復(fù)雜的和倍問題

PAGE|初一·數(shù)學(xué)·基礎(chǔ)-提高-精英·學(xué)生版|第1講第頁6-1-5.和倍問題.題庫 教師版pagePAGE1ofNUMPAGES11小敏有元，小花有元，小花給小敏幾元，小敏的錢數(shù)就是小花的倍？小華和爺爺今年共歲，爺爺?shù)臍q數(shù)是小華的倍.爺爺比小華大多少歲？.一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是36厘米，長(zhǎng)是寬的2倍，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？5箱蘋果和5箱葡萄共重75千克，每箱蘋果是每箱葡萄重量的2倍。每箱蘋果和每箱葡萄各重多少千克？師、徒兩人共加工個(gè)零件，師傅加工的個(gè)數(shù)比徒弟的倍還多個(gè)，師傅和徒弟各加工零件多少個(gè)？實(shí)驗(yàn)小學(xué)共有學(xué)生人，男生比女生倍少人.問：實(shí)驗(yàn)小學(xué)男學(xué)生和女學(xué)生各有多少人？?jī)山M學(xué)生參加義務(wù)勞動(dòng)，甲組學(xué)生人數(shù)是乙組的3倍，而乙組的學(xué)生人數(shù)比甲組的3倍少40人，求參加義務(wù)勞動(dòng)的學(xué)生共有多少人？把乙組學(xué)生人數(shù)看作1份，畫出線段圖如下：商店運(yùn)來橘子、蘋果、香蕉共53千克，橘子的重量是蘋果的3倍少3千克，香蕉的重量是蘋果的2倍多2千克，橘子重多少千克?實(shí)驗(yàn)小學(xué)三、四年級(jí)的同學(xué)們一共制作了件航模，四年級(jí)同學(xué)制作的航模件數(shù)是三年級(jí)的

倍，三、四年級(jí)的同學(xué)各制作了多少件航模？一家三口人，三人年齡之和是歲，媽媽和爸爸同歲，媽媽的年齡是孩子的倍，三人各是多少歲？果園里有梨樹和蘋果樹共棵，蘋果樹的棵數(shù)是梨樹的倍，蘋果樹比梨樹多多少棵？某鎮(zhèn)上有東西兩個(gè)公交車站，東站有客車84輛，西站有客車56輛，每天從東站到西站有7輛車，從西站到東站有11輛車，幾天后，東站車輛是西站的4倍？光明小學(xué)有學(xué)生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？紅、黃、藍(lán)三個(gè)紙盒里共有彩票56張．其中紅色紙盒里的彩票是黃色紙盒的2倍，藍(lán)色紙盒里的彩票是紅色紙盒的2倍，紅、黃、藍(lán)三個(gè)紙盒里各有多少張彩票?有只盒子，每只盒內(nèi)放有同一種筆．只盒子所裝筆的支數(shù)分別為支、支、支、支、支、支、支、支．在這些筆中，圓珠筆的支數(shù)是鋼筆支數(shù)的倍，鉛筆支數(shù)是鋼筆支數(shù)的倍，只有一只盒里放的是水彩筆．這盒水彩筆共有多少支？六張卡片上分別標(biāo)上、、、、、六個(gè)數(shù)，甲取張，乙取張，丙取張，結(jié)果發(fā)現(xiàn)甲、乙各自手中卡片上的數(shù)之和一個(gè)人是另—個(gè)人的倍，則丙手中卡片上的數(shù)是________．甲、乙、丙三個(gè)小朋友共有塊巧克力，如果丙吃掉塊，那么乙和丙的巧克力就一樣多；如果乙給甲塊巧克力，那么甲的巧克力就是乙的倍，丙原有塊巧克力．甲、乙、丙三所小學(xué)學(xué)生人數(shù)的總和為，已知甲校學(xué)生人數(shù)的倍，乙校學(xué)生人數(shù)減，丙校學(xué)生人數(shù)加都是相等的，問：甲、乙、丙各校的人數(shù)是多少？學(xué)校買來一些乒乓球和羽毛球共個(gè)，乒乓球的個(gè)數(shù)是羽毛球的倍.買來的乒乓球和羽毛球各多少個(gè)？