遼寧省葫蘆島市2022年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設(shè)加、"是兩條不同的直線，￡是兩個不同的平面，則加，，的一個充分條件是（）

A.且機uaB.mHn旦n工BC.a工0旦,m//aD.且〃//￡

2.已知函數(shù)“x）=（z—1）叱，若對任意都有/（X）＜1成立，則實數(shù)上的取值范圍是（）

A.(―8,1—e)B.(1—e,+8)C.(-e,°]D.(1—e,l]

|(IT\7TJT

3.已知函數(shù)/(x)=jX+cos萬+x,xe,則f(x)的極大值點為()

717CTl71

A.一一B.一一C.-D.-

3663

4.過拋物線(p>0)的焦點且傾斜角為。的直線交拋物線于兩點AB.\AF\=2\BF\,且A在第一象限,

則cos2a=()

3

A石R「7n2G

A.——B.—C.—D.--------

5595

5.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積（）

A.6+2V3B.6+2&C.4+4&D.4+46

6.已知數(shù)列｛4｝滿足1083%+1=1083%+1("€27*),且42+4+4=9,則1°8；3+。5+。7)的值是()

A.5B.-3C.4D.—

91

7.若函數(shù)y=2s山(2%+*)[|同<的圖象經(jīng)過點(春,。)，則函數(shù)/(x)=si〃(2x-°)+cos(2x-°)圖象的一條

對稱軸的方程可以為（)

71377八17兀13萬

X-------B.x=---C.x-------D.x---------

24242424

,\MA\

8.已知焦點為E的拋物線C：V=4x的準線與'軸交于點A,點M在拋物線C上'則當(dāng)西取得最大值時,直

線M4的方程為（）

A.y=x+l^y=-x—lB.）=^^+；或＞=—C.y=2x+2或y=-2x-2

D.y=-2x+2

9.明代數(shù)學(xué)家程大位（15337606年），有感于當(dāng)時籌算方法的不便，用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》，可謂集成計算

的鼻祖.如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題.執(zhí)行該程序框圖，若輸出的N的值為2,

則輸入的x的值為（）

/摘出〃

756164

A.-B.—C.2D.-----

42781

10.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為

*?■

248

A.-B.-C.2D.-

333

11.設(shè)二二6（0,/）U（1,+*）,貝-二=二”是“二二二二二=二二二二二”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

x>\

12.已知實數(shù)滿足線性約束條件x+yNO，則2±1的取值范圍為()

x-y+2>0"

A.(-2,-1]B.(-1,4]C.[-2,4)D.[0,4]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(1+4)"展開式中的系數(shù)的和大于8而小于32,則"=.

22

14.如圖，已知圓內(nèi)接四邊形A3CD,其中A8=6,BC=3,CD=4,AD=5,則---+-----=

sinAsinB

15.我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了“三斜求積術(shù)”.他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜.三

斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)，小斜平方乘以大斜

平方，送到上面得到的那個數(shù)，相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實”，1作為“隅”，開平方后即得面積.所謂“實”、

“隅”指的是在方程/?2=q中，p為“隅”，g為“實”.即若AABC的大斜、中斜、小斜分別為a,b,c,則

J,“2+02_匕2)2]

222

S=-4[ac--I------2------Jj.已知點。是AABC邊A3上一點，AC=3,BC=2,NACD=45°,

tan/BCD=殳芭5,則AABC的面積為.

7

業(yè)x>0

16.設(shè)，(x)=J%'(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=/2(x)_(2,〃_i)/(x)+2,若函數(shù)g(x)恰有4

—2019羽x<0

個不同的零點，則實數(shù)機的取值范圍為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在三棱錐P—ABC中，PA=PB=AB=2,BC=3,/ABC=9O°，平面248,平面ABC,

D、￡分別為A3、AC中點.

(1)求證：ABA.PEi

(2)求二面角A-BB-E的大小.

Y

18.(12分)已知函數(shù)/(尤)=5+如+21nx,meR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)已知/(%)在x=l處的切線與>軸垂直，若方程"x)=f有三個實數(shù)解%、％、x3(x,<x2<x3),求證：

玉+2〉七.

X

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=r—.

e-1

(1)求函數(shù)Ax)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若x〉0,證明ln>+D>/(x).

X

X=1+COS69

20.(12分)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為.(9為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸

y=sin夕

的正半軸為極軸建立極坐標系，直線I的極坐標方程為Osin(夕+?)=2也.

