江西省上饒市廣豐區(qū)2023-2024學(xué)年高二上冊期末模擬數(shù)學(xué)檢測試卷（附答案）

江西省上饒市廣豐區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，過橢圓的上焦點(diǎn)作斜率為的直線，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．2．已知，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．3．如圖，在長方體中，下列運(yùn)算結(jié)果化簡正確的是（

）A． B． C． D．4．已知拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的一個焦點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．85．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)和所連線段的中點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線的離心率為，圓與C的一條漸近線相交，且弦長不小于4，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知圓與中心在原點(diǎn)?焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一條漸近線相切，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知四面體是的重心，若，則（

）A．4 B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.正確選項(xiàng)全對得5分，正確選項(xiàng)不全得2分，有錯誤選項(xiàng)得0分）9．過雙曲線的右焦點(diǎn)作漸近線的垂線交軸于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，若，則（

）A．直線與圓相切B．與有相同的焦點(diǎn)C．的漸近線方程為D．的離心率為10．在邊長為1的正方體中，動點(diǎn)滿足．下列說法正確的是（

）A．四面體的體積為B．若，則的軌跡長度為C．異面直線與所成角的余弦值的最大值為D．有且僅有三個點(diǎn)，使得11．已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．不存在實(shí)數(shù)，使得 D．若，則12．太極圖被稱為“中華第一圖”，閃爍著中華文明進(jìn)程的光輝，它是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和諧美.定義：若一個函數(shù)的圖象能夠?qū)A的周長和面積同時等分成兩個部分，則稱該函數(shù)為圓的一個“太極函數(shù)”，設(shè)圓，則下列說法中正確的是（

）

A．函數(shù)是圓的一個太極函數(shù)B．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱是為圓的太極函數(shù)的充要條件C．圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)都不能為偶函數(shù)D．函數(shù)是圓的一個太極函數(shù)三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)、的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，、，點(diǎn)滿足，則的最小值為.14．大約2000多年前，我國的墨子就給出了圓的概念：“一中同長也.”意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周上的點(diǎn)的距離都相等.這個定義比古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德給出的圓的定義要早100年.已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，，若，則線段長的最大值是.15．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理；三角形的外心?重心?垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，，則的歐拉線所在直線方程為.16．著名的數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中指出：三角形的外心、垂心和重心在同一條直線上，這條直線稱為歐拉線.已知的三個頂點(diǎn)分別為，，，則的歐拉線的一般式方程為.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)分別為為原點(diǎn)，且，過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，對于任意的都有？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.18．已知雙曲線，點(diǎn)A，B在雙曲線右支上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若過點(diǎn)A作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別交兩條漸近線于點(diǎn)M，N，證明：平行四邊形的面積為定值；(2)若，D為垂足，求點(diǎn)D的軌跡的長度．19．設(shè)拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為6，且點(diǎn)到x軸的距離為．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，證明：．20．如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥、、、，、分別為、的中點(diǎn)，．(1)證明：平面平面；(2)若與所成角為，求二面角的余弦值．1．A【分析】根據(jù)和長軸是短軸長的2倍可設(shè)橢圓方程，再聯(lián)立直線和橢圓方程通過韋達(dá)定理可求解出斜率，從而求得.【詳解】因?yàn)殚L軸長是短軸長的2倍，所以，而，則.設(shè)，直線的方程為代入橢圓方程可得，整理得，即.，.，，所以，則，即，化簡得，解得，因?yàn)椋?故選：A.2．D【分析】利用空間向量的數(shù)量求出，再利用向量夾角公式求解即得.【詳解】向量，，由，得，解得，，因此，而，則，所以向量與的夾角為.故選：D3．B【分析】根據(jù)空間向量加減運(yùn)算，結(jié)合長方體的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，，錯誤；對于B，，正確；對于C，，錯誤；對于D，，錯誤.故選：B4．C【分析】求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用拋物線的定義，求解p即可【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的一個焦點(diǎn)，所以，可得．故選：C．5．B【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程得到，方程兩邊同除以即可求得橢圓離心率.【詳解】由題意，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則的中點(diǎn)為，代入橢圓方程得，整理得，方程兩邊同除以得，，解得，因?yàn)椋?故選：B6．D【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可得漸近線方程為，結(jié)合弦長可得，運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，解得，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的漸近線為，因?yàn)閳A的圓心為，半徑，可知圓關(guān)于x軸對稱，不妨取漸近線為，即，則圓心到漸近線的距離，可得，又因?yàn)閳A與雙曲線C的一條漸近線相交弦長為，由題意可得，解得，所以a的取值范圍是.故選：D.7．B【分析】由圓心到漸近線的距離等于半徑求解.【詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故圓心坐標(biāo)為，半徑，設(shè)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線漸近線方程為：，因?yàn)閳A與漸近線相切，所以，解得，所以離心率.故選：B8．B【分析】取的中點(diǎn)，根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則及空間向量基本定理計(jì)算可得.【詳解】取的中點(diǎn)，所以，又，可得，所以.故選：B.9．ABD【分析】作出圖象，利用直角三角形全等易得焦點(diǎn)到漸近線的距離為,并得到進(jìn)而在直角三角形中利用射影定理得到的關(guān)系，得到漸近線方程，離心率和橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而對各選項(xiàng)作出判定.【詳解】過雙曲線的右頂點(diǎn)作軸的垂線交漸近線于點(diǎn),則,不妨設(shè)在軸上方，則,，，∴∴,，由已知得,由，得,∴,∴∴雙曲線的漸近線為,故C錯誤；，∴，故D正確；∵⊥直線,且,∴直線與圓相切，故A正確；雙曲線的焦點(diǎn)為,,,即，為中心在原點(diǎn)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，半焦距,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,.∴與有相同的焦點(diǎn)，故B正確.故選:ABD.10．AC【分析】對于A，由題意可得點(diǎn)的軌跡在內(nèi)，利用等體積法轉(zhuǎn)換即可；對于B，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，利用解三角形知識求出圓心角弧度即可；對于C，由題意為異面直線與所成的角，故只需求出其正弦值的最小值即可；對于D，由題意點(diǎn)在以為直徑的圓上，由此即可判斷.【詳解】如圖所示，