某項(xiàng)競(jìng)賽分一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)，每個(gè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是每個(gè)二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的倍，每個(gè)二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是每個(gè)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的倍．如果評(píng)出一、二、三等獎(jiǎng)各人，那么每個(gè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是元．如果評(píng)出個(gè)一等獎(jiǎng)，個(gè)二等獎(jiǎng)，個(gè)三等獎(jiǎng)，那么一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是多少元?甲、乙、丙三所小學(xué)的學(xué)生人數(shù)的總和為1999。已知甲校學(xué)生人數(shù)的2倍和乙校學(xué)生人數(shù)減去3人與丙校學(xué)生人數(shù)加上4人都相等。問甲、乙、丙各校學(xué)生人數(shù)是多少？有100塊糖，分給甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了3塊，乙比丙多分了5塊，三位小朋友各分得多少塊糖?實(shí)驗(yàn)一小、實(shí)驗(yàn)二小兩校共有學(xué)生2346人，如果實(shí)驗(yàn)一小增加146人，實(shí)驗(yàn)二小減少88人，兩校的學(xué)生人數(shù)就相等，你知道兩校實(shí)際各有多少人嗎?超市運(yùn)來一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的顆數(shù)比巧克力糖的3倍還多10顆．售貨員將這些糖包裝成相同的小袋，每袋內(nèi)裝了3顆巧克力糖和7顆水果糖．最后巧克力糖全部裝完，水果糖還剩下170顆．請(qǐng)問：這批糖果共有幾顆水果糖，幾顆巧克力糖？四年級(jí)有甲、乙、丙、丁四個(gè)班．不算甲班，其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班，其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是134人；乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人．問：這四個(gè)班共有多少人？某日停電，房間里燃起了長(zhǎng)、短兩根蠟燭，它們?nèi)紵俣仁恰獦拥模_始時(shí)長(zhǎng)蠟燭是短蠟燭長(zhǎng)度的倍，當(dāng)送電后吹滅蠟燭，發(fā)現(xiàn)此時(shí)長(zhǎng)蠟燭是短蠟燭長(zhǎng)度的倍．短蠟燭燃燒掉的長(zhǎng)度是厘米．問原來兩根蠟燭各有多長(zhǎng)？我們要注意發(fā)掘題目中真正的不變量，實(shí)際上本題中兩根蠟燭的長(zhǎng)度差是不變的(因?yàn)閮筛灎T燃燒的速度一樣)．所以我們根據(jù)題意可知：原長(zhǎng)蠟燭長(zhǎng)度倍原短蠟燭長(zhǎng)度，差為倍原短蠟燭長(zhǎng)度；后長(zhǎng)蠟燭長(zhǎng)度倍后短蠟燭長(zhǎng)度，差為倍后短蠟燭長(zhǎng)度；所以原短蠟燭長(zhǎng)度倍后短蠟燭長(zhǎng)度，也就是說短蠟燭燃燒了倍后短蠟燭長(zhǎng)度，為厘米，所以原短蠟燭長(zhǎng)厘米，原長(zhǎng)蠟燭長(zhǎng)厘米．某日停電，房間里同時(shí)點(diǎn)燃了兩支同樣長(zhǎng)的蠟燭．這兩支蠟燭的質(zhì)量不同，一支可以維持小時(shí)，另一支可以維持小時(shí)，當(dāng)送電時(shí)吹滅蠟燭，發(fā)現(xiàn)其中一支剩下的長(zhǎng)度是另一支剩下長(zhǎng)度的倍．