數(shù)學(xué)（云南安徽黑龍江山西吉林五省通用）-2023年高考第二次模擬考試卷B（全解全析）

絕密★啟用前

2023年高考數(shù)學(xué)第二次模擬考試卷B

（云南，安徽，黑龍江，山西，吉林五省通用）

高三數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求.

1.復(fù)數(shù)丁工的虛部為（）

1+21

1122.

A.-iB.-C.—D.—i

5555

【答案】c

【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可判斷.

1l-2i12.12

==

【詳解】T^（i+2i）（i-2i）rr>?.?復(fù)數(shù)言的虛部為一十

故選：C.

2.已知集合”={幻-3/》<4）,N={x|x2-2x-8V0},貝I]（）

A.MUN=RB.MUN={x\-3<x<4]

C.MON={x\-2<x<4}D.MC\N={x\-2<x<4}

【答案】D

【解析】先求集合N,再求兩個(gè)集合的并集和交集，判斷選項(xiàng).

【詳解】X2-2X-8<0,解得：-2<x<4,即汽=3—24x44},

M={x|-3<x<4},MuN={H-34x44},

McN={乂-24x<4}.

故選：D

3.核酸檢測(cè)是目前確認(rèn)新型冠狀病毒感染最可靠的依據(jù).經(jīng)大量病例調(diào)查發(fā)現(xiàn)，試劑盒的質(zhì)量、

抽取標(biāo)本的部位和取得的標(biāo)本數(shù)量，對(duì)檢測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性有一定影響.己知國外某地新冠病毒感染

率為0.5%,在感染新冠病毒的條件下，標(biāo)本檢出陽性的概率為99%.若該地全員參加核酸檢測(cè)，

則該地某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率為（）

A.0.495%B.0.9405%C.0.99%D.0.9995%

【答案】A

【分析】根據(jù)條件概率的乘法公式即可求解.

【詳解】記感染新冠病毒為事件A,感染新冠病毒的條件下，標(biāo)本為陽性為事件民則

P（4）=0.5%,「（B|A）=99%,故某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率為

P（AB）=P（A）尸（陰A）=0.5%x99%=0.495%,

故選：A

4.已知p：x+y>0,q：4（&+1+犬）-111（b+1-y）>0,則p是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】令〃制=111（乒1+犬）》61<,結(jié)合該函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性判斷不等式是否成立.

【詳解】令/(x)=ln(>/?W+x),xwR,/(0)=0,

且/(%)+/(-%)="jx2+1+x)+ln(Jx2+1-x)-lnl=0,

故/(x)=In(GTT+x)為奇函數(shù),

x>0時(shí)，G+l+x遞增,則/(x)=In(Jx?+1+x)也遞增,

又/(x)為奇函數(shù)，則/*)在R上遞增，

pnq,若x+y>0,貝!Jx>—y,

則/(x)>/(-y),spin(&+I+x)>In(J/+1-y)

即InK/x2+l+x-In>0；

P<=q,若In[yjx2+1+xj-ln[y]y2+1-y)>0,

則等價(jià)于In(7771+x)>In-y)，BP/(x)>/(-y),

由.f（x）在R上遞增，貝IP〉-',即x+>>0,故p是q的充要條件,

故選：C.

5.己知函數(shù)/(x)=4sin[&x+|^sin(0x-1^,(0>O)的最小正周期為萬，將其圖象沿x軸向左平移

機(jī)(m>0)個(gè)單位，所得圖象關(guān)于直線x=(對(duì)稱，則實(shí)數(shù)〃?的最小值為()

71_713冗

A.-B.-C.—D.一

6344

【答案】A

【分析】由已知，先對(duì)函數(shù)/(x)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)最小正周期為兀，求解出①，然后根據(jù)題意進(jìn)行

平移變換，得到平移后的解析式，再利用圖象關(guān)于直線1=方對(duì)稱，建立等量關(guān)系即可求解出實(shí)數(shù)

m最小值.

【詳解】解：/(x)=4sin(0x+5)sin(Gx-1)=4sincosJs^ncox~cosa>x

.fl.Vf>/31.(11-cos2cox31+cos2a)xy__.

=4-sins-——coscox=4-----------------------------------=-2cos2d9x-l,

(2)[2JJU242J

即/(x)=-2COS23—1,由其最小正周期為兀，即?=乃，解得口=1,

2(o

所以/(x)=-2cos2x-1,

將其圖象沿x軸向左平移加(加〉0)個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)為

y=-2cos2(x+/??)-l=-2cos(2x+2/?t)-l,

其圖象關(guān)于X=(對(duì)稱，所以+2m=kn.keZ,所以m=-3+^,kwZ,

由m>0,實(shí)數(shù)用的最小值為

6

故選：A.

