湖南省洞口縣第四中學2022-2023學年數(shù)學高一年級上冊期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2022-2023學年高一上數(shù)學期末模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1.已知x,y滿足x+y+3=0,求（x+l『+（y—2）2的最小值為O

A.2B.2V2

C.8D.2+V2

2.空間直角坐標系中，已知點A（l,2,3）、B（3,4,5）,則線段A8的中點坐標為

A.（2,3,4）B.（1,3,4）

C.（2,3,5）D.（2,4,5）

3.下列說法中，正確的是（）

A.若a>b,貝！JL<,

ab

B.函數(shù)f（x）=/與函數(shù)g（x）=（五『是同一個函數(shù)

C.設(shè)點P（—3,4）是角。終邊上的一點，貝ijcosa=3

D.幕函數(shù)f（x）的圖象過點（夜,2）,則/（3）=9

4.已知函數(shù)““=卜+（4“一3）"+3〃,”<0,（4>0,且a。1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程=2—x

1*31

[logfl（x+l）+l,x>0

恰有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是

（2123

A.0,-B.[-,-]

I3」34

12,,312、-3

C.[---]U{-}D.[-,-）U{-}

334334

TT

5.下列函數(shù)中，最小正周期為乃，且圖象關(guān)于直線x=W對稱的是

.-71、7T

\.y=sin(2x---)B.y=sin(2x-—)

兀D.y=sin(；+5)

C.y=sin(2x+—)

26

6.如圖，在正方體ABCD-ABCa中，E,EG,〃分別為用G的中點，則異面直線￡尸與G”所成

A.45°B.60°

C.90°D.120°

7.計算tan(—330°)=()

B-T

C../3D.-V3

8.北京2022年冬奧會新增了女子單人雪車、短道速滑混合團體接力、跳臺滑雪混合團體、男子自由式滑雪大跳臺、

女子自由式滑雪大跳臺、自由式滑雪空中技巧混合團體和單板滑雪障礙追逐混合團體等了個比賽小項，現(xiàn)有甲、乙兩名

志愿者分別從7個比賽小項中各任選一項參加志愿服務(wù)工作，且甲、乙兩人的選擇互不影響，那么甲、乙兩名志愿者選

擇同一個比賽小項進行志愿服務(wù)工作的概率是。

B.

6

49

9.已知平面向量。=(1,2),b=(-2,m),且￡〃石，貝！I2Z+3B等于()

A.(-2,-4)B.(-3,-6)

C.(-5,-10)D.(-4,-8)

10.已知函數(shù)/（x）=log”的圖像過點（4,0）和（7,1）,則“X）在定義域上是

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.減函數(shù)D.增函數(shù)

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.函數(shù)y=+的定義域是,值域是.

12.函數(shù)尸《ya”的單調(diào)遞增區(qū)間是—.

13.已知一組樣本數(shù)據(jù)X2,…，xio,且x：+x；+…+￡)=2020,平均數(shù)5=11,則該組數(shù)據(jù)的標準差為.

14.AABC中，若sinA—cosA=0,則角A的取值集合為.

15.已知sin("-a)+2cos(;r+a)=0,則--------=_________.

sinacosa

16.函數(shù)〃X)=J2X2-5x+2的單調(diào)減區(qū)間為

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.為保護環(huán)境，污水進入河流前都要進行凈化處理.我市工業(yè)園區(qū)某工廠的污水先排入凈化池，然后加入凈化劑進行

凈化處理.根據(jù)實驗得出，在一定范圍內(nèi)，每放入1個單位的凈化劑，在污水中釋放的濃度y(單位：毫克/立方米)隨

>+1,0<x<3

著時間x(單位：小時)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=18.若多次加進凈化劑，則某一時刻凈化劑在

——；——，x>3

l2x-3+r

污水中釋放的濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.由實驗知，當凈化劑在污水中釋放的濃度不低于

4(毫克/立方米)時，它才能起到凈化污水的作用.

