九年級上學期期中考試數(shù)學試卷和答案解析

九年級上學期期中水平測試卷數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10題，每小題3分，共計30分.）

1.（3分）已知x=2是關于x的一元二次方程，-x-24=0的一個解，則a的值為（）

A.0B.-1C.1D.2

2.（3分）兩個三角形的相似比是3：2,則其面積之比是（）

A.3：2B.3：2C.9：4D.27：8

3.（3分）若一個三角形的兩邊長分別為2和6,第三邊是方程，-8x+15=0的一根，則這

個三角形的周長為（）

A.5B.3或5C.13D.11或13

4.（3分）下列說法正確的是（）

A.等弧所對的圓心角相等

B.平分弦的直徑垂直于這條弦

C.經(jīng)過三點可以作一個圓

D.相等的圓心角所對的弧相等

5.（3分）如圖，在△A8C中，點Q,E分別在線段AB,AC上，E.DE//BC,若鯉_=2,

DB3

則理的值為（）

BC

6.（3分）如圖，。0的半徑OC=5cm,直線/LOC,垂足為H,且/交。。于A、B兩點,

AB=8c〃?，則/沿OC所在直線平移后與。。相切，則平移的距離是（）

C

A.1cmB.2cmC.8cmD.2c7〃或8cvn

7.（3分）如圖，四邊形物08是扇形OMN的內接矩形，頂點P在MN匕且不與M、N重

合，當尸點在余匕侈動時，矩形布0B的形狀，大小隨之變化，則A3的長度（）

A.不變B.變小C.變大D.不能確定

8.（3分）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A5C的位置，已知△ABC的面

積為18,陰影部分三角形的面積為8.若A4=l,則A\D等于（)

A.3B.2C.32D.23

9.（3分）如圖，04,08是。。的半徑,點C在上，連接AC,BC,若乙4=20°,

ZB=70°,則/AC8的度數(shù)為

A.50°B.55°C.60°D.65°

10.（3分）如圖，點A在線段BQ上，在8。的同側作等腰RtZ\ABC和等腰RtaADE,其

中/ABC=NAE￡）=90°,CD與BE、AE分別交于點P、M.對于下列結論:

①△CAA/s△力EM；②CD=2BE；③MP?MD=MA?ME；④2cB?=CP。CM.

其中正確的是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分.）

11.（2分）已知三口■,則三［=

y3x+y

12.（2分）若一元二次方程』+x-2018=0的解為xi、態(tài)，則占+*2的值是.

13.（2分）圓錐的底面半徑為4cm母線長為6cm,那么這個圓錐的側面積是cm.

14.（2分）在相同時刻的物高與影長成比例，如果高為15〃的測桿的影長為\m,那么影

長為20,"的旗桿的高是m.

15.（2分）若點B（a,0）在以A（1,0）為圓心，以2為半徑的圓內，則a的取值范圍為.

16.（2分）如圖，AB是。0的直徑，點。在A8的延長線上，過點。作。O的切線，切點

為C,若NA=26°,則ND=

17.（2分）如圖，點P\,尸2，尸3，24均在坐標軸上，且P1P2，P2P3,P2P3，P3P4，若點

Pi，尸2的坐標分別為（0，-2）,（-4,0）,則點P4的坐標為

18.（2分）如圖，ZVIBC是等邊三角形，A8=3,E在AC上且AE=2AC,。是直線8c

3

上一動點，線段繞點E逆時針旋轉90°,得到線段EF,當點。運動時，則線段4尸

的最小值是

三.解答題（本大題共10小題，共84分.）

19.（9分）解方程：

(1)(X-1)2=4;

(2)3(x-2)2=x(x-2)；

(3)3，-6x+l=0(用配方法).

20.(6分)如圖，已知點。是△ABC的邊AC上的一點，連接BD.ZABD=ZC,AB=6,

AC=4.

(1)求證：△ABQS/XACB；

(2)求線段CO的長.

21.(8分)已知關于x的一元二次方程7-(Hl)x+2k-2=0.

(1)求證：方程有兩個實數(shù)根；

(2)若△ABC的兩邊AB,AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根.第三邊BC的長為3,當

△ABC是等腰三角形時，求k的值.

22.(8分)如圖，在平面直角坐標系中，每個小方格都是邊長為I個單位的小正方形，點4、

B、C都是格點(每個小方格的頂點叫格點)，其中A(1,8),B(3,8),C(4,7).