6.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)

用，還提出了一元二次方程的解法問題直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別稱“勾”“股”“弦設(shè)點(diǎn)F是拋物

線y2=2px的焦點(diǎn)，I是該拋物線的準(zhǔn)線，過拋物線上一點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線AB,垂足為B,射線

AF交準(zhǔn)線1于點(diǎn)C,若RtA8C的“勾”|知=3、“股”/M=3G,則拋物線方程為.

A.y2-2xB.y2=3xC.y2-4xD.y2=6x

【答案】B

【解析】畫出拋物線的圖形，利用已知條件轉(zhuǎn)化求解?，即可得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到答案.

【詳解】由題意可知，拋物線的圖形如圖：|明=3,怛。=36，

可得|AC|=’32+(36)2=6,

a

所以NCAB=60。，ABF是正三角形，并且尸是AC的中點(diǎn)，所以|A耳=3,則p=1,

所以拋物線方程為：y2=3x.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中

合理應(yīng)用拋物線的定義，合理計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能力，

屬于基礎(chǔ)題.

7.平面四邊形BMC中，ZAPC-,AB=2,AC=2^3,ACrAB,則APM8最小值（）

A.-2C.-2-^3D.-73

【答案】A

【分析】由題意，求得BC及NABC的大小，分析可得P、A、B、C四點(diǎn)共圓，如圖建系，求得

各點(diǎn)坐標(biāo)，即可得AP、AB坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積公式，結(jié)合x的范圍，即可得答案.

【詳解】因?yàn)锳CJ_AB,所以3C=，/后+3=4,

所以cosZABC=g1=!，則NA8C=g,又ZAPC==,

BC233

所以點(diǎn)P在以BC為直徑的圓的劣弧AC上，

分別以AB、AC為x,y軸正方向建系，取BC中點(diǎn)E,如圖所示

A

X

所以網(wǎng)1,6),則圓E的方程為(x-l)2+(y-0)2=4,

設(shè)點(diǎn)P(x，y),其中xQ—1,0),則AP=(x,y),4B=(2,0),

所以4P.48=2xe[-2,0),即ARA8最小值為-2,

故選：A

8.已知直三棱柱ABC-4￡G，O為線段4s的中點(diǎn)，E為線段CG的中點(diǎn)，A/過△ACg的內(nèi)

切圓圓心，且CA=也,AB=2,則三棱錐?！狝BC的外接球表面積為()

272727

A.—7CB.—71C.—7TD.277c

842

【答案】B

【分析】計(jì)算GA=￡4=6，CG=2,過分別作平面C43,平面D4B的垂線，兩垂線交

于點(diǎn)0,點(diǎn)。為三棱取D-ABC的外接球球心，計(jì)算4=逑，々，再利用勾股定理得到代=匚,

'4416

計(jì)算表面積得到答案.

【詳解】如圖，。為線段A4的中點(diǎn)，ADLDQ,叫1平面A4G，DGu平面A^G，

故AA_LDC|,ADc\AA,=A,AD,A41u平面488出，故￡)G，平面，

A耳u平面A84A),故￡)GJ.AB1,

故GA=ClB]=CA-CB=#!>

因?yàn)镋為線段CC,的中點(diǎn)且A/過△ACE的內(nèi)切圓圓心，

7T

SJrZA.EQ=ZA.EA=ZAEC,即ZAEC=1.

所以C￡=2Cq=2EC=2.

取A8的中點(diǎn)F,連接CF、DF,

分別在CF、￡)F上取△C4B、一DAB的外接圓圓心。|、O2.

過。“。2分別作平面C4B，平面ZMB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)。,

則點(diǎn)。為三棱取D-AfiC的外接球球心.

B

在A萬人nr+iHi組/on+BC^—AB"5/3+'x/3-2"1

在ZXCAB中由余弦定理得：cosZACB=---------------=-------廣一=一，

2ACBC2xV3xV33

所以sinNACB=冬&.

3

設(shè)△CAB、ZMB的外接圓半徑分別為4、公三棱錐。-A5C的外接球半徑為R.

AB2

2『r_sinNACB一-雙,解得.苧r,同理T，

所以oq=aT，斤=℃2=00；+002=(乎+圖、卷

所以三犢錐D-ABC的外接球表面積為S=4近=4兀x277=[97?兀.