(1)若投放1個單位的凈化劑4小時后，求凈化劑在污水中釋放的濃度；

(2)若一次投放4個單位的凈化劑并起到凈化污水的作用，則凈化時間約達幾小時？(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：

lg2Ho.3,lgl7?1.23)

(3)若第一次投放1個單位的凈化劑，3小時后再投放2個單位的凈化劑，設(shè)第二次投放f小時后污水中凈化劑濃度

為g(。(毫克/立方米)，其中0</<3,求g“)的表達式和濃度g(。的最小值.

18.已知函數(shù)/(jc)=—cos2X-—sinxcosx+m一g，°上的最小值為3

v722L3J4

(1)求/(x)在R上的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當xeR時，求/(x)的最大值以及取最大值時x的取值集合

19.在①〃log??1/；②函數(shù)/(x)為偶函數(shù)：③0是函數(shù)y=/(x)-2的零點這三個條件中選一個條件補充在

下面問題中，并解答下面的問題

問題：已知函數(shù)/（x）=2'+卷，aeR,且______

（1）求函數(shù)“X）的解析式；

（2）判斷函數(shù);'（X）在區(qū)間［0,+。）上的單調(diào)性，并用定義證明

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分

,21

20.（1）計算9^+（log35）?（log1003）+^|

logsiu

2

（2）已知〃3=2+百，求」—I的值

21.已知久〉O,y〉0且［9,求使不等式久+y之小恒成立的實數(shù)，〃的取值范圍

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1、C

【解析】利用兩點間的距離公式結(jié)合點到直線的距離公式即可求解.

【詳解】解：（了+丁+⑶一？）?表示點（一1,2）與直線x+y+3=0上的點（x,y）的距離的平方

所以（x+l『+（y—2）2的最小值為點（―1,2）到直線x+y+3=0的距離的平方

所以最小值為：（卜;+2+3］=8

故選：C.

2,A

【解析】點4（1,2,3）、3（3,4,5）,

由中點坐標公式得中得為：］彳,三士,手］,即（2,3,4）.

故選A.

3、D

【解析】A選項，舉出反例；B選項，兩函數(shù)定義域不同；C選項，利用三角函數(shù)定義求解；D選項，待定系數(shù)法求

出解析式，從而得到答案.

【詳解】A選項，當。=11=一2時，滿足而故A錯誤；

ab

B選項，/(x)=x2定義域為R,8(司=(五/定義域為［0,+8),兩者不是同一個函數(shù)，B錯誤；

3

C選項，cosa=――9C錯誤；

D選項，設(shè)/(x)=N,將(J5,2)代入得：(烏"=2,解得：a=2,所以/(3)=9,D正確.

故選：D

4、C

3—4。20

1a

【解析】由/(X)在R上單調(diào)遞減可知｛3。21由方程|/(X)|=2-X恰好有兩個不相等的實數(shù)解，

0<?<134

123

可知3a42,,-<?<-,又a=w時，拋物線y=Y+(4a—3)x+3a與直線y=2-x相切，也符合題意，，實數(shù)a

的取值范圍是［，于。W,故選C.

【考點】函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用

【名師點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解

5,B

【解析】因為函數(shù)/(月=5皿仁+看)的最小正周期是=故先排除選項D；又對于選項C：

，(9)=sin(2x?+f*±l,對于選項A：=卜±1,故A、。均被排除，應(yīng)選B.

6、B

【解析】取4片的中點石，則由三角形的中位線的性質(zhì)可得GE平行且等于的一半，故NEG”或其補角即為異

面直線與GH所成的角.設(shè)正方體的棱長為1,則EG=5,A、B=^=GH=EH，故AEG”為等邊三角形,

故NEGH=60。

考點：空間幾何體中異面直線所成角.

【思路點睛】本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，找出兩異面直線所成的角，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了等價

轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.取4用的中點E,由三角形的中位線的性質(zhì)可得NEG"或其補角即為異面直線AB與G"所成的

角.判斷AEG”為等邊三角形，從而求得異面直線與G”所成的角的大小

7、A

【解析】利用正切的誘導(dǎo)公式即可求解.

【詳解】tan(-330)=tan(-330+360°)=tan30=事，

故選：A.

8、C

【解析】根據(jù)古典概型概率的計算公式直接計算.

