第01講集合與常用邏輯用語（八大題型）

第01講集合與常用邏輯用語【題型歸納目錄】【知識點梳理】知識點一：集合的有關(guān)概念1、一般地，研究對象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合．2、關(guān)于集合的元素的特征（1）確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立．（2）互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現(xiàn)同一元素．（3）無序性：集合中的元素的次序無先后之分．如：由1，2，3組成的集合，也可以寫成由1，3，2組成一個集合，它們都表示同一個集合．3、元素與集合的關(guān)系：（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作aA（2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作4、常用數(shù)集及其表示非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N正整數(shù)集，記作N*或N+整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q實數(shù)集，記作R知識點二：集合的表示方法1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來．2、描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內(nèi)．具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．知識點三．集合與集合的關(guān)系（1）一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為B的子集．記作：讀作：A包含于B（或B包含A）．圖示：（2）如果兩個集合所含的元素完全相同（），那么我們稱這兩個集合相等．記作：A讀作：A等于B．圖示：知識點四．真子集若集合，存在元素，則稱集合A是集合B的真子集．記作：AB（或BA）讀作：A真包含于B（或B真包含A）知識點五．空集不含有任何元素的集合稱為空集，記作：．規(guī)定：空集是任何集合的子集．結(jié)論：（1）（類比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）若則（類比，則）（4）一般地，一個集合元素若為n個，則其子集數(shù)為2n個，其真子集數(shù)為2n1個，特別地，空集的子集個數(shù)為1，真子集個數(shù)為0．知識點六：集合的運算1、并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn圖表示：2、交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn圖表示：3、補集全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．補集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集（plementaryset），簡稱為集合A的補集，記作：，即補集的Venn圖表示：4、集合基本運算的一些結(jié)論，，，，，，，，，若A∩B=A，則，反之也成立若A∪B=B，則，反之也成立若x（A∩B），則且xB若x（A∪B），則xA，或xB求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結(jié)合的思想方法．知識點七：充分條件與必要條件充要條件的概念符號與的含義“若，則”為真命題，記作：；“若，則”為假命題，記作：．充分條件、必要條件與充要條件①若，稱是的充分條件，是的必要條件．②如果既有，又有，就記作，這時是的充分必要條件，稱是的充要條件．知識點詮釋：對的理解：指當成立時，一定成立，即由通過推理可以得到．①“若，則”為真命題；②是的充分條件；③是的必要條件以上三種形式均為“”這一邏輯關(guān)系的表達．知識點八：充分條件、必要條件與充要條件的判斷從邏輯推理關(guān)系看命題“若，則”，其條件p與結(jié)論q之間的邏輯關(guān)系①若，但，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；②若，但，則是的必要不充分條件，是的充分不必要條件；③若，且，即，則、互為充要條件；④若，且，則是的既不充分也不必要條件．從集合與集合間的關(guān)系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，則是的充分條件，是的必要條件；②若A是B的真子集，則是的充分不必要條件；③若A=B，則、互為充要條件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件．知識點八：全稱量詞與全稱量詞命題1、全稱量詞：一般地，“任意”“所有”“每一個”在陳述句中表示所述事物的全體，稱為全稱量詞，用符號“”表示．2、全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題．3、全稱量詞命題的形式：對集合M中的所有元素x，，簡記為：對．知識點九：存在量詞與存在量詞命題1、全稱量詞：一般地，“存在”“有”“至少有一個”在陳述句中表示所述事物的個體或部分，稱為全存在量詞，用符號“”表示．2、存在量詞命題：含有存在量詞的命題，稱為存在量詞命題．3、存在量詞命題的形式：存在集合M中的元素x，，簡記為：對．知識點十：命題的否定1、一般地，對命題p加以否定，就得到一個新的命題，記作“”，讀作“非p”或p的否定．