164

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了線面垂直，三棱錐的外接球表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力,

空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力，其中，確定過圓心的垂線交點(diǎn)是球心再利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵,

此方法是?？挤椒?，需要熟練掌握.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)a””,則下列正確的是()

/(x+l)(x<l)

A-/[/(O)]4B.?、挪泛?/p>

C./[/(log,3)]=^D./(x)的值域?yàn)?og

【答案】BD

【解析】對(duì)選項(xiàng)A,根據(jù)計(jì)算/[/(0)]=*,即可判斷A錯(cuò)誤,對(duì)選項(xiàng)B,根據(jù)計(jì)算/[/(I)]=￥，

即可判斷B正確；對(duì)選項(xiàng)C,根據(jù)計(jì)算/[/(log?3)]=也，即可判斷C錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)D,分別求

1和x<1的值域即可得到答案.

3,

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,八。)=/⑴毛，小(())]=嗎卜y(|HJ=][=￥，

故A錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)…⑴4制止GWmyq,

故B正確.

對(duì)選項(xiàng)C,因?yàn)閘og”>],所以川og23)=(g『：2i*=g,

4廠

/[/(log23)]=/(1)=嗚](5嚀，故c錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D,當(dāng)心1時(shí)，”x)=9Je(()，；，函數(shù)/(x)的值域?yàn)?0，；，

當(dāng)04x<l時(shí)，l<x+l<2,〃x)=〃x+l)=(g),

函數(shù)/(x)的值域?yàn)?

又因?yàn)閤<l時(shí)，”x)=〃x+l),是周期為1的函數(shù)，

所以當(dāng)x<l時(shí)，函數(shù)“X)的值域?yàn)?

綜上，函數(shù)〃x)的值域?yàn)?03,故D正確.

故選：BD

【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，同時(shí)考查分段函數(shù)值的求法，屬于中檔題.

【答案】ABC

【分析】先判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而逐一判斷選

項(xiàng).

【詳解】顯然Ax）有唯一零點(diǎn)x=l,故D錯(cuò)誤；

髀

f（x）=——（fcdnx+1）,（xlnx）'=lnx+l,

x

.?.丫=封1!》在（0,￡|上單減，（%一）上單增，

/.xInxe--,+ooj,且x—>0時(shí)xlnx—>0,x->+℃時(shí)xlnx—>+oo,

故當(dāng)0444e時(shí)，r（x）>0,/（x）單增，選項(xiàng)A可能；

當(dāng)A>e時(shí)，/（X）存在兩個(gè)零點(diǎn)0"<!<%,<1,F（x）在（0,%）和（孫+oo）上單增，（再,/）上單減,

e

選項(xiàng)B可能；

當(dāng)％<0時(shí)，，'。）存在唯一零點(diǎn)玉>>1,f（x）在（0,為）上單增，在（如+<?）上單減，

選項(xiàng)C可能.

故選:ABC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：函數(shù)圖像的判斷關(guān)鍵在求出導(dǎo)函數(shù)，用極限思想判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出原函

數(shù)的單調(diào)性.

11.如圖，在長(zhǎng)方體48C。—AgG。［中，AB=BC=2,AA,=1,E為棱4片的中點(diǎn)，則（）

A.A3//面BCQB.A^CIBD

C.平面AGE截該長(zhǎng)方體所得截面面積為述D.三棱錐A-BCE的體積為:

23

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A：根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)得出ABJ/DG，即可證明；對(duì)于B：根據(jù)底面ABC。是正方體，

得出8OLAC,根據(jù)三垂線定理結(jié)合長(zhǎng)方體性質(zhì)即可證明；對(duì)于C：根據(jù)長(zhǎng)方體對(duì)稱性易知平面

ACE截該長(zhǎng)方體所得截面面積為2sA四，根據(jù)已知得出AE,E￡,AG，即可根據(jù)余弦定理得出

cos/AEG，即可根據(jù)同角三角函數(shù)公式得出sinN4EG，即可根據(jù)三角形面積公式得出答案驗(yàn)證;

對(duì)于D：根據(jù)已知直接利用三棱錐的體積公式得出答案；

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：連接C0,

A88-A4GA為長(zhǎng)方體，???A3〃gG,4O=4G，.?.四邊形AOC內(nèi)是平行四邊形,

ABJ/DC、,

A4a平面8CQ，。的^^平面86。，.?.44〃面86。，故選項(xiàng)A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B：

