【數(shù)學】江蘇省鎮(zhèn)江市2023-2024學年高一上學期期末考試試題（解析版）

江蘇省鎮(zhèn)江市2023-2024學年高一上學期期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.2.已知命題：為鈍角，命題：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若為鈍角，則必為第二象限角，則，所以是的充分條件；若，則可能為第二或第四象限角，未必就是鈍角，所以不是的必要條件；綜上：是的充分不必要條件.故選：A.3.將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意是偶函數(shù)，所以，解得，又，所以.故選：A.4.“扇形窗下清風徐”.如圖所示是一個扇子形窗，其所在的扇形半徑為，圓心角為，窗子左右兩邊的邊框長度都為，則該窗的面積約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知：扇形的圓心角為，大扇形的半徑為，小扇形的半徑為，所以該窗的面積為.故選：C.5.函數(shù)的定義域為，則值域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)的定義域為，且在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)的最小值為，最大值為，所以值域為.故選：A.6.已知函數(shù)圖象如圖所示，則下列函數(shù)中符合此圖象的為（）A B.C. D.【答案】B【解析】設題設函數(shù)為，由圖可知，若，但此時，矛盾，故可排除D；由為偶函數(shù)，若，則，矛盾，故排除A；在有零點，若，則時，，矛盾，故排除C，經(jīng)檢驗，B選項在函數(shù)的零點奇偶性等方面均符合題意.故選：B.7.已知，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，故，則由，可得，故.故選：D.8.已知函數(shù)，.甲：當時，函數(shù)單調(diào)遞減；乙：函數(shù)關于直線對稱；丙：當時，函數(shù)單調(diào)遞增；?。汉瘮?shù)圖象的一個對稱中心為.甲、乙、丙、丁四人對函數(shù)的論述中有且只有兩人正確，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于甲：因為的單調(diào)遞增區(qū)間為，關于單調(diào)遞增，所以不存在任何區(qū)間使得單調(diào)遞減，故甲錯誤；對于乙：因為的圖象不存在對稱軸，而函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到的，所以函數(shù)的圖象也不存在對稱軸，故乙錯誤；由題意甲、乙、丙、丁四人對函數(shù)的論述中有且只有兩人正確，故只能丙丁論述正確，若丙論述正確，即當時，函數(shù)單調(diào)遞增，則當時，關于單調(diào)遞增，由復合函數(shù)單調(diào)性可知此時應該有，解得，所以此時滿足題意，當時，關于單調(diào)遞增，但，即存在使得，無意義，所以此時不滿足題意，綜上所述，滿足題意的的取值范圍為，若丁論述正確，則，解得，結(jié)合的取值范圍為可知，只能，綜上所述，實數(shù)的值為.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則區(qū)間可以為（）A B. C. D.【答案】ABC【解析】由題意知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，令，即，當時，，當時，，故區(qū)間可以為，，，A，B，C正確；當時，，此時，的值取不到，D錯誤.故選：ABC.10.已知，下列命題正確的是（）A.命題“，”的否定是“，使得成立”B.若命題“，恒成立”為真命題，則C.“”是“方程有實數(shù)解”的充分不必要條件D.若命題“，”為真命題，則【答案】BCD【解析】對于選項A：命題“，”的否定是“，使得成立”，故A錯誤；對于選項B：若命題“，恒成立”為真命題，注意到的圖象開口向上，則，解得，故B正確；對于選項C：若，則，可知方程有實數(shù)解，即充分性成立；例如，方程有實數(shù)解，不滿足，即必要性不成立，所以“”是“方程有實數(shù)解”的充分不必要條件，故C正確；對于選項D：若命題“，”為真命題，注意到的圖象開口向上，對稱軸為，則，解得，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù)B.當時，的最小值為C.當時，的最小值為D.