數(shù)理力學(xué)基礎(chǔ)

北京航空航天大學(xué)第2講數(shù)理力學(xué)根底北京航空航天大學(xué)第2講數(shù)理力學(xué)根底2.1矩陣算法2.2彈性力學(xué)根底2.3泛函和變分法北京航空航天大學(xué)2.1矩陣算法線性方程組的表示行向量和列向量矩陣加、減、乘法運(yùn)算矩陣的轉(zhuǎn)置、對(duì)稱矩陣、單位矩陣矩陣行列式矩陣求逆矩陣的微分和積分正定矩陣〔正定二次型〕北京航空航天大學(xué)線性方程組的表示求解方法：高斯消元法、迭代法北京航空航天大學(xué)行向量和列向量北京航空航天大學(xué)矩陣加、減、乘法運(yùn)算北京航空航天大學(xué)對(duì)稱方陣矩陣轉(zhuǎn)置、對(duì)稱矩陣、單位矩陣北京航空航天大學(xué)或矩陣行列式奇異矩陣(方陣)北京航空航天大學(xué)如果方陣A的行列式那么其逆存在，記為A的伴隨矩陣矩陣的逆對(duì)于：線性方程組的求解，變?yōu)榍蠼庀禂?shù)矩陣的逆矩陣北京航空航天大學(xué)矩陣的微分和積分北京航空航天大學(xué)二次型：含有n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式假設(shè)取正定二次型那么北京航空航天大學(xué)利用矩陣及其運(yùn)算，二次型可表示為A:對(duì)稱矩陣正定二次型：設(shè)為實(shí)二次型，如果對(duì)于任意的非零實(shí)向量X，都有A:正定矩陣北京航空航天大學(xué)關(guān)于正定矩陣正定矩陣是特殊的對(duì)稱實(shí)矩陣正定矩陣的對(duì)角元aii>0正定矩陣的行列式|A|>0A為正定矩陣的充要條件是A的所有順序主子式皆大于0北京航空航天大學(xué)二次型的微商對(duì)向量x各元素的偏導(dǎo)數(shù)北京航空航天大學(xué)2.2彈性力學(xué)根底關(guān)于彈性力學(xué)五個(gè)根本假定外力和內(nèi)力應(yīng)力、應(yīng)變、位移指標(biāo)記法和求和約定張量及Voigt標(biāo)記平面問題根本方程及邊界條件三維問題根本方程及邊界條件北京航空航天大學(xué)關(guān)于彈性力學(xué)彈性力學(xué)是研究彈性體在約束和外載荷作用下內(nèi)力和變形分布規(guī)律的一門學(xué)科。力學(xué)學(xué)科研究對(duì)象特征中學(xué)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)無(wú)變形理論力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系及剛體無(wú)變形材料力學(xué)簡(jiǎn)單變形體(構(gòu)件)小變形結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)量眾多的簡(jiǎn)單變形體小變形彈性力學(xué)任意變形體小變形彈塑性力學(xué)任意變形體任意變形力學(xué)學(xué)科各分支的關(guān)系北京航空航天大學(xué)五個(gè)根本假定連續(xù)性：無(wú)空隙，能用連續(xù)函數(shù)描述均勻性：各個(gè)位置物質(zhì)特性相同各向同性：同一位置的物質(zhì)各個(gè)方向上具有相同特性線彈性：變形和外力的關(guān)系是線性的，外力去除后，物體可恢復(fù)原狀小變形：變形遠(yuǎn)小于物體的幾何尺寸，建立根本方程時(shí)可以忽略高階小量。北京航空航天大學(xué)外力和內(nèi)力體力—分布在物體體積內(nèi)的力，例如重力和慣性力。面力—分布在物體外表上的力，例如接觸壓力、流體壓力。分布力：連續(xù)分布在外表某一范圍內(nèi)集中力：分布力的作用面積很小時(shí)的簡(jiǎn)化內(nèi)力—外力作用下，物體內(nèi)部相連各局部之間產(chǎn)生的相互作用力。北京航空航天大學(xué)位移、應(yīng)力、應(yīng)變對(duì)變形體受力和變形進(jìn)行描述的根本變量位移——物體變形后的形狀應(yīng)力——物體的受力狀態(tài)應(yīng)變——物體的變形程度北京航空航天大學(xué)位移位移就是位置的移動(dòng)。物體內(nèi)任意一點(diǎn)的位移，用位移在x，y，z坐標(biāo)軸上的投影u、v、w表示。北京航空航天大學(xué)應(yīng)力—物體內(nèi)某一點(diǎn)的內(nèi)力F1F2F3