(1)△ABC外接圓的圓心坐標是；

(2)ZVIBC外接圓的半徑是；

(3)已知△A8C與(點。、E、F都是格點)成位似圖形，則位似中心M的坐標

是;

(4)請在網(wǎng)格圖中的空白處畫一個格點△A1SG，使△AiBiGsaABC,且相似比為我：

1.

23.（8分）已知：△ABC中，ZC=90°.

（1）如圖1,若AC=8,BC=6,OE_LAC,且。E=￡）8,求AO的長；

（2）如圖2,請利用沒有刻度的直尺和圓規(guī)，在線段AB上找一點F,使得點F到邊AC

的距離等于尸8（注：不寫作法，保留作圖痕跡，對圖中涉及到的點用字母進行標注）

24.（8分）萬圣節(jié)兩周前，某商店購進1000個萬圣節(jié)面具，進價為每個6元，第一周以每

個10元的價格售出200個；隨著萬圣節(jié)的臨近，預計第二周若按每個10元的價格銷售

可售出400個，但商店為了盡快減少庫存，決定單價降價x元銷售（根據(jù)市場調查，單

價每降低1元，可多售出100個，但售價不得低于進價）；節(jié)后，商店對剩余面具清倉處

理，以第一周售價的四折全部售出.

（1）當單價降低2元時，計算第二周的銷售量和售完這批面具的總利潤；

（2）如果銷售完這批面具共獲利1300元，問第二周每個面具的銷售價格為多少元？

25.（8分）如圖，在直角aABC中，ZC=90°,以點C為圓心，8C為半徑的圓交于

點。，交AC于點E.

（1）若NA=25°,求弧。E的度數(shù)；

（2）若8c=2,AC=6,求的長.

B

26.（8分）如圖，。為正方形A8C。的對角線AC上一點，以。為圓心，0C的長為半徑的

。。與A8相切于點

（1）求證：A。與。。相切；

（2）若AB=2日歷，求圖中陰影部分面積.

27.（11分）如圖，ZXABC中，NACB=90°,BC=6,AB=10.點Q與點B在AC的同側,

且AQ_LAC.

（1）如圖1,點Q不與點A重合，連結CQ交于點P.設AQ=x,AP=y,求y關于

x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍;

（2）是否存在點Q,使△物。與△A8C相似，若存在，求AQ的長；若不存在，請說明

理由；

（3）如圖2,過點B作BDLAQ,垂足為D.將以點Q為圓心，QD為半徑的圓記為OQ.若

點C到。。上點的距離的最小值為8,求。。的半徑.

28.（10分）已知：如圖1,菱形ABCD的邊長為6,/D4B=60°,點E是AB的中點，

連接AC、EC.點。從點A出發(fā)，沿折線A-O-C運動，同時點尸從點A出發(fā)，沿射

線AB運動，尸、Q的速度均為每秒1個單位長度；以PQ為邊在PQ的左側作等邊

△PQF與重疊部分的面積為S,當點。運動到點C時P、Q同時停止運動，設運

動的時間為t.

(1)當?shù)冗叺倪匬Q恰好經(jīng)過點。時，求運動時間f的值；當?shù)冗叀鱌QF的邊

。尸恰好經(jīng)過點E時，求運動時間t的值；

(2)在整個運動過程中，請求出S與1之間的函數(shù)關系式和相應的自變量■的取值范圍；

(3)如圖2,當點Q到達C點時，將等邊△尸QF繞點尸旋轉a°(0<a<360),直線

尸尸分別與直線AC、直線8交于點〃、N.是否存在這樣的a,使△CMN為等腰三角

形？若存在，請直接寫出此時線段CM的長度；若不存在，請說明理由.

期中數(shù)學試卷答案解析

一、選擇題（本大題共1（）題，每小題3分，共計30分.）

1.（3分）已知x=2是關于x的一元二次方程/-x-2“=0的一個解，則a的值為（）

A.0B.-IC.1D.2

【考點】A1：一元二次方程的定義；A3：一元二次方程的解.

【專題】34：方程思想.

【分析】把方程的解代入方程，可以求出字母系數(shù)a的值.

【解答】解：..”=2是方程的解，

.'.4-2-2a=0

a=1?

故選：C.

【點評】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系數(shù)的值.

2.（3分）兩個三角形的相似比是3：2,則其面積之比是（）

A.3：2B.3：2C.9：4D.27：8

【考點】S7：相似三角形的性質.

【專題】552：三角形.

【分析】由兩個相似三角形，其相似比3：2,根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平

方解答即可.

【解答】解：因為兩個三角形的相似比是3：2,則其面積之比是9：4；

故選：C.

【點評】此題考查了相似三角形的性質.此題比較簡單，注意相似三角形面積的比等于

相似比的平方.

