安徽省2022年高考數(shù)學(xué)考前壓軸試題（文）（含解析）

要徵域高考微考考甫直枇被題

（含答案）

一、單選題

x+y-2<0

1.已知實(shí)數(shù)%,丁滿(mǎn)足約束條件,x—2y—240,則目標(biāo)函數(shù)z=1」］'的最大值

Ui⑵

為（）

1c11

A.1B.—C.—D.—

2416

2.底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐（底面為正方形，頂點(diǎn)在底面上的射影為正方形的

中心）的外接球半徑與內(nèi)切球半徑比值為（）

A.73+1B.3C.72+1D.2

3.已知拋物線(xiàn)C：y=-x2,則下列關(guān)于拋物線(xiàn)。的敘述正確的是（）

4

A.拋物線(xiàn)。沒(méi)有離心率B.拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（上,。］

C.拋物線(xiàn)。關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)D.拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-l

4.已知函數(shù)y=/（力句）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能為（）

A./（%）=—sinxcosxB./（x）=—sinx|cosx|

C./（X）=-|sinx|cosxD./（x）=-|sinxcosx|

5.在正方體ABC。-44aA中，點(diǎn)E,尸分別為棱8C,CG的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，E,F

作平面截正方體的表面所得圖形是（）.

A.三角形B.平行四邊形C.等腰梯形D.平面五邊形

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的。值是（）

/輸出〃/

A.53B.159C.161D.485

7.某居民小區(qū)1單元15戶(hù)某月用水量的莖葉圖如圖所示(單位：噸),若這組數(shù)據(jù)的平均

數(shù)是19,則6的值是()

123549766

23。581b4

A.2B.5C.6D.8

8.已知集合A={x|2x-3>O},集合3={0,l,2,3},則AC13=()

f31

A.{1}B.{2,3}C.{1,2,3}D.<xx>->

I2f

復(fù)數(shù)z=4,

9.已知i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)Z的虛部是()

A.iB.IC.2/D.2

10.已知函數(shù)/(x)=2sinxsin(x+20)是R上的奇函數(shù)，其中8G則下

列關(guān)于函數(shù)g(x)=cos(2x-功的描述中，其中正確的是()

①將函數(shù)/(x)的圖象向右平移!個(gè)單位可以得到函數(shù)g(x)的圖象;

O

②函數(shù)g(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為x=9；

8

③當(dāng)0,y時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值為一半；

rr54

④函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增.

OO

A.①③B.③④C.②③D.②④

,)

11.已知函數(shù)/(x)=-3X+2,X,1,若存在/eR,使得/(%0)?為一。一1成立,

lnx,x>1

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,+力)B.[-3,0)

C.(-8,—D.(―oo,—3]u(0,+oo)

12.已知6，B分別是雙曲線(xiàn)C：q=1的左，右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)的左支上,

點(diǎn)5為圓E：尤2+(y+3)2=i上一動(dòng)點(diǎn)，則|的+|伍|的最小值為()

A.7B.8C.6+A/3D.273+3

二、填空題

13.己知曲線(xiàn)/(x)=(x+a)lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線(xiàn)方程為y=2(x—l),則實(shí)數(shù)。的值為

14.已知平面向量B滿(mǎn)足忖=2,1|=3,a-A=(亞,J5),設(shè)B的夾角為。，

則cosa的值為.

15.如圖是以一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)和中心為圓心，以邊長(zhǎng)的一半為半徑在正方形內(nèi)作圓弧

得到的?現(xiàn)等可能地在該正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在圖中陰影部分的概率為.

16.在DABC中，角A，B,C所對(duì)邊分別為“，b,c.若a=6近sinB+?,c=6,

則□A3C外接圓的半徑大小是.

三、解答題

17.已知各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若%=9,且4，％，S7成等

比數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式4與S,,■

(n)設(shè)4=(一1)"(S,+In),求數(shù)列｛b?｝的前20項(xiàng)和T20.

18.如圖，圓錐P。中，AB是圓。的直徑，且AB=4,C是底面圓。上一點(diǎn)，且AC=2jL

點(diǎn)。為半徑的中點(diǎn)，連接PD

(1)求證：PC在平面APB內(nèi)的射影是PD；

(2)若出=4,求底面圓心。到平面尸BC的距離.

19.某生物研究所為研發(fā)一種新疫苗，在200只小白鼠身上進(jìn)行科研對(duì)比實(shí)驗(yàn)，得到如下統(tǒng)

計(jì)數(shù)據(jù)：

未感染病毒感染病毒總計(jì)

未注射疫苗30Xy

注射疫苗70ZW

總計(jì)100100200

7

現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒'’的小白鼠的概率為歷.

