新教材2024版高中數(shù)學第三章圓錐曲線的方程3.3拋物線3.3.1拋物線及其標準方程課后提能訓練新人教A版選擇性必修第一冊

3．3.1拋物線及其標準方程A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(2023年沈陽月考)拋物線x2＝16y的準線方程為 ()A．y＝－4 B．y＝－8C．x＝－4 D．x＝－8【答案】A【解析】由已知2p＝16，所以p＝8，所以準線方程為y＝－4.2．(2023年大連月考)點M(5，3)到拋物線y＝ax2準線的距離為6，則拋物線的方程是 ()A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝eq\f(1,12)x2或y＝－eq\f(1,36)x2【答案】D【解析】分兩類a>0，a<0可得y＝eq\f(1,12)x2，y＝－eq\f(1,36)x2.3．已知拋物線的方程為x＝eq\f(1,36)y2，則該拋物線的準線方程是 ()A．x＝－6 B．x＝－9C．y＝－9 D．y＝－6【答案】B【解析】x＝eq\f(1,36)y2，焦點在x軸上，且eq\f(p,2)＝9，所以拋物線的準線方程是x＝－9.4．拋物線y＝2x2的焦點到準線的距離為 ()A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,2) C．eq\f(1,4) D．4【答案】C【解析】根據(jù)題意，拋物線的方程為y＝2x2，其標準方程為x2＝eq\f(1,2)y，其中p＝eq\f(1,4)，則拋物線的焦點到準線的距離p＝eq\f(1,4).5．O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4eq\r(2)x的焦點，P為C上一點，若|PF|＝4eq\r(2)，則△POF的面積為 ()A．2 B．2eq\r(2) C．2eq\r(3) D．4【答案】C【解析】拋物線C的準線方程為x＝－eq\r(2)，焦點F(eq\r(2)，0)，由|PF|＝4eq\r(2)及拋物線的定義知，P點的橫坐標xP＝3eq\r(2)，從而yP＝±2eq\r(6)，所以S△POF＝eq\f(1,2)|OF|·|yP|＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(6)＝2eq\r(3).6．設(shè)拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上的一點，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－eq\r(3)，那么|PF|＝ ()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】如圖，∠AFE＝60°，因為點F(2，0)，所以點E(－2，0)，則eq\f(|AE|,|EF|)＝tan60°，即|AE|＝4eq\r(3)，所以點P的坐標為(6，4eq\r(3))，故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.7．(多選)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直于l且交l于點Q，M，N分別為PQ，PF的中點，MN與x軸相交于點R，若∠NRF＝60°，則以下結(jié)論中正確的是 ()A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1C．|FP|＝4 D．|FR|＝4【答案】AC【解析】如圖，連接FQ，F(xiàn)M，因為M，N分別為PQ，PF的中點，所以MN∥FQ.因為PQ∥x軸，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°.由拋物線的定義知|PQ|＝|PF|，所以△FQP為等邊三角形，則FM⊥PQ，|QM|＝2，等邊三角形FQP的邊長為4，|FP|＝|PQ|＝4，因為四邊形FRMQ為平行四邊形，所以|FR|＝|QM|＝2.故選AC.8．已知P為拋物線y2＝4x上的任意一點，記點P到y(tǒng)軸的距離為d，對于定點A(4，5)，|PA|＋d的最小值為________．【答案】eq\r(34)－1【解析】拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準線l：x＝－1.由題意得d＝|PF|－1，所以|PA|＋d＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝eq\r((4－1)2＋52)－1＝eq\r(34)－1，當且僅當A，P，F(xiàn)三點共線時，|PA|＋d取得最小值eq\r(34)－1.9．拋物線y2＝2px(p>0)上一點M的橫坐標為3，且|MF|＝2p，則拋物線的方程為________．【答案】y2＝4x【解析】拋物線的準線方程為x＝－eq\f(p,2)，所以|MF|＝3＋eq\f(p,2)＝2p，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.10．如圖，拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點F在y軸上，準線l與圓x2＋y2＝1相切．(1)求拋物線C的方程；(2)若點A，B都在拋物線C上，且eq\o(FB,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，求點A的坐標．解：(1)依題意，可設(shè)拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，其準線l的方程為y＝－eq\f(p,2).因為準線l與圓x2＋y2＝1相切，所以圓心(0，0)到準線l的距離d＝0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)))＝1，解得p＝2.故拋物線C的方程為x2＝4y.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x12＝4y1①，,x22＝4y2②，))由題意得F(0，1)，所以eq\o(FB,\s\up6(→))＝(x2，y2－1)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1).因為eq\o(FB,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，所以(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1，2y1)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2x1，,y2＝2y1＋1，))代入②得4x12＝8y1＋4，即x12＝2y1＋1.又因為x12＝4y1，所以4y1＝2y1＋1，解得y1＝eq\f(1,2)，x1＝±eq\r(2)，故點A的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(1,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，\f(1,2))).B級——能力提升練11．(多選)已知拋物線y2＝10x，則下列對于該拋物線的說法中正確的是 ()A．焦點在y軸上B．準線方程為x＝－eq\f(5,2)C．拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6D．由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標可以為(2，1)【答案】BD【解析】拋物線y2＝10x的焦點在x軸上，準線方程為x＝－eq\f(5,2)，A錯誤，B正確；設(shè)M(1，y0)是y2＝10x上一點，則|MF|＝1＋eq\f(p,2)＝1＋eq\f(5,2)＝eq\f(7,2)≠6，C錯誤；由于拋物線y2＝10x的焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，過該焦點的直線方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))，若由原點向該直線作垂線，垂足為(2，1)時，則k＝－2，D正確．故選BD.12．拋物線有如下光學性質(zhì)：由焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必經(jīng)過拋物線的焦點．若拋物線y2＝4x的焦點為F，一平行于x軸的光線從點M(3，1)射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點B射出，則直線AB的斜率為 ()A．eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3) C．±eq\f(4,3) D．－eq\f(16,9)【答案】B【解析】將y＝1代入y2＝4x，可得x＝eq\f(1,4)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).由拋物線的光學性質(zhì)可知，直線AB過焦點F(1，0)，所以直線AB的斜率k＝eq\f(1－0,\f(1,4)－1)＝－eq\f(4,3).13．以橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的右頂點為焦點的拋物線的標準方程為________．【答案】y2＝16x【解析】因為橢圓的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，所以右頂點為(4，0).設(shè)拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0)，則eq\f(p,2)＝4，即p＝8，所以拋物線的標準方程為y2＝16x.14．(2023年武漢月考)如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(a<b)，原點O為AD的中點，拋物線y2＝2px(p>0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點，則eq\f(b,a)＝________．【答案】1＋eq\r(2)【解析】結(jié)合題意和拋物線的定義得點D為拋物線的焦點，|AD|＝p＝a，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋b，b))，將點F的坐標代入拋物線的方程得b2＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋b))＝a2＋2ab，變形得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－eq\f(2b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝1＋eq\r(2)或eq\f(b,a)＝1－eq\r(2)(舍去).所以eq\f(b,a)＝1＋eq\r(2).15．已