概率論第4,5章課件

例：設(shè)某班車起點站上客人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0<p<1），且中途下車與否相互獨立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時有n個乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機變量（X，Y）的概率分布.解:(1)(2):例：設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度解：例：設(shè)隨機變量X和Y獨立，其中X的概率分布為而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u).【解】設(shè)F（y）是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為由于X和Y獨立，可見例：設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，求P{max{X,Y}≤1}.做題小技巧第四章隨機變量的數(shù)字特征第一節(jié)數(shù)學(xué)期望離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)課堂練習(xí)

在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.

然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.

因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)一、數(shù)學(xué)期望的概念即定義1

設(shè)X是離散型隨機變量，它的分布率是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…若級數(shù)絕對收斂，則稱級數(shù)的和為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為,若級數(shù)發(fā)散，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。定義2設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，如果積分絕對收斂，則稱該積分的值為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望或者均值，記為EX，即

如果積分發(fā)散，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。試問哪個射手技術(shù)較好?思考

誰的技術(shù)比較好?乙射手甲射手解故甲射手的技術(shù)比較好.到站時刻

8:108:308:509:109:309:50

概率

1/63/62/6一旅客8:20到車站,求他候車時間的數(shù)學(xué)期望.

例4.2

按規(guī)定,某車站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一輛客車到站,但到站時刻是隨機的,且兩者到站的時間相互獨立。其規(guī)律為：

X1030507090

例4.3若將這兩個電子裝置串聯(lián)連接組成整機,求整機壽命(以小時計)N的數(shù)學(xué)期望.的分布函數(shù)為二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.問題的提出：

設(shè)已知隨機變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計算呢？

一種方法是，因為g(X)也是隨機變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來.一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計算出來.

那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的.

使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的.(1)當(dāng)X為離散型時,它的分布率為P(X=xk)=pk;(2)當(dāng)X為連續(xù)型時,它的密度函數(shù)為f(x).若定理1

設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))

該公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便.

定理2設(shè)g(X,Y)是隨機變量X、Y的函數(shù)，且E[g(X)]存在。(2)如果X、Y是連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則(1)如果X、Y是離散型隨機變量，聯(lián)合概率分布為pij,i,j=1,2,…，則解例4.6

設(shè)(X,Y)的分布律為由于例4.7解例10例10例11解于是例12解因此所求數(shù)學(xué)期望為

三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;4.設(shè)X、Y相互獨立，則E(XY)=E(X)E(Y);

2.若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X);

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（諸Xi相互獨立時）請注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨立

例10

一民航送客車載有20位旅客自機場開出,旅客有10個車站可以下車,如到達一個車站沒有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù)，求E(X).(設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨立)四、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用按題意

本題是將X分解成數(shù)個隨機變量之和,然后利用隨機變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機變量數(shù)學(xué)期望的和來求數(shù)學(xué)期望的,此方法具有一定的意義.五、課堂練習(xí)1

某人的一串鑰匙上有n把鑰匙,其中只有一把能打開自己的家門,他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門,若每把鑰匙試開一次后除去,求打開門時試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.2

設(shè)隨機變量X的概率密度為1

解

設(shè)試開次數(shù)為X,于是

E(X)2解Y是隨機變量X的函數(shù),P(X=k)=1/n,k=1,2,…,n解

從數(shù)字0,1,2,…,n中任取兩個不同的數(shù)字,求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學(xué)期望.一般的3解4

某銀行開展定期定額有獎儲蓄,定期一年,定額60元,按規(guī)定10000個戶頭中,頭等獎一個,獎金500元;二等獎10個,各獎100元;三等獎100個,各獎10元;四等獎1000個,各獎2元.某人買了五個戶頭,他期望得獎多少元?解因為任何一個戶頭獲獎都是等可能的,分布列為5買五個戶頭的期望得獎金額為解6第二節(jié)方差方差的定義方差的計算方差的性質(zhì)切比雪夫不等式課堂練習(xí)1.概念的引入

方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量取值分散程度的量.實例有兩批燈泡,其平均壽命都是E(X)=1000小時.

一、隨機變量方差的概念及性質(zhì)2.方差的定義方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,則表示X的取值比較集中,以E(X)作為隨機變量的代表性好.3.方差的意義離散型隨機變量的方差連續(xù)型隨機變量的方差4.隨機變量方差的計算

(1)

利用定義計算

證明(2)利用公式計算證明5.方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù),則有(2)設(shè)X

是一個隨機變量,C是常數(shù),則有證明(3)設(shè)X,Y相互獨立,D(X),D(Y)存在,則證明推廣解二、例題講解例1于是例2解X的分布率為上節(jié)已算得因此,泊松分布例3解因此,均勻分布例4設(shè)隨機變量X服從指數(shù)分布,其概率密度為解由此可知,指數(shù)分布例7解于是例如,解例8三、切比雪夫不等式或

由切比雪夫不等式可以看出，若越小，則事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.例9

已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設(shè)每毫升白細胞數(shù)為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為

P(5200X9400)P(5200X9400)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|

2100}由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估計每毫升白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9.分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點分布二項分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布五、常見分布的期望與方差五、課堂練習(xí)1、設(shè)隨機變量X服從幾何分布，概率分布為P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…其中0<p<1,求E(X),D(X)2、2、解第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差相關(guān)系數(shù)課堂練習(xí)