(1)求曲線C的極坐標方程和直線/的直角坐標方程；

(2)若射線e=a[o<a<g]與曲線C交于點4(不同于極點。)，與直線/交于點5,求黑的最大值.

k2JI1

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=ei—ln(x+a)(a>0).

(1)證明：函數(shù)/'(尤)在(。,+8)上存在唯一的零點；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,m)上的最小值為1,求。的值.

22.(10分)已知｛a,J,｛么｝均為正項數(shù)列，其前〃項和分別為S“，T“，且4=；,乙=1,3=2,當(dāng)〃22,〃eN*

時，S,i=l—2a“，b”二斗上件也…

瓦+1+肥

(D求數(shù)列｛4｝,｛瓦｝的通項公式;

⑵設(shè)％=寸(b+寸2)a，求數(shù)列的前〃項和心

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

由m//“且〃可得機，故選B.

2.D

【解析】

先將所求問題轉(zhuǎn)化為儀-1)x<5對任意》eR恒成立，即y=｝得圖象恒在函數(shù)

y=(々-l)x圖象的上方，再利用數(shù)形結(jié)合即可解決.

【詳解】

由〃x)<l得住—l)x<?，由題意函數(shù)y=g得圖象恒在函數(shù)y=(k—l)x圖象的上方，

作出函數(shù)的圖象如圖所示

過原點作函數(shù)丫=與的切線，設(shè)切點為(。，①，則—e-"=2=_],解得。=一1,所以切

eaae

線斜率為-e,所以-e<A:—1WO,解得1—e<kWl.

故選：D.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立中的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想以及數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.

3.A

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求得極大值點即可.

【詳解】

因為/(x)=；x+cos1

=-x-sinx,

2

故可得了'（X）=-COSX+g,

令r（x）=°，因為xe-4力

故可得x=——或x=一,

33

則/（x）在區(qū)間單調(diào)遞增，

（冗冗\（冗冗、

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

故/（X）的極大值點為-

故選：A.

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點，屬基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

作A41_L/,BBXA.I.BEJ.AA，由題意sine=?|,由二倍角公式即得解.

【詳解】

由題意，準線/：y=—與,

作A41_U,BB｝11.BELAA,,

設(shè)忸耳=忸閭=心

故|AB|=|A4,卜2r,|A￡|=r,

AE1ic?27

sina=——?=-ncos2e=l-2sina=—.

AB39

故選：C

【點睛】

本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.

5.C

【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可.

【詳解】

解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，P-ABC,

正方體的棱長為2,

該幾何體的表面積：

-X2X2+-X2X2+-X2X2A/2+-X2X2A/2=4+4\^.

2222

故選C.

【點睛】

本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.

6.B

【解析】

由log3a?+l=log,%,可得??+|=3a?,所以數(shù)列｛為｝是公比為3的等比數(shù)列，

9

所以％+/+以=4+92+81〃2=91%=9,貝!Jg=一,

91

3

則logI(%+見+%)=log1(3?2+27%+243a2)=log13=-3,故選B

333

點睛：本題考查了等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，試題有一定的技巧，屬于中檔試

題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，等比數(shù)列的性質(zhì)和在

使用等比數(shù)列的前”項和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程.

7.B

【解析】

由點(專'°］求得。的值，化簡/(x)解析式，根據(jù)三角函數(shù)對稱軸的求法，求得了(x)的對稱軸，由此確定正確選項.

【詳解】

由題可知2s可2x專+e)=0,兀71

<—.(P=——

26

2尢+?)=V2sin、式冗54

所以/(x)5m2x+—+cos2xd---1——=V2sin2x+

I66417

人_5%zr.._

令---=—\-K7r,kGZ,

122

工冗k兀1r

得x=---1---,kGZ

242

A,cZB37萬

令k=3,得了=----

24

故選：B

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點的坐標求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對稱軸的求法，屬于中檔題.

8.A

【解析】

MA\_\MA\_]]要使出

過M作與準線垂直,垂足為P,利用拋物線的定義可得

~MF\\MP\COS/AMPcosZMAF|MF|

最大，則NM4F應(yīng)最大,此時AM與拋物線C相切，再用判別式或?qū)?shù)計算即可.

