34廣東省揭陽(yáng)市普寧市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期終高中二年級(jí)教學(xué)質(zhì)量測(cè)試數(shù)學(xué)科試題本試題共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘說(shuō)明：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并在“考場(chǎng)號(hào)”、“座位號(hào)”欄內(nèi)填涂考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào).2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；答案不能答在試題卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡上各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4．考生必須保持答題卡整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回，試題卷自己保存.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求.1.已知橢圓，則它的短軸長(zhǎng)為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓短軸長(zhǎng)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)為，故選：B2.已知直線m經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則直線m的斜率為（）A.-2 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜率公式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為：.故選：A3.已知空間向量，，則（）A. B.19 C.17 D.【答案】D【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，再求出其?！驹斀狻恳?yàn)椋?，所以，故，故選：D.4.在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項(xiàng)之和為（）A.12 B.32 C.36 D.37【答案】C【解析】【分析】直接按照等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】數(shù)列的前6項(xiàng)之和為.故選：C.5.地震預(yù)警是指在破壞性地震發(fā)生以后，在某些區(qū)域可以利用“電磁波”搶在“地震波”之前發(fā)出避險(xiǎn)警報(bào)信息，以減小相關(guān)預(yù)警區(qū)域的災(zāi)害損失.根據(jù)Rydelek和Pujol提出的雙臺(tái)子臺(tái)陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過(guò)兩個(gè)地震臺(tái)站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個(gè)地震臺(tái)站的位置就是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).在一次地震預(yù)警中，兩地震臺(tái)站和站相距.根據(jù)它們收到的信息，可知震中到站與震中到站的距離之差為.據(jù)此可以判斷，震中到地震臺(tái)站的距離至少為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)震中為，根據(jù)雙曲線的定義以及可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)震中為，依題意有，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線靠近的一支，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，所以,所以，所以震中到地震臺(tái)站的距離至少為.故選：A6.已知圓和存在公共點(diǎn)，則m的值不可能為（）A.3 B. C.5 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閳A和存在公共點(diǎn)，所以兩圓相交或者相內(nèi)切或者相外切，即，解得，選項(xiàng)ABC滿足，m的值不能為D.故選：D7.如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形法則先求得向量、，進(jìn)而求得．【詳解】解：，，．故選：B．8.對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列是有界的.若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列是無(wú)界的.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則數(shù)列是無(wú)界的 B.若，則數(shù)列是有界的C.若，則數(shù)列是有界的 D.若，則數(shù)列是有界的【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可知A錯(cuò)誤；由可知不存在最大值，即數(shù)列無(wú)界；分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下得到，由此可確定，知C正確；采用放縮法可求得，由可知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，恒成立，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，即隨著的增大，不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無(wú)界的，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的，C正確；對(duì)于D，，；在上單調(diào)遞增，，不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無(wú)界的，D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列中的新定義問(wèn)題，解題關(guān)鍵是理解數(shù)列有界的本質(zhì)是對(duì)于數(shù)列中的最值的求解，進(jìn)而可以通過(guò)對(duì)于數(shù)列單調(diào)性的分析來(lái)確定數(shù)列是否有界.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知向量，則與同向共線的單位向量（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得的模，再根據(jù)與同向共線的單位向量求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以與同向共線的單位向量為：，故選：C.10.已知數(shù)列滿足，，記，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】代入前幾項(xiàng)即可判斷出A,B，然后分奇偶可點(diǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而判斷出C，D.【詳解】由題意可得，所以，所以A錯(cuò)誤，B正確；又，故，即，所以為等差數(shù)列，故，所以C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC.11.已知直線與圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在，使得的傾斜角為B.存在，使得的傾斜角為C.存在，使直線與圓相離D.對(duì)任意的，直線與圓相交，且時(shí)相交弦最短【答案】AD【解析】【分析】由時(shí)，得到直線，可判定A正確；求得直線的斜率，結(jié)合得到方程，可判定B錯(cuò)誤；化簡(jiǎn)直線，得到直線過(guò)點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可判定C錯(cuò)誤；由時(shí)，得到，結(jié)合圓的弦的性質(zhì)，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，直線，此時(shí)直線的傾斜角為，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得直線的斜率為，若直線的傾斜角為，可得，即，此時(shí)方程無(wú)解，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由直線，可化為，令，解得，即直線恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)，又由圓圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)?，則，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以無(wú)論為何值，直線與圓總相交，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，直線，此時(shí)直線的斜率為，又由，此時(shí)，即，根據(jù)圓的弦的性質(zhì)，此時(shí)弦長(zhǎng)最短，所以D正確.故選：AD.12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于，則下列說(shuō)法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為B.若，且，則C.分別以線段、為直徑的兩個(gè)圓內(nèi)切D.