指數(shù)函數(shù)的概念 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念新授課1.通過具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念問題1：隨著旅游人數(shù)不斷增加，自2001年A地景區(qū)提高了門票價(jià)格，B地則取消了門票.下表給了A、B兩個(gè)景區(qū)2001~2015年的游客人次及逐年增加量.知識點(diǎn)1：指數(shù)函數(shù)的概念比較一下兩地景區(qū)旅游人次的變化情況，其中有怎樣的規(guī)律？A地區(qū)經(jīng)營地比較平衡，B地區(qū)發(fā)展比較快.為了便于觀察，我們把表格中的數(shù)據(jù)畫成圖象：

A景區(qū)的游客人次近似于直線上升(線性增長)，年增加量大致相等(約為10萬人次)；B景區(qū)的游客人次是非線性增長，年增加量越來越大.思考：B景區(qū)每年的游客人次增長率有什么規(guī)律？

2002年游客人次2001年游客人次2003年游客人次2002年游客人次2015年游客人次2014年游客人次B景區(qū)的游客人次的年增長率都約為1.11-1=0.11，是一個(gè)常數(shù).

像這樣，增長率為常數(shù)的變化方式，稱為指數(shù)增長.這是一個(gè)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量.x年后，B景區(qū)游客人次是2011年的1.11x倍.即x年后B景區(qū)的游客人次:

因此，B景區(qū)的游客人數(shù)近似于指數(shù)增長.即從2011年起，每一年的游客人次都是上一年的1.1倍左右，增長量越來越多.

死亡1年后，含量為；問題2：當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減(稱為衰減率)，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

死亡2年后，含量為；

死亡3年后，含量為；設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為p，如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，那么

死亡5730年后，含量為；

→

→

設(shè)生物死亡年數(shù)x，碳14含量為y，那么，即

死亡生物體內(nèi)碳14含量每年都以的衰減率衰減.→函數(shù)，指數(shù)x是自變量

像這樣，衰減率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)衰減.因此，死亡生物體內(nèi)碳14含量呈指數(shù)衰減.

如果用字母a代替上述兩個(gè)問題中的底數(shù)1.11和，那么函數(shù)

和可以表示為

的形式，其中a是一個(gè)大于0且不等于1的常量.一般地，函數(shù)(a＞0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù).其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.思考：指數(shù)函數(shù)定義中為什么規(guī)定a大于0且不等于1?

(1)如果a＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，ax恒等于0；當(dāng)x≤0時(shí)，ax無意義．(2)如果a＜0，如y＝(－2)x，對于x＝，…時(shí)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在．(3)如果a＝1，y＝1x是一個(gè)常量，對它無研究價(jià)值．為了避免上述各種情況，所以規(guī)定a＞0且a≠1.D練一練下列函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝2x＋1 B．y＝x3C．y＝3·2x D．y＝3－x例1

已知指數(shù)函數(shù)設(shè)f(x)＝ax(a>0,且a≠1),且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值.解：因?yàn)閒(x)=ax，且f(3)=π，則a3=π，解得，分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，應(yīng)先求出f(x)＝ax的解析式即先求出a的值.于是f(x)=

，所以f(0)=

例2

(1)在問題１中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?000元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價(jià)格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況．解:(1)設(shè)經(jīng)過x年，游客給A，B兩地帶來的收入分別為f(x)和g(x)，則f(x)＝1150×(10x+600)，g(x)＝1000×278×1.11x．當(dāng)x=0時(shí)，f(0)－g(0)＝412000．當(dāng)x≈10.22時(shí)，f(10.22)≈g(10.22)．結(jié)合圖可知：當(dāng)x＜10.22時(shí)，f(x)＞g(x)，當(dāng)x＞10.22時(shí)，f(x)＜g(x)．當(dāng)x＝14時(shí)，g(14)－f(14)≈347303．

2001年，游客給A地帶來的收入比B地多412000萬元；隨后10年，雖然f(x)＞g(x)，但g(x)的增長速度大于f(x)；在2011年2月某個(gè)時(shí)刻就有f(x)＝g(x)，游客給A地帶來的收入和B地差不多；此后，f(x)＜g(x)，游客給B地帶來的收入超過了A地；2015年，B地的收入已經(jīng)比A地多347303萬元了．例2

(2)在問題2中，某生物死亡10000年后，它體內(nèi)碳14的含量衰減為原來的百分之幾？(2)設(shè)生物死亡x年后，它體內(nèi)碳14含量為h(x)，那么當(dāng)x＝10000時(shí)，利用計(jì)算工具求得所以，生物死亡10000年后，它體內(nèi)碳14的含量衰減為原來的30%.總結(jié)歸納

指數(shù)增長模型：設(shè)原有量為N,每次的增長率為p,經(jīng)過x次增長，該量増長到y(tǒng),則y=N(1+p)x(x∈N).形如y=kax(k∈R,且k≠0:a>0,且a≠1)的函數(shù)是刻畫指數(shù)增長或指數(shù)衰減變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型.練一練在某個(gè)時(shí)期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以6.25%的增長率呈指數(shù)增長，那么經(jīng)過30天，該湖泊的藍(lán)藻會變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮浚梢允褂糜?jì)算工具）解：設(shè)該湖泊現(xiàn)有藍(lán)藻為k,經(jīng)過x天后藍(lán)藻變?yōu)閒(x).根據(jù)題意，f(x)是以k為初始量，增長率為0.0625,即增長比例為1.0625的指數(shù)函數(shù)，則f(x)=k