前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對于二維隨機變量（X，Y），我們除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還要討論描述X和Y之間關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}稱為隨機變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y)，即

一、協(xié)方差2.簡單性質(zhì)Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義(1)Cov(X,C)=0,C為常數(shù)；(2)Cov(X,X)=D(X)(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(6)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(5)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數(shù)(7)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)(4)Cov(aX+b,Y)=aCov(X,Y)a,b是常數(shù)

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見，若X與Y獨立，則Cov(X,Y)=0.3.計算協(xié)方差的一個簡單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即

協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)

為了克服這一缺點，對協(xié)方差進行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù)

.二、相關(guān)系數(shù)為隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)

.定義:

設(shè)D(X)>0,D(Y)>0,稱在不致引起混淆時，記

為

.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：證:由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對任意實數(shù)b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y)令，則上式為

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以||≤1。存在常數(shù)a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1線性相關(guān).3.X和Y獨立時，

=0，但其逆不真.由于當(dāng)X和Y獨立時，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y獨立.例1

設(shè)X~N(0,1),Y=X2,求X和Y的相關(guān)系數(shù)。4.若，稱X和Y不相關(guān)。定理：若隨機變量X與Y的方差都存在，且均不為零；則下列四個命題等價。（1）；（2）cov(X,Y)=0；（3）E(XY)=EXEY；（4）D(X±Y)=DX+DY。但可以證明對下述情形，獨立與不相關(guān)等價若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨立X與Y不相關(guān)前面，我們已經(jīng)看到：若X與Y獨立，則X與Y不相關(guān)，但由X與Y不相關(guān)，不一定能推出X與Y獨立.三、例題講解1、2、1、解2、解解3備用例題四、小結(jié)

這一節(jié)我們介紹了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、相關(guān)系數(shù)是刻劃兩個變量間線性相關(guān)程度的一個重要的數(shù)字特征.注意獨立與不相關(guān)并不是等價的.當(dāng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布時，有X與Y獨立X與Y不相關(guān)第四節(jié)矩原點矩中心矩一、原點矩中心矩定義設(shè)X和Y是隨機變量，若存在，稱它為X的k階原點矩，簡稱k階矩.

存在，稱它為X的k階中心矩.可見，均值E(X)是X一階原點矩，方差D(X)是X的二階中心矩。協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.稱它為X和Y的k+L階混合（原點）矩.若存在，稱它為X和

Y的

k+L階混合中心矩.

設(shè)X和Y是隨機變量，若k,L=1,2,…存在，可見，第五章大數(shù)定理與中心極限定理弱大數(shù)定律(辛欽大數(shù)定律)依概率收斂定義及性質(zhì)貝努利大數(shù)定律第一節(jié)大數(shù)定律

設(shè)隨機變量序列X1,X2,…相互獨立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對于任意正數(shù)ε

，有定理1（辛欽大數(shù)定律）辛欽一、弱大數(shù)定理（辛欽大數(shù)定律）

例

在一個罐子中,裝有10個編號為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼.

設(shè)，k=1,2,…問對序列{Xk}能否應(yīng)用大數(shù)定律？即對任意的ε>0,解:k=1,2,…E(Xk)=0.1,

諸Xk

獨立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.二、依概率收斂定義及性質(zhì)

定義性質(zhì)定理1的另一種敘述:依概率收斂于。即

設(shè)隨機變量序列X1,X2,…相互獨立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ,

i=1,2,…，則序列

設(shè)nA是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù)ε>0，有定理2（貝努里大數(shù)定律）或

伯努利證明

證畢注

貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.(頻率的穩(wěn)定性)或第二節(jié)中心極限定理中心極限定理例題課堂練習(xí)

如果一個隨機變量是由大量相互獨立的隨機因素的綜合影響所造成，而每一個別因素對這種綜合影響中所起的作用不大.則這種隨機變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.

自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.

現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題.高斯

當(dāng)n無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？

由于無窮個隨機變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個隨機變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機變量.

在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.一、中心極限定理定理1（獨立同分布下的中心極限定理）注3、雖然在一般情況下，我們很難求出

的分布的確切形式，但當(dāng)n很大時，可以求出近似分布.定理2（李雅普諾夫(Liapounov)定理)請注意:定理3(棣莫佛－拉普拉斯（DeLaplace定理）

設(shè)隨機變量(n=1,2,‥‥)服從參數(shù)n,p(0<p<1)的二項分布，則對任意x，有證

定理表明，當(dāng)n很大，0<p<1是一個定值時（或者說，np(1-p)也不太小時），二項變量的分布近似正態(tài)分布N(np,np(1-p)).即二、例題例1于是解例2.(供電問題)某車間有200臺車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車.設(shè)開工率為0.6,并設(shè)每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1千瓦.問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)?用X表示在某時刻工作著的車床數(shù)，

解：對每臺車床的觀察作為一次試驗，每次試驗是觀察該臺車床在某時刻是否工作,工作的概率0.6,共進行200次獨立重復(fù)試驗.依題意，X~B(200,0.6),現(xiàn)在的問題是：P(X≤N)≥0.999的最小的N.求滿足設(shè)需N臺車床工作，（由于每臺車床在開工時需電力1千瓦，N臺工作所需電力即N千瓦.）由德莫佛-拉普拉斯極限定理近似N(0,1),于是