九年級數(shù)學（第24章 圓）24.2 圓的基本性質（滬科版 學習、上課課件）

24.2圓的基本性質第24章圓24.2.1圓逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2圓點與圓的位置關系圓的有關概念知識點圓知1－講11.圓的定義(1)描述性定義：在平面內，線段OP

繞著它固定的一個端點O

旋轉一周，則另一個端點P所形成的封閉曲線叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OP

的長為r叫做半徑.(2)集合觀點定義：圓可以看成是平面內到定點(圓心O)的距離等于定長(半徑r)的所有點組成的圖形.知1－講2.圓的表示法以點O

為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”.3.圓的特性(1)圓上各點到定點(圓心O)的距離都等于定長(半徑r)，即同圓的半徑相等.(2)平面內到定點(圓心O)的距離等于定長(半徑r)的所有點都在同一個圓上，即到圓心的距離等于半徑的點在圓上.知1－講特別提醒確定一個圓需要“兩個要素”，一是圓心：圓心定其位置；二是半徑：半徑定其大小.圓是一條封閉的曲線，曲線是“圓周”，而不能認為是“圓面”.“圓上的點”指圓周上的點.知1－練如圖24.2-1，△ABC

和△

ABD都為直角三角形，且∠C=∠D=90°.求證：A，B，C，D

四點在同一個圓上.例1知1－練解題秘方：找到AB

的中點O(即圓心)，證明A，B，C，D四點到點O

的距離相等即可.知1－練解法提醒本題運用數(shù)形結合思想，將證明“位置關系”轉化為證明“數(shù)量關系”，即將求證幾個點在同一個圓上轉化為證明這幾個點到某點(圓心)的距離相等.“到定點的距離相等(數(shù)量關系)的點在同一個圓上(位置關系)”是證明多點共圓問題的常用方法.知1－練證明：如圖24.2-1，取AB

的中點O，連接OC，OD.∵△ABC和△ABD

都為直角三角形，且∠ACB=∠ADB=90°，∴

DO，CO

分別為Rt△ABD和Rt△ABC

斜邊上的中線.∴OA=OB=OC=OD.∴A，B，C，D

四點在同一個圓上.知識點點與圓的位置關系知2－講2點與圓的位置關系設⊙O

的半徑為r，點P

到圓心的距離OP=d，則有：特點等價關系點在圓外點到圓心的距離大于半徑點在圓上點到圓心的距離等于半徑點在圓內點到圓心的距離小于半徑知2－講特別提醒符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號的左邊可以推出右邊；同時從符號的右邊也可以推出左邊.知2－練已知⊙O

的半徑r=5cm，圓心O

到直線l的距離d=OD=3cm，在直線l

上有P，Q，R

三點，且有PD=4cm，QD=5cm，RD=3cm，那么P，Q，R

三點與⊙O

的位置關系各是怎樣的？例2知2－練解題秘方：比較點到圓心的距離與半徑的大小確定點的位置情況.解法巧記點與圓的位置關系，d，r

關系是關鍵.d小于r在圓內，d等于r在圓上，d大于r在圓外.知2－練

知識點圓的有關概念知3－講3圓的相關概念的定義見下表：定義注意弦連接圓上任意兩點的線段叫做弦圓中有無數(shù)條弦，其中直徑是最長的弦直徑經(jīng)過圓心的弦叫做直徑知3－講定義注意弧、半圓、劣弧、優(yōu)弧(1)圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧；(2)圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；(3)大于半圓的弧叫做優(yōu)弧；(4)小于半圓的弧叫做劣弧弧包括優(yōu)弧、劣弧和半圓；半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧知3－講定義注意弓形由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形弓形不是弧等圓能夠重合的兩個圓叫做等圓.容易看出：半徑相等的兩個圓是等圓；反過來，同圓或等圓的半徑相等等圓只和半徑的大小有關，和圓心的位置無關知3－講定義注意等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧等弧只能出現(xiàn)在同圓或等圓中；等弧是全等的，而不僅僅是弧的長度相等知3－講特別提醒1.弦與直徑的關系：直徑是過圓心(最長)的弦，但弦不一定是直徑.2.弧與半圓的關系：半圓是弧，但弧不一定是半圓.3.弦與弧的關系：(1)弦是圓上兩點間的線段，圓中有無數(shù)條弦；弧是圓上兩點間的部分，是曲線，圓上有無數(shù)條弧.(2)每條弧對一條弦；而每條弦對的弧有兩條:一條優(yōu)弧、一條劣弧或兩個半圓.知3－練下列說法中，正確的有()①直徑是弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等弧；④長度相等的兩條弧是等??；⑤半圓是弧，弧不一定是半圓.A.1個