3.（3分）若一個三角形的兩邊長分別為2和6,第三邊是方程/-8x+15=0的一根，則這

個三角形的周長為（）

A.5B.3或5C.13D.11或13

【考點】A8：解一元二次方程-因式分解法；K6：三角形三邊關系.

【專題】11：計算題；523：一元二次方程及應用；552：三角形.

【分析】解方程求得根之后，由三角形三邊間的關系可得答案.

【解答】解：由方程，-8x+15=0可得（%-3）（%-5）=0,

.?.x=3或x—5,

當x=3時，2、3、6構不成三角形，舍去；

當x=5時，三角形的周長為2+5+6=13；

故選：C.

【點評】本題主要考查解方程的能力和三角形三邊間的關系，根據(jù)不同的方程選擇合適

的方法是解題的關鍵.

4.（3分）下列說法正確的是（）

A.等弧所對的圓心角相等

B.平分弦的直徑垂直于這條弦

C.經(jīng)過三點可以作一個圓

D.相等的圓心角所對的弧相等

【考點】M2：垂徑定理；M4：圓心角、弧、弦的關系；M9：確定圓的條件.

【專題】559：圓的有關概念及性質.

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關系、確定圓的條件、垂徑定理的知識進行判斷即可.

【解答】解：等弧所對的圓心角相等，A正確；

平分弦的直徑垂直于這條弦（此弦不能是直徑），8錯誤；

經(jīng)過不在同一直線上的三點可以作一個圓，C錯誤；

相等的圓心角所對的弧不一定相等，

故選：A.

【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦的關系、確定圓的條件、垂徑定理的知識，掌握

相關定理并靈活運用是解題的關鍵.

5.（3分）如圖，在△ABC中，點。，E分別在線段AB,AC上，且0E〃BC,若他_=2,

DB3

則理的值為（）

B

【考點】S9：相似三角形的判定與性質.

【分析】由比例的性質求出坦的值，由平行線證明△A￡>ES/\A8C,得出對應邊成比例

AB

即可.

【解答】解：?.?坦=2,

DB3

.AD2

??二，

AB5

■:DE//BC,

：./\ADE<^/\ABC,

.DEAD=2.

"BC^ABT

故選：B.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、比例的性質；證明三角形相似是解

決問題的關鍵.

6.（3分）如圖，。。的半徑0C=5cm,直線/LOC,垂足為“，且/交。。于A、B兩點,

AB=8cw,則/沿0C所在直線平移后與。0相切，則平移的距離是（）

A.1cmB.2cmC.8cznD.2ctti或8。"

【考點】MB：直線與圓的位置關系.

【分析】根據(jù)垂徑定理得到B"=L1B=LX8=4,再利用勾股定理計算出0”,然后利

22

用切線和平移的性質分類討論：當向下平移時，直線/平移的距離為半徑減去?！埃划斚?/p>

上平移時，直線/平移的距離為半徑加上0H.

【解答】解：連接08,

,：AB±0C,

：.AH=BH,

=Lx8=4,

22

在RtZiB?！敝?，0B=0C=5,

AO//=VOB2-BH2=3,

又；將直線/通過平移使直線/與。0相切，

直線/垂直過C點的直徑，垂足為直徑的兩端點，

.?.當向下平移時，直線/平移的距離=5-3=2(CTM)；

當向上平移時，直線/平移的距離=5+3=8(cm).

故選：

【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平

分弦所對的弧.也考查了平移的性質、切線的性質以及勾股定理.

7.(3分)如圖，四邊形B40B是扇形OMN的內接矩形，頂點尸在諭匕且不與M、N重

合，當P點在市I上移動時，矩形抬。8的形狀，大小隨之變化，則A8的長度()

工

MAO

A.不變B.變小C.變大D.不能確定

【考點】LB：矩形的性質；Ml：圓的認識.

【分析】四邊形以0B是扇形OMN的內接矩形，根據(jù)矩形的性質AB=OP=半徑，所以

AB長度不變.

【解答】解：；四邊形物08是扇形CWN的內接矩形，

；.AB=0P=半徑，

當尸點在諭匕移動時，半徑一定，所以AB長度不變，

故選：A.

【點評】本題考查了圓的認識，矩形的性質，用到的知識點為：90°的圓周角所對的弦

是直徑，垂直于非直徑的弦的直徑平分弦，三角形的中位線等于第三邊的一半.

8.（3分）如圖，將aABC沿BC邊上的中線AC平移到△AbC的位置，已知△ABC的面

積為18,陰影部分三角形的面積為8.若41=1,則A7）等于（）

C.32D.23

【考點】Q2：平移的性質.

