福建省2022年高考數(shù)學(xué)考前壓軸試題（文）（含解析）

福毫南龍考極學(xué)考瑞爪枇被您

一、單選題

1.已知函數(shù)/(X)是定義在R上的周期為6的奇函數(shù)，且滿足/(1)=1,/(2)=3,則

/(8)-/(5)=

A.-4B.-2C.2D.4

2.滿足{2018}cA<={2018,2019,2020}的集合A的個數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

3.復(fù)數(shù)二二在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.題目略長，不要彷徨，套路不深，何必當(dāng)真.荊州某公園舉辦水仙花展，有甲、乙、丙、

丁4名志愿者，隨機(jī)安排2人到A展區(qū)，另2人到B展區(qū)維持秩序，則甲、乙兩人同時被

安排到A展區(qū)的概率為

1

A.B.c.D.

n2

5.已知等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為若§5=7,&=21,則$=

A.35B.42C.49D.63

%—y+220,

6.已知實數(shù)次,y滿足｛x+2y-7W0,則2x+3y的最大值為()

二1，

A.1B.11C.13D.17

7.為了得到函數(shù)y=cos2?x-sin2x+l的圖象,只需將函數(shù)y=(sinx+cosx)2的圖象

7T

A.向右平移四個單位長度B.向右平移一個單位長度

24

7T7T

C.向左平移二個單位長度D.向左平移一個單位長度

24

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入x=64,則輸出的結(jié)果為

9.如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1,在其上用粗實線和粗虛線畫出了某幾何體的三視

圖，其中俯視圖中的曲線是四分之一的圓弧，則這個兒何體的體積可能是

c8

B.2萬+一

3

C.2萬+8D.8萬+8

10.函數(shù)y=ln^―^+sinx的圖象大致為

1+x

11.在直三棱柱ABC「ABC中,A4=3,4cl=4,4G=5，AA=2,則其外接

球與內(nèi)切球的表面積之比為

29R19

A.——B-TD.29

4

22

12.已知直線/：丘-〉-2左+1=0與橢圓G：三+表?=1(。>匕>0)交于4、B兩點，與圓

C2:(x—2)~+(>—1)~=1交于C、Q兩點.若存在々e[—2,—1],使得AC=￡)B，則橢圓G

的離心率的取值范圍是()

二、填空題

13.已知向量商=(-1,3),5=(1,。，若他一25)，乙，則向量力與向量5的夾角為.

14.已知雙曲線的漸近線方程為3x±4y=0,焦點坐標(biāo)為(±5,0),則雙曲線的方程為一.

15.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，/(X)=X3-2X2,曲線

>=/(x)在點(1,7(D)處的切線方程為.

16.分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué).分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜,

但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的.一個數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即

一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1,線段的

長度為a,在線段A3上取兩個點C,。，使得AC=￡）8=以C0為一邊在線段A3

4

的上方做一個正六邊形，然后去掉線段C。，得到圖2中的圖形；對圖2中的最上方的線段

作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：

記第"個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為S“，現(xiàn)給出有關(guān)數(shù)列｛S,｝的四

個命題：

①數(shù)列⑸｝是等比數(shù)列；

②數(shù)列｛S,,｝是遞增數(shù)列；

③存在最小的正數(shù)4,使得對任意的正整數(shù)〃，都有5“>2018；

④存在最大的正數(shù)“，使得對任意的正整數(shù)〃，都有S“<2018.

其中真命題的序號是（請寫出所有真命題的序號）.

三、解答題

17.在DABC中，C=60°,BC=2AC=26

（1）求證：DABC是直角三角形；

（2）若點。在8C邊上，且sin/8AO=2包，求CO.

7

18.如圖1所示，在梯形3CDE中，DE//BC,且。七=，6。，NC=90。，分別延長

2

兩腰交于點A，點尸為線段CO上的一點，將沿。E折起到△AOE的位置，使

A.FA.CD,如圖2所示.