【答案】ACD【解析】【分析】通過(guò)求得，從而求得雙曲線的漸近線方程，由此判斷A選項(xiàng)的正確性；結(jié)合三角形的面積以及雙曲線的定義求得，由此判斷B選項(xiàng)的正確性；通過(guò)圓心距和兩個(gè)圓半徑間的關(guān)系判斷C選項(xiàng)的正確性；結(jié)合二倍角的正切公式來(lái)判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?、，所以，由，得，故雙曲線的漸近線方程為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，根?jù)雙曲線的定義可得，又因?yàn)?，所以，整理?由，可得，即，解得，B錯(cuò)；對(duì)于C，設(shè)的中點(diǎn)為，為原點(diǎn).因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，則可知以線段、為直徑的兩個(gè)圓內(nèi)切，C對(duì)；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)，則，.因?yàn)闈u近線方程為，所以，.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)軸時(shí)，則，所以，，可得，所以，，此時(shí)，為等腰直角三角形，則，滿足；當(dāng)時(shí)，，，所以，因?yàn)?，所以；?dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，同理可得，綜上可知，D對(duì).故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與直線平行，則___________.【答案】##【解析】【分析】?jī)芍本€與平行，滿足且或【詳解】由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合要求.故答案為：14.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則___________．【答案】【解析】【分析】先由雙曲線的漸近線設(shè)出雙曲線的方程，再利用待定系數(shù)法即可求得的值.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以雙曲線的方程可設(shè)為，即，因?yàn)?，所以，解得（?fù)值舍去），所以.故答案為：.15.已知數(shù)列為，，，，，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】分析數(shù)列前4項(xiàng)的特征，求出前4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式作答.【詳解】依題意，，所以前4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.故答案為：16.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點(diǎn)，，，，若，則_________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可以解決問(wèn)題.【詳解】設(shè),如下圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，則所以又因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋核?、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知直線和直線．（1）若時(shí)，求a的值；（2）當(dāng)平行，求兩直線，的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由垂直可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實(shí)數(shù)a方程.（2）由平行可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，進(jìn)而可求出兩直線的方程，結(jié)合直線的距離公式即可求出直線與之間的距離.【小問(wèn)1詳解】∵，且，∴，解得．【小問(wèn)2詳解】∵，，且，∴且，解得，∴，即∴直線間的距離為．18.已知直線l：與x軸的交點(diǎn)為A，圓O：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．（1）求r的值；（2）若點(diǎn)B為圓O上一點(diǎn)，且直線垂直于直線l，求弦長(zhǎng)．【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）求出，代入圓的方程即可求解；（2）根據(jù)直線垂直于直線l，可求直線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式可求直線的方程，再利用垂徑定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】在中，令，得，故.因?yàn)閳AO：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，所以，解得.【小問(wèn)2詳解】直線l的斜率為2，因?yàn)橹本€垂直于直線l，所以直線的斜率為.所以直線的方程為，即.圓心到直線的距離為，所以.19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1．（1）求證：AB⊥PC；（2）點(diǎn)M在線段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，求三棱錐M﹣ACP體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明AB⊥平面PAC，然后結(jié)合已知可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法結(jié)合已知先確定點(diǎn)M位置，然后轉(zhuǎn)化法求體積可得.【小問(wèn)1詳解】由題意得四邊形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，易知E為BC中點(diǎn)，以A為原點(diǎn)，AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.則設(shè)，.顯然，是平面ACD的一個(gè)法向量，設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為.則有，取，解得由二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，有，解得，所以M為PD中點(diǎn).所以20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為..（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)填在橫線上，并完成下面的問(wèn)題.①，；②是和的等比中項(xiàng)，.若公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且______，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）選擇①：；選擇②：.【解析】【分析】（1）由數(shù)列與的關(guān)系轉(zhuǎn)化條件為，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可得解；（2）設(shè)數(shù)列的公差為，若選擇①，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程可得，進(jìn)而可得，再結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得解；若選擇②，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可得，再結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，所以，即，因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2）設(shè)數(shù)列的公差為，若選擇①，由題意，解得；所以，由（1）得，，所以，所以，，兩式相減得，所以；若選擇②，有，即，即，因?yàn)椋?，所以，解得，所以，由?）得，，所以，所以，.兩式相減，得，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)與，要注意與關(guān)系的應(yīng)用；（2）要明確錯(cuò)位相減法的適用條件和使用方法，細(xì)心運(yùn)算.21.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上．（1）求的值；（2）若直線l與拋物線C交于，兩點(diǎn)，，且，求的最小值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入即可求解；（2）利用向量數(shù)量積為3求出，再對(duì)式子變形后使用基本不等式進(jìn)行求解最小值.【小問(wèn)1詳解】將代入拋物線，解得：.【小問(wèn)2詳解】，在拋物線C上，故，，解得：或2，因，所以，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.22.已知圓：，定點(diǎn)，A是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于P點(diǎn)．（1）求P點(diǎn)的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線過(guò)點(diǎn)且與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)．證明：直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，定值為-1.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件探求出，再利用橢圓定義即可得軌跡C的方程.(2)由給定條