B.2個C.3個

D.4個例3知3－練解題秘方：緊扣圓的相關概念進行解答.警示誤區(qū)只有在同圓或等圓中才可能有等弧，等弧長度一定相等，但長度相等的弧不一定是等弧.知3－練解：直徑是最長的弦，故①正確；直徑是過圓心的弦，但弦不一定是直徑，故②錯誤；半圓是弧，半徑相等的兩個半圓能互相重合，所以是等弧，故③正確；只有在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧才是等弧，故④錯誤；弧分為劣弧、優(yōu)弧、半圓，故⑤正確.答案：C圓相關概念圓兩要素相關概念相關概念弦(直徑)弧(半圓)等圓(等弧)圓心半徑位置大小第24章圓24.2圓的基本性質24.2.2垂徑分弦逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2圓的軸對稱性垂徑定理垂徑定理的推論知識點圓的軸對稱性知1－講1圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.(1)圓的對稱軸有無數(shù)條.(2)“圓的對稱軸是直徑所在直線”或說成“圓的對稱軸是經(jīng)過圓心的直線”.知1－講警示誤區(qū)因為直徑是弦，弦是線段，而對稱軸是直線，所以不能說“圓的對稱軸是直徑”.知1－練[中考·張家界改編]下列圖形中，不是軸對稱圖形的是()例1知1－練解題秘方：由于圓的特殊軸對稱性，只需判斷圓內圖形是否是以過圓心的直線為對稱軸的軸對稱圖形即可.知識儲備判斷一個圖形是不是軸對稱圖形，關鍵看能否找到一條直線，使得沿著這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，若能，這個圖形是軸對稱圖形，否則不是.知1－練解：A.是軸對稱圖形；B.不是軸對稱圖形；C.是軸對稱圖形；D.是軸對稱圖形．答案：B知識點垂徑定理知2－講21.垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.2.示例如圖24.2-10，CD

是⊙O

的直徑，CD⊥AB

于點E，那么垂徑定理可用幾何語言表述為CD是直徑，CD⊥AB，

AE=BE，AD=BD，AC=BC︵︵︵︵知2－講特別提醒“垂直于弦的直徑”還可以是垂直于弦的半徑或過圓心垂直于弦的直線.其實質是：過圓心且垂直于弦的線段、直線均可.“兩條弧”是指弦所對的劣弧和優(yōu)弧或兩個半圓.知2－練

例2知2－練解題秘方：構造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求線段的長.方法提醒利用垂徑定理求線段長的方法：垂徑定理是解決圓中的計算、證明問題常用的知識，求線段長時，一般把半徑、圓心到弦的垂線段、弦的一半構建在一個直角三角形里，運用勾股定理求解，即用“垂徑定理+勾股定理”求解.知2－練

答案：B知2－練如圖24.2-12，在⊙O中，AB為⊙O

的弦，C，D是直線AB上兩點，且AC=BD.求證：△OCD

為等腰三角形.例3知2－練解題秘方：構建垂徑定理的基本圖形，結合線段垂直平分線的性質證明.解題通法證明線段相等、證明兩線垂直、證明角相等都經(jīng)常用到垂徑定理.在使用垂徑定理時，已知圓心，作垂直于弦的半徑(或直徑)或連半徑，是常用的作輔助線的方法.知2－練證明：如圖24.2-12，過點O

作OM⊥AB，垂足為M，則AM=BM.∵AC=BD，∴CM=DM.又∵OM⊥CD，∴OC=OD，即△

OCD為等腰三角形.知識點垂徑定理的推論知3－講31.推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.知3－講2.示例如圖24.2-13，CD

是⊙O

的直徑，AB

是弦(

非直徑)，AB

與CD

相交于點E，且AE=BE，那么CD

垂直于AB，并且AC=BC

，AD=BD.可用幾何語言表述為：CD是直徑，AE=BE，AB不是直徑

CD⊥AB，AD=BD，AC=BC︵︵︵︵︵︵︵︵知3－講3.弦心距圓心到弦的距離叫做弦心距.知3－講拓寬視野對于一條直線，如果具備下列五個條件中的任意兩個，那么一定具備其他三個：(1)過圓心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直徑)；(4)平分弦所對的劣?。?5)平分弦所對的優(yōu)弧.簡記為“知二推三”知3－練如圖24.2-14，AB，CD

是⊙

O的弦，M，N

分別為AB，CD的中點，且∠AMN=∠CNM.求證：AB=CD.例4知3－練解題秘方：緊扣弦的中點作符合垂徑定理推論的基本圖形，再結合全等三角形的判定和性質進行證明.解題通法證明兩條弦相等的方法：證明兩條弦相等，可以先證明弦的一半相等.根據(jù)垂徑定理的推論，連接圓心和弦的中點是常見的作輔助線的方法.知3－練證明：如圖24.2-14，連接OM，ON，OA，OC.∵O