【專題】558：平移、旋轉與對稱.

【分析】由SAABC=18、S-F=8且AD為BC邊的中線知SMDE=%AAEF=4,S6

根據(jù)△￡>?!'fs/^D4B知（&P-）2=遼/DE

據(jù)此求解可得.

加^AABD

【解答】解：如圖,

』ABC=18、SMEF=8，且A。為BC邊的中線，

?'-S&A'DE--^SAA'EF=4,S^ABD—^S^ABC-9>

：將△ABC沿BC邊上的中線A。平移得到△A'B'C,

；.A'E//AB,

：./\DA'E^^DAB,

貝ij（A，0）2=DE,即（A：D）2=_4

ADSAABDA'D+l9

解得A'D=2（負值舍去）,

故選：B.

【點評】本題主要平移的性質，解題的關鍵是熟練掌握平移變換的性質與三角形中線的

性質、相似三角形的判定與性質等知識點.

9.（3分）如圖，OA,0B是0。的半徑，點C在。。上，連接AC,BC,若/4=20°,

NB=70°,則NACB的度數(shù)為（）

【考點】M5：圓周角定理.

【分析】根據(jù)圓周角定理得到N0=2NC,由三角形的內角和得到NA+/O=/C+NB,

代入數(shù)據(jù)即可得到結論.

【解答】解：；N0=2NC,

ZA+ZO=ZC+ZB,

.".ZACB=ZB-ZA=50°,

故選：A.

【點評】本題考查了圓周角定理，找到圖中的圓心角和圓周角是解題的關鍵.

10.（3分）如圖，點4在線段BZ）上，在80的同側作等腰和等腰RtZVIOE,其

中NA8C=NA￡￡>=90°,CD與BE、AE分別交于點P、M.對于下列結論：

①ACAMSADEM；②CD=2BE；③④2cB2=CP.CM.

其中正確的是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

【考點】KD：全等三角形的判定與性質；KW：等腰直角三角形；S9：相似三角形的判

定與性質.

【專題】553：圖形的全等；554：等腰三角形與直角三角形；55D：圖形的相似.

【分析】（1）求出/C4M=NOEM=90°,根據(jù)相似三角形的判定推出即可;

(2)求出得出比例式，把AC=%/^4B代入，即可求出答案；

(3)通過等積式倒推可知，證明△KlMsAEM。即可；

(4)2CB2轉化為4C2,證明△ACPS/\MC4,問題可證.

【解答】解：；在8。的同側作等腰Rt&4BC和等腰RtAWE,ZABC=ZAED^=90°,

：.ZBAC=45°,ZEAD=45°,

AZCAE=180°-45°-45°=90°,

即NCAM=NDEM=90°,

；NCMA=NDME,

...△CAMs△QEM,故①正確；

由已知：AC=J^4B,A￡>=&AE,

.AC=AD

*'ABAE'

ZBAC^ZEAD

：.ZBAE=ZCAD

：./\BAE^ACAD,

.BA=BE

??而CD,

即CD=MBE,故②錯誤；

,:匕BAEs/\cAD

：.ZBEA^ZCDA

■:NPME=ZAMD

:.叢PMEs叢AMD

.MP=ME

'"MA而'

：.MP'MD=MA*ME,故③正確;

由②

ZPMA=ZDME

:.叢PMAsXEMD

：.NAPZ)=NAED=90°

VZCAE=180°-/84C-/EW=90°

；.△CAPs△CAM

：.ACl=CP'CM

'：AC=4?AB,

：.2CET=CP'CM,故④正確；

即正確的為：①③④，

故選：C.

【點評】本題考查了相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定、等腰直角三

角形等知識點，在等積式和比例式的證明中應注意應用倒推的方法尋找相似三角形進行

證明，進而得到答案.

二、填空題(本大題共8小題，每小題2分，共16分.)

11.(2分)已知三=2,則衛(wèi)=-1.

y3x+y”一

【考點】S1：比例的性質.

【專題】11：計算題.

【分析】根據(jù)合分比定理［如果a：b=c：d那么(a+h)：(.a-h)=(c+d)：(c-d))(b、

d、a-h,c-dWO)］來解答即可.

【解答】解：由已知，得

xp_2-3

x+y2+3

即衛(wèi)=-±.

x+y5

【點評】本題主要考查的是合分比定理：一個比例里，第一個前后項之和與它們的差的

比，等于第二個比的前后項的和與它們的差的比.這叫做比例中的合分比定理.