【詳解】

MAMA1_1

過M作MP與準線垂直,垂足為P,

MFMPcosZAMPcosZMAF'

\MA\

則當(dāng)取得最大值時，NM4F最大，此時AM與拋物線C相切,

易知此時直線AM的斜率存在，設(shè)切線方程為y=Hx+l),

|"y=Z(x+l),.

則｛24.則A=16—16K=0,k2=1,女=±1，

y=4x

則直線AM的方程為y=?(x1).

故選：A.

【點睛】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到拋物線的定義，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.

9.C

【解析】

根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.

【詳解】

y=3x-4,i-hy=3y-4=9x-16,i-2；y=3y-4=27%-52,i=3；

y=3y-4=85一160,i=4；y=3y-4=243x-484,此時不滿足/W3,跳出循環(huán)，

輸出結(jié)果為243x—484,由題意y=243x—484=2,得x=2.

故選:C

【點睛】

本題考查了程序框圖的計算，意在考查學(xué)生的理解能力和計算能力.

10.A

【解析】

由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個底面為一個直角三角形，

且兩直角邊分別為1和2,所以底面面積為S=^x1x2=1

2

117

高為6=2的三棱錐，所以三棱錐的體積為V=-S〃=-xlx2=一,故選A.

333

11.A

【解析】

根據(jù)題意得到充分性，驗證二=2,二=±得出不必要，得到答案.

【詳解】

二二6(0」)U(/,+"),當(dāng)"二=二時，10g二二=10g二：：，充分性;

當(dāng)：og_二=：0"二，取二=2二==,驗證成立，故不必要.

故選：Z.

【點睛】

本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計算能力和推斷能力.

12.B

【解析】

作出可行域，W表示可行域內(nèi)點P(x,y)與定點Q(0,-1)連線斜率，觀察可行域可得最小值.

X

【詳解】

作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)，必表示可行域內(nèi)點P(x,y)與定點。(0,-1)連線斜率，A(I,3),

X

3=3二(”=4,過Q與直線x+y=°平行的直線斜率為一1,；.一1(稼°

1—()

【點睛】

本題考查簡單的非線性規(guī)劃.解題關(guān)鍵是理解非線性目標函數(shù)的幾何意義，本題山表示動點P(x,y)與定點

X

Q(O,-1)連線斜率，由直線與可行域的關(guān)系可得結(jié)論.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.4

【解析】

由題意可得項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的，利用題意，得出不等式組，求得結(jié)果.

【詳解】

觀察式子可知

8<+C+…C：=2"<32,.?.及=4,

故答案為：4.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)二項式定理的問題，涉及到的知識點有展開式中項的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題目.

4而

14.

3

【解析】

由題意可知4+。=萬，B+D=兀,在AA5。和ABCD中，利用余弦定理建立

方程求cosA,同理求cos8,求sinA,sin8,代入求值.

【詳解】

由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NC=180°-NA,N￡>=180°-N5.連接在中,

222

有B￡)2=AB2+AD2_2Ag.A￡)cosA.在ABCD中，BD=BC+CD-2BC-CDcosC.

所以AB?+仞2_2..ADCOSA=BO?+a/+.cocosA,

AB-+AD2-BC1-CD262+52-32-423/

則cosA-所以sinA=Jl-cos?A=2Vi0

2(ABAD+BCCD)2(6x5+3x4)

AB2+BC2-AD2-CD2_62+32-52-42_1

連接AC,同理可得cos8

2(ABBC+AD-CD)~2(6x3+5x4)-T?，

6儼所以142x194V10

所以sinB=Jl-cos?B22

sinAsin82V106V103

故答案為：平

【點睛】

本題考查余弦定理解三角形，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，意在考查方程思想，計算能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是

熟悉圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，對角互補.

”3而

10.---------.

4

【解析】

利用正切的和角公式求得tanZAC3,再求得cosNAC6,利用余弦定理求得A5,代入“三斜求積術(shù)”公式即可求得答案.

【詳解】

tanZAC8=tan(ZACD+N88)=tanNACO+lanN3CD=—屈,所以cosNAQ3=—,，由余弦定理可知

1-tanZACDtanZBCD4

AB2=AC2+BC2-2ACBCcosZACB=16>得AB=4.根據(jù)“三斜求積術(shù)”可得

2223岳

C2_1LX22f4+2-3Yl_135

S一，4x21---^-―>所以S

【點睛】

本題考查正切的和角公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，余弦定理的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力和計算整理能力，難度

較易.

