2024屆浙江省富陽市第二中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆浙江省富陽市第二中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在銳角中ΔABC，角A,B所對的邊長分別為a,b.若2asinA．π12B．π6C．π2．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，若，，，則、、的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．3．10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有（）.A． B． C． D．4．已知在R上是奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則（）A．-2 B．2 C．-98 D．985．已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C關(guān)系是()A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C6．從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)事件為“三件產(chǎn)品全不是次品”，事件為“三件產(chǎn)品全是次品”，事件為“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論正確的是（）A．事件與互斥 B．事件與互斥C．任何兩個事件均互斥 D．任何兩個事件均不互斥7．下列不等式正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則8．在正項等比數(shù)列中，，數(shù)列的前項之和為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期為，最大值為1 B．的最小正周期為，最大值為C．的最小正周期為，最大值為1 D．的最小正周期為，最大值為10．在中，若，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知均為正數(shù)，則的最大值為______________.12．將正偶數(shù)按下表排列成列，每行有個偶數(shù)的蛇形數(shù)列（規(guī)律如表中所示），則數(shù)字所在的行數(shù)與列數(shù)分別是_______________.第列第列第列第列第列第行第行第行第行……13．已知，為銳角，且，則__________．14．如果是奇函數(shù)，則=.15．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為__________．16．若一組樣本數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在數(shù)列中，，，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項和.18．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為邊上一點，為的角平分線，，．（1）求的值：（2）求面積的最大值．19．已知.(1)求與的夾角；(2)求.20．某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)千件需另投人成本萬元.當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時，萬元，每千件產(chǎn)品的售價為50萬元，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.（1）寫出年利潤萬元關(guān)于千件的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時該廠當(dāng)年的利潤最大？21．若數(shù)列中存在三項，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱為“等比源數(shù)列”。（1）在無窮數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式；（2）在（1）的結(jié)論下，試判斷數(shù)列是否為“等比源數(shù)列”，并證明你的結(jié)論；（3）已知無窮數(shù)列為等差數(shù)列，且，（），求證：數(shù)列為“等比源數(shù)列”.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】試題分析：∵2a考點：正弦定理解三角形2、B【解題分析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，由對數(shù)的性質(zhì)可得出，由偶函數(shù)的性質(zhì)得出，比較出、、的大小關(guān)系，再利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【題目詳解】，則函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在該函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，，由換底公式得，由函數(shù)的性質(zhì)可得，對數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，則，指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則，即，，因此，.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系，同時也考查了利用中間值法比較指數(shù)式和代數(shù)式的大小關(guān)系，涉及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.3、B【解題分析】

根據(jù)所給數(shù)據(jù)，分別求出平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，然后進(jìn)行比較可得選項.【題目詳解】，中位數(shù)為，眾數(shù)為.故選：B.【題目點撥】本題主要考查統(tǒng)計量的求解，明確平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求解方法是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).4、A【解題分析】

由在R上是奇函數(shù)且周期為4可得，即可算出答案【題目詳解】因為在R上是奇函數(shù)，且滿足所以因為當(dāng)時，所以故選：A【題目點撥】本題考查的是函數(shù)的奇偶性和周期性，較簡單.5、B【解題分析】

由集合A，B，C，求出B與C的并集，判斷A與C的包含關(guān)系，以及A，B，C三者之間的關(guān)系即可．【題目詳解】由題BA，∵A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即BC，則B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故選：B．【題目點撥】此題考查了集合間的基本關(guān)系及運算，熟練掌握象限角，銳角，以及小于90°的角表示的意義是解本題的關(guān)鍵，是易錯題6、B【解題分析】

根據(jù)互斥事件的定義，逐個判斷，即可得出正確選項．【題目詳解】為三件產(chǎn)品全不是次品，指的是三件產(chǎn)品都是正品，為三件產(chǎn)品全是次品，為三件產(chǎn)品不全是次品，它包括一件次品，兩件次品，三件全是正品三個事件由此知：與是互斥事件；與是包含關(guān)系，不是互斥事件；與是互斥事件，故選B．【題目點撥】本題主要考查互斥事件定義的應(yīng)用．7、B【解題分析】試題分析：A.若c<0，則不等號改變，若c=0，兩式相等，故A錯誤；B.若，則，故，故B正確；C.若b=0，則表達(dá)是不成立故C錯誤；D.c=0時錯誤.考點：不等式的性質(zhì).8、B【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，即可解出答案?！绢}目詳解】故選B【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，同底對數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題。9、D【解題分析】

結(jié)合二倍角公式，對化簡，可求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【題目詳解】由題意，，所以，當(dāng)時，取得最大值為.由函數(shù)的最小正周期為，故的最小正周期為.故選：D.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)周期性與最值，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

由正弦定理構(gòu)造方程即可求得結(jié)果.【題目詳解】由正弦定理得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查正弦定理解三角形的問題，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)分子和分母的特點把變形為，運用重要不等式，可以求出的最大值.【題目詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)且時取等號）,（當(dāng)且僅當(dāng)且時取等號），因此的最大值為.【題目點撥】本題考查了重要不等式，把變形為是解題的關(guān)鍵.12、行列【解題分析】

