天津市寶坻區(qū)大口屯高中2023年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

天津市寶坻區(qū)大口屯高中2023年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知實數(shù)，滿足，則函數(shù)零點所在區(qū)間是()A. B.C. D.2．設(shè)，，則的結(jié)果為（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，則在下列區(qū)間中必有零點的是()A.(－2，－1) B.(－1,0)C.(0,1) D.(1,2)4．某學(xué)校在數(shù)學(xué)聯(lián)賽的成績中抽取100名學(xué)生的筆試成績，統(tǒng)計后得到如圖所示的分布直方圖，這100名學(xué)生成績的中位數(shù)估值為A.80 B.82C.82.5 D.845．已知點P(1，a)在角α的終邊上，tan＝－則實數(shù)a的值是（）A.2 B.C.－2 D.－6．若，則的最小值為A.-1 B.3C.-3 D.17．已知函數(shù)，若，則的值為A. B.C.-1 D.18．已知角的終邊過點，則等于（）A.2 B.C. D.9．若定義運算，則函數(shù)的值域是（）A.(-∞，+∞) B.[1，+∞)C.(0.+∞) D.(0，1]10．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，則不等式解集為A. B.C. D.11．已知六邊形是邊長為1的正六邊形，則的值為A. B.C. D.12．已知點的坐標分別為,直線相交于點,且直線的斜率與直線的斜率的差是1,則點的軌跡方程為A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．若，，且，則的最小值為__________14．已知，且，則的值為______15．___________16．已知正三棱柱的所有頂點都在球的球面上，且該正三棱柱的底面邊長為2，高為，則球的表面積為________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．某旅游風(fēng)景區(qū)發(fā)行的紀念章即將投放市場，根據(jù)市場調(diào)研情況，預(yù)計每枚該紀念章的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：上市時間x天2620市場價y元10278120（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個恰當?shù)暮瘮?shù)描述該紀念章的市場價y與上市時間x的變化關(guān)系并說明理由：①；②；③；（2）利用你選取的函數(shù)，求該紀念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格；（3）利用你選取的函數(shù)，若存在，使得不等式成立，求實數(shù)k的取值范圍.18．如圖，在直三棱柱中，點為的中點，，，.（1）證明：平面.（2）求三棱錐的體積.19．已知，.（1）求的值；（2）求的值.20．設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.（1）求；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，求實數(shù)k的取值范圍.21．設(shè)函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的零點；（2）當時，判斷的奇偶性并給予證明；（3）當時，恒成立，求m的最大值.22．定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱函數(shù)的一個上界.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；（2）在第（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；（3）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】首先根據(jù)已知條件求出，的值并判斷它們的范圍，進而得出的單調(diào)性，然后利用零點存在的基本定理即可求解.【詳解】∵，，∴，，∴，且為增函數(shù)，故最多只能有一個零點，∵，，∴，∴在內(nèi)存在唯一的零點.故選：B.2、D【解析】根據(jù)交集的定義計算可得；【詳解】解：因為，，所以故選：D3、B【解析】根據(jù)存在零點定理，看所給區(qū)間的端點值是否異號，，，，所以，那么函數(shù)的零點必在區(qū)間考點：函數(shù)的零點4、B【解析】中位數(shù)的左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值，，中位數(shù)為，故選B.5、C【解析】利用兩角和的正切公式得到關(guān)于tanα的值，進而結(jié)合正切函數(shù)的定義求得a的值.【詳解】∵，∴tanα＝－2，∵點P(1，a)在角α的終邊上，∴tanα＝＝a，∴a＝－2.故選：C.6、A【解析】分析：代數(shù)式可以配湊成，因，故可以利用基本不等式直接求最小值.詳解：，當且僅當時等號成立，故選A.點睛：利用基本不等式求最值時，要注意“一正、二定、三相等”，有時題設(shè)給定的代數(shù)式中沒有和為定值或積為定值的形式，我們需要對代數(shù)式變形，使得變形后的代數(shù)式有和為定值或者積為定值.特別要注意檢驗等號成立的條件是否滿足.7、D【解析】,選D點睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.8、B【解析】由正切函數(shù)的定義計算【詳解】由題意故選：B9、D【解析】作出函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像即可得出結(jié)論.【詳解】由題意分析得：取函數(shù)與中的較小的值，則，如圖所示（實線部分）：由圖可知：函數(shù)的值域為：.故選：D.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用.考查了數(shù)形結(jié)合思想.屬于較易題.10、B【解析】，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，解得.考點：偶函數(shù)的性質(zhì).【思路點睛】本題主要考查不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)函數(shù)奇偶性可得，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得；然后再解不等式即可求出結(jié)果11、D【解析】如圖，，選D.12、B【解析】設(shè)，直線的斜率為，直線的斜率為.