應(yīng)力S在其作用截面上的法向分量為正應(yīng)力σ，切向分量稱為剪應(yīng)力，用τ表示。北京航空航天大學(xué)顯然，點(diǎn)p在不同截面上的應(yīng)力是不同的。為分析點(diǎn)p的應(yīng)力狀態(tài)，即通過p點(diǎn)的各個(gè)截面上的應(yīng)力的大小和方向，在p點(diǎn)取出的一個(gè)無(wú)窮小平行六面體。用六面體外表的應(yīng)力分量來(lái)表示p點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。北京航空航天大學(xué)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)無(wú)窮小正六面體,六面體的各棱邊邊平行于坐標(biāo)軸北京航空航天大學(xué)第一個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力的作用面，第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力的作用方向。正應(yīng)力由于作用外表與作用方向垂直，通常用一個(gè)下標(biāo)。應(yīng)力分量的方向定義：如果某截面上的外法線是沿坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)截面上的應(yīng)力分量以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?；如果某截面上的外法線是沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個(gè)截面上的應(yīng)力分量以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎１本┖娇蘸教齑髮W(xué)剪應(yīng)力互等物體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量來(lái)表示

或北京航空航天大學(xué)應(yīng)變物體的形狀改變可以歸結(jié)為長(zhǎng)度和角度的改變。各線段的單位長(zhǎng)度的伸縮，稱為正應(yīng)變，用ε表示。兩個(gè)垂直線段之間的直角的改變，用弧度表示，稱為剪應(yīng)變，用γ表示。dL+dudL北京航空航天大學(xué)與應(yīng)力的定義類似，物體內(nèi)任意一點(diǎn)的變形，可以用六個(gè)應(yīng)變分量表示：或北京航空航天大學(xué)指標(biāo)記法和求和約定自由指標(biāo)：表達(dá)式每一項(xiàng)中只出現(xiàn)一次的下標(biāo)，如σij,其中i,j為自由指標(biāo)，可以自由變化。三維問題中，i,j的變化范圍為1,2,3，分別和直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸x,y,z對(duì)應(yīng)。重復(fù)指標(biāo)〔啞指標(biāo)〕：表達(dá)式的每一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)，如aijxj=bi，j為啞指標(biāo)。求和約定：?jiǎn)≈笜?biāo)意味著求和。愛因斯坦求和約定在微分幾何、張量分析、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)等學(xué)科中,對(duì)于表達(dá)式和推導(dǎo)的簡(jiǎn)化,有著十分重要的作用。北京航空航天大學(xué)按一般寫法：用指標(biāo)記法，那么為〔指標(biāo)變化范圍為1,2,3〕采用指標(biāo)記法后，方程(組)的表達(dá)形式得到簡(jiǎn)練。北京航空航天大學(xué)張量及Voigt標(biāo)記大局部連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和有限元相關(guān)的文獻(xiàn)采用張量符號(hào)和指標(biāo)記法張量的定義：不同坐標(biāo)系下滿足一定變換關(guān)系的物理量,如u,σ,ε張量通常采用指標(biāo)記法表示0階張量(標(biāo)量)：無(wú)自由指標(biāo)的量1階張量(矢量)：有1個(gè)自由指標(biāo)的量，如ui2階張量：有2個(gè)自由指標(biāo)的量，如σij,εijn階張量：有n個(gè)自由指標(biāo)的量北京航空航天大學(xué)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)都符合張量的定義，指標(biāo)記法為σij和εij，是二階張量北京航空航天大學(xué)對(duì)張量的理解張量不隨坐標(biāo)系的改變而改變例如位移矢量ui