12.(2分)若一元二次方程2018=0的解為為、X2，則xi+為的值是7.

【考點】AB：根與系數(shù)的關系.

【專題】523：一元二次方程及應用.

【分析】直接利用根與系數(shù)的關系求解即可.

【解答】解：?.?方程，+x-2018=0的解為修、物

這里a=l,b=\

由根與系數(shù)的關系可得X|?X2=-且=-1.

故答案為：-1.

【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系.一元二次方程以2+法+c=0QWO）

的根與系數(shù)的關系為：用+洶=-也■,

aa

13.（2分）圓錐的底面半徑為4C/M,母線長為6C”?，那么這個圓錐的側面積是24TTC.

【考點】MP：圓錐的計算.

【分析】根據(jù)圓錐的側面展開圖為扇形，先計算出圓錐的底面圓的周長，然后利用扇形

的面積公式

【解答】解：???圓錐的底面半徑為4c〃?，

二圓錐的底面圓的周長=2TT?4=8TT,

，圓錐的側面積=工?8丘?6=24n（c渥）.

2

故答案為：24n.

【點評】本題考查了圓錐的側面積的計算：圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長為圓

錐的底面周長，扇形的半徑為圓錐的母線長.也考查了扇形的面積公式：S=LM?R,（/

2

為弧長）.

14.（2分）在相同時刻的物高與影長成比例，如果高為15〃的測桿的影長為\m,那么影

長為20w的旗桿的高是30m.

【考點】SA：相似三角形的應用；U5：平行投影.

【專題】55D：圖形的相似；55F：投影與視圖.

【分析】設影長為20m的旗桿的高是；nn,再由同一時刻物高與影長成正比即可得出結論.

【解答】解：設影長為20,”的旗桿的高是巾7,

?.?在相同時刻物高與影長成比例，高為1.5巾的測桿的影長為1m,

?.?1.5_x,

120

解得x=30Cm）.

故答案為：30.

【點評】本題考查的是相似三角形的應用，熟知同一時刻物高與影長成正比是解答此題

的關鍵.

15.（2分）若點B（a,0）在以A（1,0）為圓心，以2為半徑的圓內，則。的取值范圍為

【考點】D5：坐標與圖形性質；M8：點與圓的位置關系.

【專題】1:常規(guī)題型.

【分析】熟記“設點到圓心的距離為d,則當d=R時，點在圓上；當d>R時，點在圓

外；當時，點在圓內”即可解答.

【解答】解：以A(1,0)為圓心，以2為半徑的圓交x軸兩點的坐標為(-1,0),(3,

0),

?.?點8(a,0)在以A(1,0)為圓心，以2為半徑的圓內，

-l<<z<3.

故答案為：-l<a<3.

【點評】本題考查了對點與圓的位置關系的判斷的知識點，解答本題的關鍵是理解點B

在以A(1,0)為圓心，以2為半徑的圓內的含義，本題比較簡單.

16.(2分)如圖，48是。。的直徑，點。在的延長線上，過點。作。。的切線，切點

【考點】M5：圓周角定理；MC：切線的性質.

【專題】55A：與圓有關的位置關系.

【分析】由題意可得：ND4C=NOC4=26°,即N￡>OC=52°,由切線的性質可得/

。。。=90°,根據(jù)三角形內角和定理可求/OOC的度數(shù).

4c=/OCA=26°

NDOC=ZDAC+ZOCA

：.NDOC=52°

是。0的切線

：.ZOCD=90°

ZODC+Z（9CD+ZDOC=180°

.?.ZODC=38°

故答案為38°

【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，三角形內角和定理，熟練運用這些性質

解決問題是本題的關鍵.

17.（2分）如圖，點Pi，P2,尸3，24均在坐標軸上，且PP2~LP2P3，P2P3，P3P4，若點

P\,P2的坐標分別為（O，-2）,（-4,0）,則點24的坐標為（16,0）.

【專題】55D：圖形的相似.

【分析】根據(jù)相似三角形的性質求出OP3的長，再根據(jù)相似三角形的性質計算求出。匕

的長，得到答案.

【解答】解：???點修，P2的坐標分別為（0，-2）,（-4,0）,

二0丹=2,0P2=4,

???P1P2，P2P3,P2P3,P3P4，

.../PIP2P3=NP2P3P4=90°

.,.RlAP10P2cz,RtA/>20P3，

解得,OP3=8,

RtAP2(9/>3tz,RtA/>3OP4.

0P20P3

80P4

解得，。尸4=16,

則點24的坐標為（16,0）,

故答案為：(16,0).