2、如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然．知識點十一：全稱量詞命題的否定一般地，全稱量詞命題“”的否定是存在量詞命題：．知識點十二：存在量詞命題的否定一般地，存在量詞命題“”的否定是全稱量詞命題：．知識點十三：命題與命題的否定的真假判斷一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假．知識點七：常見正面詞語的否定舉例如下：正面詞語等于大于（>）小于（<）是都是否定不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面詞語至少有一個至多有一個任意的所有的至多有n個否定一個也沒有至少有兩個某個某些至少有n＋1個【典型例題】題型一：集合的含義與表示例1．（2024·四川成都·高一期末）已知集合，集合中所含元素的個數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】設，故，故有6個元素，故選：C例2．（2024·甘肅白銀·高一校考期末）已知集合，，則集合等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當時，；當時，；當或時，；所以.故選：B.例3．（2024·北京西城·高一統(tǒng)考期末）方程組的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，將代入，可得，即，當時，；當時，，所以方程組的解集為.故選：B.變式1．（2024·山西·高一統(tǒng)考期中）已知是由0，，個元素組成的集合，且，則實數(shù)為（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【答案】B【解析】因為，所以或．當時，，不合題意，舍去；當時，或，但不合題意，舍去．綜上可知，．故選：B．題型二：集合的基本關(guān)系例4．（2024·安徽亳州·高一校考期末）給出下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解析】由于；；；，故①錯誤；②正確；③錯誤；④錯誤，故選：A．例5．（2024·北京大興·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】集合，故集合表示的是偶數(shù)集，所以.故選：D例6．（2024·甘肅臨夏·高一校考期末）下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】選項A：因為是集合中的元素，所以，所以選項A錯誤；選項B：因為是任何集合的子集，所以，所以選項B錯誤；選項C：因為中含有元素0，1，而且還有其他元素，所以，所以選項C正確；選項D：因為是無理數(shù)，而是有理數(shù)集，所以，所以選項D錯誤；故選：C變式2．（2024·浙江臺州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.變式3．（2024·新疆·高一?？茧A段練習）在下列格式中錯誤的個數(shù)是（

）①；②；③；④；⑤.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】，，，，即，所以①③⑤對，②④錯.故選：B題型三：集合的基本運算例7．（2024·廣東江門·高一新會陳經(jīng)綸中學?？计谥校┮阎?，集合，.(1)求；(2)求.【解析】（1）易知；（2）易知.例8．（2024·湖南永州·高一?？计谥校┮阎希?(1)求；(2)定義且，求.【解析】（1）由題意集合，，所以.（2）由題意若，則，所以或.例9．（2024·新疆·高一?？茧A段練習）集合，，求，及.【解析】因為集合，，則，，或，或，或.變式4．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？茧A段練習）已知設全集，集合或.(1)求；(2)求；(3)求.【解析】（1）因為，或，所以；（2）因為，，所以或；（3）由（1）（2）可知：，或，所以或.題型四：根據(jù)集合的交、并、補求參數(shù)例10．（2024·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)桂華中學?？茧A段練習）已知集合，.(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當時，，∴.（2），則是的子集，，當，即時，，滿足題意；當時，或解得：綜上得的取值范圍是：.例11．（2024·浙江臺州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，．(1)若，求；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）若，則，因為，所以；（2）由題，得，由，得，若，則，得，若，即時，則有，或，得或，綜上，例12．（2024·吉林長春·高一長春外國語學校?？计谀┮阎?，集合.(1)求；(2)設，若，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）依題意，集合，集合，所以或，.（2）由（1）得或，而且，所以，解得，所以的取值范圍是.變式5．（2024·湖南湘潭·高一校聯(lián)考期末）設全集，，．(1)若，求．(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當時，，，所以或，；（2）全集，，或，，分，兩種情況討論.（1）當時，如圖可得，或，或；（2）當時，應有：，解得；綜上可知，或，故得實數(shù)的取值范圍.變式6．（2024·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）已知集合，或．