【詳解】由題意可知甲、乙兩名志愿者分別從7個比賽小項中各任選一項參加志愿服務(wù)工作共有7x7=4消情況，

其中甲、乙兩名志愿者選擇同一個比賽小項進行志愿服務(wù)工作共7種，

所以甲、乙兩名志愿者選擇同一個比賽小項進行志愿服務(wù)工作的概率是，

7__1

4917

故選：C.

9、D

【解析】由求得B=(-2,T),再利用向量的坐標運算求解.

【詳解】解：因為：=(1,2),3=(-2,m)，且以

所以機=-4,B=(-2,-4),

所以2a+3b=(-4,-8),

故選：D

10、D

■尸)=0\m=?>

【解析】Tf(x)的圖象過點(4,0)和(7,1),：.</.f(x)=log4(x-3)Af(x)是增函

現(xiàn)尸)=1[a=4

數(shù)(x)的定義域是(3,+oo),不關(guān)于原點對稱.；.f(x)為非奇非偶函數(shù)

故選D

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11、?.[-1,3]②.[0,2]

【解析】解不等式3+2x-x2zo可得出原函數(shù)的定義域，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出原函數(shù)的值域.

詳解】對于函數(shù)y=j3+2x_f,有3+2%-丁20,即X2—2X—3W0,解得一1WXW3,

且y=yj3+2x-x2=^-（X-1）2+4e[0,2].

因此，函數(shù)-=，3+2%-1的定義域為[一1,3],值域為[0,2].

故答案為：[一1,3]；[0,2].

12、（—l,+oo）

【解析】設(shè)函數(shù)M=-/-2X+3/=（；）",再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理求解.

【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域為R.

設(shè)函數(shù)w=-丁一21+3#=,

因為函數(shù)“=一/一2x+3的單調(diào)遞減區(qū)間為（一L+8），單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,-1）,

函數(shù)u=（g）"是單調(diào)遞減函數(shù)，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)尸（!嚴7的單調(diào)遞增區(qū)間為（T+co）.

故答案為：（-1,+00）

13、9

【解析】根據(jù)題意，利用方差公式計算可得數(shù)據(jù)的方差，進而利用標準差公式可得答案

【詳解】根據(jù)題意，一組樣本數(shù)據(jù)王,孫…,/，且X：+后+…+冢=2020,

平均數(shù)1=11，

則其方差5一=伍《七一龍）+（々-%）+…+（X]O—X））

毛卜;+石++襦一而）=5（2020-10x1「）=81,

則其標準差5=a=9，

故答案為：9.

萬

14、〈

~4

【解析】AABC中，由tanA=l,求得A的值

【詳解】???△ABC中，tanA=l>0,故Aw|o，W

1

/.A=—

4

、71

故答案為a

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡，及與三角形的綜合，應(yīng)注意三角形內(nèi)角的范圍

【解析】利用誘導(dǎo)公式化簡等式sin(萬一a)+2cos(%+a)=0,可求出tantz的值，將所求分式變形為

I1_si?n2~a+cos2~a

,在所得分式的分子和分母中同時除以cos2a，將所求分式轉(zhuǎn)化為只含tana的代數(shù)式,

sinacosasinacosa

代值計算即可.

【詳解】?..sin(7T—a)+2cos(/r+a)=0,...sina-2cosa=0,tana-2,

因此I_sin?a+cos2a_tan2a+l_22+l_5

sinacosasinacosatana22

故答案為：

2

【點睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式和弦化切思想求值，解題的關(guān)鍵就是求出tana的值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、,0°，5

【解析】由塞函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則即可求解.

【詳解】解：函數(shù)/(X)=J2X2—5X+2的定義域為［一叫；U［2,+8),

令/(〃)=4，w(x)=2x2-5x4-2,U［2,+oo),

因為函數(shù)/(“)=4在［0,+8)上單調(diào)遞增，"(》)=2%2-5%+2在1-81上單調(diào)遞減，在［2,+8)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)/(力=也十-5x+2的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為[2,+8).