(1)求證：A1F1.BE；

(2)若8C=6,AC=8,四棱錐4一BCOE的體積為126，求四棱錐A-BCDE的

表面枳.

19.某公司計劃購買1臺機(jī)器，且該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.在購進(jìn)機(jī)器時，可以一次

性額外購買幾次維修服務(wù)，每次維修服務(wù)費用200元，另外實際維修一次還需向維修人員支

付小費，小費每次50元.在機(jī)器使用期間，如果維修次數(shù)超過購機(jī)時購買的維修服務(wù)次數(shù)，

則每維修一次需支付維修服務(wù)費用500元，無需支付小費.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時一

次性購買幾次維修服務(wù)，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期間的維修次數(shù)，得

如下統(tǒng)計表：

維修次數(shù)89101112

頻數(shù)1020303010

記x表示1臺機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，)表示1臺機(jī)器在維修上所需的費用(單位：

元)，”表示購機(jī)的同時購買的維修服務(wù)次數(shù).

(1)若〃=10,求y關(guān)于％的函數(shù)解析式；

(2)若要求“維修次數(shù)不大于〃”的頻率不小于0.8,求”的最小值；

(3)假設(shè)這100臺機(jī)器在購機(jī)的同時每臺都購買10次維修服務(wù)或每臺都購買11次維修服

務(wù)，分別計算這100臺機(jī)器在維修上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，判斷購買1

臺機(jī)器的同時應(yīng)購買10次還是11次維修服務(wù)？.

20.已知拋物線C:y2=2px(p>0),且。(4,0),N(〃,4)三點中恰有兩點

(4)

在拋物線C上，另一點是拋物線C的焦點.

(1)求證：。、M、N三點共線；

(2)若直線/過拋物線C的焦點且與拋物線C交于A、8兩點，點A到x軸的距離為4,

點B到y(tǒng)軸的距離為4，求4*+d；的最小值.

21.已知函數(shù)/1(x)=lnx+x2-av.

(1)若a>0,求函數(shù)/(x)的極值點；

(2)若函數(shù)/(X)有兩個極值點X1,x2,且為<々，

求證：1(％)一4/)之11112.

x=cos(p,

22.在直角坐標(biāo)系X。)，下，曲線G的參數(shù)方程為《,(9為參數(shù))，曲線C,的

y=1+sin°,

x-tcosa,TI

參數(shù)方程為<(f為參數(shù)，且f?0,Q<a<-),以坐標(biāo)原點。為極點，x軸

y=fsma,2

的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線a的極坐標(biāo)方程為0=2rcos6,常數(shù)r>0,曲線

C?與曲線G，G的異于。的交點分別為A，B.

(1)求曲線G和曲線G的極坐標(biāo)方程；

⑵若+臼的最大值為6,求/?的值.

23.設(shè)函數(shù)/(x)=|2x+l|+|x-a|(a>0).

(I)當(dāng)a=2時，求不等式/*)>8的解集；

3

(2)若HxeR,使得了COW］成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

答案

1.D

2.C

3.A

【解析】

2-i(2-i)(l+i)3J

因為百

(l-i)(l+i)22

4.B

【詳解】

隨機(jī)安排2人到A展區(qū)，另2人到3展區(qū)維持秩序，有C：種不同的方法

其中甲、乙兩人同時被安排到A展區(qū)，有種不同的方法

則由古典概型的概率公式，

C21

得甲、乙兩人同時被安排到A展區(qū)的概率為P=W=w

c46

故選8

5.B

【詳解】

已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，則其前〃項和性質(zhì)有s“、S2?-S^S3“-S2”也是等差,

由題意得醺=7,5l（1-s,=14,

則S[5—S]（）=21,515=21+21=42,

故選B

6.C.