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質以及坐標與圖形的性質，掌握相似三角

形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.

18.(2分)如圖，△ABC是等邊三角形，AB=3,E在AC上且力是直線BC

3

上一動點，線段繞點E逆時針旋轉90°,得到線段EF,當點。運動時，則線段AF

【考點】KK：等邊三角形的性質；R2：旋轉的性質.

【專題】553：圖形的全等.

【分析】過E作EGJ_8C于G,過A作AP_LEG于尸，過F作F”_LEG于H,則NOGE

=/EHF=90°,依據(jù)妾△EFH(A4S),即可得到HF=EG,進而得到當點。運

動時，點F與直線GH的距離為云§個單位，據(jù)此可得當AFLEG時，AF的最小值為

AP+HF=\+k^.

【解答】解：如圖所示，過E作EGLBC于G,過A作APLEG于P,過F作

于H,plljZDGE=ZEHF=90°,

VZD￡F=90°,

NEDG+/DEG=90°=ZHEF+ZDEG,

:.NEDG=NFEH,

又，：EF=DE,

：./\DEG^/\EFH(AA5),

:.HF=EG,

「△ABC是等邊三角形，AB=3,A￡=2AC,

3

：.AE=2,CE=\,NAEH=NCEG=30°,

.?.CG=LCE=L,AP=LAE=1,

222

??,HF=W眄,

當點D運動時，點F與直線GH的距離始終為吉?、任個單位,

，當AFLEG時，AF的最小值為AP+HF=\+L^,

故答案為：

【點評】本題考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，解題時注意：對應點到旋轉中心

的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角.解決問題的關鍵是作輔助

線構造全等三角形，利用全等三角形的性質即可得出點尸的運動軌跡.

三.解答題(本大題共10小題，共84分.)

19.(9分)解方程：

(1)(X-1)2=4;

(2)3(x-2)2=x(x-2)；

(3)3X2-6A+1=0(用配方法).

【考點】A5：解一元二次方程-直接開平方法；A6：解一元二次方程-配方法；A8：解

一元二次方程-因式分解法.

【專題】523：一元二次方程及應用.

【分析】(1)移項，開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；

(2)移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可：

(3)把常數(shù)項移項、二次項系數(shù)化為1后，利用配方法求解即可.

【解答】解：(1)(x-1)2=4,

開方得：x-1=2或x-1=-2,

*'?%1=3,%2=~1

(2)3(x-2)2=x(x-2),

3(x-2)2-x(x-2)=0,

(x-2)[3(x-2)-x]=0,

.*.x-2=0或2x-6=0,

*,?%!=2,%2=3;

(3)3/-6x+l=0,

x-2x=-—,

3

X2-2X+1=--^-+1,即(x-1)2=2,

33

貝2]=±?

3_

.'?Xl—1+^^-.X2—1-

33

【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，能選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯?/p>

題的關鍵.

20.(6分)如圖，已知點。是△ABC的邊AC上的一點，連接BDNABD=NC,AB=6,

AD=4.

(1)求證：△ABOSAACB；

(2)求線段C￡＞的長.

【考點】S9：相似三角形的判定與性質.

【分析】根據(jù)即可證得

（1）NA8O=/C,/A=NA,△AB￡>sZ^4C8；

（2）由（1）知：AABD^AACB,根據(jù)相似三角形的性質得到處=幽，代入數(shù)據(jù)即

ABAC

可得到結果.

【解答】解：（1）???NAB￡>=NC,ZA=ZA（公共角），

:AABDs2ACB；

(2)由(1)知：△ABOs^ACB,

.AD=AB

,*ABAC'

即,

64+CD

，CO=5.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解

題的關鍵.

21.(8分)已知關于x的一元二次方程，-(k+1)x+2k-2=0.

(1)求證：方程有兩個實數(shù)根；

(2)若△ABC的兩邊AB,AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根.第三邊BC的長為3,當

△4BC是等腰三角形時，求上的值.

【考點】AA：根的判別式；AB：根與系數(shù)的關系；K6：三角形三邊關系；KH：等腰三

角形的性質；KQ：勾股定理.

【專題】H：計算題；45：判別式法.

【分析】(1)先計算出a=(A-3)2,然后根據(jù)判別式的意義即可得到結論；

(2)先求出方程的解為xi=2,X2=k-1,然后分類討論：?1=3或01=2時

為等腰三角形，然后求出k的值.

