中考數(shù)學(xué)全面突破：題型4　新定義及閱讀理解型問題

題型4新定義及閱讀理解型問題eq\x(題型解讀)1.考查題型：①新定義計(jì)算型；②閱讀理解型；③新定義與閱讀理解結(jié)合題.2.考查內(nèi)容：①新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算；②涉及“新定義”的閱讀理解及材料分析；③與函數(shù)、多邊形、圓結(jié)合，通過材料或定義進(jìn)行相關(guān)證明或計(jì)算.3.在做此類題型時(shí)，首先要理解新定義的運(yùn)算方式，提升從材料閱讀中提取信息的能力，結(jié)合已知條件中的推理方法，學(xué)以致用，便可得以解決．1.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“?”為：a?b＝eq\f(1,a－b2)，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：1?3＝eq\f(1,1－32)＝－eq\f(1,8)，則方程x?(－2)＝eq\f(2,x－4)－1的解是()A.x＝4B.x＝5C.x＝6D.x＝72.對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，我們定義符號(hào)max{a，b}的意義為：當(dāng)a≥b時(shí)，max{a，b}＝a；當(dāng)a＜b時(shí)，max{a，b}＝b；如max{4，－2}＝4，max{3，3}＝3.若關(guān)于x的函數(shù)為y＝max{x＋3，－x＋1}，則該函數(shù)的最小值是()A.0B.2C.3D.43.我們根據(jù)指數(shù)運(yùn)算，得出了一種新的運(yùn)算，下表是兩種運(yùn)算對(duì)應(yīng)關(guān)系的一組實(shí)例：指數(shù)運(yùn)算21＝222＝423＝8…31＝332＝933＝27…新運(yùn)算log22＝1log24＝2log28＝3…log33＝1log39＝2log327＝3…根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫出了三個(gè)式子：①log216＝4，②log525＝5，③log2eq\f(1,2)＝－1.其中正確的是()A.①②B.①③C.②③D.①②③4.設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，定義關(guān)于@的一種運(yùn)算如下：a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，則下列結(jié)論：()①若a@b＝0，則a＝0或b＝0；②a@(b＋c)＝a@b＋a@c；③不存在實(shí)數(shù)a，b，滿足a@b＝a2＋5b2;④設(shè)a，b是矩形的長(zhǎng)和寬，若該矩形的周長(zhǎng)固定，則當(dāng)a＝b時(shí)，a@b的值最大．其中正確的是()A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③5.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”：a*b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－ab（a≥b）,a－b（a<b）))，例如：因?yàn)?>2，所以4*2＝42－4×2＝8，則(－3)*(－2)＝________．6.規(guī)定：logab(a>0，a≠1，b>0)表示a，b之間的一種運(yùn)算．現(xiàn)有如下的運(yùn)算法則：logaan＝n，logNM＝eq\f(logaM,logaN)(a>0，a≠1，N>0，N≠1，M>0)，例如：log223＝3，log25＝eq\f(log105,log102)，則log1001000＝________．第7題圖7.實(shí)數(shù)a，n，m，b滿足a<n<m<b，這四個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，N，M，B(如圖)．若AM2＝BM·AB，BN2＝AN·AB，則稱m為a，b的“黃金大數(shù)”，n為a，b的“黃金小數(shù)”，當(dāng)b－a＝2時(shí)，a，b的黃金大數(shù)與黃金小數(shù)之差m－n＝________．8.請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希臘)是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一．他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯Al－Biruni(973年～1050年)的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al－Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖①，AB和BC是⊙O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是eq\o(ABC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝AB＋BD.下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD＝AB＋BD的部分證明過程．證明：如圖②，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG.