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文檔簡介
12.3.2等邊三角形〔2〕含30°角的直角三角形的性質(zhì)在Rt△ABC中,∠C=90°若Rt∠A=30°,AB=a,BC=??
ACB復(fù)習回憶1、等邊三角形的概念:2、等邊三角形的性質(zhì):3、等邊三角形的判定:等邊三形的三個內(nèi)角都相等,并且每一個角都等于600.〔1〕定義法;〔2〕三個角都相等的三角形是等邊三角形;〔3〕有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形;ABC三邊都相等的三角形。BACD將兩個含有30°的三角尺如圖擺放在一起你能借助這個圖形,找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎?并證明探究
結(jié)論
在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。假設(shè)AC⊥BC,∠A=30°那么BC=ABACB溫馨提示
在解有關(guān)直角三角形的邊的關(guān)系的問題中,常常會用到這條性質(zhì),這是一種常用的方法。直角三角形的性質(zhì)定理:證明:由拼圖可知:△ABC與△ADC關(guān)于AC軸對稱,∴AB=AD,又∵∠B=60°∴
△ABD是等邊三角形又∵AC⊥BD∴BC=DC=AB你還能用其他方法證明嗎?BACD證法1:已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.求證:BC=AB.BACD證法2:由拼圖可知:∵△ABC≌△ADC,∴
AB=AD∵
Rt△ABC中,∠ABC=60°∴
∠BAD=60°,∴△ABD是等邊三角形又∵AC⊥BD∴BC=DC=AB證明:
分析:從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā),延長BC至D,使CD=BC,連接AD.證明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,那么∠B=60°.延長BC至D,使CD=BC,連接AD∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°.∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC〔SAS〕.∴AB=AD〔全等三角形的對應(yīng)邊相等〕.∴△ABD是等邊三角形〔有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形〕.∴BC=BD=AB證法3:分析:從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā),延長BC至D,使CD=BC,連接AD.證明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,那么∠B=60°.延長BC至D,使CD=BC,連接AD∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°.∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC〔SAS〕.∴AB=AD〔全等三角形的對應(yīng)邊相等〕.∴△ABD是等邊三角形〔有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形〕.∴BC=BD=AB分析:從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā),延長BC至D,使CD=BC,連接AD.證明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,則∠B=60°.延長BC至D,使CD=BC,連接AD∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°.∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等).∴△ABD是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形).∴BC=BD=AB例1:如圖,是屋架設(shè)計圖的一局部,點D是斜梁AB的中點,立柱BC、DE垂直于橫梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,立柱BC、DE要多長?AEDCB解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°可得2BC=AB,2DE=AD∴BC=×7.4=3.7m又AD=AB∴DE=AD=×3.7=1.85m答:立柱BC的長是3.7m,DE的長是1.85m.121212121、如圖,在Rt△ABC中,∠B=2∠A,AB=6cm,那么BC=________.2、如圖,Rt△ABC中,∠A=30°,AB+BC=12cm,那么AB=_______.ACB3cm8cm3、如圖,Rt△ABC中,∠A=30°,BD平分∠ABC,且BD=16cm,那么AC=.D24cm思考:
AD=2CD成立嗎?4、如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,AB的垂直平分線分別交BC、AB于D、E。求證:DB=2ACBEDAC在Rt△ABC中,假設(shè)
那么∠A為幾度?
BC=ABACBD探究拓展逆定理BC=AB∴∠A=30°
∵AC⊥BC,
在直角三角形中,如果一條直角邊是斜邊的一半,那么這條直角邊所對的銳角是30°。ACB反過來怎么樣——逆向思維在△ABD中,∵∠ACB=900(),∴AB=AD(線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等).又∵BC=AB/2(),BC=BD/2(作圖),∴AB=BD(等量代換).∴AB=BD=AD(等式性質(zhì)〕.∴△ABD是等邊三角形(等邊三角形定義).∴∠B=600(等邊三角形定義).∴∠A=300(直角三角形兩銳角互余).300ABCD證明:如圖,延長BC至D,使CD=BC,連接AD.1、如圖,△ABC是等邊三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分別是D、E,如果AB=8cm,那么BD=________,∠BDE=,BE=_______.AEDCB4cm2cm30°2、如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BA的垂直平分線交邊CB于D。假設(shè)AB=10,AC=5,那么圖中等于30°的角的個數(shù)為〔〕A.2B.3C.4D.5AEDCBB3、如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分線EF交AC于點E,交BC于點F。求證:BF=2CF。
AFECB4、如圖,∠AOB=30°,P是角平分線上的點,PM⊥OB于M,PN//OB交OA于N,假設(shè)PM=1cm,那么PN=________.2cmANMPBOE2.如圖:在△ABC中,∠A=300,C=900,BD平分∠ABC.求證:AD=2DCDCBA1.如圖,在△ABC中,∠C=900,∠B=150,DE是AB的中垂線,BE=5,那么AE=______,AC=_____EDACB等邊三角形的判定:定義:有三邊相等的三角形是等邊三角形.定理:有一個角是600的等腰三角形是等邊三角
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