16.m>2

【解析】

求函數(shù)/'(X),研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出函數(shù)f(x)的圖象，設(shè)t=/(x),若函數(shù)g(x)恰有4個零點，則等價為

函數(shù)恤)=產(chǎn)-(2機-1"+2有兩個零點，滿足/>1或0(/<1,利用一元二次函數(shù)根的分布進行求解即可.

【詳解】

當(dāng)X>0時，/(幻=型二”，

X

由/'(x)>0得：1-Znx>0,解得0<x<e,

由r(x)<0得：1一/心<0,解得x>e,

即當(dāng)x=e時，函數(shù)/(x)取得極大值，同時也是最大值，f(e)=1,

當(dāng)x-”，/(%)->0,

當(dāng)xf0,7(x)f-oo,

作出函數(shù)/(x)的圖象如圖,

設(shè)f=/(x),

由圖象知，當(dāng)r>l或r<0,方程，=/(x)有一個根，

當(dāng)/=()或/=1時，方程［=/*)有2個根，

當(dāng)0〈/<1時，方程f=/(x)有3個根，

貝!|g(x)=/2(x)-(2//1-1)/(x)+2,等價為〃⑺=/一(2加一l)r+2,

當(dāng))=0時,〃⑼=2x0,

，若函數(shù)g(X)恰有4個零點，

則等價為函數(shù)/??)=/-(2m-1)/+2有兩個零點，滿足f>1或0</<1,

7?(0)=2>0

則《，

即〃(1)=1一2帆+1+2=4—2m<0

解得：m>2,

故答案為：加>2

【點睛】

本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法進行轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)根的分布以及.求的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的的單

調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析；(2)60。.

【解析】

試題分析：

⑴連結(jié)PQ,由題意可得產(chǎn)。，4&皮>_148,則43，平面以汨，AB工PE;

(2)法一：結(jié)合幾何關(guān)系做出二面角的平面角，計算可得其正切值為G，故二面角的A-PB-E大小為60。；

法二：以。為原點建立空間直角坐標系，計算可得平面的法向量1=卜,2,6).平面M3的法向量為

^=(0,1,0).據(jù)此計算可得二面角的A—依—E大小為60°.

試題解析：

(1)連結(jié)PD,VPA=PB,；,PDJ_AB.VDEIIBC,BC^AB,DE\_AB.

又?：PDcDE=D,二43，平面P〃E,^PEu平面P〃E,

：.ABX_PE.

(2)法一：

?.,平面叫以平面ABC,平面必1項平面A〃C=AB，PDj_AB,PDj.YffiABC.

貝！|OEJLP。,又EOJ_A5,P￡)n平面48=。，?！辏篲|_平面

過。做。尸垂直尸8與F,連接EF,則EFJLPS,為所求二面角的平面角，

則：DE=^-,DF=昱,則fa〃NDFE=%=6,故二面角的A—依一￡大小為60°

22DF

法二：

?.■平面平面A3C,平面RU?n平面ABC=AB,PDJ^AB,?平面ABC.

如圖，以。為原點建立空間直角坐標系，

l3

:.B(l,0,0),尸(0,0,石)，E(0,0),

3

二麗=(1，0.-⑻，pg=(0，-V3).

設(shè)平面PBE的法向量q=(x,y,z),

X—y/3Z=0,

3令z=y/3,得勺=(3,2,y/3j.

產(chǎn)百rz=0,

??■OE_L平面R13,平面PAB的法向量為％=(0,1,0).

/----\同司1

設(shè)二面角的A—PB—E大小為小由圖知，cos6=cos(?)，?,)=,L,=-

\^m2

所以。=60°,即二面角的A—必一￡大小為60°.

18.(1)①當(dāng)〃后一2夜時，“X)在((),+")單調(diào)遞增,②當(dāng)相<-2夜時，/(%)單調(diào)遞增區(qū)間為

?-m-y/m2-8_YTl+J~—8-m-yjni2-8-m+dm1-8

——%-----,+8，單調(diào)遞減區(qū)間為、

22

、7\/J

(2)證明見解析

【解析】

(1)先求解導(dǎo)函數(shù),然后對參數(shù)分類討論，分析出每種情況下函數(shù)/(%)的單調(diào)性即可;

(2)根據(jù)條件先求解出〃?的值，然后構(gòu)造函數(shù)例(幻=/(幻-/(2-x)(0<x<2)分析出牛天之間的關(guān)系，再構(gòu)造

函數(shù)夕2(幻=/(幻一/(4-x)(l<x<4)分析出々，七之間的關(guān)系，由此證明出斗+2>七.