∵M(jìn)是eq\o(ABC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴MA＝MC.…圖①圖②任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)填空：如圖③，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝2，D為eq\o(AC,\s\up8(︵))上一點(diǎn)，∠ABD＝45°，AE⊥BD于點(diǎn)E，則△BDC的周長(zhǎng)是________．圖③9.如果三角形三邊的長(zhǎng)a、b、c滿足eq\f(a＋b＋c,3)＝b，那么我們就把這樣的三角形叫做“勻稱三角形”．如：三邊長(zhǎng)分別為1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“勻稱三角形”．(1)如圖①，已知兩條線段的長(zhǎng)分別為a、c(a<c)，用直尺和圓規(guī)作一個(gè)最短邊、最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)分別為a、c的“勻稱三角形”(不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)如圖②，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.若eq\f(BE,CF)＝eq\f(5,3)，判斷△AEF是否為“勻稱三角形”？請(qǐng)說明理由．10.我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n＝p×q(p，q是正整數(shù)，且p≤q)，在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并規(guī)定：F(n)＝eq\f(p,q).例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因?yàn)?2－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝eq\f(3,4).(1)如果一個(gè)正整數(shù)a是另外一個(gè)正整數(shù)b的平方，我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．求證：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F(m)＝1；(2)如果一個(gè)兩位正整數(shù)t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y是自然數(shù))，交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18，那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”．求所有“吉祥數(shù)”中F(t)的最大值．11.已知點(diǎn)P(x0，y0)和直線y＝kx＋b，則點(diǎn)P到直線y＝kx＋b的距離d可用公式d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))計(jì)算．例如：求點(diǎn)P(－1，2)到直線y＝3x＋7的距離．解：因?yàn)橹本€y＝3x＋7，其中k＝3，b＝7，所以點(diǎn)P(－1，2)到直線y＝3x＋7的距離為d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))＝eq\f(|3×（－1）－2＋7|,\r(1＋32))＝eq\f(2,\r(10))＝eq\f(\r(10),5).根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)求點(diǎn)P(1，－1)到直線y＝x－1的距離；(2)已知⊙Q的圓心Q坐標(biāo)為(0，5)，半徑r為2，判斷⊙Q與直線y＝eq\r(3)x＋9的位置關(guān)系并說明理由；(3)已知直線y＝－2x＋4與y＝－2x－6平行，求這兩條直線之間的距離．12.【圖形定義】如圖，將正n邊形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一交點(diǎn)O，連接AO，我們稱AO為“疊弦”；再將“疊弦”AO所在的直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點(diǎn)P，連接PO，我們稱∠OAB為“疊弦角”，△AOP為“疊弦三角形”．【探究證明】(1)請(qǐng)?jiān)趫D①和圖②中選擇其中一個(gè)證明：“疊弦三角形”(即△AOP)是等邊三角形；(2)如圖②，求證：∠OAB＝∠OAE′.【歸納猜想】(3)圖①、圖②中“疊弦角”的度數(shù)分別為__________，__________；(4)圖中，“疊弦三角形”__________等邊三角形(填“是”或“不是”)；(5)圖中，“疊弦角”的度數(shù)為__________(用含n的式子表示)．13.若拋物線L：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，abc≠0)與直線l都經(jīng)過y軸上的一點(diǎn)P，且拋物線L的頂點(diǎn)Q在直線l上，則稱此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關(guān)系．此時(shí)直線l叫做拋物線L的“帶線”，拋物線L叫做直線l的“路線”．