設(shè)位于第行第列，觀察表格中數(shù)據(jù)的規(guī)律，可得出，由此可求出的值，再觀察奇數(shù)行和偶數(shù)行最小數(shù)的排列，可得出的值，由此可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)位于第行第列，由表格中的數(shù)據(jù)可知，第行最大的數(shù)為，則，解得，由于第行最大的數(shù)為，所以，是表格中第行最小的數(shù)，由表格中的規(guī)律可知，奇數(shù)行最小的數(shù)放在第列，那么.因此，位于表格中第行第列.故答案為：行列.【題目點撥】本題考查歸納推理，解題的關(guān)鍵就是要結(jié)合表格中數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)的規(guī)律來進(jìn)行推理，考查推理能力，屬于中等題.13、【解題分析】

由題意求得，再利用兩角和的正切公式求得的值，可得的值．【題目詳解】，為銳角，且，即，．再結(jié)合，則，故答案為．【題目點撥】本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14、－2【解題分析】試題分析：∵，∴，∴，∴=-2考點：本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)點評：對于定義域為R的奇函數(shù)恒有f(0)=0.利用此結(jié)論可解決此類問題15、【解題分析】

空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于原點對稱，每個坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù).【題目詳解】空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于原點對稱，每個坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù).點關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為故答案為：【題目點撥】本題考查了空間直角坐標(biāo)系關(guān)于原點對稱，屬于簡單題.16、【解題分析】因為該組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2017，所以，解得，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由題意知，數(shù)列是等差數(shù)列，可設(shè)該數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件列方程解出的值，再利用等差數(shù)列的通項公式可求出數(shù)列的通項公式；（2）先求出數(shù)列的通項公式，并將該數(shù)列的通項裂項，然后利用裂項法求出數(shù)列的前項和.【題目詳解】（1）對任意的，，則數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列的公差為，則，解得，；（2），因此，.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式，同時也考查了裂項求和法，解題時要熟悉等差數(shù)列的幾種判斷方法，同時也要熟悉裂項求和法對數(shù)列通項結(jié)構(gòu)的要求，考查運算求解能力，屬于中等題.18、（1）（2）3【解題分析】

（1）由，，根據(jù)三角形面積公式可知，，再根據(jù)角平分線的定義可知，到，的距離相等，所以，即可求出；（2）先根據(jù)（1）可得，，由平方關(guān)系得，再根據(jù)三角形的面積公式，可化簡得，然后根據(jù)基本不等式即可求出面積的最大值．【題目詳解】（1）如圖所示：因為，所以．又因為為的角平分線，所以到，的距離相等，所以所以．（2）由（1）及余弦定理得：所以，又因為所以，所以又因為且，故所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號．所以面積的最大值為．【題目點撥】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，以及利用基本不等式求最值，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由得到，又代入夾角公式，求出的值；（2）利用公式進(jìn)行模的求值.【題目詳解】（1）因為，所以，因為，因為，所以.（2）.【題目點撥】本題考查數(shù)量積的運算及其變形運用，特別注意之間關(guān)系的運用與轉(zhuǎn)化，考查基本運算能力.20、（1）（2）100【解題分析】

（1）由于每生產(chǎn)千件需另投人成本受產(chǎn)量的影響有變化，根據(jù)題意，所以分當(dāng)時和當(dāng)時，兩種情況進(jìn)行討論，然后根據(jù)利潤的定義寫出解析式.（2）根據(jù)（1）的利潤函數(shù)為，當(dāng)時，用二次函數(shù)法求最大值；當(dāng)時，用基本不等式求最大值.最后兩段中取最大的為利潤函數(shù)的最大值，相應(yīng)的x的取值即為此時最大利潤時的產(chǎn)量.【題目詳解】（1）根據(jù)題意當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上：.（2）由（1）知，當(dāng)時，，當(dāng)時，的最大值為950萬.當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，的最大值為1000萬.綜上：當(dāng)產(chǎn)量為100千件時，該廠當(dāng)年的利潤最大.【題目點撥】本題主要考查了分段函數(shù)的實際應(yīng)用，還考查了建模，運算求解的能力，屬于驃題.21、（1）；（2）不是，證明見解析；（3）證明見解析.【解題分析】

（1）由，可得出，則數(shù)列為等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項公式可間接求出；（2）假設(shè)數(shù)列為“等比源數(shù)列”，則此數(shù)列中存在三項成等比數(shù)列，可得出，展開后得出，然后利用數(shù)的奇偶性即可得出結(jié)論；（3）設(shè)等差數(shù)列的公差為，假設(shè)存在三項使得，展開得出，從而可得知，當(dāng)，時，原命題成立.【題目詳解】（1），得，即，且.所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，因此，；（2）數(shù)列不是“等比源數(shù)列”，下面用反證法來證明.假設(shè)數(shù)列是“等比源數(shù)列”，則存在三項、、，設(shè).由于數(shù)列為單調(diào)遞增的正項數(shù)列，則，所以.得，化簡得，等式兩邊同時除以得，，且、、，則，，，，則為偶數(shù)，為