(1)當時，求；(2)在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在（2）問中的橫線上，并求解，若__________，求實數(shù)的取值范圍．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【解析】（1）當時，，或，所以，，因此，.（2）若選①，當時，則時，即當時，成立，當時，即當時，即當時，由可得，解得，此時.綜上，；若選②，當時，則時，即當時，成立，當時，即當時，即當時，由可得，解得，此時.綜上，；若選③，由可得，當時，則時，即當時，成立，當時，即當時，即當時，由可得，解得，此時.綜上，.題型五：充分與必要條件例13．（2024·全國·高一期末）“”是“”的什么條件（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若，則由“”不能推出“”，故充分性不成立；若，則由“”不能推出“”，故必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.例14．（2024·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學?？计谀┮阎瑒t“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，即,解得或,所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A例15．（2024·江蘇宿遷·高一校考階段練習）二次函數(shù)有兩個異號零點的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】有兩個異號零點，需滿足，解得，A選項，是有兩個異號零點的充要條件，A錯誤；B選項，與無包含關(guān)系，不合要求，B錯誤；C選項，是的真子集，滿足要求；D選項，是的真子集，故是充分不必要條件，D錯誤.故選：C變式7．（2024·全國·高一專題練習）設是兩個實數(shù)，命題“中至少有一個數(shù)大于1”的充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，當時，滿足，但命題不成立；對于C，D，當時，滿足，，但命題不成立.故選：B.題型六：根據(jù)充分與必要條件的求參數(shù)取值范圍例16．（2024·寧夏固原·高一寧夏回族自治區(qū)西吉中學?？茧A段練習）已知集合，集合.(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍.【解析】（1）當時，滿足，此時，解得.當時，由，得或，解得，綜上所述，的取值范圍為.（2）依題意，得?，則有或，解得.例17．（2024·江西宜春·高一江西省宜春中學?？计谀┮阎?，．(1)若，求；(2)若“”是“”充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）當時，集合，可得或因為，所以；（2）若“”是“”的充分不必要條件，所以P是Q的真子集，①當時，即時，滿足P是Q的真子集；②當時，即時，滿足且不能同時取等號，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍為例18．（2024·四川綿陽·高一綿陽中學?？计谀┮阎希?(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)設，，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由，可得，由可得，當，則，可得，當，則，可得，綜上所述，的取值范圍為.（2）若，是的必要不充分條件，A真包含于B，則（不能同時取等號），解得，故的取值范圍為.變式8．（2024·安徽阜陽·高一?？茧A段練習）(1)是否存在m的值，使得是的充要條件，若存在求出m的值；若不存在，請說明理由．(2)若是的充分條件，求m的取值范圍(3)若=，求m的取值范圍【解析】（1）若存在m的值滿足是的充要條件，則，得，解得，無解，故不存在這樣的m符合題意；（2）若是的充分條件，則，當時，，解得；當時，，解得，綜上，，即實數(shù)m的取值范圍為；（3）若，當時，，解得；當即即時，或，所以，綜上，或，即實數(shù)m的取值范圍為；題型七：全稱量詞與存在量詞例19．（2024·新疆·高一?？茧A段練習）下列三個命題中有幾個真命題（

）①，；②，；③至少有一個實數(shù)，使得A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】①由，可得或，為真命題；②由，為假命題；③當時，為真命題.故選：C例20．（2024·河南·高一校聯(lián)考階段練習）命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，則命題“，”的否定是“，”.故選：C例21．（2024·廣東佛山·高一石門中學校考期中）以下4個命題：（1）；（2）；（3）；（4）．其中真命題的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】（1）令，由對稱軸為，則，又，且該二次函數(shù)開口朝上，故對，故正確；（2）因為，所以當時，，故不正確；（3）因為，所以當時，，故不正確；（4）因為，由均為無理數(shù)，故不存在，使得，故不正確；故選：D.變式9．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）設命題：，則的否定為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】命題：，命題的否定：.故選：C.變式10．（2024·河北保定·高一保定一中校聯(lián)考期中）命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】命題“”的否定是：.故選：C題型