【詳解】

x-y+2>0

由題意，作出不等式組,x+2y-7W0所表示的平面區(qū)域，如圖所示，

”1

2z2z

設(shè)z=2x+3y,可化為直線y=—§x+g,由圖象可知當(dāng)直線y=-§x+§過點A時,

此時在y軸上的截距最大，此時目標(biāo)函數(shù)取得最大值，

(x+2y-7=0

又由《，解得尤=5,y=l,即點A(5,l),

(7=1

所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為Zmax=2*5+3x1=13,

即2x+3y的最大值為13,故選C.

7.D

【解析】

分析：先利用二倍角公式化簡兩個函數(shù)解析式，再用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)，再利用圖象平

移進(jìn)行判定.

兀

詳解：y=cos2x-sin2x+1=cos2x+l=sin(2x+—)+1

71Tt

=sin(2x+—)+l=sin[2(x+—)]+l,

24

且y=(sinx+cosx)1=sin2x+l,

所以為了得到函數(shù)yucos'-sin'+l的圖象，

只需將函數(shù)y=(situ：+coax)?的圖象向左平移：■個

單位長度.

8.C

【詳解】

由程序框圖，得：

x=glog,64=3,z=2,

x=^log23=log2V3e(pl),z=3,

x=-^log26<0,i=4,

結(jié)束循環(huán)，輸出的i值為4.

9.B

【解析】

分析：由三視圖可知，該幾何體是一個組合體，它由兩部分組成，左邊是底面半徑與高都是

2的四分之一圓柱，右邊是底面是棱長為2的正方形，高為2的四棱錐，從而可得結(jié)果.

詳解：由三視圖可知，該幾何體是一個組合體，

它由兩部分組成，左邊是四分之一圓柱，

圓柱底面半徑為2,高為2，

所以體積為‘X乃x2?x2=2萬，

4

右邊是也是四棱錐，

四棱錐底面是棱長為2的正方形，高為2，

1,8

其體積為—X22X2=?,

33

Q

所以組合體體積為2〃+—,故選B.

3

10.A

【解析】

易知/(%)=何二^)+5足X的定義域為(一1,1),

1+X

1+X

且/(-乃二叱;—)+sin(-x)

1-x

1-4-Y

=-ln(--)-sinx=-/(x),

l-x

即函數(shù)〃x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，

故排除選項C、D；

又F(g)=Ing+sing=sing-In3<0,

故排除選項B,故選A.

11.A

【詳解】

將直三棱柱擴(kuò)充為長方體，其體對角線長為29+16+4=屈,

外接球的半徑為叵，內(nèi)切球的半徑為1，

2

則其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為"4兀二R2=—29,

4萬廠4

故選A

12.C

【詳解】

直線上H-y-2無+1=0,即為無(x-2)+l-y=0,可得直線恒過定點(2,1),

圓6：。-2)2+(>-1)2=1的圓心為(2,1),半徑為1,且C,。為直徑的端點,

由而=麗，可得AB的中點為(2,1),

設(shè)A8,y),B(X2,%)，

2222

貝丁為“去+為”

(丹+W)(內(nèi)一々)?(y+%)(%一片)

兩式相減可得=0,

a2b2

由西+%2=4.x+%=2,

Ik-

可得左=21二&=_妾，由一2領(lǐng)k一1,即有已張匕1,

x}-x2a2礦

則橢圓的離心率

故選：C

7T

13.

4

【分析】

由(@一25)_1_萬，利用數(shù)量積為零可求得，=2,從而得石=。,2),求得無5=-1+6=5,

從而可得結(jié)果.

【詳解】

?.?0=（一1,3）,5=（1"）,

則打一25=（—1,3）—20,。=（—3,3—2。,

,（江一〃）J_4,...（左一潺）?汗二0,

即3+3x（3—2，）=0,解得r=2,

?.方=（1,2）,

則口?Z?=-1+6=5，

a-b_5_>/2

則cos5

|a||fe|-VlOxVs_2

又5G[0,句,.?45=(,故答案為:

14.

169

【解析】

分析：先利用雙曲線的漸近線方程設(shè)出雙曲線的方程，再利用焦點坐標(biāo)確定有關(guān)系數(shù).