：無(wú)論從哪一個(gè)坐標(biāo)系觀察，它反映的總是A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)的客觀事實(shí)，不隨觀察者所在的坐標(biāo)系而改變。再如應(yīng)力張量σij和應(yīng)變張量εij

，盡管在不同的坐標(biāo)系中具有不同的分量，但是它們所描述的卻是某點(diǎn)的同一個(gè)應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)。北京航空航天大學(xué)Voigt標(biāo)記含義：在有限元編程中，常常將對(duì)稱的二階張量寫成列向量，將非常棘手的對(duì)稱四階張量〔如彈性系數(shù)矩陣Dijkl〕轉(zhuǎn)換成二階張量。這種轉(zhuǎn)換過程稱為voigt標(biāo)記。轉(zhuǎn)換規(guī)那么：應(yīng)力張量〔動(dòng)力學(xué)量〕的轉(zhuǎn)換應(yīng)變張量〔運(yùn)動(dòng)學(xué)量〕的轉(zhuǎn)換北京航空航天大學(xué)應(yīng)力張量的Voigt標(biāo)記北京航空航天大學(xué)應(yīng)變張量的Voigt標(biāo)記剪切應(yīng)變需要乘以2，這是源于能量表達(dá)式的需要。北京航空航天大學(xué)彈性系數(shù)矩陣的Voigt標(biāo)記北京航空航天大學(xué)平面問題及其根本方程彈性體在滿足一定條件時(shí)，其變形和應(yīng)力的分布規(guī)律可以用在某一平面內(nèi)的變形和應(yīng)力的分布規(guī)律來(lái)代替，這類問題稱為平面問題。平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。北京航空航天大學(xué)平面應(yīng)力問題很薄的等厚薄板，只在板邊上受到平行于板面并且不沿厚度變化的面力，體力也平行于板面且不沿厚度變化。由于板很?。罕本┖娇蘸教齑髮W(xué)平面應(yīng)變問題很長(zhǎng)的柱形體，支承情況不沿長(zhǎng)度變化，在柱面上受到平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力，體力也如此分布。北京航空航天大學(xué)三大類根本方程在彈性力學(xué)中針對(duì)微小的單元體建立根本方程，把復(fù)雜形狀彈性體的受力和變形分析問題歸結(jié)為偏微分方程組的邊值問題。彈性力學(xué)的根本方程包括平衡方程：內(nèi)力和外力的關(guān)系幾何方程：應(yīng)變和位移的關(guān)系物理方程〔本構(gòu)方程〕：應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系北京航空航天大學(xué)平衡方程ab=dx

ad=dy北京航空航天大學(xué)習(xí)慣上張量指標(biāo)形式：?jiǎn)挝惑w積力北京航空航天大學(xué)幾何方程北京航空航天大學(xué)張量指標(biāo)形式：北京航空航天大學(xué)物理方程平面應(yīng)力問題：平面應(yīng)變問題：張量指標(biāo)形式：北京航空航天大學(xué)邊界條件oxyds外法線n的方向余弦

