北京市門頭溝區(qū)市級名校2024屆數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試試題含解析

北京市門頭溝區(qū)市級名校2024屆數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若命題是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，則△ABC的外接圓的直徑為（）A．5 B． C． D．3．已知對任意實(shí)數(shù)，有，且時，，則時（）A． B．C． D．4．已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影為（）A．0 B．1C．2 D．5．是虛數(shù)單位，則的虛部是（）A．-2 B．-1 C． D．6．在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),則過點(diǎn)且平行于極軸的直線的方程是()A．B．C．D．7．若函數(shù)對任意都有成立，則（）A．B．C．D．與的大小不確定8．已知集合A={x|x2-6x+5≤0},B={x|y=A．1，2 B．1，29．曲線y=ex在A處的切線與直線x﹣y+1=0平行，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，e﹣1） B．（0，1） C．（1，e） D．（0，2）10．現(xiàn)有五位同學(xué)分別報名參加航模、機(jī)器人、網(wǎng)頁制作三個興趣小組競賽，每人限報一組，那么不同的報名方法種數(shù)有()A．120種 B．5種 C．種 D．種11．復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．12．已知集合，，則＝（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，那么__________．14．給出定義：對于三次函數(shù)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.已知函數(shù).設(shè).若則__________．15．如圖，已知正方體，,E為棱的中點(diǎn)，則與平面所成角為_____________.（結(jié)果用反三角表示）16．展開式中的常數(shù)項(xiàng)是____________(用數(shù)字作答)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程；曲線的極坐標(biāo)方程。(2)當(dāng)曲線與曲線有兩個公共點(diǎn)時，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知，設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足，命題：實(shí)數(shù)滿足．（1）若，為真命題，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（12分）設(shè)數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a1=1.若a1（I）求an及S（Ⅱ）設(shè)bn=1an+12-120．（12分）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有極值.(1)求常數(shù)的值;(2)求曲線與軸所圍成的圖形的面積.21．（12分）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求，的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知都是正數(shù)（1）若，求證：；（2）若，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】因?yàn)槊}是真命題，即不等式對恒成立，即恒成立，當(dāng)a＋2＝0時，不符合題意，故有，即，解得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：B．2、C【解題分析】分析：由三角形面積公式可得，再由余弦定理可得，最后結(jié)合正弦定理即可得結(jié)果.詳解：根據(jù)三角形面積公式得，，得，則，即，，故正確答案為C.點(diǎn)睛：此題主要考三角形面積公式的應(yīng)用，以及余弦定理、正弦定理在計算三角形外接圓半徑的應(yīng)用等有關(guān)方面的知識與技能，屬于中低檔題型，也是?？伎键c(diǎn).此類題的題型一般有：1.已知兩邊和任一邊，求其他兩邊和一角，此時三角形形狀唯一；2.已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，此時三角形形狀不一定唯一.3、B【解題分析】由條件知：是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；是偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；所以在內(nèi)是增函數(shù)；在內(nèi)是減函數(shù)；所以時，故選B4、D【解題分析】試題分析：在方向上的投影為，故選D.考點(diǎn)：向量的投影.5、B【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式后可得其虛部．【題目詳解】由題意得，所以復(fù)數(shù)的虛部是．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的基本概念，解答本題時容易出現(xiàn)的錯誤是認(rèn)為復(fù)數(shù)的虛部為，對此要強(qiáng)化對基本概念的理解和掌握，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

將點(diǎn)化為直角坐標(biāo)的點(diǎn)，求出過點(diǎn)且平行于軸的直線的方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，屬于簡單題?！绢}目詳解】因?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)為，此點(diǎn)到軸的距離是，則過點(diǎn)且平行于軸的直線的方程是，化為極坐標(biāo)方程是故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，屬于簡單題。7、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷g（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可得g（ln3）與g（ln5）的大小關(guān)系，整理即可得到答案．【題目詳解】解：令，則，因?yàn)閷θ我舛加?，所以，即在R上單調(diào)遞增，又，所以，即，即，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)選項(xiàng)及已知條件合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題.8、C【解題分析】

由題意，集合A={x|1≤x≤5}，B={x|x>2}，再根據(jù)集合的運(yùn)算，即可求解.【題目詳解】由題意，集合A={x2-6x+5≤0}={x|1≤x≤5}所以A∩B={x|2<x≤5}=(2,5]，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及不等式求解和集合的運(yùn)算問題，其中解答中正確求解集合A,B，再根據(jù)集合的運(yùn)算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

由題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可確定點(diǎn)A的坐標(biāo).【題目詳解】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，則函數(shù)在處切線的斜率為：，切線與直線x﹣y+1=0平行，則，解得：，切點(diǎn)坐標(biāo)為，即.本題選擇B選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線，直線平行的充分必要條件等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.10、D【解題分析】

先計算每個同學(xué)的報名方法種數(shù),利用乘法原理得到答案.【題目詳解】A同學(xué)可以參加航模、機(jī)器人、網(wǎng)頁制作三個興趣小組,共有3種選擇.同理BCDE四位同學(xué)也各有3種選擇,乘法原理得到答案為D【題目點(diǎn)撥】本題考查了分步乘法乘法計數(shù)原理,屬于簡單題目.11、C【解題分析】

利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得，根據(jù)虛部定義得到結(jié)果.【題目詳解】的虛部為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)虛部的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