詳解：將3x±4y=0化為±±上=0,

43

22

設(shè)以二±2=o為漸近線的雙曲線方程為土一二=幾，

43169

又因為該雙曲線的焦點為(±5,0),

所以16/1+94=25,

22

解得;1=1,即雙曲線方程為今-二=1.

169

15.7x-y-4=0

【詳解】

???函數(shù))(x)是定義在R上的奇函數(shù)

二當(dāng)X<0時，—2x?

當(dāng)x>()時，一x<(),/(-x)=(-%)3-2(-x)'=-X3-2X2

則當(dāng)x>0時，f(x)=x3+2x2

/(l)=l+2=3

/'(x)=3f+4x,/'⑴=7

即切線方程為y—3=7(x—l),

即7x-y-4=0

故答案為7x-y_4=0

16.@@

【解析】

由題意，得圖1中線段為“，即S1=";

圖2中正六邊形邊長為|■，則S2=E+]x4=E+2a；

圖3中的最小正六邊形邊長為q，則53=5,+0/4=邑+。；

44

圖4中的最小正六邊形邊長為巴，則§4=S3+@x4=S2+0；

882

由此類推，S“—S"T=尋，

所以｛s〃｝為遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列，即①錯誤，②正確；

因為Sn=百+(S2—5J)+(S3—S2)H-----=Q+ZQ+Q+'H---------------------

<5a,

即存在最大的正數(shù)a=和一，使得對任意的正整數(shù)〃都有S,,<2018,

即④正確；③錯誤，

綜上可知正確的由②④.

2百

17.(1)直角三角形；(2)

亍

【解析】

分析：（1）先利用余弦定理得到A3的值，再利用勾股定理進(jìn)行證明；（2）先利用誘導(dǎo)公式

和兩角和的正弦公式求出相關(guān)角的正弦值，再利用正弦定理進(jìn)行求解.

詳解：（1）在:L4BC中，C=60°,BC=26，AC=G，

由余弦定理，得AB?=AC2+BC2—2AC.BC.COSC=9

所以AB=3,

所以他2+4。2=8。2,所以A3J_AC,

所以A=90°,所以DABC是直角三角形.

(2)設(shè)Nfi4D=a，貝lsina=m，NDAC=90°—a，0°<a<90°,

7

V21

所以sinZDAC=sin(90°-a)=cosa

在口48中，ZAr>C=180°-ZZMC-C=180o-(90o-?)-60o=tz+30o,

sinZADC=sin(a+30°)=sinacos3()°+cosasin3()°

2>/7V3V2113>/21

-----X——?+---X-=------,

727214

CDAC

由正弦定理得,

sinZDAC-sin/AOC

ACsinZDAC273

所以CO=

sinZADC3

18.（1）見解析；（2）36+4^+2^9

【解析】

分析：（1）先利用直角三角形和線線平行的性質(zhì)得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理

和性質(zhì)得到線面垂直和線線垂直；（2）分析四棱錐的各面的形狀，利用相關(guān)面積公式進(jìn)行求

解.

詳解：（1）因為NC=90。，即AC_L8C,且DE〃BC,

4

所以。E_L4C,則。E_LDC,DE±DAt,

又因為。CnO4=。，所以QE_L平面AQC.

因為4Fu平面4OC,所以。EJ_4E

又因為AiFJ_C￡>,CDQDE=D,所以4FJ_平面BCDE,

又因為BEu平面BCQE,所以4F_LB￡.

(2)由已知QE〃2C,且DE=；8C,得D,E分別為AC,AB的中點,

在Rtz\A8C中，AB=y/62+82=10'則4E=E8=5,AQ=OC=4,

則梯形BCDE的面積Si=；x(6+3)x4=18,

四棱錐4—BCDE的體積為V=；xl8x4F=125,即4尸=2鋪，

在RSAQF中，DF="_(2⑹2=2,即尸是CD的中點，

所以4C=40=4,

因為。E〃BC,DEmAyDC,

所以BCJ_平面AQC,所以8C_LAC,所以4,3=后:^=2了，

在等腰中，底邊48上的高為，5?—=2后，

所以四棱錐Ai-BCDE的表面積為S=S(+SAM+S八℃+S人因+S

50x+2000,%<10,

19.(1))=《xeN；(2)見解析；(3)10次.