這次停電時(shí)間是多少小時(shí)？?jī)筛K子原來的長(zhǎng)度一樣長(zhǎng)，但是從第一根截去12米，第二根繩子又接上14米后，第二根的長(zhǎng)度是第一根的3倍．應(yīng)該把變化后的第一根長(zhǎng)度看作1倍，而（米），正好相當(dāng)于第一根繩子剩下的長(zhǎng)度的2倍．所以，當(dāng)從第一根截去12米后剩下的長(zhǎng)度可以求出來了，那么第一根、第二根原有長(zhǎng)度也就可以求出來了．所以，第一根截去12米剩下的長(zhǎng)度：（米）兩根繩子原來的長(zhǎng)度：（米）．北京某小學(xué)的同學(xué)為幼兒園的小朋友做紅花和黃花共300朵。已知紅花的朵數(shù)比黃花的2倍少30朵。問兩種花各有多少朵？我們把黃花朵數(shù)看作一份，畫出線段圖如下：從線段圖中可以看出，兩種花的總和再添上30朵，正好對(duì)應(yīng)了3份。所以黃花朵數(shù)為：（300+30）÷（1+2）=110（朵）。紅花朵數(shù)為：300-110=190（朵）。學(xué)校買來一些乒乓球和羽毛球共個(gè)，乒乓球的個(gè)數(shù)是羽毛球的倍.買來的乒乓球和羽毛球各多少?先引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)一倍量和它的幾倍量，并帶領(lǐng)學(xué)生畫線段圖，借助圖形來解決實(shí)際問題．根據(jù)題意和線段圖可知，羽毛球的個(gè)數(shù)看作份數(shù)，乒乓球的個(gè)數(shù)就是份數(shù)，個(gè)就相當(dāng)于份數(shù)，這樣就可求出份數(shù)，也就是羽毛球的個(gè)數(shù)，把羽毛球的個(gè)數(shù)乘就是乒乓球的個(gè)數(shù).羽毛球有：，乒乓球有：(個(gè))．甲班和乙班共有圖書160本.甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的4倍.還可以理解為4份的數(shù)量是160本，求出1份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù).用下圖表示它們的關(guān)系：乙班：160÷（3+1）=40（本）甲班：40×3=120（本）或160-40=120（本）驗(yàn)算：120＋40=160（本）120÷40=3（倍）答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？解這題的關(guān)鍵是找出哪個(gè)量是變量，哪個(gè)量是不變量.從已知條件中得出，不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不變的量.最后要求甲班圖書是乙班圖書的2倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當(dāng)于乙班現(xiàn)有圖書的3倍.依據(jù)解和倍問題的方法，先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本數(shù)相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（見上圖）。甲、乙兩班共有圖書的本數(shù)是：30＋120=150（本）甲班給乙班若干本圖書后，甲、乙兩班共有的倍數(shù)是：2＋1＝3（倍）乙班現(xiàn)有的圖書本數(shù)是：150÷3=50（本）甲班給乙班圖書本數(shù)是：50-30=20（本）綜合算式：（30＋120）÷（2+1）=50（本）50-30=20（本）驗(yàn)算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）（120-20）+（30+20）＝150（本）答：甲班給乙班20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2倍。