高等代數(shù)課件(北大版)第七章-線性變換§7.7

§2線性變換的運(yùn)算§3線性變換的矩陣§4特征值與特征向量§1

線性變換的定義§6線性變換的值域與核§8若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形簡(jiǎn)介§9最小多項(xiàng)式§7不變子空間小結(jié)與習(xí)題第七章線性變換§5對(duì)角矩陣1/26/2024數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一、不變子空間的概念二、線性變換在不變子空間上的限制§7.7線性變換的定義三、不變子空間與線性變換的矩陣化簡(jiǎn)四、線性空間的直和分解1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院設(shè)是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，W是V的

的子空間，若有則稱W是的不變子空間，簡(jiǎn)稱為－子空間.

V的平凡子空間（V及零子空間）對(duì)于V的任意一個(gè)變換來(lái)說(shuō)，都是－子空間.

一、不變子空間1、定義注：1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1）兩個(gè)－子空間的交與和仍是－子空間.2）設(shè)則W是－子空間證：顯然成立.任取設(shè)

則

故W為的不變子空間.2、不變子空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)由于

1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1）線性變換的值域與核都是的不變子空間.證：

有

故為的不變子空間.又任取有3、一些重要不變子空間也為的不變子空間.

1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2）若則與都是－子空間.

證：

對(duì)存在

使于是有，

為的不變子空間.

其次，由

對(duì)有

1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院于是

故為的不變子空間.

的多項(xiàng)式的值域與核都是的不變子空間.這里為中任一多項(xiàng)式.注：1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院4）線性變換的特征子空間是的不變子空間.

有

5）由的特征向量生成的子空間是的不變子空間.

證：設(shè)是的分別屬于特征值

的特征向量.

3）任何子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間.

任取設(shè)則

為的不變子空間.

1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院事實(shí)上，若

則為的一組基.因?yàn)閃為－子空間，即必存在使是的特征向量.

特別地，由的一個(gè)特征向量生成的子空間是一個(gè)一維－子空間.

反過(guò)來(lái)，一個(gè)一維－子空間必可看成是的一個(gè)特征向量生成的子空間.

注：1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院二、在不變子空間W引起的線性變換定義：不變子空間W上的限制

.記作

在不變子空間W上引起的線性變換，或稱作在

設(shè)是線性空間V的線性變換，W是V的一個(gè)的

不變子空間.把看作W上的一個(gè)線性變換，稱作1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院①當(dāng)時(shí)，

③任一線性變換在它核上引起的線性變換是零

變換，即即有

注：當(dāng)時(shí)，無(wú)意義.

②在特征子空間上引起的線性變換是數(shù)乘變換，1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1、設(shè)是維線性空間V的線性變換，W是V

的－子空間，為W的一組基，把它擴(kuò)允為V的一組基：若在基下的矩陣為，則

在基下的矩陣具有下列形狀:

三、不變子空間與線性變換的矩陣化簡(jiǎn)1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院反之，若

則由生成的子空間必為的不變子空間.

事實(shí)上，因?yàn)閃是V的不變子空間.

即，均可被線性表出.1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院從而，

設(shè)1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院在這組基下的矩陣為

若，則

為V的一組基，且在這組基下的矩陣為準(zhǔn)對(duì)角陣

2、設(shè)是維線性空間V的線性變換，都是的不變子空間，而是的一組基，且

（1）

1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院的子空間為的不變子空間，且V具有直和分解：

由此即得：下的矩陣為準(zhǔn)對(duì)角矩陣(1),則由生成

V的線性變換在某組基下的矩陣為準(zhǔn)對(duì)角形V可分解為一些的不變子空間的直和.反之，若在基1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院定理12：設(shè)為線性空間V的線性變換，是

四、線性空間的直和分解是的特征多項(xiàng)式.若具有分解式：

再設(shè)則都是的不變

子空間；且V具有直和分解：1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院證：令則是的值域，是的不變子空間.

又

（2）1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院下證分三步：

證明

∴存在多項(xiàng)式使

于是

∴對(duì)有

證明是直和.

證明

1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院這里

1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院其中（也即，），則

∴存在使

于是

(3)

即證，若證明是直和.1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院用作用（3）的兩端，得

又

1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院從而

所以是直和.∴有多項(xiàng)式，使1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院證明:首先由(2)，有即

其次，任取設(shè)即

令

1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院由（2）,

有從而有又

又由，是直和，它的零向量分解式即唯一.1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院

綜合，即有于是

故

即有

是的不變子空間，且

1/26/2024§7.7

不變子空間數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院練習(xí)：設(shè)3維線性空間V的線性變換在基下的矩陣為

證明：