第2章振動(dòng)分析基礎(chǔ)第1節(jié)

HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第2章振動(dòng)分析基礎(chǔ)振動(dòng)系統(tǒng)可分為離散模型和連續(xù)模型兩種不同的類型。離散模型具有有限個(gè)自由度，而連續(xù)模型則具有無(wú)限個(gè)自由度。系統(tǒng)的自由度定義為能完全描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所必須的獨(dú)立的坐標(biāo)個(gè)數(shù)。在離散模型中，最簡(jiǎn)單的是單自由度線性系統(tǒng)，它用一個(gè)二階常系數(shù)微分方程來(lái)描述。這類模型常用來(lái)作為較復(fù)雜系統(tǒng)的初步近似描述。HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可通過(guò)模態(tài)分析技術(shù)轉(zhuǎn)化為一組獨(dú)立的二階常微分方程，其中每一個(gè)方程都類似于單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。因此，對(duì)單自由度系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)深入的分析是十分必要的。HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院2.1

單自由度系統(tǒng)

構(gòu)成離散模型的元素有三個(gè)：慣性元件m質(zhì)量元件則看作剛體等效集中質(zhì)量彈性元件k通常假定彈簧為無(wú)質(zhì)量元件等效集中剛度阻尼元件c阻尼器一般也假設(shè)為無(wú)質(zhì)量粘性阻尼激振力p(t)HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院一、單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

單自由度彈簧-阻尼器-質(zhì)量系統(tǒng)可由下圖表示，用牛頓定律來(lái)建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院衰減系數(shù)固有角頻率固有頻率周期有阻尼固有角頻率二、自由振動(dòng)HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院1、臨界阻尼振動(dòng)系統(tǒng)臨界阻尼阻尼比HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院2、無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)固有角頻率有阻尼固有角頻率阻尼比HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院3、減幅阻尼振動(dòng)系統(tǒng)HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院對(duì)數(shù)衰減率HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院對(duì)數(shù)衰減率HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院例：實(shí)驗(yàn)觀察到一有阻尼單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)幅值在5個(gè)完整的周期后衰減了50%，設(shè)系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計(jì)算系統(tǒng)的阻尼。HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院4、負(fù)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院三、受迫振動(dòng)HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院1.受迫振動(dòng)的頻率在簡(jiǎn)諧激振力作用下，系統(tǒng)的受迫振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的頻率等于激振力的頻率。

2．受迫振動(dòng)的振幅決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激振力的大小及頻率，而與初始條件無(wú)關(guān)，初始條件只影響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動(dòng)。

HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院

(1)當(dāng)頻率比很小，即激振頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，無(wú)論阻尼的大小如何，動(dòng)力放大因子都趨近于1，受迫振動(dòng)的振幅近似等于與激振力幅值相等的靜力作用下系統(tǒng)的靜變位，因此這個(gè)區(qū)域有時(shí)稱為“準(zhǔn)靜態(tài)區(qū)”。HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院（2）當(dāng)頻率比很大，即激振頻率遠(yuǎn)高于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，動(dòng)力放大因子很小并逐漸趨近于零，受迫振動(dòng)的振幅主要決定于系統(tǒng)的慣性而阻尼的影響不大，因此，這個(gè)區(qū)域有時(shí)稱為“慣性區(qū)”。HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院（3）當(dāng)頻率比λ≈1，即激振頻率接近于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，動(dòng)力放大因子β迅速增大，受迫振動(dòng)的振幅急劇增加。在阻尼較小的情況下，振幅A可以比靜變位大很多倍，在無(wú)阻尼的情況下，振幅為無(wú)窮大。通常我們把激振頻率與系統(tǒng)固有頻率相等（λ＝1）的振動(dòng)狀態(tài)稱為共振，λ＝1附近的區(qū)域稱為“共振區(qū)”。在共振區(qū)內(nèi)阻尼的影響很大，阻尼越小共振表現(xiàn)得越強(qiáng)烈，因此共振區(qū)也稱為“阻尼區(qū)”。HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院

3.受迫振動(dòng)的位移與激振力有相位差，它們不是同時(shí)達(dá)到最大值和零值。相位差的數(shù)值與系統(tǒng)的阻尼及頻率比的關(guān)系。共振（λ＝1）時(shí)，無(wú)論系統(tǒng)的阻尼大小，振動(dòng)位移總是比激振力滯后90o，即相位差φ＝90o。若系統(tǒng)無(wú)阻尼，當(dāng)ω＜ω。時(shí)，振動(dòng)位移與激振力同相位（φ＝0o）當(dāng)ω＞ω。時(shí)，振動(dòng)位移與激振力相位相反（Φ＝180o）。在共振點(diǎn)前后相位發(fā)生突然的變化。

HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院若系統(tǒng)有阻尼，振動(dòng)位移與激振力之間的相位差隨頻率比的增加而逐漸增大，不會(huì)發(fā)生突然的變化，但在共振點(diǎn)前后變化較大。系統(tǒng)阻尼越小，共振點(diǎn)附近相位差隨頻率的變化越大。振動(dòng)測(cè)試中，常應(yīng)用共振點(diǎn)前后響應(yīng)與激振力之間的相位差發(fā)生較大變化這個(gè)事實(shí)作為確定共振點(diǎn)的一個(gè)指標(biāo)。HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院4.根據(jù)實(shí)測(cè)的幅頻特性曲線可計(jì)算出系統(tǒng)的阻尼。系統(tǒng)共振時(shí)（λ＝1）的動(dòng)力放大因子有時(shí)稱為系統(tǒng)的“品質(zhì)因數(shù)”以符號(hào)Q表示，也是一個(gè)常用來(lái)描述系統(tǒng)阻尼特性的量，Q值越大阻尼越小。Q的近似值可由實(shí)測(cè)的幅頻特性曲線計(jì)算出來(lái)。HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院稱為半功率點(diǎn)。半功率點(diǎn)所對(duì)應(yīng)頻率之差稱為半功率點(diǎn)帶寬，在小阻尼情況下，不難證明，半功率點(diǎn)帶寬HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院由于阻尼耗散的能量與振幅的平方成正比，故P點(diǎn)常稱為半功率點(diǎn)，半功率點(diǎn)公式提供了一種確定系統(tǒng)阻尼比的實(shí)用方法，由以上分析可見(jiàn)，當(dāng)阻尼大時(shí)，帶寬△。就寬，過(guò)共振時(shí)振輻變化平緩，振幅較小，反之，阻尼小時(shí)，帶寬就窄，過(guò)共振時(shí)振幅變化較陡，振幅就大。所以，品質(zhì)因數(shù)Q反映了系統(tǒng)阻尼的強(qiáng)弱性質(zhì)和共振峰的陡峭程度。在機(jī)床系統(tǒng)中，為了過(guò)共振時(shí)比較平穩(wěn)，希望Q值小些。

HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院以O(shè)B為直徑所作的圓叫“等頻率圓”，圓上每一點(diǎn)的頻率相等，虛軸代表λ

＝1，復(fù)頻響應(yīng)曲線同時(shí)表示了幅頻特性和相頻特性，因此稱為幅相特性曲線（或諧響應(yīng)軌跡）有時(shí)也應(yīng)用“控制工程”的名稱，稱為乃奎斯特圖或矢端圖。

HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院在復(fù)平面上，用復(fù)矢量將運(yùn)動(dòng)方程中的各項(xiàng)表示出來(lái)，可以使我們對(duì)系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)祖中的受力情況有一個(gè)形象的了解。HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院任何真實(shí)的機(jī)械或結(jié)構(gòu)，在振動(dòng)過(guò)程中總會(huì)受到某種阻力的作用。阻力的種類很多，如兩個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)表面之間的摩擦力、空氣或液體的阻力、材料的內(nèi)摩擦力等等，這些阻力統(tǒng)稱為阻尼。系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中，阻尼要耗散能量，因而使自由振動(dòng)逐漸衰減，使共振振幅不可能無(wú)限制的增大。當(dāng)系統(tǒng)作稱態(tài)受迫振動(dòng)時(shí)，阻尼所耗散的能量必定等于外部激振力對(duì)系統(tǒng)所作的功四、系統(tǒng)的阻尼HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院1、激振力作功HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院簡(jiǎn)諧激振力每周作功的大小，不僅決定于力幅與振幅的大小，還決定于兩者之間的相位差。HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院2、阻尼力作功HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院可以證明阻尼力所作的功等于激振力所作的功3、等效的粘性阻尼由于粘性阻尼是線性阻尼，在數(shù)學(xué)上最容易處理，因此其它性質(zhì)的非線性阻尼常常用等效的粘性阻尼來(lái)代替。等效粘性阻尼根據(jù)這樣的原則確定：在一個(gè)振動(dòng)周期中等效粘性阻尼所耗散的能量與它所代替的阻尼所耗散的能量相等。HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院干摩擦力F一般說(shuō)是一個(gè)常力。它在整個(gè)受迫振動(dòng)過(guò)程中大小不變，但方向始終與運(yùn)動(dòng)方向相反。當(dāng)質(zhì)量從平衡位置移動(dòng)到最大偏離位置時(shí)，即在1/4周期內(nèi)，摩擦力作功為FA。從最大偏離位置返回時(shí)運(yùn)動(dòng)方向相反，摩擦力也隨著反向，在1/4周期內(nèi)仍作功FA.以后每1/4周都如此，所以一個(gè)整周期中作功總和為1）干摩擦阻尼HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院2）結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼是由于不完全彈性材料的內(nèi)摩擦所引起的一種阻尼，大量的試驗(yàn)表明，在一個(gè)振動(dòng)周期中，由于材料內(nèi)摩擦所耗散的能量等于材料的應(yīng)力一應(yīng)變遲砌國(guó)線所包圍的面積，近似地與振幅的平方成正比。HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院簡(jiǎn)諧激振不僅是周期性的，還是諧和的，是周期性激振的最簡(jiǎn)單情況。實(shí)踐中，還經(jīng)常碰到這樣的激振，它雖然是周期的，但卻不是諧和的，激振隨時(shí)間的變化規(guī)律不能僅用一項(xiàng)正弦或余弦函數(shù)表達(dá)出來(lái)。解決這類間題的有效方法是將非諧周期性激振展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，然后利用疊加原理。任何周期函數(shù)都可展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)（三角級(jí)數(shù)）的形式。

五、非諧周期性激振HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院系統(tǒng)對(duì)周期性激振的響應(yīng)也是周期性的，響應(yīng)的周期與激振的周期相同。如果激振f(t)的某次諧波分量的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率，則系統(tǒng)也將發(fā)生共振。所以，單自由度系統(tǒng)不僅在受到激振頻率等于系統(tǒng)固有頻率的簡(jiǎn)諧激振時(shí)會(huì)出現(xiàn)共振，而且在受到其某次諧波的頻率等于系統(tǒng)固有頻率的周期激振時(shí)也會(huì)出現(xiàn)共振。HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動(dòng)力學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院