二⑴班的圖書角里有故事書和連環(huán)畫共本，如果故事書拿走本后，故事書的本數(shù)就是連環(huán)畫的倍.原有連環(huán)畫和故事書各有多少本？可引導(dǎo)學(xué)生，讓他們自己畫圖來分析，教師輔導(dǎo)指正．從線段圖可以看出，如果故事書拿走本以后，則正好是連環(huán)畫的倍.這時(shí)故事書與連環(huán)畫總數(shù)應(yīng)減少本，列式成(本)，正好是連環(huán)畫本數(shù)的()倍.⑴如果故事書拿走本，總本數(shù)為：(本)⑵現(xiàn)在連環(huán)畫與故事書的倍數(shù)和為：⑶連環(huán)畫有：(本)⑷故事書有：(本)兩個(gè)書架，甲書架存書相當(dāng)于乙書架存書量的倍，甲書架比乙書架存書多本，則乙書架存書多少本？多的本相當(dāng)于乙書架的倍，則乙書架的書為：（本）．盒子里有紅球和白球若干，若每次從里面拿出1個(gè)紅球和1個(gè)白球，那么當(dāng)拿到?jīng)]有紅球時(shí)，還剩下白球50個(gè)，若每次拿出1個(gè)紅球和3個(gè)白球，則拿到?jīng)]有白球時(shí)，還剩下50個(gè)紅球，那么盒子里有紅球和白球各多少個(gè)？方法一：第二次拿到?jīng)]有白球的時(shí)候還剩下50個(gè)紅球，因此如果再增加150個(gè)白球，可以使得“每次拿出1個(gè)紅球和3個(gè)白球”兩種球都不剩下，這樣增加150個(gè)白球后，按照第一種取法，白球會(huì)剩下（個(gè)），這說明白球增加150個(gè)后，白球的數(shù)量是紅球的3倍且白球比紅球多200個(gè)，轉(zhuǎn)化為差倍問題，所以，紅球的數(shù)量是（個(gè)），此時(shí)白球的數(shù)量是：（個(gè)），不過這個(gè)數(shù)量是白球增加150個(gè)之后的結(jié)果，所以原來盒子里有白球（個(gè)），紅球100個(gè)．方法二：用下圖表示它們的關(guān)系：把紅球的數(shù)量減去50個(gè)看做“1倍量”，可以得到，“2倍量”的數(shù)量是（）個(gè)．所以紅球的數(shù)量有（個(gè)），白球的數(shù)量比紅球多50個(gè)，有（個(gè)）．可以看出作圖表示簡(jiǎn)潔明了得多，也更容易發(fā)現(xiàn)隱含的關(guān)系．小月和冬冬看同一本小說，小月打算第一天看50頁，接著每天看15頁；冬冬則打算每天看22頁，最后兩人正好在同一天看完。這本小說一共多少頁？小月第一天比冬冬多看了28頁，也就是說冬冬以后幾天里面要比小月多看28頁才能和小月同時(shí)看完小說，所以冬冬應(yīng)該又看了天，那么可以知道這本小說一共：頁，驗(yàn)證頁。有5堆蘋果，較小的3堆平均有18個(gè)蘋果，較大的2堆，蘋果數(shù)之差為5個(gè)；又較大的3堆平均有蘋果26個(gè)，較小的2堆蘋果之差為7個(gè)；最大堆與最小堆平均有22個(gè)蘋果，問：各堆各有多少個(gè)蘋果？作圖表示題目各個(gè)量之間的關(guān)系能讓復(fù)雜的關(guān)系看起來簡(jiǎn)潔明了且不易混亂，用下圖表示它們的關(guān)系：最大堆與最小堆平均22個(gè)，那么最大堆與最小堆一共有（個(gè)）；較大的2堆，蘋果數(shù)之差為5個(gè)，得知次大堆比最大堆少5個(gè)蘋果；較小的2堆蘋果之差為7個(gè)，說明次小堆比最小堆多7個(gè)蘋果，因此，得知次小堆和次大堆之和為：（個(gè)），這樣最大堆、最小堆、次大堆、次小堆四堆蘋果數(shù)量之和是：（個(gè)），較大的3堆蘋果之和：（個(gè)），較小的3堆蘋果之和：（個(gè)），較大的3堆蘋果和較小的3堆蘋果總和等于最大堆、次大堆、最小堆、次小堆以及2個(gè)中間堆的數(shù)量之和．所以，中間堆的數(shù)量是：（個(gè)），最大堆與次大堆的和是：（個(gè)），最大堆有蘋果：（個(gè)），次大堆有：（個(gè)），同理最小堆有蘋果：（個(gè)），次小堆有蘋果：（個(gè)）．