AB=BC=2,:.BD±AC,

AA_L平面月BCD,AC在平面ABC。上的投影為AC，

：.A,CA.BD,故選項(xiàng)B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C：

根據(jù)長(zhǎng)方體對(duì)稱性易知平面AGE截該長(zhǎng)方體所得截面面積為2sAEG,

AB=BC=2,M=J.AE=y/2,EQ=曰AC,=3,

2+5-9Vio

cosZAEC.=-7=——r==

2V2xV5Io-

由.?.cos2/AEG+sin2NAEG=1,sinZAEC,>0可得sin/AEG

則2S.=2$x@氐等=3,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D：

三棱錐A-8iGE的底面積S4c,E=gxlx2=l,高為〃=1,

則三棱錐A-8CE的體積為VA.8iCi￡=^xlxl=l,故D正確；

故選：ABD.

12.已知函數(shù)〃x+l）是偶函數(shù)，且〃2+x）=—〃x）.當(dāng)xe（O,l］時(shí)，〃x）=xcosf則下列說法

正確的是（）

A./（力是奇函數(shù)

B./（x）在區(qū)間（若■，亭［上有且只有一個(gè)零點(diǎn)

C./(X)在上單調(diào)遞增

D.區(qū)間m上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)

【答案】ACD

【分析】A選項(xiàng)，由/(X+1)是偶函數(shù)，故/(-x+l)=/(x+l),結(jié)合〃2+x)=-/(x),推導(dǎo)出

/(-x)=-/W.A正確；B選項(xiàng)，求出“X)的一個(gè)周期為4,從而只需求/(x)在區(qū)間&,若，

上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)得到=/(|)=0,B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，求導(dǎo)得到

/'(x)=cosL』sinL換元后得到〃?)=cosf+/sinf,仁\。,?1,再次求導(dǎo)，得到的單

XXXXIO，

調(diào)性，結(jié)合/?(1)>0,〃仁)>°，得到〃(f)>。在?吟)上恒成立，得到“X)在上單調(diào)

遞增；D選項(xiàng)，與C選項(xiàng)一樣得到的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到隱零點(diǎn)，進(jìn)而得到/(X)

的單調(diào)性，求出“X)區(qū)間(：』)上有且只有一個(gè)極值點(diǎn).

【詳解】函數(shù)/(x+1)是偶函數(shù)，故,y(—x+l)=/(x+l),

因?yàn)椤?+x)=-/(*),所以/(+力-

故/(-X+1)-1),

將x替換為x+1,得到/(-x)=—/(x),故/(x)為奇函數(shù)，A正確；

因?yàn)椤?+x)=—〃x),故/(4+x)=—〃x+2),故〃4+x)=〃x),

所以f(x)的一個(gè)周期為4,

故“X)在區(qū)間(出乎，鋁)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與在區(qū)間(：，丁)上的相同，

因?yàn)閒0=：c(嗎=0,ffi/(2+x)=-/(x)=/(-%),故巾-)=噌)=0'

其中±2-2型二1],故人切在區(qū)間化,空二11至少有2個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；

7T兀1717tJI兀兀J

時(shí)，/(x)=xcos—,則/'(x)=cos—+—sin—,

\DJCJXXXX

令/=',//(r)=cosz+rsinr,當(dāng)i葛]時(shí)，所以“(0=-sin/+sinr+rcos，=fcosr,

當(dāng)也卜,小時(shí)，//(r)=rcosr>0,4(『)單調(diào)遞增，

當(dāng)Tl年）時(shí)，h\t）=tcost＜0,6⑺單調(diào)遞減,

5兀5兀5兀.5兀5兀J55兀-6>/§?

又〃⑴=cos1+sin1>0,hcos----1----sin—=----------=----------->0,

66612212

故畫＞0在潦）

上恒成立,

（,1）上單調(diào)遞增，c正確;

所以用勾＞0在上恒成立，故/（X）在

1

D選項(xiàng)，XG時(shí)，〃x)=xcos-,

X

故/，/(x)=cos—+—sin—令/=—,/i(/)=cos/+/sinr,當(dāng)心(1㈤時(shí),

xxx

則h'(t)=tcost,

當(dāng)［€（后）時(shí)，〃⑺=fcosr＞0,/?⑺單調(diào)遞增,

當(dāng)'嗚，兀

時(shí)，〃(f)=fcosf<0,/?(。單調(diào)遞減,

因?yàn)镸l)=cosl+sinl>0,=cossin>0,/z(7i)=cos7r+7rsin7i=-l<0,

6，兀｝使得/?&）=0,

由零點(diǎn)存在性定理，3r0e

當(dāng)，￡（1,辦）時(shí)，/i（r）＞0,當(dāng)，￡（工）㈤時(shí)，力⑺＜0,

時(shí)，r（x）＜o(jì),/（X）單調(diào)遞減,xe時(shí)，戶"）＞0,“X）單調(diào)遞增,

V0/

所以“X）區(qū)間（；』）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，D正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】設(shè)函數(shù)y=〃x),xeR,a>0,a'b.