(1)能否有99.9%的把握認(rèn)為注射此種疫苗有效？

(II)在未注射疫苗且未感染病毒與注射疫苗且感染病毒的小白鼠中，分別抽取3只進(jìn)行病

例分析，然后從這6只小白鼠中隨機(jī)抽取2只對(duì)注射疫苗情況進(jìn)行核實(shí)，求抽到的2只均是

注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率.

n(ad-bc]

附：K2=-------————人二7------7，n=a+b+c-\-d,

4+b)(c+d)(Q+c)S+d)

P(K*k。)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)x=4的距離與到定點(diǎn)廠(chǎng)(1,0)的距離之比為

2.

(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

(II)過(guò)點(diǎn)尸的直線(xiàn)交軌跡E于A(yíng)，5兩點(diǎn)，線(xiàn)段A6的中垂線(xiàn)與AB交于點(diǎn)C，與直線(xiàn)

\AB\

x=~4交于點(diǎn)。，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為％=沖+1，請(qǐng)用含，"的式子表示局，并探究是

3

否存在實(shí)數(shù)加，使IA局BI=二？若存在，求出用的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.己知函數(shù)/(x)=x2-—Inx,其中aeE.

(I)當(dāng)。=1時(shí)，判斷函數(shù)“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(H)若對(duì)任意X€(0,+x)),〃x)zo恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

x=3+3cosa

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)G的參數(shù)方程為《八.(其中Q為參數(shù))，

y=3sma

以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以X軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)。2的極坐標(biāo)方程為

p+4cos^=0.

(i)求曲線(xiàn)c的普通方程與曲線(xiàn)G的直角坐標(biāo)方程；

n

(II)設(shè)點(diǎn)A，3分別是曲線(xiàn)G，G上兩動(dòng)點(diǎn)且=求［1AQB面積的最大值.

23.已知函數(shù)〃力=卜一同+x1(其中實(shí)數(shù)加＞0).

(I)當(dāng)機(jī)=1,解不等式〃x)W3；

(H)求證：〃x)+J1\?2.

答案

1.B

【解析】

由題意，令f=2x—y,則z=（g），

函數(shù)z=（』］是指數(shù)函數(shù)，由則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)1取最小值時(shí),

z有最大值

根據(jù)線(xiàn)性約束條件，作出可行域，如圖所示：

當(dāng)x=l,y=l時(shí)，目標(biāo)直線(xiàn)截距最大，即，最小，

此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=（；）.'取到最大值，最大值為g.

故選：B

2.A

【解析】

不妨設(shè)其棱長(zhǎng)為2,外接球的半斤為R,內(nèi)切球的半徑為「

如圖

則=亞=&,PO7PB「BO。=亞

PM=y]PC2-CM2=G

所以可知。即為該幾何體外接球的球心，故R=J5

,

V-ABCD=4.；?S^pcD"+；,SABCD-=g,SABCD

又SABCO=2?=4,Sdp8=；.CD.PM=￡

所以?xún)?nèi)切球半徑為r=*—,于是&=母乂避工=6+1，

A/3+1rV2

故選A.

3.D

【詳解】

由條件知，拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為f=4y,

則拋物線(xiàn)。的離心率為1,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-l,

故選D.

4.B

【詳解】

由題意，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)為奇函數(shù)，排除c,D,

又當(dāng)x?(),可時(shí)，/(x)<0,則答案A不符合，

故選B.

5.C

連BCX,由點(diǎn)￡,F分別為棱BC,CG的中點(diǎn)

則EFHBC\HAD\,且切=gBQ=gA。，

于是所得截面圖形是梯形，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2a,則AE=DF=6I,

因此所得截面圖形是等腰梯形，

故選：C.

6.C

7.A

【詳解】

由莖葉圖知，

12+13+15+14+19+17+16+16+23+20+a+25+28+21+20+/?+24=19xl5,

所以。+/?=2,

故選A.

8.B

【詳解】

由條件知A={x|x>|J,則Ac8={2,3},

故選B.

9.D

【詳解】

z=3+3i=20-‘)+3i=l+2i,其虛部為2.

1+z2

故選D..

10.C

【詳解】

因函數(shù)y=2sinx是R上的奇函數(shù),

要使函數(shù)/(x)是R上的奇函數(shù)，則函數(shù)y=sin(x+2°)是R上的偶函數(shù),

又夕《0,最得2e=W，所以8=2,

則有/(x)=2siinxsin(x+-1-j=2sinxcosx=sin2%,g(x)=cos2T.