有幾個(gè)同學(xué)想稱一下體重，可是秤的秤砣不齊，只能稱50千克以上的重量，他們只好每人都和其他人合稱一次，共得到以下10個(gè)數(shù)據(jù)（單位：千克）：75、78、79、80、81、82、83、84、86、88．問：⑴有幾名同學(xué)？⑵他們的重量各是多少千克？⑴首先，也就是說5個(gè)同學(xué)兩兩合稱才恰好需要稱10次，所以有5個(gè)同學(xué)．⑵設(shè)這5個(gè)同學(xué)的體重從小到大依次為、、、、．則有，，，；．則千克；千克；千克；千克；千克．即他們的體重分別為37千克、38千克、41千克、43千克、45千克．【拓展】(2005年“迎春杯”初賽)有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的卡片，每種顏色的卡片各有3張．相同顏色的卡片上寫相同的自然數(shù)，不同顏色的卡片上寫不同的自然數(shù)．老師把這l2張卡片發(fā)給6名同學(xué)，每人得到兩張顏色不同的卡片．然后老師讓學(xué)生分別求出各自兩張卡片上兩個(gè)自然數(shù)的和．六名同學(xué)交上來的答案分別為：92，125，133，147，158，191．老師看完6名同學(xué)的答案后說，只有一名同學(xué)的答案錯(cuò)了．問：四種顏色卡片上所寫各數(shù)中最小數(shù)是多少？根據(jù)題意可知，6名同學(xué)每人都得到給定的4個(gè)數(shù)中的某2個(gè)，而從4個(gè)數(shù)中選取2個(gè)不同的數(shù)共有種不同的方法．而6名同學(xué)所給的6個(gè)答案中只有1個(gè)錯(cuò)誤，有5個(gè)是正確的，而且這5個(gè)正確的答案互不相同，所以這5名同學(xué)所拿到的兩個(gè)數(shù)也互不相同．而總共只有6種不同情況，所以給出錯(cuò)誤答案的那名同學(xué)所拿到的兩個(gè)數(shù)與其他5名同學(xué)所拿到的兩個(gè)數(shù)的情況也都不相同．那么本題相當(dāng)于：有四個(gè)數(shù)、、、()，每次從中取出兩個(gè)數(shù)，計(jì)算它們的和，得到六個(gè)和：92，125，133，147，l58，l91，其中只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，求的值．由取法可知，得到的六個(gè)和可以兩兩匹配，即與，與，與，互相匹配的兩個(gè)和的和是相等的，都等于．而題中的6個(gè)數(shù)中，，可見，那么六個(gè)和數(shù)中133和147都可能是錯(cuò)誤的．如果147是錯(cuò)誤的，那么133是正確的，另一個(gè)正確的和數(shù)為，根據(jù)、、、的大小順序，可得，，，，而與分別為133和150．再由得，所以是偶數(shù)，那么，得，進(jìn)而得．即四種顏色卡片上所寫各數(shù)中最小數(shù)是42．如果133是錯(cuò)誤的，那么147是正確的，同樣分析可知，此時(shí)四種顏色卡片上所寫各數(shù)中最小數(shù)是35．食堂買來5只羊，每次取出兩只合稱一次重量，得到10種不同重量（單位：千克）：47，50，51，52，53，54，55，57，58，59．問：這五只羊各重多少千克？可以設(shè)定羊的重量從輕到重分別為，，，，．則，．同時(shí)不難整體分析得到千克．則千克．不難有，．則千克，千克，千克，千克．(2008年湖北省第六屆“創(chuàng)新杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽六年級(jí))某小學(xué)五年級(jí)和六年級(jí)參加創(chuàng)新杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽共有16人，其中：五年級(jí)的學(xué)生比六年級(jí)的學(xué)生多；六年級(jí)的男生比五年級(jí)的男生多；五年級(jí)的男生比五年級(jí)的女生多；六年級(jí)的女生至少有1人．