【解答】(1)證明：,/△=[-(RI)]2-4(2k-2)=必-6&+9=(k-3)2》0,

二方程有兩個實數(shù)根；

(2)解：x2-(KI)x+2Z-2=0,

(x-2)(x-k+1)=0,

解得xi=2,X2=k-1,

當％-1=3時，ZiABC是等腰三角形，則％=4；

當％-1=2時，AABC是等腰三角形，則％=3,

所以k的值為4或3.

【點評】本題考查了一元二次方程ox2+ta+e=0(aWO)的根的判別式△=/-4或：當

△>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根；當△<(),方

程沒有實數(shù)根.也考查了解一元二次方程，三角形三邊的關系以及等腰三角形的性質.

22.（8分）如圖，在平面直角坐標系中，每個小方格都是邊長為1個單位的小正方形，點A、

B、C都是格點（每個小方格的頂點叫格點），其中A（1,8）,B（3,8）,C（4,7）.

（1）ZVIBC外接圓的圓心坐標是（2,6）；

（2）△ABC外接圓的半徑是_近_；

（3）已知△ABC與（點。、E、尸都是格點）成位似圖形，則位似中心M的坐標

是（3,6）；

（4）請在網(wǎng)格圖中的空白處畫一個格點△A]8|C|,使△AIBIGSAABC,且相似比為血：

【考點】MR：圓的綜合題.

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】（1）如圖1中，作線段AB,BC的垂直平分線交于點0',點。'即為AABC

的外接圓的圓心；

（2）利用兩點間距離公式計算即可；

（3）如圖2中，由△ABCsaOE凡推出點4與點，點B與點E,點C與點尸是對應

點，對應點連接的交點即為位似中心，如圖點M即為所求；

（4）根據(jù)相似三角形的性質求出△AliG的三邊即可解決問題；

【解答】解：（1）如圖1中，作線段48,8c的垂直平分線交于點0',點0'即為△

ABC的外接圓的圓心，0'（2,6）.

VA

°1234567勺

圖1

故答案為（2,6）.

（2）連接CO'.CO'=J12+22=泥,

...△4BC外接圓的半徑是遍.

故答案為述.

(3)如圖2中，:AABCSADEF,

...點A與點。，點B與點E,點C與點尸是對應點，對應點連接的交點即為位似中心,

如圖點M即為所求.

_I_i_I_i_I__L>

°1234567X

圖2

觀察圖象可知M（3,6）

故答案為（3,6）.

（4）如圖，81cl即為所求:

圖3

【點評】本題屬于圓綜合題，考查三角形的外接圓的外心，位似變換，相似三角形的判

定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，靈活運用所學知識解決問題，學會

用數(shù)形結合的思想解決問題，屬于中考壓軸題.

23.（8分）已知：△ABC中，ZC=90°.

(1)如圖1,若AC=8,8c=6,DELAC,KDE=DB,求4。的長；

(2)如圖2,請利用沒有刻度的直尺和圓規(guī)，在線段A8上找一點凡使得點F到邊AC

的距離等于尸&(注：不寫作法，保留作圖痕跡，對圖中涉及到的點用字母進行標注)

【考點】KQ：勾股定理；N3：作圖一復雜作圖.

【專題】558：平移、旋轉與對稱；55D：圖形的相似.

【分析】(1)由題意可證：可得還JR,即可求AZ)的長；

BCAB

(2)作的平分線8G,交AC于G,作8G的垂直平分線MN,交AB于F,則點F

即為所求.

【解答】解：⑴VZC=90°,AC=8,BC=6,

.?.48=10

'：DELAC,ZC=90°,

J.DE//BC

：.△人力ESA4BC

-DE_AD

"BC^AB

,:DE=DB

.AB-AD二AD

BC=AB

^|1O~ADAD

~6~Y

.?.A￡>=里.

4

(2)如圖2所示，作N8的平分線2G,交AC于G,作BG的垂直平分線交A3

于凡則點尸即為所求.

【點評】本題考查了作圖-復雜作圖，勾股定理，相似三角形，熟練運用相似三角形解

決問題是本題的關鍵.

24.(8分)萬圣節(jié)兩周前，某商店購進1000個萬圣節(jié)面具，進價為每個6元，第一周以每

個10元的價格售出200個；隨著萬圣節(jié)的臨近，預計第二周若按每個10元的價格銷售

可售出400個，但商店為了盡快減少庫存，決定單價降價x元銷售(根據(jù)市場調查，單

價每降低1元，可多售出100個，但售價不得低于進價)；節(jié)后，商店對剩余面具清倉處

理，以第一周售價的四折全部售出.

(1)當單價降低2元時，計算第二周的銷售量和售完這批面具的總利潤；

(2)如果銷售完這批面具共獲利1300元，問第二周每個面具的銷售價格為多少元？

【考點】AD：一元二次方程的應用.

