2024學(xué)生版大二輪數(shù)學(xué)新高考提高版（京津瓊魯遼粵冀鄂湘渝閩蘇浙黑吉晉皖云豫新甘貴贛桂）專題六　規(guī)范答題6　解析幾何26

規(guī)范答題6解析幾何(12分)(2023·新高考全國Ⅰ)在直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的距離，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.(1)求W的方程；[切入點(diǎn)：直接法求軌跡方程](2)已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長大于3eq\r(3).[關(guān)鍵點(diǎn)：對(duì)周長放縮](1)解設(shè)P(x，y)，則|y|＝eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2)，?兩邊同時(shí)平方化簡(jiǎn)得y＝x2＋eq\f(1,4)，故W：y＝x2＋eq\f(1,4).(2分)(2)證明設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a2＋\f(1,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，b2＋\f(1,4)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，c2＋\f(1,4)))在W上，且a<b<c，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，則kAB·kBC＝－1，a＋b<b＋c，(4分)令kAB＝eq\f(b2＋\f(1,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4))),b－a)＝a＋b＝m<0，同理令kBC＝b＋c＝n>0，且mn＝－1，則m＝－eq\f(1,n)，?(6分)設(shè)矩形周長為C，由對(duì)稱性不妨設(shè)|m|≥|n|，kBC－kAB＝c－a＝n－m＝n＋eq\f(1,n)，則eq\f(1,2)C＝|AB|＋|BC|＝(b－a)eq\r(1＋m2)＋(c－b)eq\r(1＋n2)?≥(c－a)eq\r(1＋n2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,n)))eq\r(1＋n2)，n>0，?(8分)易知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,n)))eq\r(1＋n2)>0.則令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2(1＋x2)，x>0，?f′(x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))，令f′(x)＝0，解得x＝eq\f(\r(2),2)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增，則f(x)min＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＝eq\f(27,4)，?(10分)故eq\f(1,2)C≥eq\r(\f(27,4))＝eq\f(3\r(3),2)，即C≥3eq\r(3).當(dāng)C＝3eq\r(3)時(shí)，n＝eq\f(\r(2),2)，m＝－eq\r(2)，與當(dāng)(b－a)eq\r(1＋m2)＝(b－a)eq\r(1＋n2)，即m＝n時(shí)等號(hào)成立，矛盾，?故C>3eq\r(