2024屆青島第二中學數學高二下期末調研試題含解析

2024屆青島第二中學數學高二下期末調研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為A．5 B．2 C．3 D．22．設,，，則（）A． B． C． D．3．函數向右平移個單位后得到函數，若在上單調遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知，，，則的最大值為（）A．1 B． C． D．5．二維空間中圓的一維測度（周長），二維測度（面積），觀察發(fā)現；三維空間中球的二維測度（表面積），三維測度（體積），觀察發(fā)現.則由四維空間中“超球”的三維測度，猜想其四維測度（）A． B． C． D．6．已知是等比數列的前n項和，且是與的等差中項，則（）A．成等差數列 B．成等差數列C．成等差數列 D．成等差數列7．函數則函數的零點個數是（）A． B． C． D．8．已知是可導函數，且對于恒成立，則A． B．C． D．9．已知是虛數單位，則（）A． B． C． D．10．定積分的值為()A．3 B．1 C． D．11．正項等比數列中，，若，則的最小值等于（）A．1 B． C． D．12．將1000名學生的編號如下：0001，0002，0003，…，1000，若從中抽取50個學生，用系統(tǒng)抽樣的方法從第一部分0001，0002，…，0020中抽取的號碼為0015時，抽取的第40個號碼為（）A．0795 B．0780 C．0810 D．0815二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．(2016·開封聯考)如圖所示，由曲線y＝x2，直線x＝a，x＝a＋1(a>0)及x軸圍成的曲邊梯形的面積介于相應小矩形與大矩形的面積之間，即.運用類比推理，若對?n∈N*，恒成立，則實數A＝________.14．已知一組數據1，3，2，5，4，那么這組數據的方差為____．15．若方程有實根，則實數m的取值范圍是______．16．已知平面向量，滿足||=1，||=2，|﹣|=，則在方向上的投影是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左右頂點分別是，，點在橢圓上，過該橢圓上任意一點P作軸，垂足為Q，點C在的延長線上，且．（1）求橢圓的方程；（2）求動點C的軌跡E的方程；（3）設直線（C點不同A、B）與直線交于R，D為線段的中點，證明：直線與曲線E相切；18．（12分）設函數（1）當時，求函數在上的值域；（2）若不論取何值，對任意恒成立，求的取值范圍。19．（12分）已知函數，其中為自然對數的底數.（1）若，求的最小值；（2）若，證明：.20．（12分）《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關規(guī)定：機動車行經人行橫道時，應當減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規(guī)定：對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數據：月份12345違章駕駛員人數1201051009085（1）請利用所給數據求違章人數少與月份x之間的回歸直線方程；（2）預測該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數；（3）交警從這5個月內通過該路口的駕駛員中隨機抽查了50人，調查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關系，得到如下2×2列聯表：不禮讓斑馬線禮讓斑馬線合計駕齡不超過1年22830駕齡1年以上81220合計302050能否據此判斷有97.5%的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關？參考公式：，.（其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）隨著智能手機的普及，各類手機娛樂軟件也如雨后春筍般涌現.如表中統(tǒng)計的是某手機娛樂軟件自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注冊用戶數，記月份代碼為（如對應于2018年8月份，對應于2018年9月份，…，對應于2019年4月份），月新注冊用戶數為（單位：百萬人）（1）請依據上表的統(tǒng)計數據，判斷月新注冊用戶與月份線性相關性的強弱；（2）求出月新注冊用戶關于月份的線性回歸方程，并預測2019年5月份的新注冊用戶總數.參考數據：，，.回歸直線的斜率和截距公式：，.相關系數（當時，認為兩相關變量相關性很強.）注意：兩問的計算結果均保留兩位小數22．（10分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD．（1）證明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用點到直線的距離公式求出|PF2|cos∠POF2=ac，由誘導公式得出cos∠POF1=-ac，在【題目詳解】如下圖所示，雙曲線C的右焦點F2(c,0)，漸近線l1由點到直線的距離公式可得|PF由勾股定理得|OP|=|O在RtΔPOF2中，∠OPF在ΔPOF2中，|OP|=a，|PFcos∠PO由余弦定理得cos∠POF1即c=2a，因此，雙曲線C的離心率為e=c【題目點撥】本題考查雙曲線離心率的求解，屬于中等題。求離心率是圓錐曲線一類?？碱}，也是一個重點、難點問題，求解橢圓或雙曲線的離心率，一般有以下幾種方法：①直接求出a、c，可計算出離心率；②構造a、c的齊次方程，求出離心率；③利用離心率的定義以及橢圓、雙曲線的定義來求解。2、A【解題分析】