（1）若/?（x+a）=/（x-a）,則函數(shù)〃x）的周期為2a；

（2）若〃x+a）=_〃x）,則函數(shù)〃x）的周期為2a；

⑶若"x+〃)=-麗,則函數(shù)/（x）的周期為2a；

若小+小點(diǎn)

(4)則函數(shù)“X）的周期為2a；

(5)若/(x+a)=/(x+b),貝U函數(shù)/(x)的周期為|4-4；

(6)若函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=。與x=b對(duì)稱，則函數(shù)/(x)的周期為2|。-同；

(7)若函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)(。,0)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)0,0)對(duì)稱，則函數(shù)/(X)的周期為2卜一小

(8)若函數(shù)f(x)的圖象既關(guān)于直線x=n對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)修,0)對(duì)稱，則函數(shù)〃x)的周期為4|6-小

(9)若函數(shù)"X)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=”對(duì)稱，則f(x)的周期為2a；

(10)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=”對(duì)稱，則f(x)的周期為2a.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一空2分，第二空3分.

13.函數(shù)〃司=誓在點(diǎn)A(l,/。))處的切線與直線x-e)，+2=0平行，則&=.

【答案】-1

【分析】求導(dǎo)，然后通過廣⑴二:列方程求解即可.

…皿x+a.f"N_e'_(x+a)e'_-x+[_a

【詳解】Q/(x)=-^，(町-(e)2-e,，

.尸⑴=T+Ja=L解得q=_l

ee

故答案為：-1

14.(V-2x+l『的展開式中V項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】-56

【分析】先整理二項(xiàng)式為由此即可求解.

【詳解】解：二項(xiàng)式任―2x+l)4=[(x—1)27=(犬一1)8,

所以展開式中含產(chǎn)的項(xiàng)為.(-1)5=-56x3,所以1項(xiàng)的系數(shù)為-56,

故答案為:-56.

15.已知直線/："a-丫+2初=0與曲線c：y=2-"7/有兩個(gè)交點(diǎn)，則，〃的取值范圍為

【答案】(o《

【分析】先求出直線/所過定點(diǎn)4-2,0),再將曲線y=2轉(zhuǎn)化為犬+。-2)2=4(04曠42),

可知其為半圓，結(jié)合圖像，即可求出〃，的取值范圍.

【詳解】由題意得，直線/的方程可化為y=〃?(x+2),所以直線/恒過定點(diǎn)A(-2,0),

又曲線y=2->/^二7可化為d+(y—2)2=4(04),42),其表示以(0,2)為圓心，半徑為2的圓的下

半部分，如圖.

|一2+2加|

當(dāng)/與該曲線相切時(shí)，點(diǎn)（0,2）到直線的距離d=L[=2,解得6=0,

Vw+1

,2-01

設(shè)8（2,2）,則心=

由圖可得，若要使直線/與曲線y=2-曰二7有兩個(gè)交點(diǎn)，須得0<，"wg,

即m的取值范圍為（0,g.

故答案為：（0，；.

22

16.已知雙曲線C:=-與=lR>O力>O）的右焦點(diǎn)為F,直線/：y=20（x—c）與雙曲線C交于A、

a~b~

B（A在B的上方）兩點(diǎn)，若|AF|=5|BF|,則雙曲線C的離心率為；已知點(diǎn)。（/，與）是雙

曲線C右支上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線/,：,-等=1分別與雙曲線C的兩條漸近線交于點(diǎn)M、N,

若OMON=—2,則雙曲線C的方程為.

【答案】2人》

【分析】設(shè)直線/的傾斜角為氏求出cos。的值，設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為耳，連接4耳、BFlt設(shè)

怛尸卜加，則卜日=5相，根據(jù)雙曲線的定義得|A耳|=5,〃+2%忸用=%+2%分別在明尸、△地尸

中利用余弦定理可求得雙曲線C的離心率的值；設(shè)雙曲線的兩條漸近線為4：y=2x,l：y=--x,

a2a

故可設(shè)點(diǎn)M（劭,M）、NC,利用已知條件可求得格的值，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)

算結(jié)合c=2“可求得/、〃的值，即可得出雙曲線C的方程.