為圓心，且M，N

分別為AB，CD

的中點，∴AB=2AM，CD=2CN，OM

⊥AB，ON⊥CD.∴∠OMA=∠ONC=90°.知3－練∵∠AMN=∠CNM，∴∠OMN=∠ONM.∴OM=ON.又∵OA=OC，∴Rt△OAM≌Rt△OCN.∴AM=CN.∴AB=CD.知3－練如圖24.2-15，一條公路的轉彎處是一段圓弧(AB)，點O

是這段弧所在圓的圓心，點C

是AB的中點，半徑OC

與AB相交于點D，AB=120m，CD=20m，求這段彎路所在圓的半徑.例5︵︵知3－練解題秘方：緊扣垂徑定理的推論，利用“平分弧，且經(jīng)過圓心”推出“垂直平分弦”，結合勾股定理求出半徑的長.方法點撥本題條件中出現(xiàn)弧的中點，根據(jù)垂徑定理的推論可知連接圓心和弧的中點的線垂直平分該弧所對的弦.知3－練

︵垂徑分弦圓的軸對稱性垂徑定理垂徑定理的推論平分弦平分弦所對的弧垂直于弦第24章圓24.2圓的基本性質24.2.3圓心角、弧、弦、弦心距間關系逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2圓的旋轉不變性、圓心角圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理的推論弧的度數(shù)與該弧所對圓心角的度數(shù)的關系知識點圓的旋轉不變性、圓心角知1－講11.圓的旋轉不變性圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心.圓具有旋轉不變性，即把圓繞圓心旋轉任意一個角度，所得的圖形都與原圖形重合.知1－講2.圓心角頂點在圓心的角叫做圓心角.如圖24.2-22，∠AOB

是AB

所對的圓心角，AB是∠AOB

所對的弧.一條弧所對的圓心角只有一個.︵︵知1－講特別提醒圓心角滿足的條件：1.頂點在圓心；2.兩條邊和圓相交.其中“頂點在圓心”是圓心角的必備條件.知1－練

例1知1－練解題秘方：過點O

作垂直于弦的線段，結合勾股定理求解.

知1－練

答案：C知識點圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理知2－講21.定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對弦的弦心距相等.2.示例如圖24.2-24，若∠AOB=∠A′OB′，OC⊥AB，OC′⊥A′B′，則AB=A′B′，AB=A′B′，OC=OC′.︵︵知2－講警示誤區(qū)不能忽略“在同圓或等圓中”這個前提，如果丟掉了這個前提，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等.如圖24.2-25，兩個圓的圓心相同，AB

與A′B′所對的圓心角相等，但AB≠A′B′，AB≠A′B′.︵︵︵︵知2－練如圖24.2-26，AB，CD

是⊙O的兩條直徑，弦CE∥AB.求證：BC=AE.例2︵︵解題秘方：構造圓心角，利用“在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等”證明.知2－練證明：如圖24.2-26，連接OE.∵OE=OC，∴∠C=∠E.∵CE∥AB，∴∠C=∠BOC，∠

E=∠AOE.∴∠BOC=∠AOE.∴BC=AE.︵︵知2－練技巧總結由例2的結論可知：在同圓中，圓的兩條平行弦所夾的弧相等.以后若遇到圓的兩條平行弦，可考慮運用它們所夾的弧相等證明兩條弧所對的弦、圓心角、所對弦的弦心距分別相等.知識點圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理的推論知3－講3

知3－講

︵︵︵︵知3－講圖示此推論可表示為：在同圓或等圓中，知3－練[模擬·上海]如圖24.2-28，O

是AD所在圓的圓心.已知點B，C

將AD三等分，那么下列四個選項中不正確的是()A.AC=2CD

B.AC=2CDC.∠AOC=2∠CODD.S扇形AOC=2S扇形COD例3︵︵︵︵知3－練解題秘方：利用在同圓中，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理的推論進行判斷.解法提醒在同一個圓中，弧、弦、圓心角和弦心距中只要有一組量相等，就能推出其他幾組量分別相等.線段有和差，弧也有和差.知3－練解：如圖24.2-28，連接AB，BC，OB.∵點B，C

將AD三等分，∴AB=BC=CD

.∴AB+BC=2CD，即AC=2CD.故A選項正確.∵AB=BC=CD，∴AB=BC=CD.∴AB+BC=2CD.∵AB+BC>AC，∴AC<2CD.故B選項不正確.︵︵︵︵︵︵︵︵︵︵︵︵知3－練∵AB=BC=CD，∴∠AOB=∠BOC=∠COD.∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠COD.故C選項正確.∵∠AOB=∠BOC=∠COD，OA=OB=OC=OD，∴S扇形AOB=S扇形BOC=S扇形COD.∴S