【專題】124：銷售問題.

【分析】(1)第二周的銷售量=400+100x.利潤=售價-成本價：

(2)根據(jù)紀念品的進價和售價以及銷量分別表示出兩周的總利潤，進而得出等式求出即

可.

【解答】解：(1)第二周的銷售量為：400+100x=400+100x=400+100X2=600.

總利潤為：200X(10-6)+(8-6)X600+200(4-6)=1600.

答：當單價降低2元時，第二周的銷售量為600和售完這批面具的總利潤1600；

(2)由題意得出：200X(10-6)+(10-x-6)(400+100x)+(4-6)[(1000-200)

-（400+100%）]=1300,

整理得:7-2x-3=0,

解得：修=3；X2—-1（舍去），

10-3=7（元）.

答：第二周的銷售價格為7元.

【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，根據(jù)已知表示出兩周的利潤是解題關鍵.

25.（8分）如圖，在直角AASC中，/C=90°,以點C為圓心，為半徑的圓交AB于

點。，交AC于點E.

（1）若NA=25°,求弧OE的度數(shù)；

（2）若8c=2,AC=6,求8。的長.

【考點】KQ：勾股定理；M2：垂徑定理；M4：圓心角、弧、弦的關系.

【專題】559：圓的有關概念及性質.

【分析】（1）求出N3的度數(shù)，求出N8所對的弧的度數(shù)，即可得出答案;

（2）根據(jù)勾股定理求出A8,根據(jù)割線定理得出比例式，即可得出答案.

【解答】解：（1）連接CD,

VZA=25°,

AZB=65°,

;CB=CD,

:.NB=NCDB=65°,

AZBCD=50°,

ZDC￡=40°

徐的度數(shù)為40°；

(2)延長AC交OC與點尸，

VZBCA=90°,BC=2,AC=6,

：.AB=2y/lO=5,A￡=6-2=4.

；AB與A尸均是OC的割線，

：.AD-AB=AE-AF,即2VT^rAO=4X8,解得"萬元,

5

BD=AB-AD=2A/T0-員叵=&!^.

55

【點評】本題考查了勾股定理，割線定理圓心角、弧、弦之間的關系的應用，能綜合運

用知識點進行計算是解此題的關鍵.

26.（8分）如圖，。為正方形ABC。的對角線AC上一點，以。為圓心，OC的長為半徑的

。0與AB相切于點M.

（1）求證：A。與。O相切；

【考點】ME：切線的判定與性質；MO：扇形面積的計算.

【專題】55A：與圓有關的位置關系.

【分析】（1）連接OM,過。作ON_L4。于N,根據(jù)正方形的性質得到NMAO=NNAO,

根據(jù)切線的性質得到OMLAB,根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論；

（2）延長MO交C。于H,延長NO交8C于G,根據(jù)平行線的性質得到同

理NGLBC,推出△OCF與AOCE是等腰直角三角形，解方程得到?！?&,OC=OM

=2,于是得到結論.

【解答】解：（1）連接OM,過。作ONLA。于N,

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.ZMAO^ZNAO,

：。0與AB相切于點M,

0M1.AB,

：.ZAMO=ZANO=90Q,

，ZMAO=ZNAO

在△AMO與△ANO中，，ZAM0=ZAN0>

,AO=AO

.?.△4M0絲△4NO(A4S),

：.ON=OM,

：.AD與。。相切；

(2)延長MO交CD于H,延長NO交BC于G,

'：AB//CD,

C.MHVCD,同理NG_LBC,

：.FG=CG,CH=EH,

△OCT與AOCE是等腰直角三角形，

；.NE。尸=180°,

：.MH=BC=AB=2+y[2,

VOC=OM=\[2OH,OM+OH=BC=AB=2+y/2,

：.0H=a,OC=OM=2,

圖中陰影部分面積=LX22TT-J-X4X2=2n-4.

22

【點評】本題考查了切線的判定和性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，圓

和三角形的面積，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

27.（11分）如圖，ZXABC中，乙4cB=90°,BC=6,AB=10.點。與點B在AC的同側,

且AQ_LAC.

(1)如圖1,點Q不與點A重合，連結CQ交AB于點P.設AQ=x,AP=y,求y關于

x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍;

(2)是否存在點。，使△B4Q與AABC相似，若存在，求AQ的長；若不存在，請說明

理由；

(3)如圖2,過點B作BDLAQ,垂足為D.將以點Q為圓心，QD為半徑的圓記為OQ.若

點C到0Q上點