71

將函數(shù)/(x)的圖象向右平移衛(wèi)個(gè)單位得到函數(shù)y=Sin2X--=-sin(2x_?)的圖象,

88

①錯(cuò)誤；

當(dāng)x=￡時(shí)，gj]=l，②正確；

8ko7

當(dāng)xe0,1時(shí)，一?《2》一7《弓，于是函數(shù)g(x)的最小值為一變，③正確;

由xe,所以042x—?《萬(wàn)，又、=以達(dá)1在[(),句單調(diào)遞減

jr54

所以函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減，故④錯(cuò)誤.

_OO

故選C..

11.D

【詳解】

作出函數(shù)/(x)的圖象如下圖所示:

y

直線(xiàn)y=以一“一1=.（%—1）-1恒過(guò)定點(diǎn)（1,一1）.

當(dāng)a＞（）時(shí)，直線(xiàn)與分段函數(shù)/（x）有交點(diǎn)，顯然滿(mǎn)足題意;

當(dāng)。=0時(shí)，直線(xiàn)為，=-1,不符合題意；

v—jv"2_3I2

當(dāng)avO時(shí)，聯(lián)立*得：X2—（a+3）x+a+3=0,

y=ax-a-\

則△=.+3）2—4（a+3）=（a+3）（a—1）20,解得：或（舍）.

綜上可得：實(shí)數(shù)。的取值范圍是（-8,-3]。（0,用）.

故選：D.

12.A

【詳解】

雙曲線(xiàn)=1中a=2,b=乖＞,c=A/4+3=V7,耳卜S',。），

圓￡半徑為r=l，￡（0,-3）,:.\AF2\=\AFx\+2a=\AF]+4,

|45閆的—忸同=|AE|—1（當(dāng)且僅當(dāng)A，E，3共線(xiàn)且3在A(yíng)，E之間時(shí)取等號(hào).）

.?.同河+|4瑪閆4用+4+|4目_1=|4周+|4目+32但用+3="_g『+32+3=7

當(dāng)且僅當(dāng)A是線(xiàn)段E4與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)..1ABl+|A6|的最小值是7.

故選：A.

13.1.

【詳解】

由題意/'(x)=lnx+*,

所以r(l)=l+a=2,得a=l.

故答案為：1

2

14.-

3

71,

15.——1

2

16.372

【詳解】

由條件知@=J^sin[5+&]=血-^^sin5+^^cosB

=sinJ3+cosB

cI4J22

根據(jù)正弦定理得—=；汕個(gè),所以sinA=sinC?(sinB+cos8)=sinCsin3+sinCcosB,

又sinA=sin(8+C)=sinBcosC+cosBsinC,于是sinBcosC=sinBsinC,

因sinB>0,所以tanC=l,又Ce(0,?)，所以C=(,

設(shè)DABC外接圓的半徑大小為R,根據(jù)正弦定理得

2/?=—^—=—^—=6五

sinCsin乃'

4

因此H=3啦.

故答案為：3亞

17.(I)%=2〃-1,S“="；(II)230

18.(1)證明見(jiàn)解析；(2)宜叵

5

【詳解】

(I)證明：連接CD、OC,如圖:

p

'：AB=4,AC=26，ACLBC,：,ZABC=—,

3

'：OB=OC,???△BOC是正三角形，

又。點(diǎn)是OB的中點(diǎn)，.'CZ)，08,

又尸O1.平面ABC,：.OP±CD,

,：OPHOB=O,...(7。，平面以8,

/.PC在平面APB內(nèi)的射影是PD；

(2)由B4=4,可知PO7P普―必？=2百，PB=PC=4,

.??』；°cw=6s△…也=屈,

?e?^P-OBC=XS^OBCxP。=]xGx2^3=2,

設(shè)點(diǎn)O到平面PBC的距離為d,

則/ORC=%PBC=~X^/\PBCx"=---d=2?解得”=2y,

r-C/DCCz-rDC3ZArDC35

.??底面圓心。到平面PBC的距離為冬45.

5

19.(I)有99.9%的把握認(rèn)為注射此種疫苗有效；(H):

【詳解】

(I)由條件知x=7(),y=100,z=30,w=l(X),

200x(30x30-70x70)2

K2=32>10.828'

100x100x100x100

所以有99.9%的把握認(rèn)為注射此種疫苗有效.

（II）由條件知將抽到的3只未注射疫苗且未感染病毒的小白鼠記為A，B,C,將抽到

的3只注射疫苗且感染病毒的小白鼠分別記為。，E,F，從這6只小白鼠中隨機(jī)抽取2

只共有（AB）,（AC），（A。），（AE）,（A,F）,（B,C）,

（C,D）,（C,E）,（C,F）,（D,E）,（O,尸），（瓦尸）等15種可能,

抽到的2只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠有（RE）,（。,尸），（瓦尸）等3種情況,

31

所以抽到的2只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率為.