l=dy/ds

m=dx/ds北京航空航天大學(xué)位移BC力BC張量指標(biāo)形式：北京航空航天大學(xué)三維問題根本方程及邊界條件可以將平面問題的根本方程推廣到三維問題。根本變量如下：位移：應(yīng)變：應(yīng)力：北京航空航天大學(xué)平衡方程柱坐標(biāo)系下：北京航空航天大學(xué)幾何方程北京航空航天大學(xué)物理方程北京航空航天大學(xué)邊界條件北京航空航天大學(xué)三維問題根本方程的張量指標(biāo)形式平衡方程：幾何方程：物理方程：邊界條件：北京航空航天大學(xué)軸對(duì)稱問題軸對(duì)稱物體：某一平面圖形繞平面上某一軸旋轉(zhuǎn)形成的回轉(zhuǎn)體。此平面稱子午面。軸對(duì)稱物體＋軸對(duì)稱約束＋軸對(duì)稱載荷＝軸對(duì)稱系統(tǒng)對(duì)軸對(duì)稱系統(tǒng)的應(yīng)力分析＝軸對(duì)稱問題北京航空航天大學(xué)受均布內(nèi)壓作用的長(zhǎng)圓筒北京航空航天大學(xué)研究軸對(duì)稱問題時(shí)通常采用圓柱坐標(biāo)系(r,θ,z)，以z軸為對(duì)稱軸由于對(duì)稱性:4個(gè)應(yīng)力分量，4個(gè)應(yīng)變分量，2個(gè)位移分量北京航空航天大學(xué)軸對(duì)稱問題的平衡方程建立柱坐標(biāo)系北京航空航天大學(xué)軸對(duì)稱問題的幾何方程北京航空航天大學(xué)軸對(duì)稱問題的物理方程北京航空航天大學(xué)北京航空航天大學(xué)2.3

泛函和變分法泛函也是一種“函數(shù)〞，它的獨(dú)立變量一般不是通常函數(shù)的“自變量〞，而是通常函數(shù)本身。泛函是函數(shù)的函數(shù)。變量函數(shù)函數(shù)泛函北京航空航天大學(xué)為什么“任意兩點(diǎn)間的最短連線是連接兩端的直線〞？曲線y=y(x)—是x函數(shù)曲線的長(zhǎng)度L=L(y(x))—是y(x)的泛函在xy平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A、B，連接A、B有很多條曲線y=y(x)，x是自變量，y是獨(dú)立函數(shù)。曲線的長(zhǎng)度L是隨不同的曲線而定的，L是一個(gè)泛函。北京航空航天大學(xué)泛函的定義設(shè){y(x)}是給定的函數(shù)集，如果對(duì)于這個(gè)函數(shù)集中任一函數(shù)y(x)恒有某個(gè)確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為П(y(x))，那么П(y(x))是定義于集合{y(x)}上的一個(gè)泛函。泛函定義域內(nèi)的函數(shù)為可取函數(shù)或容許函數(shù)，y(x)稱為泛函П的變量函數(shù)。泛函П(y(x))與可取函數(shù)y(x)有明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系。泛函的值是由一條可取曲線的整體性質(zhì)決定的。北京航空航天大學(xué)變分法變分法是在一組容許函數(shù)中選定一個(gè)函數(shù)，使給定的泛函取駐值〔研究求泛函極大(小)值的方法〕。對(duì)變分法有重大影響的三個(gè)歷史命題最速降線問題〔1696,JohnBornouli〕短程線問題〔1697,JohnBornouli〕等周問題〔1774,歐拉〕北京航空航天大學(xué)最速降線問題試確定出連結(jié)不在同一鉛直線上的A、B兩點(diǎn)的一條曲線，使得當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿著這條曲線在重力作用下，由A運(yùn)動(dòng)到B所用的時(shí)間最少．北京航空航天大學(xué)北京航空航天大學(xué)北京航空航天大學(xué)北京航空航天大學(xué)短程線問題北京航空航天大學(xué)北京航空航天大學(xué)二類變分問題北京航空航天大學(xué)變分算符變量函數(shù)的變分對(duì)于泛函П(y(x))定義域中的任一元素y(x)，當(dāng)y(x)由y0(x)變?yōu)閥1(x)，那么稱y1(x)-y0(x)為y(x)在y0(x)上的變分，記作δy=y1(x)-y0(x)，仍然是一個(gè)函數(shù)常記作變分δy和微分dy的差異變分δy—整個(gè)函數(shù)的改變微分dy—因x取不同值而產(chǎn)生