包應(yīng)=2四

cos6

【詳解】設(shè)直線/：y=2g（x-c）的傾斜角為。，則卜抽2。+8$2。=1,可得cos6=g.

cos^>0

設(shè)雙曲線。的左焦點(diǎn)為"，連接AZ、BFl9

設(shè)忸尸卜加,則團(tuán)=5日根據(jù)雙曲線的定義得|其用=5機(jī)+2a,\BF\=m+2a,

分別在A^F、尸中利用余弦定理得

=|4尸『+|五耳『-2|AFHM|COS(乃一，),

忸用2=\BFf+|歷「一2忸尸卜|附|cos<9,

結(jié)合〃=。2-/化簡(jiǎn)得/=5?一竽=/m/+中，可得c=2a,

故雙曲線C的離心率為e=￡=2.

a

設(shè)雙曲線的兩條漸近線為4：y=，x,l2-.y=-x,故可設(shè)點(diǎn)M(皿曲)、N?-btj,

件-初T

將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別代入直線r的方程得:“<,

［信封一

兩式相乘得但-引但=1,因?yàn)辄c(diǎn)產(chǎn)(知兒)是雙曲線C上的點(diǎn)，可得￥-4=1,貝卬2=1.

、abJab

2222

^OMON=(a-b)ttt2=a-b=-2,又因?yàn)閏=2a,則/=i,〃=3,

所以雙曲線C的方程為

2

故答案為：2;x2-^―=1.

3

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

(1)定義法：通過已知條件列出方程組，求得“、C的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值;

(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于。、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；

(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題1()分，18~22題12分。解答應(yīng)寫出文字說

明'證明過程或演算步驟.

17.己知數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S“，當(dāng)“22時(shí)，S^=anS?-an.

⑴求S“；

2”

⑵設(shè)〃=—，求數(shù)列出｝的前n項(xiàng)和為7；.

【答案】(DSLU(2)7；,=n?2M+l

〃+1

【分析】(1)利用?！芭cS”的關(guān)系及等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；

(2)利用(1)的結(jié)論及數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減法即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)"22時(shí)，H=a“S”-a“，所以，0=0-51)5.一(5,,-5“_3

整理得:即

當(dāng)〃=1時(shí)，—=-=2,

3|a\

所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

所以J=2+(〃一l)xl=k+l,gpsn=-i-.

Sn〃+1

〃

(2)由⑴知S“=一彳i,所以我=不2=(〃+42”,

所以7；=2x2+3x22++M-2,-1+(n+l)-2n,①

所以27；=2x2?+3x2'++〃2+("+1)-2向，②

由①-②得，-7；=4+(22+23++2")-(〃+1).2"“=4+2牛|[)_(〃+1).2向=-〃.2向，

所以7；=加2"".

(兀、b+c

18.在“ABC中，a,6,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,2sinlB+-\=----.

(1)求角A的大??；

⑵若A3C是銳角三角形，c=4,求工ABC面積的取值范圍.

【答案】(1)。(2乂26,8力)

【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合兩角和差化積公式轉(zhuǎn)化條件得&sinA=l+cosA,進(jìn)而求得解；

(2)由題意5楨0=鳥，由正弦定理結(jié)合A+C="得人=旭+2,根據(jù)A8C為銳角三角形求

3tanC

得￡<C<g,即可求得2<6<8,即可得解.

62

/、兀、sinB+sinC

(1)由正弦定理得2sin8+工卜----；---------

V67sinA

即sinA(百sinB+cosB)=sinB+sinC

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

所以sinA(6sinB+cosB)=sin8+sinAcosB+cosAsinB

即5/3sinAsin^=sinB+cosAsinB

又OVBVTT,.*.sinB>0>，GsinA=l+cosA

即>/3sinA-cosA=2sin(A—力=1,即sin]A—看J=g

XO<A<^-,:.A--=-9即A=M

663

(2)由題意得：SABC=gbcsinA=,

Sm

由正弦定理得：.csinB(3J2^3cosC+2sinC2石.3

b=---------=-----------------=--=--------+2

sinCsinCsinCtanC

又ABC為銳角三角形，...0〈與-C<1,0<C<^

故￡<C<],.ItanC>立，二2</?<8,r.2百<.<86

623

從而2G<S4ABe<85/3.