那么六年級(jí)的男生有人．因“五年級(jí)的學(xué)生比六年級(jí)的學(xué)生多”，故五年級(jí)學(xué)生至少有9人，而六年級(jí)學(xué)生至多有7人；因“五年級(jí)男生比五年級(jí)的女生多”，所以五年級(jí)男生至少有5人；因“六年級(jí)男生比五年級(jí)男生多”，所以六年級(jí)男生至少有6人，而六年級(jí)男生不能多于6人，否則再加上六年級(jí)的女生至少有1人，則六年級(jí)的學(xué)生人數(shù)就會(huì)多于7人，這不可能．因此，六年級(jí)的男生恰好有有6人．有大小兩個(gè)桶原來水一樣多，如果從小桶倒千克水到大桶，則大桶中水是小桶的倍，求原來大桶有水多少千克？現(xiàn)在大桶水比小桶水多：（千克），所以現(xiàn)在小桶中的水是：（千克），而原來大桶中有水是：（千克）．學(xué)校買來籃球、足球、排球共個(gè)，其中籃球的個(gè)數(shù)是足球的倍．排球比足球多個(gè)．問學(xué)校買來的籃球、足球、排球各多少個(gè)？可引導(dǎo)學(xué)生，讓他們自己畫圖來分析，強(qiáng)調(diào)和與對(duì)應(yīng)的份數(shù)，教師輔導(dǎo)指正．從線段圖上可以看出，把足球的個(gè)數(shù)看作份數(shù)，籃球的個(gè)數(shù)是份數(shù)，如果排球少買個(gè)，也是份數(shù)，這時(shí)三種球一共()個(gè)，總份數(shù)是()，就可先求出足球的個(gè)數(shù)，再分別求籃球和排球的個(gè)數(shù)．如果排球減少個(gè)，三種球一共多少個(gè)？(個(gè))足球多少個(gè)？(個(gè))籃球多少個(gè)？(個(gè))排球多少個(gè)？(個(gè))一筐蘋果、一筐梨、一筐香蕉共重千克．已知蘋果的重量是梨的倍，香蕉的重量比梨少千克．一筐蘋果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？梨的重量是：（千克）蘋果的重量是：（千克）香蕉的重量是：（千克）玩具廠生產(chǎn)紅、黃、白氣球共個(gè)，其中紅氣球的個(gè)數(shù)是黃氣球的倍，白氣球比黃氣球少個(gè)．問三種氣球各生產(chǎn)了多少個(gè)？黃氣球：（個(gè)）；紅氣球：（個(gè)）；白氣球：（個(gè)）在一道減法算式中，已知被減數(shù)、減數(shù)、差的和是，而減數(shù)是差的倍．求差是多少？引導(dǎo)學(xué)生分析被減數(shù)、減數(shù)、差三者之間的關(guān)系，并認(rèn)識(shí)它們之間的轉(zhuǎn)化．我們先看下面一道簡(jiǎn)單的減法算式：－=被減數(shù)減數(shù)差被減數(shù)、減數(shù)、差這三個(gè)數(shù)有下面的關(guān)系：被減數(shù)=差+減數(shù)，如這道題中，被減數(shù)、減數(shù)、差的和是，是被減數(shù)的倍，，就得被減數(shù)，也就是減數(shù)與差的和，這樣題目就轉(zhuǎn)化為：“已知減數(shù)與差的和是，減數(shù)是差的倍”，按照和倍問題的解題方法，就可求出差是：．列式：減數(shù)與差的和是多少？差是多少？被除數(shù)、除數(shù)、商3個(gè)數(shù)的和是212。已知商是2，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？由商是2，可得被除數(shù)與除數(shù)的和為：212-2=210；且被除數(shù)是除數(shù)的2倍。把除數(shù)看著1份，兩數(shù)和對(duì)應(yīng)的份數(shù)是3份，除數(shù)為：210÷（2+1）=70；被除數(shù)為：70×2=140。（2008年第七屆“小機(jī)靈