【詳解】

2,2三”旦生叵+m+2&

(1)f(x)=-x-1-nvc+2\nxf/(x)=x+m+—=

2xXX

①當(dāng)加時，r(x)?O恒成立，則“X)在(0,+8)單調(diào)遞增

②當(dāng)機<一2及時，令/'(x)=0得/+皿+2=0,

解得寸士尹-m+Vtn1-8

X)="

2

x,+x7=-m>0

又,0<x.<x,

中2=2〉0

,(八-m-J/%2—8]

???當(dāng)0,Y時，ra)>o,/(X)單調(diào)遞增;

2

7

當(dāng)x卜,廣(力<0,小)單調(diào)遞減；

\/

當(dāng)xe---------------,+8時，/,(x)>0,〃尤)單調(diào)遞增.

\7

(2)依題意得，/,(l)=3+m=0,則加=—3

由(1)得，/(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,-8)上單調(diào)遞增

二若方程,f(x)=f有三個實數(shù)解玉,々,天(玉<凡)，

則0<X]<1<九2V2<尤3

法一：雙偏移法

224(X-]}2

設(shè)例。)=/(%)一/(2_九)(0<]<2),則例(為二一+^^——4二20

x2-xx(2=-X)I

.,.例(X)在(0,2)上單調(diào)遞增，.?.Vxe(0,l),例(x)<0(l)=O

二例(毛)=/'(%)-/(2-xJ<0(0<玉<1),即〃(玉)<〃(2-xJ

??"(%)="/)=/，"㈤寸4-％),其中%」(1,2),2-玉?1,2)

???/(%)在(1,2)上單調(diào)遞減，二々>2-王，即玉+彳2>2

設(shè)°,(x)=/(x)-/(4-x)(l<x<4),血(%)=2+^—一2=2^~2\>0

x4-x尤(4一X)

.?.02(x)在(1,4)上單調(diào)遞增，??.Vxe(l,2),夕2(x)<02⑵=0

???%(3)=/伍)-/(4一,)<。(1</<2),即“%)</(4一9)

V/(工2)=/(芻)=八二〃毛)</(4一馬)，其中電€(2,+8),4f?2,3)

T/(x)在(2,+oo)上單調(diào)遞增，/.x3<4-X2,即W+X3<4(玉+9+2

:,須+2>工3?

法二：直接證明法

VX,+2>2,七>2,/(X)在(2,+8)上單調(diào)遞增，

二要證玉+2>七，即證/(%+2)>/(x,)=r=/(x1)

in/\mmil，/、222（x—A/3+l）（x+\/3+1）

設(shè)。（尤）=/（x+2）-/（x）（x>0）,貝！J0（x）=-------+2=-------------------

x+2xx（x4-2）

.??0（x）在（0,6-1）上單調(diào)遞減，在便-1,+8）上單調(diào)遞增

/.Vx,G（0,l）,o（xj2夕（石一1）=f（y[3+1）-/（>/3-1）=2[ln（2+G）+g-3]>0

二。（百）=/（玉+2）—（玉）>0,即/（玉+2）>/（西）=/（毛）

（注意：若111（2+石）+百一3〉（）沒有證明，扣3分）

關(guān)于ln（2+百）+百一3>0的證明：

（1）Vx>0且X*1時，\nx<ex-2（需要證明），其中e<2.72<G+l

e

Aln（2-石）<e（2-百）-2〈（省+1）（2-向-2=幣-3

ln（2+Vs）=In---尸——ln（2--73）>3—也

2-V3

Aln（2+V3）+V3-3>0

（2）,??g+l>2.73>e，.??ln（4+2百）=21n（l+揚>21ne=2

Aln2+ln（2+揚>2,即ln（2+石）>2-In2

V2'°=1024.e7>2.77>1046.A210<e>7?則K）ln2<7nln2<0.7

Aln（2+V3）>2-ln2>2-0.7=1.3>3-73

【點睛】

本題考查函數(shù)與倒導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較難.（1）對于含參函數(shù)單調(diào)性的分析，可通過分析參數(shù)的臨界值，由此分

類討論函數(shù)單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常用方法：構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，從而達到

證明不等式的目的.