連接，由，可得點(diǎn)的軌跡在內(nèi)（包括邊界）．因?yàn)槠矫嫫矫妫裕蔄正確．易知平面，設(shè)與平交于點(diǎn)．由于，則點(diǎn)到平面的距離為．若，則，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，如圖所示，

在中，，，設(shè)，由余弦定理得，解得，則，所以的軌跡長度為，故B錯誤．因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角，則，所以，故C正確．由三垂線定理可知，又平面，要使得，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以存在無數(shù)個點(diǎn)，使得，故D錯誤．故選：AC.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是利用空間向量推得的所在位置，從而得解.11．AC【分析】對于A，根據(jù)即可算出的值；對于B，根據(jù)計(jì)算；對于C，根據(jù)計(jì)算即可；對于D，根據(jù)求出，從而可計(jì)算出.【詳解】對于A，因?yàn)椋?，解得，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以，所以，故B錯誤；對于C，假設(shè)，則，所以，該方程組無解，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，解得，所以，，所以，故D錯誤.故選：AC.12．AD【分析】根據(jù)題中所給的定義對四個選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：設(shè)，因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，它的圖象將圓周長與面積分別等分，如下圖所示：

所以函數(shù)是圓O的一個太極函數(shù)，故本說法正確；選項(xiàng)C：如下圖所示：函數(shù)是偶函數(shù)，也是圓O的一個太極函數(shù)，故本說法不正確；

選項(xiàng)B：根據(jù)選項(xiàng)C的分析，圓O的太極函數(shù)可以是偶函數(shù)不一定關(guān)于原點(diǎn)對稱，故本說法不正確；選項(xiàng)D：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以它的圖象將圓周長與面積同時等分，下圖所示：因此函數(shù)是圓O的一個太極函數(shù)，故本說法是正確的；

故選:AD.13．【分析】設(shè)點(diǎn)，利用已知條件求出點(diǎn)的軌跡方程，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由可得，整理可得，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，

所以，，記圓心為，當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時，取最小值，此時，，所以，.故答案為.14．5【分析】點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)三點(diǎn)共線，且在點(diǎn)兩側(cè)時，線段長的最大.【詳解】已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，，則點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，，點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)三點(diǎn)共線，且在點(diǎn)兩側(cè)時，線段長的最大，此時.故5.15．2x-y-3=0根據(jù)題意求出線段AB的垂直平分線即可求解.【詳解】線段AB的中點(diǎn)為(2，1)，，線段AB的垂直平分線為：y=2(x-2)+1，即2x-y-3=0AC=BC，三角形的外心?重心?垂心依次位于AB的垂直平分線上，因此的歐拉線方程為2x-y-3=0.故2x-y-3=0.16．【分析】可分別計(jì)算得到邊和邊中垂線方程，由此可得外心坐標(biāo)；由中線和方程可聯(lián)立求得重心坐標(biāo)，由此可確定歐拉線方程.【詳解】由題意得：中點(diǎn)，中點(diǎn)，邊中垂線方程為：；邊中垂線方程為：，外心為；又方程為：，即；方程為，即；由得：，重心為；歐拉線的方程為：，即.故答案為.17．(1)(2)存在定點(diǎn)滿足題意.【分析】（1），結(jié)合，即可求解；（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，求得，設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)，對于任意的都有，由求解.【詳解】（1）由題意得，又，.橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，令得，即，聯(lián)立，得，所以，則，，若在x軸上存在定點(diǎn)，對于任意的都有，則，即，解得，所以存在定點(diǎn).18．(1)證明見解析(2)【分析】(1)設(shè)，將漸近線方程分別與過點(diǎn)直線的直線方程聯(lián)立得到，，進(jìn)而得到即可求解；(2)設(shè)，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和已知條件得到，然后將橢圓方程和雙曲線方程聯(lián)立得到，進(jìn)而計(jì)算即可求解.【詳解】（1）設(shè)，雙曲線的漸近線為，∴，解得，記，同理可得．∴．所以．（2）設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在時，為，∴．當(dāng)直線斜率存在時，令，由方程組得．其中.∴．∵，∴，解得．∴到直線的距離為．∴．又∵A，B在雙曲線右支上，∴D在雙曲線右支內(nèi)部，則，解得（取正），或（取正），，記，∴．∴．∴D的軌跡為圓心角為的圓?。訢的軌跡長度為．圓錐曲線的定值問題常見的兩種方法：（1）

從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）

直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值.19．（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義列方程可得，進(jìn)而得出拋物線的方程；（2）設(shè)出直線，與拋物線聯(lián)立，消元寫出韋達(dá)定理，利用直線斜率公式代入化簡，可得，即為的角平分線，命題得證．【詳解】（1）由點(diǎn)到軸的距離為得：，將代入得：，由拋物線的定義得，，由已知，，所以，所以拋物線的方程為；（2）由得，由題意知與拋物線交于兩點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程，得，所以，，，所以，所以，則所以為的角平分線，由角平分線的性質(zhì)定理，得．20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，為的中點(diǎn)，得到，再由，利用線面垂直和面面垂直的判定定理證明；（2）以為原點(diǎn)，以為軸，為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法