先研究函數單調性，再比較大小.【題目詳解】,令，則因此當時，即在上單調遞減，因為，所以，選A.【題目點撥】本題考查利用導數研究函數單調性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.3、D【解題分析】

首先求函數，再求函數的單調遞增區(qū)間，區(qū)間是函數單調遞增區(qū)間的子集，建立不等關系求的取值范圍.【題目詳解】,令解得，若在上單調遞增，,解得：時，.故選D.【題目點撥】本題考查了三角函數的性質和平移變換，屬于中檔題型.4、D【解題分析】

直接使用基本不等式，可以求出的最大值.【題目詳解】因為，，，所以有，當且僅當時取等號，故本題選D.【題目點撥】本題考查了基本不等式的應用，掌握公式的特征是解題的關鍵.5、A【解題分析】

因為，，由此類比可得，，從而可得到結果.【題目詳解】因為二維空間中圓的一維測度（周長），二維測度（面積），觀察發(fā)現；三維空間中球的二維測度（表面積），三維測度（體積），觀察發(fā)現.所以由四維空間中“超球”的三維測度，猜想其四為測度W，應滿足，又因為，所以，故選A.【題目點撥】本題主要考查類比推理以及導數的計算.6、B【解題分析】

由于是與的等差中項，得到，分，兩種情況討論，用等比數列的前n項和公式代入，得到，即，故得解.【題目詳解】由于是與的等差中項，故由于等比數列，若：，矛盾；若：，即成等差數列故選：B【題目點撥】本題考查了等差、等比數列綜合，考查了學生概念理解，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.7、A【解題分析】

通過對式子的分析，把求零點個數轉化成求方程的根，結合圖象，數形結合得到根的個數，即可得到零點個數．【題目詳解】函數的零點即方程和的根，函數的圖象如圖所示：由圖可得方程和共有個根，即函數有個零點,故選：A.【題目點撥】本題考查函數的零點與方程的根的個數的關系，注意結合圖象，利用數形結合求得結果時作圖很關鍵，要標準．8、D【解題分析】分析：構造函數，利用導數判斷其單調性即可得出.詳解：已知是可導函數，且對于恒成立，即恒成立，令，則，函數在R上單調遞減，，即，化為.故選：D.點睛：本題是知識點交匯的綜合題，考查綜合運用函數思想解題的能力，恰當構造函數，利用導數判斷單調性是解題的關鍵.9、B【解題分析】

根據復數的乘法運算法則，直接計算，即可得出結果.【題目詳解】.故選B【題目點撥】本題主要考查復數的乘法，熟記運算法則即可，屬于基礎題型.10、C【解題分析】

運用定積分運算公式，進行求解計算.【題目詳解】，故本題選C.【題目點撥】本題考查了定積分的運算，屬于基礎題.11、D【解題分析】分析：先求公比，再得m,n關系式，最后根據基本不等式求最值.詳解：因為，所以，因為，所以，因此當且僅當時取等號選點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤.12、A【解題分析】分析：先確定間距，再根據等差數列通項公式求結果.詳解：因為系統(tǒng)抽樣的方法抽簽，所以間距為所以抽取的第40個數為選A.點睛：本題考查系統(tǒng)抽樣概念，考查基本求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】令，依據類比推理可得A1＝dx＝ln(n＋1)－lnn，A2＝dx＝ln(n＋2)－ln(n＋1)，…，An＝dx＝ln(2n)－ln(2n－1)，所以A＝A1＋A2＋…＋An＝ln(n＋1)－lnn＋ln(n＋2)－ln(n＋1)＋…＋ln(2n)－ln(2n－1)＝ln(2n)－lnn＝ln2.14、2；【解題分析】