扇形AOC=S

扇形AOB+S

扇形BOC=2S

扇形COD.故D選項正確.︵︵︵答案：B知識點弧的度數(shù)與該弧所對圓心角的度數(shù)的關系知4－講41.1°的弧把頂點在圓心的周角等分成360份，每一份的圓心角是1°的角.因為同圓中相等的圓心角所對的弧相等，所以整個圓周也被等分成360份，我們把每一份這樣的弧叫做1°的弧.知4－講2.圓心角的度數(shù)與它所對弧的度數(shù)的關系一般地，n°的圓心角對著n°的弧，n°的弧對著n°的圓心角.也就是說，圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.知4－講特別提醒弧的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)，與圓的大小(即圓的半徑的大小)無關.“弧的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)”不是指角與弧相等(角與弧是兩種不同的圖形)，所以不能寫成“∠AOB=AB”知4－練如圖24.2-29，C

是⊙O

的直徑AB

上一點，過點C作弦DE，使CD=CO，若AD的度數(shù)為40°，求BE的度數(shù).例4︵︵知4－練解題秘方：緊扣弧的度數(shù)與弧所對的圓心角的度數(shù)之間的關系，找出BE所對的圓心角并求出其度數(shù)是解題的關鍵.解法提醒弧的度數(shù)與弧所對的圓心角的度數(shù)之間可以相互轉化，即已知弧的度數(shù)，可以求弧所對的圓心角的度數(shù)；已知圓心角的度數(shù)，可以求圓心角所對的弧的度數(shù).︵知4－練解：如圖24.2-29，連接OD，OE.∵AD的度數(shù)為40°，∴∠AOD=40°.∵CD=CO，∴∠D=∠AOD=40°.∴∠OCE=∠D+∠AOD=40°+40°=80°.∵OD=OE，∴∠E=∠D=40°.∴∠BOE=∠OCE+∠E=120°.∴BE的度數(shù)是120°︵︵圓心角、弧、弦、弦心距間關系圓心角弦心距弦弧第24章圓24.2圓的基本性質24.2.4圓的確定逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2圓的確定三角形的外接圓反證法知識點圓的確定知1－講11.過已知點作圓作法作圓的個數(shù)圖示過一點A

作圓以點A以外的任意一點為圓心，以該點與點A的距離為半徑作圓無數(shù)個知1－講作法作圓的個數(shù)圖示過兩點A，B作圓連接AB，作線段AB

的垂直平分線l，以其垂直平分線上任意一點為圓心，以該點與點A(或點B)的距離為半徑作圓無數(shù)個知1－講作法作圓的個數(shù)圖示過不在同一條直線上的三點A，B，C

作圓連接AB，BC，分別作線段AB，BC

的垂直平分線DE

和FG，DE和FG相交于點O，以O

為圓心，以OA(或OB，OC)為半徑作圓，⊙O

就是所求作的圓一個知1－講方法點撥判斷不在同一直線上的任意四點是否共圓的方法：先作出經(jīng)過不在同一直線上的三點的圓，若第四個點到圓心的距離等于半徑，則第四個點在圓上，否則第四個點不在圓上.2.確定一個圓的條件(1)已知圓心、半徑，可以確定一個圓.(2)不在同一直線上的三個點確定一個圓.知1－講“確定”是“有且只有”的意思.知1－練[中考·江西]如圖24.2-38，點A，B，C，D

均在直線l上，點P

在直線l外，則經(jīng)過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為()A.3個

B.4個

C.5個

D.6個例1知1－練解題秘方：根據(jù)不共線的三點確定一個圓可得，過直線上任意2個點與點P

可以畫出一個圓．特別提醒確定一個圓要具備兩個關鍵點：1.已知三個點，若已知兩個點或一個點，都無法確定圓；2.三個點不在同一直線上.知1－練解：依題意得分別過A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P都可以畫出一個圓，所以最多可畫出圓的個數(shù)為6個.答案：D知識點三角形的外接圓知2－講21.三角形的外接圓經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做這個圓的內接三角形.“接”是指三角形的三個頂點都在圓上.特別提醒任意一個三角形都有且只有一個外接圓，但一個圓有無數(shù)個內接三角形.知2－講2.三角形的外心(1)定義：三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心.(2)性質：三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等，且等于其外接圓的半徑.知2－講特別提醒三角形外心的位置：銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心是斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部.知2－講3.三角形外接圓的作法(1)作三角形任意兩邊的垂直平分線，確定其交點；(2)以該交點為圓心，以交點到三個頂點中任意一頂點的距離為半徑作圓即可.知2－練

例2知2－練巧記提醒求三角形的外接圓半徑的方法：求三角形的外接圓半徑時，最常用的方法是作出圓心