有直線的斜率與直線的斜率的差是1,所以.通分得：，整理得：.故選B.點睛：求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)＝0（2）待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程（3）定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程（4）代入(相關(guān)點)法：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而運動，常利用代入法求動點P(x，y)的軌跡方程二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、##【解析】運用均值不等式中“1”的妙用即可求解.【詳解】解：因為，，且，所以，當且僅當時等號成立，故答案為：.14、【解析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系，利用結(jié)合兩角和的余弦公式即可求出【詳解】，，，，，故答案為.【點睛】本題主要考查同角的三角函數(shù)的關(guān)系，兩角和的余弦公式，屬于中檔題.已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便可運用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值，角的變換是解題的關(guān)鍵15、【解析】利用、兩角和的正弦展開式進行化簡可得答案.【詳解】故答案為：.16、【解析】首先判斷正三棱柱外接球的球心，即上下底面正三角形中心連線的中點，然后構(gòu)造直角三角形求半徑，代入公式求解.【詳解】如圖：設(shè)和分別是上下底面等邊三角形的中心，由題意可知連線的中點就是三棱柱外接球的球心，連接，是等邊三角形，且，，，球的表面積.故答案為：【點睛】本題考查求幾何體外接球的表面積的問題，意在考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化與化歸和計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）選擇，理由見解析，（2）上市天數(shù)10天，最低價格70元，（3）【解析】(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性選取即可.(2)把點代入中求解參數(shù),再根據(jù)二次函數(shù)的最值求解即可.(3)參變分離后再求解最值即可.【詳解】（1）隨著時間x的增加，y的值先減后增，而所給的三個函數(shù)中和顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，∴選擇.（2）把點代入中，得，解得，∴當時，y有最小值故當紀念章上市10天時，該紀念章的市場價最低，最低市場價為70元，（3）由題意，令，若存在使得不等式成立，則須，又，當且僅當時，等號成立，所以.【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)模型解決實際問題的題型,需要根據(jù)題意求解對應(yīng)的二次函數(shù)式再分析最值與求參數(shù).屬于中等題型.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）在平面內(nèi)作出輔助線，然后根據(jù)線面平行判定定理證明即可；（2）作出三棱錐的高，將看作三棱錐的底面，利用三棱錐體積公式計算即可.【小問1詳解】證明：連接，交于，連接，因為是直三棱柱，所以為中點，而點為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面【小問2詳解】解：過作于，因為是直三棱柱，點為的中點，所以，且底面，所以,因為，所以，則,所以19、（1）；（2）.【解析】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，進而利用二倍角的正弦函數(shù)公式即可計算得解；（2）由（1）及兩角和的余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式即可計算得解．試題解析：（1）由題意得：，∴.（2）∵，，∴.20、（1）；（2）.【解析】（1）分析得到關(guān)于的不等式，解不等式即得解；（2）等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有且只有一個交點，再對分類討論得解.【小問1詳解】解：因為，在上單調(diào)遞減，所以，解得.又，且，解得.綜上，.【小問2詳解】解：由（1）知，所以.由于函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有且只有一個交點.①當即時，函數(shù)單調(diào)遞增，，于是有，解得；②當即時，函數(shù)先增后減有最大值，于是有即，解得.故k的取值范圍為.21、（1）﹣3和1（2）奇函數(shù)，證明見解析（3）3【解析】（1）令求解；（2）由（1）得到，再利用奇偶性的定義判斷；（3）將時，恒成立，轉(zhuǎn)化為，在上恒成立求解.【小問1詳解】解：當時，由，解得或，∴函數(shù)的零點為﹣3和1；【小問2詳解】由（1）知，則，由，解得，故的定義域關(guān)于原點對稱，又，，∴，∴是上的奇函數(shù).【小問3詳解】∵，且當時，恒成立，即，在上恒成立，∴，在上恒成立，令，易知在上單調(diào)遞增∴，∴，故m的最大值為3.22、(1)；(2)；(3).【解析】（1）由函數(shù)為奇函數(shù)可得，即，整理得，可得，解得，經(jīng)驗證不合題意．（2）根據(jù)單調(diào)性的定義可證明函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，從而可得在區(qū)間上的值域為，故，從而可得所有上界構(gòu)成的集合為．（3）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，整理得在上恒成立，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性求得即可得到結(jié)果試題解析：（1）∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴，即，∴，∴，解得，當時，，不合題意，舍去∴.（2）由（1）得，設(shè)，令，且，∵；∴在上是減函數(shù)，∴在上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴在區(qū)間上是單調(diào)遞增，∴，即，