(1)若直線y＝mx＋1與拋物線y＝x2－2x＋n具有“一帶一路”關(guān)系，求m，n的值；(2)若某“路線”L的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)y＝eq\f(6,x)的圖象上，它的“帶線”l的解析式為y＝2x－4，求此“路線”L的解析式；(3)當(dāng)常數(shù)k滿足eq\f(1,2)≤k≤2時(shí)，求拋物線L：y＝ax2＋(3k2－2k＋1)x＋k的“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍．1.B【解析】根據(jù)題意a?b＝eq\f(1,a－b2)，則x?(－2)＝eq\f(1,x－（－2）2)＝eq\f(1,x－4)，又∵x?(－2)＝eq\f(2,x－4)－1，∴eq\f(1,x－4)＝eq\f(2,x－4)－1，解得x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)x＝5是原方程的根，∴原方程x?(－2)＝eq\f(2,x－4)－1的解是x＝5.2.B【解析】當(dāng)x＋3≥－x＋1時(shí)，max{x＋3，－x＋1}＝x＋3，此時(shí)x≥－1，∴y≥2；當(dāng)x＋3＜－x＋1時(shí)，max{x＋3，－x＋1}＝－x＋1，此時(shí)x＜－1，∴y＞2.綜上y的最小值為2.3.B【解析】①∵24＝16，∴l(xiāng)og216＝4，故①正確；②∵52＝25，∴l(xiāng)og525＝2，故②不正確；③∵2－1＝eq\f(1,2)，∴l(xiāng)og2eq\f(1,2)＝－1，故③正確．4.C【解析】∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，若a@b＝0，則(a＋b)2－(a－b)2＝0，∴(a＋b)2＝(a－b)2,∴a＋b＝±(a－b)，∴a＝0或b＝0，∴①正確；∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，∴a@(b＋c)＝[a＋(b＋c)]2－[a－(b＋c)]2＝[a＋(b＋c)＋a－(b＋c)][a＋(b＋c)－(a－b－c)]＝4ab＋4ac，∵a@b＋a@c＝(a＋b)2－(a－b)2＋(a＋c)2－(a－c)2＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＋a2＋2ac＋c2－a2＋2ac－c2＝4ab＋4ac，∴a@(b＋c)＝a@b＋a@c，∴②正確；∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＝4ab，當(dāng)a＝b＝0時(shí)，滿足a@b＝a2＋5b2，∴③錯(cuò)誤；若矩形的周長(zhǎng)固定，設(shè)為2c，則2c＝2a＋2b，b＝c－a，a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝4ab＝4a(c－a)＝－4(a－eq\f(1,2)c)2＋c2，∴當(dāng)a＝eq\f(1,2)c時(shí)，4ab有最大值是c2，即a＝b時(shí)，a@b的值最大，∴④正確．綜上，正確結(jié)論有①②④.5.－1【解析】根據(jù)新定義，當(dāng)a<b時(shí)，a*b＝a－b列出常規(guī)運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算便可．∵－3<－2，∴由定義可知，原式＝－3－(－2)＝－1.6.eq\f(3,2)【解析】根據(jù)新運(yùn)算法則，得log1001000＝eq\f(log101000,log10100)＝eq\f(log10103,log10102)＝eq\f(3,2).7.2eq\r(5)－4【解析】設(shè)AN＝y(tǒng)，MN＝x，由題意可知：AM2＝BM·AB，∴(x＋y)2＝2(2－x－y)，解得x＋y＝eq\r(5)－1(取正)，又BN2＝AN·AB，∴(2－y)2＝2y，解得y＝3－eq\r(5)(y＜2)，∴m－n＝MN＝x＝eq\r(5)－1－(3－eq\r(5))＝2eq\r(5)－4，故填2eq\r(5)－4.8.解：(1)又∵∠A＝∠C，CG＝AB.∴△MBA≌△MGC(SAS)，∴MB＝MG.又∵M(jìn)D⊥BC，∴BD＝GD，∴CD＝CG＋GD＝AB＋BD.(2)2＋2eq\r(2).【解法提示】折線BDC為⊙O的一條折弦，由題意知A為eq\o(BDC,\s\up8(︵))中點(diǎn)，由材料中折弦定理易得BE＝DE＋CD，在Rt△ABE中可得BE＝eq\r(2)，所以△BCD周長(zhǎng)為BC＋CD＋DE＋BE＝2＋2eq\r(2).9.解：(1)作圖如解圖①.第9題解圖①(2)△AEF是“勻稱三角形”．理由如下：如解圖②，第9題解圖②連接AD、OD，∵AB是⊙O直徑，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC中點(diǎn)，∵O是AB中點(diǎn)，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC.∵DF切⊙O于D點(diǎn)，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，過點(diǎn)B作BG⊥EF于點(diǎn)G，易證Rt△BDG≌Rt△CDF(AAS)，∴BG＝CF，∵eq\f(BE,CF)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(BE,BG)＝eq\f(5,3)，∵BG∥AF(或Rt△BEG∽R(shí)t△AEF)，∴eq\f(BE,BG)＝eq\f(AE,AF)＝eq\f(5,3).