所以ABC面積的取值范圍是僅也8@

19.在四棱錐P—A3CD中，CD//AB,AD=DC=CB=\,AB=2,ACLPB

(1)證明：平面R4c_L平面PBC；

(2)若PBLBC.PB=6直線PD與平面PAC所成的角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析⑵當(dāng)

O

【分析】(1)根據(jù)已知條件及等腰梯形的性質(zhì)，再利用勾股定理的逆定理及線面垂直的判定定理,

結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

(2)解法1：由平面幾何知識(shí)可知”:80=1:2,利用平面PACJ?平面PBC的性質(zhì)可求點(diǎn)B到面

PAC的距離，從而可求點(diǎn)。到面PAC的距離，再根據(jù)直線與平面所成角的定義即可求解；

解法2：根據(jù)(1)的結(jié)論及已知條件，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線尸。的

方向向量及平面PAC的法向量，利用向量的夾角公式即可求解.

【詳解】(1)在平面四邊形ABC。中，

■:CD//AB,AD=DC=CB=l,AB=2,

...四邊形ABCD是等腰梯形

過點(diǎn)C作CE上43于￡，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，

所以BE=；,AE=g,CE=dBC2-BE。瀉,

AC=-JAE2+CE2=J(|)+悍)=6'

AC2+BC2=AB2,所以ACSBC,

又ACJ.P8,8CPB=B,BC,P3u平面PBC,

所以ACJ_平面P8C,又ACu平面PAC,

所以，平面PAC_L平面P3C.

(2)以C為原點(diǎn)，C4CB分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(6,0,0),8(0,1,0)

因?yàn)锳C_L平面可設(shè)P(O,1,G),則C4=(6,0,0),

。惇'j]'CP=(0，L⑹0=1驊，君

設(shè)平面P4C的法向量為。=(x,y,z),

CAn=上x=0

則,取y=>/L則”=(0,6-11

CP,〃=),+yfiz=0

設(shè)直線與平面PAC所成的角為，,

則sin0=|cos(DP,|=一也

2x/6-8

即直線PD與平面PAC所成的角的正弦值為坐.

O

20.脂肪含量（單位：%）指的是脂肪重量占人體總重量的比例.某運(yùn)動(dòng)生理學(xué)家在對(duì)某項(xiàng)健身活

動(dòng)參與人群的脂肪含量調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知

道抽取了男性120位，其平均數(shù)和方差分別為14和6,抽取了女性90位，其平均數(shù)和方差分別為

21和17.

（1）試由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的均值與方差，并對(duì)該項(xiàng)健身活動(dòng)的全體參與者的脂肪含量的均值與

方差作出估計(jì).（結(jié)果保留整數(shù)）

（2）假設(shè)全體參與者的脂肪含量為隨機(jī)變量X,且X~N（17,。2）,其中?2近似為（1）中計(jì)算的總

樣本方差.現(xiàn)從全體參與者中隨機(jī)抽取3位，求3位參與者的脂肪含量均小于12.2%的概率.

附：若隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N（〃，=），則p（〃一bwx9+b=0.6827,）-0.9545,

422^4.1,岳E.8,0.158653~0.004.

【答案】（1）總樣本的均值為17,方差為23；據(jù)此估計(jì)該項(xiàng)健身活動(dòng)全體參與者的脂肪含量的總體

均值為17,方差為23（2）0.004

【分析】（1）根據(jù)均值方差的計(jì)算公式代入計(jì)算即可求解；

（2）利用正態(tài)分布的性質(zhì)和所給數(shù)據(jù)即可求解計(jì)算.

【詳解】（1）把男性樣本記為4心，玉2,＞，其平均數(shù)記為元，方差記為

把女性樣本記為如為，，為o,其平均數(shù)記為5,方差記為則無=14,s；=6;歹=21,s；=17.

記總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2,方差為S?.

由元=14,9=21,根據(jù)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，

120_90_120x14+90x21

可得總樣本平均數(shù)為N----------X+-----------V==17,

120+90120+90'210

根據(jù)方差的定義，總樣本方差為

1120c90-

二布小廠窈+2一方

=而1另120（占一元+元-三）_一+之90（必一元+3一彳）-,

z1u[_‘?=]f=i_

120120120120

由五）=2若-120五=0可得Z2（%-》）（工一制=2叵一"Z（x,-￡）=0

f=lf=li=li=l

9()90

同理，E2(x-y)(y-n=2(y-z)2；(x-y)=o,

i=l/=1

因此，s2=oimT120一可.1+￡2叵0一刃2+之90(y=c)+9之0(」一刃?-

21u[_i=]1=1i=li=!_

=擊卜20區(qū)+("刃2]+90區(qū)+(>?]},

所以52=擊{120'[6+(14—17)2]+90、[17+(21-17尸]}=23,

所以總樣本的均值為17,方差為23,

并據(jù)此估計(jì)該項(xiàng)健身活動(dòng)全體參與者的脂肪含量的總體均值為17,方差為23.