19.（1）單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,0）,（0,+8）,無單調(diào)遞增區(qū)間（2）證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負判斷單調(diào)性，

（2）整理ln（A+1）>/（x）,化簡為ln（x+l）>+,令依無）=ln（A+1）,求h（x）的單調(diào)性，以及x</-1，

xxer-lx

即證.

【詳解】

x

解：(1)函數(shù)/*)=1一定義域為(-8,0)11(0,+8),

e-1

,/(]_工)_1

則J(x)=—~~~~2~,令g(x)=e*(l-x)—1,0聲0),貝！Jg'(x)=—xe，,

(e

當(dāng)x>(),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x<(),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

故g(x)<g(O)=O，XHO，

/.f(x)<0,x#0,

故函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),(0,+8),無單調(diào)遞增區(qū)間.

,、、-ln(x+l)"/、…，ln(x+1)x

(2)證明=——->/(%),即為二——,

xxe-1

在為x_l〃e*+

ex-lex-lex-l

即訐ln(x+l)/n(ex-1+1).

xex-1

x

ln(x+l)-----l〃(x+l)

令/心)=1^，則/(x)=A±J——，

X

令g(x)=」y—ln(x+l)，則g(x)=]?---5=一廠三■，

x+1(x+1)x+1(x+1)

當(dāng)x>()時，g'(x)<0,所以g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞減，

則g(x)<g(O)=O,XHO,

則"(x)<0在(0,+s)上恒成立，

所以〃(力在(0,+<?)上單調(diào)遞減，

所以要證原不等式成立，只需證當(dāng)x〉0時，x<e'-\,

令〃2(x)=/-工-1,x〉0,m\x)=ex-I,可知加(X)>0對于％>0恒成立,

即m(x)>加(0)=。，即工<61—1，

故h(x)<h[ex-1),即證ln(x+l)>1斗一+1),

xe”—1

故原不等式得證.

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，函數(shù)的最值問題，屬于中檔題.

20.(1)G：O=2cos6,直線/：x+y=4；(2)1±^1.

4

【解析】

X-OCOS0

(1)由消參法把參數(shù)方程化為普通方程，再由公式.進行直角坐標方程與極坐標方程的互化；

y—/?sin0

\OA\

(2)由極徑的定義可直接把夕=c代入曲線。和直線/的極坐標方程，求出極徑把比值島化為a的三角函

\OB\

數(shù)，從而可得最大值、

【詳解】

(1)消去參數(shù)?？傻们€C的普通方程是"-1)2+丁=1,即％2+卜2—2》=0,代入《"八得夕2=2pcos6,

y=psin0

即夕=2cos9,，曲線。的極坐標方程是/?=2cos8；

由Qsin(e+()=20,化為直角坐標方程為x+y=4.

25/2

(2)設(shè)(Oi，a),B(x?,,a),則g=2cosa,p2=~工，

sm(a+—)

|。4|_"一經(jīng)上至型絲吧”Win2a+：cos2a+L變sin(2a+C)+L

畫一五一五2444444

當(dāng)a=5時，d取得最大值為匕也?

8\0B\4

【點睛】

X-OCOS0

本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，掌握公式《.八可輕松自如進

y=psin0

行極坐標方程與直角坐標方程的互化.

21.(1)證明見解析；(2)-

2

【解析】

(1)求解出導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點的存在性定理說明/(X)在((),+8)上存在唯一的零點即可；

(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點%,判斷出了(X)的單調(diào)性，從而/(力訕可確定，利用/(力而n=l以及.y=：-Inx的單調(diào)性,

可確定出天,。之間的關(guān)系，從而〃的值可求.

【詳解】

(1)證明：V/(%)=eJ-a-ln(x+a\a>0),/.f'(x)=ex~a———.

x+a

???/-"在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增，」一在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

???函數(shù)f(x)在(0,行)上單調(diào)遞增.

1Z7—Pa

又/''(())="〃一±=^-,令g(a)=a—e"(a>0),g，(a)=l—e“<0,

aaea

則g(a)在(0,+8)上單調(diào)遞減，g(a)<g(0)=—1,故/(0)<0.

令/n=a+1,貝！Jf'(m)=f\a+1)