在Rt△AEF中，設(shè)AE＝5k，則AF＝3k，由勾股定理得，EF＝4k，∴eq\f(AF＋EF＋AE,3)＝eq\f(3k＋4k＋5k,3)＝4k＝EF，∴△AEF是“勻稱三角形”．10.(1)證明：∵m是一個(gè)完全平方數(shù)，∴m＝p×q，當(dāng)p＝q時(shí)，p×q就是m的最佳分解，∴F(m)＝eq\f(p,q)＝eq\f(p,p)＝1.(2)解：由題意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2(y≤9)，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，則所有的“吉祥數(shù)”為：13，24，35，46，57，68，79共7個(gè)，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝eq\f(1,13)，F(xiàn)(24)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，F(xiàn)(35)＝eq\f(5,7)，F(xiàn)(46)＝eq\f(2,23)，F(xiàn)(57)＝eq\f(1,57)，F(xiàn)(68)＝eq\f(4,17)，F(xiàn)(79)＝eq\f(1,79)，∴“吉祥數(shù)”中F(t)的最大值為：F(35)＝eq\f(5,7).11.解：(1)∵直線y＝x－1，其中k＝1，b＝－1，∴點(diǎn)P(1，－1)到直線y＝x－1的距離為：d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))＝eq\f(|1－（－1）－1|,\r(1＋12))＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).(2)相切．理由如下：∵直線y＝eq\r(3)x＋9，其中k＝eq\r(3)，b＝9，∴圓心Q(0，5)到直線y＝eq\r(3)x＋9的距離為d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))＝eq\f(|\r(3)×0－5＋9|,\r(1＋（\r(3)）2))＝eq\f(4,2)＝2，又∵⊙Q的半徑r為2，∴⊙Q與直線y＝eq\r(3)x＋9的位置關(guān)系為相切．(3)在直線y＝－2x＋4上任意取一點(diǎn)P，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴P(0，4)，∵直線y＝－2x－6，其中k＝－2，b＝－6，∴點(diǎn)P(0，4)到直線y＝－2x－6的距離為d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))＝eq\f(|－2×0－4－6|,\r(1＋（－2）2))＝eq\f(10,\r(5))＝2eq\r(5)，∴這兩條直線之間的距離為2eq\r(5).12.(1)選擇圖①.證明：依題意得∠DAD′＝60°，∠PAO＝60°.∵∠DAP＝∠DAD′－∠PAD′＝60°－∠PAD′，∠D′AO＝∠PAO－∠PAD′＝60°－∠PAD′，∴∠DAP＝∠D′AO.∵∠D＝∠D′，AD＝AD′，∴△DAP≌△D′AO(ASA)，∴AP＝AO，又∵∠PAO＝60°，∴△AOP是等邊三角形．選擇圖②.證明：依題意得∠EAE′＝60°，∠PAO＝60°.∵∠EAP＝∠EAE′－∠PAE′＝60°－∠PAE′，∠E′AO＝∠PAO－∠PAE′＝60°－∠PAE′，∴∠EAP＝∠E′AO(ASA)．∵∠E＝∠E′，AE＝AE′，∴△EAP≌△E′AO，∴AP＝AO，又∵∠PAO＝60°，∴△AOP是等邊三角形．第12題解圖(2)證明：如解圖，連接AC，AD′，CD′.∵AE′＝AB，∠E′＝∠B＝eq\f(180°×（5－2）,5)＝108°，E′D′＝BC，∴△AE′D′≌△ABC(SAS)，∴AD′＝AC，∠AD′E′＝∠ACB，∴∠AD′C＝∠ACD′，∴∠OD′C＝∠OCD′，∴OC＝OD′，∴BC－OC＝E′D′－OD′，即BO＝E′O.∵AB＝AE′，∠B＝∠E′，∴△ABO≌△AE′O(SAS)，∴∠OAB＝∠OAE′.(3)15°，24°.【解法提示】∵由(1)得，在圖①中，△AOP是等邊三角形，∴∠DAP＋∠OAB＝90°－60°＝30°，在△OAB和△OAD′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OA,BA＝D′A))，∴△ABO≌△AD′O(HL)，∴∠OAB＝∠D′AO，由(1)知∠D′AO＝∠DAP，∴∠OAB＝∠DAP，∴∠OAB＝eq\f(1,2)×30°＝15°；∵由(1)得，在圖②中，△PAO為等邊三角形，∴∠PAE＋∠BAO＝∠EAB－∠PAO，∵∠EAB＝eq\f(1,5)×180°×(5－2)＝108°，∴∠PAE＋∠BAO＝48°，同理可證得∠OAB＝∠PAE，∴∠OAB＝eq\f(1,2)×48°＝24°.(4)是．【解法提示】由(1)(2)可知，“疊弦”AO所在的直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，AO＝AP，且∠PAO＝60°，故△AOP是等邊三角形．(5)60°－eq\f(180°,n)(n≥3)．【解法提示】由(1)(2)(3)可知，“疊弦角”的度數(shù)為正n邊形的內(nèi)角度數(shù)減去60°之后再除以2，即∠OAB＝eq\f(\f(180°（n－2）,n)－60°,2)，化簡(jiǎn)得∠OAB＝60°－eq\f(180°,n)(n≥3)．13.解：(1)由題意得n＝1，∴拋物線y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，頂點(diǎn)為Q(1，0)，將(1，0