先計算集合N，再計算得到答案.【題目詳解】故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的運(yùn)算，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解題分析】分析：利用排列數(shù)公式展開，解方程即可.詳解：，解得.即答案為8.點(diǎn)睛：本題考查排列數(shù)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.14、-4037【解題分析】

由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù),令二階導(dǎo)數(shù)為零,即可求得函數(shù)的中心對稱,即有,,借助倒序相加的方法,可得進(jìn)而可求的解析式,求導(dǎo),當(dāng)代入導(dǎo)函數(shù)解得,計算求解即可得出結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由得解得,而故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱,故，兩式相加得，則.同理,,,令,則,,故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱,,兩式相加得,則.所以當(dāng)時,解得:,所以則.故答案為:-4037.【題目點(diǎn)撥】本題考查對新定義的理解,考查二階導(dǎo)數(shù)的求法,仔細(xì)審題是解題的關(guān)鍵,考查倒序法求和,難度較難.15、【解題分析】

作出輔助線，由題意首先找到AE與平面所成角，然后結(jié)合幾何關(guān)系求解線面角的大小即可.【題目詳解】如圖所示，連結(jié)BE,由題意可知：，∵AB⊥平面B1BCC1,∴∠AEB是AE與平面B1BCC1所成的角，，.故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面角的計算，空間幾何體中的線面關(guān)系等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.16、【解題分析】

將二項(xiàng)式變形為，得出其展開式通項(xiàng)為，再利用，求出，不存在，再將代入可得出所求常數(shù)項(xiàng)?！绢}目詳解】，所以，展開式的通項(xiàng)為，令，可得，不存在，因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)是，故答案為：?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理，考查指定項(xiàng)系數(shù)的求解，解這類問題一般是利用二項(xiàng)式定理將展開式表示為通項(xiàng)，利用指數(shù)求出參數(shù)，考查計算能力，屬于中等題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解題分析】

（1）利用極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，得到曲線的直角坐標(biāo)方程與曲線的極坐標(biāo)方程，注意題中所給的角的范圍，從而得到其為上半圓，注意范圍；（2）利用直線與圓的位置關(guān)系由圓心到直線的距離來約束，此時注意是上半圓，從而求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由得，即：，∴曲線為以（1,0）為圓心，1為半徑的圓的上半部分，從而直角坐標(biāo)方程為：.-曲線的極坐標(biāo)方程為(2)直線的普通方程為：，當(dāng)直線與半圓相切時，解得（舍去）或，當(dāng)直線過點(diǎn)（2,0）時，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的問題，在解題的過程中，涉及到的知識點(diǎn)有平面直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，曲線的極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)換，直線與曲線有兩個公共點(diǎn)的條件，思路清晰是正確解題的關(guān)鍵.18、（1）（2）【解題分析】

（1）若，分別求出成立的等價條件，利用為真命題，求出的取值范圍；（2）利用是的充分不必要條件，即是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由，得，（1）若，則：，若為真，則，同時為真，即，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）由，得，解得.即：.若是的充分不必要條件，即是的充分不必要條件，則必有，此時：，.則有，即，解得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用逆否命題的等價性將是的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為是的充分不必要條件是解決本題的關(guān)鍵.19、（I）an=2n-1，Sn【解題分析】

（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，根據(jù)題中條件列方程組求出a1和d的值，于此可得出an（Ⅱ）將bn的通項(xiàng)表示為bn=141n【題目詳解】（Ⅰ）由題意，得a1=1a2=a1所以an=a（Ⅱ）因?yàn)閎n所以Tn【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式，考查裂項(xiàng)求和法，在求解等差數(shù)列的問題時，一般都是通過建立首項(xiàng)與公差的方程組，求解這兩個基本量來解決等差數(shù)列的相關(guān)問題，考查計算能力，屬于中等題。20、(1);(2).【解題分析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在處有極值，由且,解方程組，即可求得的值；（2）利用定積分的幾何意義，先確定確定函數(shù)的積分區(qū)間，被積函數(shù)，再求出原函數(shù)，利用微積分基本定理，結(jié)合函數(shù)的對稱性即可得結(jié)論.【題目詳解】(1)由題意知,且,即,解得.(2)如圖,由1問知.作出曲線的草圖,所求面積為陰影部分的面積.

由得曲線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是,和,而是上的奇函數(shù),函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.所以軸右側(cè)陰影面積與軸左側(cè)陰影面積相等.所以所求圖形的面積為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、定積分的幾何意義以及微積分基本定理的應(yīng)用，屬于中檔題.已知函數(shù)的極值求參數(shù)的一般步驟是：（1）列方程求參數(shù)；（2）檢驗(yàn)方程的解的兩邊導(dǎo)函數(shù)符號是否相反.21、（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）．【解題分析】試題分析：（1）由切點(diǎn)坐標(biāo)及切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為，即可列出方程組，求解，的值；（2）在的條件下，求解和，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，即在區(qū)間內(nèi)有解，由此求解的取值范圍．試題解析：（1），由題意得，即．（2）由（1）得，（），當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．（3），依題意，存在，使不等式成立，即時，，當(dāng)且僅當(dāng)“”，即時等號成立，所以滿足要求的的取值范圍是．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的有解問題．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點(diǎn)處的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求解單