(2)由(1)知4=23,所以X~N(17,23),又因?yàn)楹蟆?.8,

所以P(12.24X421.8)=P07—4.84X417+4.8卜0.6827,

P(X<12.2)“；x(1-0.6827)=0.15865,

因?yàn)閄~3(3,0.15865),

所以P(X=3)=C；x0.15865屋0.004.

所以3位參與者的脂肪含量均小于12.2%的概率為。004.

->2

21.已知橢圓E:「+與=1(〃>"0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳F2,上頂點(diǎn)為與，若△朋鳥為等邊

ab-

三角形，且點(diǎn)尸||)在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為A，&,不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線/與橢圓E相交于A、8兩點(diǎn)(異于

橢圓E的頂點(diǎn))，直線M、B4與y軸的交點(diǎn)分別為M、N,若|ON|=3|OM|,證明：直線過定點(diǎn)，

并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1)J+[=1⑵點(diǎn)(1,0)或(4,0)

【分析】(1)由已知條件，橢圓的定義及〃，6，c的關(guān)系可知/=公2和匕2=302,再設(shè)出橢圓的方程，

最后將點(diǎn)代入橢圓的方程即可求解；

(2)設(shè)點(diǎn)A(A,，X),8(孫力)，由直線AA的方程即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由B4的方程即可求出

點(diǎn)N的坐標(biāo)，由已知條件可知5(西+電)-24芻-8=0,分直線AB的斜率存在和直線A8的斜率不

存在兩種情況分別求解，得出直線AB的方程，即可判斷出直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】(1)???△耳4瑪為等邊三角形,且國耳|+出〉|=人,

??a—2c9

又a1=b2+c2>:.b2=3c2，

設(shè)橢圓的方程為￡+￡=

4c23c2

*+會(huì)=1,解得CJ1,所以橢圓E的方程為%

將點(diǎn)代入橢圓方程得

（2）由已知得A（-2,0）,A（2,0）,設(shè)A（x“yJ,B（x2,y2）,

則直線AA的斜率為三，直線AA的方程為y=3(x+2),

Xy十N十乙

即點(diǎn)M坐標(biāo)為0,

直線B4的斜率為34,直線⑨的方程為y=f(x-2),

/一ZX-,-Z.

-2y21

即點(diǎn)N坐標(biāo)為0,

工2-2,

,,4y；36y：

：|ON|=31OM||ONF=91OM|2,/./,工=/某,

（%-2）（占+2）

又?.?"3一苧=1^^,￡=33焉12-3x；

---=-------

44

4X4-%,2

..~2=9x即2+々=9（2f）

2

（x2-2）（玉+2）-'2-A^2+x,'

整理得5（司+/）—24％2—8=0,

①若直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,

y=kx+b

將直線方程與橢圓方程聯(lián)立《+片=［得(3+4公產(chǎn)+8妨x+4〃-12=0,

.T+T-

其中A=64公//-4（3+4公）（4/一12）=1602公一3必+9）＞0,

8kb4b2-\2

Xj+x=------v,X,X=-----7-

23+4公'0-3+4產(chǎn)

即Yx苦-2X^^-8=。，就2+5奶+〃=0,（必+叩+6）=0,

所以b=4或。=一%,

當(dāng)沙=7%時(shí)，直線A5的方程為了=b-4&=%(x-4),此時(shí)直線48恒過點(diǎn)(4,0),

當(dāng)6=-Z時(shí)，直線4B的方程為y="—Z=Nx—I),此時(shí)直線A3恒過點(diǎn)(1,0),

②若直線AB的斜率不存在時(shí)占=々,

由2+w=9(2-%,)得2+*2>9(2々),

2-X22+玉2-X22+X2

BPX?-5X2+4=0,解得々=1或占=4,

此時(shí)直線AB的方程為X=1或x=4,

所以此時(shí)直線AB恒過點(diǎn)(1,0)或(4,0),

綜上所述，直線A8恒過點(diǎn)(1,0)或(4,0).

22.已知函數(shù)/(x)=e*-sinx-ur.

(1)若a=0,求函數(shù)〃x)在［0,+司上的最小值;

2

(2)當(dāng)a>4時(shí)，證明：函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)演,

々(x1cx2)，且滿足(i)玉〈一；(ii)XI?e*>Ina.

【答案】(1)1⑵證明見解析

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到/'