故答案為：f-00，—.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)6毫克/立方米

(2)7.1(3)g(f)=，|1+2(2'+l),()<f?3;g")的最小值為12毫克/立方米

【解析】(D由函數(shù)解析式，將x=4代入即可得解；

(2)分OWxW3和x>3兩種情況討論，根據(jù)題意列出不等式，從而可得出答案；

(3)根據(jù)題意寫出函數(shù)g(r)的解析式，再根據(jù)基本不等式即可求得最小值.

【小問1詳解】

2V+1,0<x<3

解：由y=118，

——；——，尤>3

[2X-3+1

18

當x=4時，y=—7-；—=6,

-24-3+1

所以若投放1個單位的凈化劑4小時后，凈化劑在污水中釋放的濃度為6毫克/立方米；

【小問2詳解】

解：因為凈化劑在污水中釋放的濃度不低于4(毫克/立方米)時，它才能起到凈化污水的作用，

當OWxV3時，令4(2'+1)24,得2*20恒成立，

所以當0WxW3時，起到凈化污水的作用，

1217123

當尢>3時，令,?之4,得2、-3+1418,則x-3Wlog217="axr=4.1,

2+1lg20.37

所以3<xK7.1,

綜上所述當0WXW7.1時，起到凈化污水的作用，

所以若一次投放4個單位的凈化劑并起到凈化污水的作用，則凈化時間約達7.1小時；

【小問3詳解】

解：因為第一次投入1個單位的凈化劑，3小時后再投入2個單位凈化劑，要計算的是第二次投放，小時后污水中凈化

劑濃度為g(。，

所以+++0<r<3,

因為2'+l>0,

所以ST+2(2'+1)22，券-2(2,+1)=12,

1O

當且僅當1—=2(2'+1),即f=l時取等號，

2,+1\'

1O

所以g")=777+2(7+1)，0<?43，

當f=l時，g⑺取最小值12毫克/立方米.

2萬7兀1

18、(1)單調(diào)遞增區(qū)間----+攵7，——+攵7

36

3

(2)最大值為一，此時x的取值集合為xx------F女乃，攵eZ1

26

【解析】(1)先由三角變換化簡解析式，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出單調(diào)性;

(2)由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出m的值，進而再求最大值.

【小問1詳解】

/(x)lcos2x-^sin2xl|cos1

=++W=H-----\-m,

,+f)4

jr271K

令一7t+2k7i42xH—K2k兀，keZ,解得-----nkit<x?------Fkix,,keZ

336

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一k+br,+br(kwZ)

_36

【小問2詳解】

業(yè)「%「、

7HaC7/=1X1+1+，n=5，

當J時，§外一1'石>Wmini244

解得加=1,所以/(x)=gcos(2x+?)+l,

當2x+—=2版■,ZeZ,即戶——+k7r,AeZ時，/(x)取得最大值，且最大值一

362

3TC

故/(力的最大值為7,此時X的取值集合為xx=—1+版■次eZ>

19、⑴/(x)=2'+—

(2)單調(diào)遞增，證明見解析

【解析】(1)若選條件①，根據(jù)/(log23)=弓及指數(shù)對數(shù)恒等式求出。的值，即可求出函數(shù)解析式；若選條件②，

根據(jù)/(力=/(一力，即可得到(。―1乂2'-2-')=0,從而求出。的值，即可求出函數(shù)解析式；若選條件③，直接代

入即可得到方程，求出。的值，即可求出函數(shù)解析式；

(2)利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性，按照設(shè)元、作差、變形、判斷符號、下結(jié)論的步驟完成即可；

【小問1詳解】

解：若選條件①.因為/(1里23)=5，

所以尹+-^=3,即3+9=3

2嘀3333

解得a=l.所以/(x)=2'+!

若選條件②.函數(shù)/(x)的定義域為R.因為〃x)為偶函數(shù)，

所以VxeR,/(x)=/(-%),即VxwR,

2x+a-2-x=2~x+a-2x,化簡得VxeR,(a-l)(2x-2-JC)=0

所以a—1=0,即a=l.所以/(x)=2'+《

若選條件③.由題意知，了(0)-2=0,

即2°+/—2=0,解得a=l.所以/(x)=2*+5

【小問2詳解】

解：函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增

證明如下：VX1,X2G(0,+oO),且右＜々，

則/(%))-/(