Y-y2\AB3

20.（I）±+±=i；（ID存在加=o,使^?二二.

43\CD5

【詳解】

r2v2

化簡(jiǎn)整理得二+工=1.

43

所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡E的方程為工+二=1.

43

(H)設(shè)B(x2,y2),

x-my+1

聯(lián)立甘丁

消去x,得(362+4)y2+6%—9=0,

——+1=1

143

6m_9

根據(jù)韋達(dá)定理可得X+%=3m2+4''乃一詬二

12(m2+l)

所以|AB|=yll+m2|弘-%|=Vl+m2-+必『一你%二

3病+4’

43m

又C

3m2+4'3m2+4

44(3〃?2+5)

于是|CD|=Ji+上3>+4—㈠-3而+4

所以篙分

2

z<\AB\_3Vm+1_3

解得m=0

'向-3m2+5-S

\AB\3

因此存在機(jī)=0,使「可

5

21.(I)函數(shù)C(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；(H)(―8,1]

【詳解】

(I)當(dāng)。=1時(shí)，/(6=%2一%—]nx,其定義域?yàn)?0,+巧,

求導(dǎo)得尸(X)=2X_]_」=2X2-XT=(T1)(2X+1),

XXX

于是當(dāng)XG(0,l)時(shí)，/'(6<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)XG0,+8)時(shí)，r(x)>o,函

數(shù)“X)單調(diào)遞增，又/⑴=0,所以函數(shù)“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

(II)法1：因?qū)θ我鈞e(0,+oo),/.(x)20恒成立，即Y一々一]nxNO對(duì)任意xe(0,+<?)

恒成立，于是a4立小對(duì)任意xw(0,+8)恒成立,

X

令g(x)=^^(x>0)，只需a4[g(4L?

X

對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)，得g，(x)=x：l丁nx,令〃(x)=f-i+1nx(x>o),

則/?'(x)=2x+J>0,所以函數(shù)〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又可1)=0,所以當(dāng)xe(O,l)時(shí)，〃(x)<0,g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減:當(dāng)xe(l,4w)

時(shí)，〃(x)>0,g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)[g(初Ln=g6=l，于是aWl，

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(—8』].

法2：因?qū)θ我鈞e(O,+R),f(x)NO恒成立，即/一InxNor對(duì)任意xe(O,+R)恒成立.

構(gòu)造函數(shù)F(x)=f-lnx(x>0),對(duì)其求導(dǎo)，得/3=2%一工=@二L

XX

令尸(x)=0,得x=#(-李舍去)，所以當(dāng)0,乎時(shí)，F(xiàn)'(x)<0,函數(shù)/(力

單調(diào)遞減；當(dāng)xe二1,+8時(shí)，尸'(x)>0,函數(shù)尸(x)單調(diào)遞增.

函數(shù)了=公(％>0)的圖象是一條過(guò)原點(diǎn)的射線(xiàn)(不包括端點(diǎn))，旋轉(zhuǎn)射線(xiàn)(不含端點(diǎn))，發(fā)

現(xiàn)y=ax(x>0)與函數(shù)F(x)的圖象相切時(shí)屬臨界狀態(tài).

設(shè)切點(diǎn)為(毛，片Tnx。)，則土~0=2/一｝,整理得x；+lnx0-1=0,

顯然〃(x)=f+lnx—l在((),+e)上是增函數(shù)，又〃⑴=0,所以%=1,此時(shí)切線(xiàn)斜率為

1.結(jié)合圖象，可知實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(一8,1].

法3:根據(jù)題意只需20即可.

又r(x)=2…」=2廠(chǎng)"一],令/,(力=0,因2與T異號(hào)，所以必有一正根，

XX

不妨設(shè)為看,則2君一欠0-1=0,即2x：-1=0X(),

當(dāng)XG(O,Xo)時(shí)，/，(%)<0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減；當(dāng)XG(Xo，+8)時(shí)，/r(x)>0,函數(shù)

/(x)單調(diào)遞增，所以(x)Ln=/(/)=片一?一In/=一片+1-In/20,

又g(x)=-f-lnx+l在(0,+”)上是減函數(shù)，又g(l)=0,所以0<與41，

由2片-1=%，得。==2%—,在凝e(0,11上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

X。小

(-8』.

22.(I)(%-3)2+/=9,x2+y2+4x=0；(ID6

【詳解】

(I)由條件知消去參數(shù)a得到曲線(xiàn)G的普通方程為(X-3)2+V=9.

因X7+4cos8=0可化為2？+40cose=0,又22=/+/，pcos6=x,代入得

x2+y2+4x=Q,于是曲