函數(shù)模型與數(shù)學建模問題2021年高一年級上冊學期數(shù)學期末考點（新人教必修）（原卷版）

精練15函數(shù)模型與數(shù)學建模問題

1.【山東省薄澤市2019-2020學年高一上學期期末聯(lián)考】為了預防某流感病毒，某學校對教室進行藥熏消

毒，室內每立方米空氣中的含藥量'（單位：毫克）隨時間X（單位：力）的變化情況如下圖所示，在藥

（1

物釋放的過程中，y與X成正比：藥物釋放完畢后，y與X的函數(shù)關系式為y=（。為常數(shù)），根

116J

據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題:

（1）寫出從藥物釋放開始，y與％之間的函數(shù)關系式.

（2）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室學習，那么從藥物釋放

開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學生才能回到教空？

2.【吉林省梅河口市三校2019-2020學年高一上學期期末聯(lián)考】2018年10月24日，世界上最長的跨海大

橋---港珠澳大橋正式通車.在一般情況下，大橋上的車流速度V（單位：千米/時）是車流密度X（單位：

輛/千米）的函數(shù).當橋下的車流密度達到220輛/千米時，將造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超

過20輛/千米時，車流速度為100千米/時.研究表明：當204x4220時，車流速度V是車流密度龍的一次

函數(shù).

（1）當0WXM220時，求函數(shù)V（x）的表達式；

（2）當車流密度X為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時）f（x）=x-V（x）

可以達到最大？并求出最大值.

3.【云南省昆明市2019-2020學年高一期末質量檢測】土豆學名馬鈴薯，與稻、麥、玉米、高粱一起被稱

為全球五大農作物.云南人愛吃土豆，在云南土豆也稱洋芋，昆明人常說“吃洋芋，長子弟”.2018年3月，

在全國兩會的代表通道里，云南農業(yè)大學名譽校長朱有勇院士，舉著一個兩公斤的土豆，向全國的媒體展

示，為來自家鄉(xiāng)的“山貨”代言，他自豪地說：“北京人吃的醋溜土豆絲，5盤里有4盤是我們?yōu)憸娣N的！”

（1）在菜市上，聽到小王叫賣：“洋芋便宜賣了，兩元一斤，三元兩斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤,

快來買啊！”結果一群人都在買六元五斤的.由此得到如下結論：一次購買的斤數(shù)越多，單價越低，請建立一

個函數(shù)模型，來說明以上結論；

（2）小王賣洋芋賺到了錢，想進行某個項目的投資，約定如下：①投資金額固定；②投資年數(shù)可自由選擇,

但最短3年，最長不超過10年；③投資年數(shù)x（xeN'）與總回報y的關系，可選擇下述三種方案中的一利I

方案一：當x=3時，y=6,以后無每增加1時，》增加2；方案二：y=方案三：y=（3）'.請

你根據(jù)以上材料，結合你的分析，為小王提供一個最佳投資方案.

4.【廣東省東莞市2019-2020學年高一期末】400米標準跑道由兩個平行的直道和兩個半徑相等的彎道組成,

大多數(shù)適宜的400米跑道兩端被建成半徑為35.00m至U38.00m之間的半圓.我市某學校新建成的400米跑道

平面圖如圖所示，跑道的兩端是兩個半徑為36m的半圓.以跑道的中心為原點，對稱軸為坐標軸建立如圖直

角坐標系.

（1）求第一象限內跑道的函數(shù)解析式；

（2）某4x100接力隊沿如圖所示跑道進行訓練，第三、四棒選手可以在點S處開始交接棒，終點尸設在

彎道與直道的交接處，點S到終點F的跑道長度為110米，求點S的坐標.（結果精確到米）.

參考數(shù)據(jù)：sin—?0.6,cos—?-0.8.

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5.【上海市上海中學2019-2020學年高一上學期期末】某環(huán)線地鐵按內、外線同時運行，內、外環(huán)線的長

均為30千米（忽略內、外環(huán)線長度差異），新調整的方案要求內環(huán)線列車平均速度為20千米/小時，外環(huán)線

列車平均速度為30千米/小時，現(xiàn)內、外環(huán)線共有18列列車全部投入運行，其中內環(huán)投入X列列車.

（1）寫出內、外環(huán)線乘客的最長候車時間（分鐘）分別關于X的函數(shù)解析式；

（2）要使內、外環(huán)線乘客的最長候車時間之差距不超過1分鐘，問內、外環(huán)線應各投入幾列列車運行？

（3）要使內、外環(huán)線乘客的最長候車時間之和最小，問內、外環(huán)線應各投入幾列列車運行？

6.【廣西欽州市2019-2020學年高一上學期期末】某電信公司為了加強新用5G技術的推廣使用，為該公司

的用戶制定了一套5G月消費返流量費的套餐服務方案;當月消費金額不超過100元時,按消費金額的8%進

行返還；當月消費金額超過100元時，除消費金額中的100元仍按8%進行返還外，若另超出100元的部分

消費金額為A元，則超過部分按21og5（A+l）進行返還，記用戶當月返還所得流量費y（單位:元），消費金

額x（單位:元）

（1）寫出該公司用戶月返還所得流量費的函數(shù)模型；

（2）如果用戶小李當月獲返還的流量費是12元，那么他這個月的消費金額是多少元？

7.【江西省吉安市2019-2020學年高一上學期期末】第七屆世界軍人運動會（7thCISMMilitaryWorldGa

mes）,簡稱‘'武漢軍運會”，于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行，共設置射擊、游泳、田徑籃球

等27個大項、329個小項.來自100多個國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技.會議期間，某公司欲采購海南某

水果種植基地的水果，公司王總經(jīng)理與該種植基地的負責人張老板商定一次性采購一種水果的采購價,（千

元/噸）與采購量x（噸）之間的函數(shù)關系的圖象如圖中的折線MNP所示（不包含端點M，但包含端點P）.

（1）求）'與X之間的函數(shù)關系式；

（2）已知該水果種植基地種植該水果的成本是8千元/噸，那么王總經(jīng)理的采購量為多少時，該水果基地在

這次買賣中所獲得利潤卬最大？最大利潤是多少？

8.【福建省龍巖市2019-2020學年高一上學期期末】一片森林原來面積為m計劃每年砍伐一些樹，每年砍

伐且使森林面積每年比上一年減少的百分比相同，當砍伐到原面積的一半時，所用時間是20年.為保護生態(tài)

環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的!，已知到今年為止，森林剩余面積為空”.

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（1）求每年砍伐面積的百分比；

（2）該森林今后最多還能砍伐多少年？

9.【湖北省宜昌市葛洲壩中學2019-2020學年高一上學期期末】美國對中國芯片的技術封鎖激發(fā)了中國‘'芯"

的研究熱潮.某公司研發(fā)的A,8兩種芯片都己經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金2千萬元，現(xiàn)在

準備投入資金進行生產.經(jīng)市場調查與預測，生產A芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入1千萬

元，公司獲得毛收入0.25千萬元；生產B芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金無（千萬元）的函數(shù)關

系為?=比"（%>0），其圖像如圖所示.

（1）試分別求出生產A