC為等腰直角三角形

/.ZDCM=45°

-.?DMC=90"

A△CDM為等腰直角三角形

CD=72DM=2五，

.AB=AC=AD+CD=2+2忘

【點睛】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，尋找全等條件是解題的關(guān)鍵.

19.八年級1班松松同學(xué)學(xué)習(xí)了"勾股定理”之后，為了測量如圖的風(fēng)箏的高度CE,測得如下數(shù)據(jù)：

①測得BD的長度為8米：（注：BDJLCE）

②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線BC的長為17米;

③牽線放風(fēng)箏的松松身高1.6米.

（1）求風(fēng)箏的高度CE.

（2）若松松同學(xué)想風(fēng)箏沿CD方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米?

【答案】（1）風(fēng)箏的高度CE為16.6米；（2）往回收線7米.

【解析】

在&中應(yīng)用勾股定理求得然后利用求解即可；

（1）ABOCCD,CE=CD+1.6

（2）根據(jù)題意得到示意圖，且根據(jù)第（1）問求得DF,然后在尸中使用勾股定理即可求得BF,最終利

用BC-BF即可求解.（1）在R/7W0C中，根據(jù)勾股定理得：

CD=^BC2-BD2=V172-82=15（米）

CE=CD+1.6=15+1.6=16.6（米）

CE=16.6（米）

（2）根據(jù)題意得到下圖：

???CD=15

FD=CD-9=15-9=6（米）

.?.在&AB。尸中，由勾股定理得：BF=yjBCT+FD2=782+62=10

BC-BF=17-10=7（米）

應(yīng)該往回收線7m.

【點睛】

本題考查了勾股定理的應(yīng)用，其中第(2)問一定要注意收線時，人的位置不動，要和梯子滑落問題做好區(qū)分.

20.如圖，一艘輪船位于燈塔C的北偏東30。方向上的A處，且A處距離燈塔C處80海里，輪船沿正南方向勻

速航行一段時間后，到達位于燈塔C的東南方向上的B處.

(1)求燈塔C到達航線AB的距離；

(2)若輪船的速度為20海里/時，求輪船從A處到B處所用的時間(結(jié)果保留根號).

【答案】(1)40海里；(2)2+2后小時.

【解析】

（1）過點C作CD_LAB,然后根據(jù)含30。的直角三角形性質(zhì)；

（2）根據(jù)勾股定理求AB得長度，然后利用時間=路程+速度公式求解.解：（1）過點C作CD_LAB,

由題意可知CNIIAB,ZNCA=30°

ZCAB=30"

.,.在RSACD中，CO=，AC=LX80=40

22

答：點C到AB的距離為40海里；

（2）由題意可得：ZMCB=45"

.?.在RtACDB中，ZDCB=45°

DB=CD=40

在RtAACD中，AD=JAC?_CD?=406

AB=AD+DB=40+40.X/3

輪船從A處到B處所用的時間為竺土"叵=2+26（小時）.

20

【點睛】

本題考查方位角，勾股定理，及含30。直角三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理和性質(zhì)，正確計算是解題關(guān)鍵.

21.如圖，地面上放著一個小凳子，點A距離墻面40cm,在圖①中，一根細(xì)長的木桿一端與墻角重合，木桿

靠在點A處，04=50cm.在圖②中，木桿的一端與點5重合，另一端靠在墻上點C處.

(1)求小凳子的高度；

(2)若OC=90cm,木桿的長度比A8長60cm,求木桿的長度和小凳子坐板的寬A3.

【答案】(1)30cm；(2)木桿長100cm,AB=40cm.

【解析】

(1)如圖①，過A作AM垂直于墻面，垂足于點M，由AM=40cm,利用勾股定理

在Rt^AOM中，OM=4AO2-AM2=30(cm)即可；

(2)如圖②，延長84交墻面于點N,可得NBNC=90。,利用勾股定理在RtABCN中，BN2+CN2=BC2

構(gòu)造方程(40+x)2+6()2=(60+x)2求解即可.解：(1)如圖①，過A作AM垂直于墻面，垂足于點M，

根據(jù)題意可得：AM=40cm，

在R/AAOM中，

OM=4AO1-AM-=7502-402=30(cm)，

即凳子的高度為30cm

（2）如圖②，延長84交墻面于點N,可得N8NC=90。，

設(shè)=m，則CB=x+60,BN=x+40,OV=90-30=60,

在RtABCTV中，BN2+CN2=BC2>

(40+X)2+602=(60+X)2,

x=40,

BC=60+40=100(cm).

本題考查勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理應(yīng)用的條件與結(jié)論，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合條件的圖形是解題關(guān)鍵.

22.如圖，在AABC中，ABAC=90°，AB=A。，點。是6c上一動點、連接AD，過點A作A￡，AT＞，

并且始終保持AE=AD，連接C￡,

（1）求證：^ABD=^ACE；

（2）若AE平分NZME交BC于F，

①探究線段30，DF，R?之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②若B￡>=3，CF=4.求A0的長,

A

E

【答案】（1）見詳解（2）①結(jié)論：BD2+FC=DF2>證明見詳解②36

【解析】

（1）根據(jù)S4S,只要證明NB4￡>=NC4E即可解決問題；

（2）①結(jié)論：BD2+FC=DF1■連接七廠，進一步證明NEb=9（）°,DF=EF，再利用勾股定理即

可得證；②過點A作AGL8C于點G,在中求出AG、DG即可求解.解：（1）;AELAD

???ZDAC+ZCAE=90°

ZBAC=90°

ZDAC+ZBAD=90°

ABAD=/CAE

二在△ABO和△ACE中

AB=AC

<7.BAD=ZCAE

AD=AE

■-AABO2△AC￡（WS）

（2）①結(jié)論：BD2+FC=DF2

證明：連接EF，如圖:

A

???/XABD^AACE

NB=ZACE,BD=CE

NECF=ZBCA+ZACE=ZBCA+ZB=90°

FC2+CE2=EF-

???FC2+BD2=EF2

■■AE平分NZM￡

???ZDAF=NEAF

在八DAF和XEAF中

AD=AE

<ZDAF=ZEAF

AF=AF

/\DAF^AE4F(SAS)

DF=EF

???FC2+BD2=DF2

即BD2+FC=DF2

②過點4作AGLBC于點G,如圖:

A

由①可知。/2=302+/?！?32+42=25

???DF=5

BC=BD+DF+FC=3+5+4=12

AB^AC，AGLBC

：.BG=AG=-BC=-xl2=6

22

DG=BG-BD=6-3=3

???在R/AADG中，AD=^DG2+AG2=732+62=375

故答案是：（1）見詳解（2）①結(jié)論：BD2+FC2=DF2＞證明見詳解②3行

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì).綜合性較