'500x—2500,x>10,

【詳解】

f200xl0+50x,x<10,

(1)}"[250xl0+500(x-10),x>10,

50x+2000,x<10,

艮|Jy=<11N?

[500x-2500,x>10,

(2)因為“維修次數(shù)不大于10"的頻率="±券亞=0.6<0.8,

“維修次數(shù)不大于11”的頻率=小卷表的=0.9>0.8,

所以若要求“維修次數(shù)不大于w”的頻率不小于0.8,則n的最小值為11.

(3)若每臺都購買10次維修服務(wù)，則有下表:

維修次數(shù)X89101112

頻數(shù)1020303010

費用y24002450250030003500

此時這100臺機(jī)器在維修上所需費用的平均數(shù)為

2400X10+2450x20+2500x30+3000x30+3500x10

若每臺都購買11次維修服務(wù)，則有下表:

維修次數(shù)X89101112

頻數(shù)1020303010

費用y26002650270027503250

此時這100臺機(jī)器在維修上所需費用的平均數(shù)為

2600x10+2650x20+2700x30+2750x30+3250x10皿”,一、

y,=------------------------------------------------------=2750(兀)

2100

因為必<曠2,所以購買1臺機(jī)器的同時應(yīng)購買1。次維修服務(wù).

20.(1)見解析；(2)8.

【解析】

分析：(1)先根據(jù)三點坐標(biāo)判定三點與拋物線的位置，再確定三點坐標(biāo)，利用兩直線的斜率

相等判定三點共線：(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和拋物線的方程，得到關(guān)于y的一元二次

方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式進(jìn)行求解.

詳解：⑴由條件，可知N（〃,4）在拋物線C上，。?。）是拋物線C的焦點.

（-l）2=2p，、

v'4P=2,

所以＜42=2pm解得＜q=l,

p〃二4,

所以Q（1,O）,N（4,4）,

k=—-1_-0_=_44_04

所以"1.3,-=所以勺”=%N，

4-13

4

所以。、M、N三點共線.

（2）由條件可知勺#0,可設(shè)/:x=〃?+1,

代入C:y2=4x,得/一4切一4=0,

△=16心2+16＞0，解得WGR.

設(shè)4（%，X）,3（%,%），則,%=一4,

所以d：+%/；+*=才+%2M^=2^^=8，

當(dāng)且僅當(dāng)y：=g,即['=人或]=一，時,（4+4）.=8

'16[%=-20[%=2及mm

21.（1）見解析；（2）見解析

詳解：⑴/（X）的定義域為（0,+"），/（*）=至衛(wèi)士1,

①若0<。420，則A=a2_8WO，

所以當(dāng)x>0時，/'（司=2?奴+130,

所以/（力在（0,+。）上單調(diào)遞增，

所以/（X）無極值點.

②若?！?0，則△＞（），

由尸（x）=0得咚三，/=0±零三￡

當(dāng)x的值變化時，/'（X）,/（x）的值的變化情況如下:

(o，x)（七,X2）(x,+oo)

X再九22

/'(x)+0-0+

〃x)極大值極小值/

所以一（力有極大值點尤廣竺咚總，極小值點々=仁孚總

(2)由(1)及條件可知

.a-\Ja2-82V21

)vx=__________=______----———

4a+J/-83+J??-82

11cl

且辦+w=5a,%*2=弓,即尤2=不丁，。=2玉+7,

乙乙乙4]兒]

lnjrx22

所以/(玉)一/(%2)=i+\-axx-lrtr2-x2+ax2=21ax,+ln2-^+