函數(shù)在存在零點的充要條件是【答案】AD【解析】對于A，定義域關于原點對稱，且，所以為奇函數(shù)，故A正確；對于B，取時，此時單調(diào)遞增，最小值為，而無意義，故B錯誤；對于C，取時，此時在上單調(diào)遞減，不是最小值，故C錯誤；對于D，若，則，而，所以函數(shù)在存在零點的充要條件是，故D正確.故選：AD.12.下列不等關系成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，，故，故，A正確；對于B，，則，則，B正確；對于C，，故，故，C錯誤；對于D，，則，故，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.求值_______________.【答案】【解析】.故答案為：.14.已知，則__________.【答案】6【解析】因為，所以.故答案為：6.15.冪函數(shù)滿足下列性質(zhì)：（1）對定義域中任意的，有；（2）對中任意的，都有，請寫出滿足這兩個性質(zhì)的一個冪函數(shù)的表達式_______________.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意知冪函數(shù)滿足性質(zhì)：對定義域中任意的，有，則函數(shù)為偶函數(shù)；又函數(shù)滿足對中任意的，都有，可知函數(shù)為上的單調(diào)遞減函數(shù)，故滿足題目中要求.故答案為：.16.已知，.如，則__________；如，則___________.【答案】或或或【解析】由題意知，，故，即，若，則；若，則或或或，故答案為：或或或.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當時，，或，或，所以或.（2）因為，所以集合不可能是空集，若，所以或，解得或，即實數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù)（其中，）的最小正周期為，且___________.①點在函數(shù)的圖象上；②函數(shù)的一個零點為；③的一個增區(qū)間為.請你從以上三個條件選擇一個（如果選擇多個，則按選擇的第一個給分），補充完整題目，并求解下列問題：（1）求的解析式；（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)一個周期內(nèi)的圖象.解：（1）由題意最小正周期為，解得，所以，若選①，則，所以，又，所以，所以函數(shù)的解析式為；若選②，則，所以，又，所以，所以函數(shù)的解析式為；若選③，即的一個增區(qū)間為，當時，，又，由復合函數(shù)單調(diào)性可知，只能，，所以函數(shù)的解析式為；綜上所述，無論選哪個條件，函數(shù)的解析式均為.（2）列表如下：00100描點、連線（光滑曲線）畫出函數(shù)一個周期內(nèi)的圖象如圖所示：19.已知，，設.（1）若，求，的值；（2）若，求的值.解：（1）因為，兩邊平方可得，解得，所以，.（2）因為，所以.20.已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)有且只有兩個不同的零點；（2）已知，設函數(shù)的兩個零點為，試判斷下列四個命題的真假，并說明理由：①；②；③；④.解：（1）由題意可知函數(shù)的定義域為，且在上均單調(diào)遞增且連續(xù)，，，故在內(nèi)有唯一零點；又，則，故在內(nèi)有唯一零點；綜上，函數(shù)有且只有兩個不同的零點.（2）①③為真命題；②④為假命題，理由如下：設函數(shù)的兩個零點為，由（1）可知，故，又，，即，故，故①③為真命題；②④為假命題.21.去年某商戶銷售某品牌服裝9000套，每套服裝利潤為50元.為提高銷售利潤，今年計劃投入適當?shù)膹V告費進行產(chǎn)品促銷.經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若廣告費用為（萬元），則該品牌服裝的年銷售量將增長.請你預算該品牌服裝的凈利潤（凈利潤為銷售利潤減去廣告費用）（1）若使得今年凈利潤比去年至少增長，請你預算廣告費用的范圍?（2）當廣告費用多少萬元時，品牌服裝的凈利潤最大?解：（1）由題意得，即，化簡并整理得，解得，所以預算廣告費用的范圍為.（2）由題意凈利潤為萬元，所以由基本不等式可得，等號成立當且僅當，所以當投入廣告費用為8萬元時，品牌服裝的凈利潤最大.22.已知函數(shù)的定義域為.（1）如果不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）如果函數(shù)存在兩個不同的零點.①求實數(shù)取