先求這組數據的平均數，再代入方差公式，求方差.【題目詳解】因為，方差.【題目點撥】本題考查平均數與方差公式的簡單應用，考查基本的數據處理能力.15、.【解題分析】分析：將原式變形為=x+m，根據直線與橢圓相交相切的性質即可得出．詳解：由題得若方程有實根等價于=x+m有解，y=等價于：表示x軸上方的部分橢圓，當直線y=x+m經過橢圓的又頂點（2,0）時為相交的一個臨界值此時m=-2，當直線與橢圓的左上半部分相切時為第二個臨界值，此時聯立方程得：，求得：，因為與上半部分相交故直線與y軸的交點為正值，故m=，所以綜合得：m的取值范圍是.，故答案為.點睛：本題考查了直線與橢圓圓相交相切的性質、方程的根轉化函數有解問題、數形結合思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．16、【解題分析】分析：根據向量的模求出?=1，再根據投影的定義即可求出．詳解：∵||=1，||=2，|﹣|=，∴||2+||2﹣2?=3，解得?=1，∴在方向上的投影是=，故答案為點睛：本題考查了平面向量的數量積運算和投影的定義，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）證明略；【解題分析】

（1）根據頂點坐標可知，將代入橢圓方程可求得，進而得到橢圓方程；（2）設，，可得到，將代入橢圓方程即可得到所求的軌跡方程；（3）設，可得直線方程，進而求得和點坐標；利用向量坐標運算可求得，從而證得結論.【題目詳解】（1）由題意可知：將代入橢圓方程可得：，解得：橢圓的方程為：（2）設，由軸，可得：，即將代入橢圓方程得：動點的軌跡的方程為：（3）設，則直線方程為：令，解得：，即直線與曲線相切【題目點撥】本題考查直線與橢圓、直線與圓的綜合應用問題，涉及到橢圓方程的求解、動點軌跡的求解問題、直線與圓位置關系的證明等知識；求解動點軌跡的常用方法是利用動點表示出已知曲線上的點的坐標，從而代入已知曲線方程整理可得動點軌跡.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）首先判斷出為上的減函數，進而可得其值域；（2）易知的最大值為2，原題等價于對任意恒成立，根據分離參數思想可得任意恒成立，求出兩端最值即可.【題目詳解】解：（1）與在上均為減函數，在上為減函數，的值域為（2）易知的最大值為2.由題意可知，即對任意恒成立，即任意恒成立。設，，，，，【題目點撥】本題主要考查了函數值域的求法，不等式恒成立問題，分離參數求最值是解題的關鍵，該題有一定難度.19、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】分析：（1）先利用導數求函數的單調區(qū)間，再求的最小值.(2)先求的最小值為,再證明＞0.詳解：（1）若，,所以,設，則所以在上為增函數，又，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以的最小值為.（2）由題意知當時，顯然成立.當時，由（1）知在上為增函數，因為,所以存在唯一的使得，即,所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以的最小值為,,,當且僅當，即時取等號.代入得，矛盾，所以等號不能成立.所以，所以.點睛：（1）本題主要考查利用導數求函數的單調區(qū)間和最值，考查利用導數證明不等式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理轉化能力.(2)解答本題有兩個難點，其一是求得的最小值為,其二是證明＞0，用到了基本不等式，同時要注意取等的問題.20、（1）；（2）66人；（3）有的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡關．【解題分析】

（1）利用所給數據計算、，求出回歸系數，寫出回歸直線方程；

（2）由（1）中的回歸直線方程計算x=7時的值即可；

（3）由列聯表中數據計算K2，對照臨界值得出結論．【題目詳解】（1）由表中數據知，，∴，∴，∴所求回歸直線方程為